專題03 方程（方程組、分式方程、一元二次方程及應(yīng)用30題）（解析版）

專題03方程（方程組、分式方程、一元二次方程及應(yīng)用30題）（解析版）題目精選自：2023、2024年上海名校及一二模真題，方程組、分式方程、一元二次方程及應(yīng)用30題。一、單選題，3題1．（2023上·上海青浦·九年級?？计谥校┮阎c(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)且，若，那么線段為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了黃金分割比，公式法解一元二次方程．熟練掌握黃金分割比的表示形式是解題的關(guān)鍵．由題意知，，即，整理得，，計(jì)算求出滿足要求的解即可．【詳解】解：由題意知，，即，整理得，，，∴，解得，或（舍去），故選：C．2．（2024上·上海長寧·九年級統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)在線段上，且滿足，那么下列式子成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查黃金分割、解一元二次方程，把當(dāng)作已知數(shù)求出，求出，再分別求出各個(gè)比值，根據(jù)結(jié)果判斷即可．【詳解】解：令，，則，可變形為，整理，得，，解得，邊長為正數(shù)，，，即，，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故B選項(xiàng)正確；，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選B．3．（2023上·上海靜安·九年級上海市市北初級中學(xué)?？计谀┫铝蟹匠讨?，有實(shí)數(shù)解的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】A、根據(jù)△的值判斷即可，B、根據(jù)二次根式的意義判斷即可；C、根據(jù)分式方程的解的定義判斷即可；D、根據(jù)分式方程的解的定義判斷即可．【詳解】解∶A．，原方程無實(shí)數(shù)根，B．當(dāng)，即時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)根，C．當(dāng)，即，或時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)根，D．，故選∶D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根得判別式，無理方程的解，分式方程的解，正確的解方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題，15題4．（2023上·上海長寧·九年級上海市婁山中學(xué)校考期中）已知點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，如果，那么的長是．【答案】/【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意，列出方程解題即可．【詳解】解：設(shè)的距離為，則，根據(jù)題意列方式：，，整理得：，，根據(jù)求根公式，解出，（舍去）．故答案為：．5．（2024上·上海奉賢·九年級統(tǒng)考期末）如果P是線段的黃金分割點(diǎn)，，那么較長線段的長是．【答案】【分析】本題考查了黃金分割的定義，關(guān)鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比．根據(jù)黃金分割的定義解答．【詳解】解：設(shè)，根據(jù)題意列方程得，，即，解得(負(fù)值舍去)．故答案為：．6．（2023上·上海長寧·九年級上海市第三女子初級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)D、G分別在邊、上，如果的邊長為20，高為15，那么正方形的邊長為．

【答案】【分析】由得，利用相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比，列方程求解．【詳解】解：由正方形得，即，，．由得，．，，，，即，因?yàn)殚L為20，高為15，設(shè)正方形的邊長，得，解得．故正方形的邊長是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是由平行線得到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)列方程進(jìn)行求解．7．（2023上·上海虹口·九年級上外附中校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程無解，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】或2或【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出得值，再由分式方程無解確定出m的值即可．【詳解】解：去分母，得：，解得：，方程無解，或或，或，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，解得；即實(shí)數(shù)的值為或2或，故答案為：或2或．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解問題，解題過程中不要漏掉答案．8．（2023上·上海青浦·九年級?？茧A段練習(xí)）在比例尺是的地圖上，測得甲乙兩地的距離是3厘米，那么甲乙兩地的實(shí)際距離是千米．【答案】450【分析】設(shè)甲乙兩地的實(shí)際距離是x厘米，然后根據(jù)比例尺的定義列方程求解，最后同一單位即可解答．【詳解】解：設(shè)甲乙兩地的實(shí)際距離是x厘米，由題意可得：，解得：厘米=450千米．故答案為450．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段、一元一次方程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，根據(jù)比例尺的定義列方程是解題的關(guān)鍵．9．（2024上·上海金山·九年級統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)（），如果，那么．【答案】【分析】由題意知，，由點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，可得，即，整理得，計(jì)算求出滿足要求的解即可．【詳解】解：由題意知，，∵點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，∴，即，整理得，解得：或（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考出來黃金分割，解一元二次方程組．解題的關(guān)鍵在于對黃金分割的熟練掌握與靈活運(yùn)用．10．（2024上·上海金山·九年級統(tǒng)考期末）把矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，其中點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)在的延長線上，如果，那么．【答案】【分析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，本題先畫出圖形，再證明，再建立方程求解即可．【詳解】解：如圖，矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，

∴，設(shè)，∵點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)在的延長線上，∴，，∴，∴，∴，即，解得：（負(fù)根舍去），經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；∴，故答案為：；11．（2023·上?！つM預(yù)測）明代數(shù)學(xué)家程大位編撰的《算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子來量竿，卻比竿子短一托.”譯文為：“有一根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長5尺；若將繩對折后再去量竿，則繩比竿短5尺，那么竿長尺.（注：“托”和“尺”為古代的長度單位，1托=5尺）【答案】15【分析】設(shè)竿長尺，則繩長尺，根據(jù)“將繩對折后再去量竿，則繩比竿短5尺”列一元一次方程，求解即可．【詳解】設(shè)竿長尺，則繩長尺，由題意得：，解得，所以，竿長為15尺，故答案為：15.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.12．（2023下·上海楊浦·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如果關(guān)于x的二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，那么k的取值范圍是．【答案】【分析】關(guān)于x的二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式，就是對應(yīng)的二次方程無實(shí)數(shù)根，根據(jù)判別式，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的判別式．解題的關(guān)鍵在于理解題意．13．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）分式方程的解是．【答案】【分析】根據(jù)解分式方程的基本步驟計(jì)算求解即可．【詳解】∵，∴，解得或．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，是原方程的增根；故原方程的根為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，正確求解，規(guī)范驗(yàn)根是解題的關(guān)鍵．14．（2024上·上海青浦·九年級統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)，且．那么．【答案】【分析】本題考查了黃金分割，公式法解一元二次方程．熟練掌握黃金分割，公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．由題意知，，即，計(jì)算求出滿足要求的解即可．【詳解】解：由題意知，，∴，即，∴，解得，或（舍去），故答案為：．15．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）方程組的解是．【答案】或．【分析】先把原方程組化為或，再解二元一次方程組即可．【詳解】解：由①得：，∴或，∴或，解可得：，解可得：，∴原方程組的解為：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二元二次方程組的解法，熟練的把二元二次方程組化為二元一次方程組是解本題的關(guān)鍵．16．（2023上·上海徐匯·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）解關(guān)于x的方程時(shí)，如果設(shè)，那么原方程變形為關(guān)于y的整式方程是．【答案】【分析】如果設(shè)，則，代入進(jìn)一步整理即可．【詳解】解：已知方程，如果設(shè)，則原方程為，整理得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用換元法解分式方程，換元法又稱輔助元素法、變量代換法，通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡化．17．（2023上·上海徐匯·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）方程組的解是．【答案】【分析】由得：，可得：，把代入①得：，再檢驗(yàn)即可.【詳解】解：，得：，解得：，把代入①得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程組的解；∴方程組的解為：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程組的解法，熟練的利用整體思想解方程組是解本題的關(guān)鍵.18．（2023上·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ醒影渤跫壷袑W(xué)校考階段練習(xí)）若點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，則的長為．【答案】【分析】設(shè)，可得，代入即可求解．【詳解】解：設(shè)，∵點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，則，代入得：，解得：（負(fù)值舍去），∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和、差、倍、分，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分來轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題，12題19．（2023·上?！つM預(yù)測）現(xiàn)有某服裝廠接到一批襯衫生產(chǎn)任務(wù)，該廠有甲乙兩個(gè)生產(chǎn)襯衫的車間，甲車間要完成3000件，乙車間要完成2500件．已知甲車間比乙車間每天多生產(chǎn)125件，如果兩車間同時(shí)開工，且甲車間比乙車間提前2天完成任務(wù)，那么甲車間和乙車間分別用了幾天完成各自的任務(wù)？【答案】8，10．【分析】設(shè)甲車間用了x天完成任務(wù)，則乙車間用x+2天完成任務(wù)，根據(jù)甲比乙每天多生產(chǎn)125件可列方程，解出方程即可．【詳解】解：設(shè)甲車間用x天完成任務(wù)，則乙車間用（x+2）天完成任務(wù)，則可列方程：，變形得，整理得：，解方程得：或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)x=8是原方程的解，且符合題意，所以乙車間完成任務(wù)用時(shí)8+2=10（天），答：甲車間用8天完成任務(wù)，乙車間用10天完成任務(wù)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程解決實(shí)際問題，這里的分式方程是可化為一元二次方程的分式方程，解題關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系列出方程．注意檢驗(yàn)．20．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在修建公路時(shí)，需要挖掘一段隧道，已知點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，，，米；(1)求隧道兩端B、C之間的距離（精確到個(gè)位）；（參考數(shù)據(jù)：，，）．(2)原計(jì)劃單向開挖，但為了加快施工進(jìn)度，從B、C兩端同時(shí)相向開挖，這樣每天的工作效率提高了20%，結(jié)果提前2天完工．問原計(jì)劃單向開挖每天挖多少米？【答案】(1)1200米(2)原計(jì)劃單向開挖每天挖100米【分析】（1）由題意易得，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解；（2）設(shè)原計(jì)劃單向開挖每天挖x米，根據(jù)題意可得方程，然后求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，米，∴米；答：隧道兩端B、C之間的距離為1200米．（2）解：設(shè)原計(jì)劃單向開挖每天挖x米，根據(jù)題意可得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解且滿足題意，答：原計(jì)劃單向開挖每天挖100米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形及分式方程的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．21．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）解方程組：【答案】，【分析】由方程②，得③，將③代入①，得，解得，將代入③，得；將代入③，得，即可得到方程組的解【詳解】解：由方程②，得③將③代入①，得解，得將代入③，得；將代入③，得所以，原方程的解是，．【點(diǎn)睛】此題考查了二元二次方程組，熟練掌握二元二次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．22．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）解方程：．【答案】【分析】先去分母，將分式方程化為整式方程，再用因式分解法求解，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：，，，，，，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴是原分式方程的解．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程和解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步驟．23．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，縮寫AQI）是定量描述空氣狀況的非線性無量綱指數(shù)．其數(shù)值越大、級別和類別越高，說明空氣污染狀況越嚴(yán)重，對人體的健康危害也就越大，適用于表示某地區(qū)的短期空氣質(zhì)量狀況和變化趨勢．（空氣污染指數(shù)為0~50是優(yōu)；空氣污染指數(shù)為50~100是良好；空氣污染指數(shù)為100~150是輕度污染；空氣污染指數(shù)為150~200是中度污染；空氣污染指數(shù)為200~250是重度污染．）如圖表示的是某地區(qū)2022年11月份30天日均AQI指數(shù)的頻率分布直方圖．空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）0~5050~100100~150150~200200~250天數(shù)333頻率0.10.10.1（注：每組數(shù)據(jù)可含最高值，不含最低值）(1)請你根據(jù)上述頻率分布直方圖及表格完成下面的填空：這個(gè)地區(qū)11月份空氣為輕度污染的天數(shù)是________天．________；________；________；________．(2)為了進(jìn)一步改善生活環(huán)境和空氣質(zhì)量，提高人民的生活質(zhì)量，當(dāng)?shù)卣?jì)劃從2023年開始增加綠化面積．已知2022年底該地區(qū)的綠化面積為20萬畝，如果到2024年底，該地區(qū)的綠化面積比為2022年的綠化面積增加了50%，假設(shè)這兩年綠化面積的年增長率相同，求這兩年中綠化面積每年的增長率（精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)3，12，9，0.4，0.3(2)【分析】（1）根據(jù)樣本容量=天數(shù)÷頻率，求得樣本容量，根據(jù)計(jì)算出良好的頻率，后運(yùn)用公式依次計(jì)算即可．（2）設(shè)平均增長率為x，根據(jù)題意得計(jì)算即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，得輕度污染天數(shù)為3天，樣本容量為：，∵，∴良好天氣的頻率為，∴優(yōu)秀天氣的頻率為，∴，∴優(yōu)秀天氣的頻率為，故答案為：3，12，9，0.4，0.3．（2）設(shè)平均增長率為x，根據(jù)題意得，解得，∵，∴或（舍去）故這兩年中綠化面積每年的增長率為．【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布表，一元二次方程的增長率問題，熟練掌握頻數(shù)分布表，增長率問題是解題的關(guān)鍵．24．（2023·上海·模擬預(yù)測）如圖是某小區(qū)益智健身點(diǎn)中的“側(cè)擺器”及其示意圖．鍛煉方法：面對器械，雙手緊握扶手，雙腳站立于踏板上，腰部發(fā)力帶動下肢做左右擺式運(yùn)動．(1)擺臂的長度為厘米，在側(cè)擺運(yùn)動過程中，點(diǎn)為踏板中心在側(cè)擺運(yùn)動過程中的最低點(diǎn)位置，點(diǎn)為最高點(diǎn)位置，＝，求踏板中心點(diǎn)在最高位置與最低位置時(shí)的高度差（精確到厘米，，，）；(2)小杰在側(cè)擺器上進(jìn)行鍛煉，原計(jì)劃消耗大卡的能量，由于小杰加快了運(yùn)動頻率，每小時(shí)能量消耗比原計(jì)劃增加了大卡，結(jié)果比原計(jì)劃提早分鐘完成任務(wù)，求小杰原計(jì)劃完成鍛煉需多少小時(shí)？【答案】(1)踏板中心點(diǎn)在最高位置與最低位置時(shí)的高度差約為7.5厘米(2)小杰原計(jì)劃鍛煉1小時(shí)完成【分析】（1）過點(diǎn)作垂足為，由題意得：，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先設(shè)小杰原計(jì)劃小時(shí)完成鍛煉，然后根據(jù)實(shí)際每小時(shí)的能量消耗原計(jì)劃每小時(shí)的能量消耗，列出方程進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作垂足為，由題意得：，在中，，（），（），∴踏板中心點(diǎn)在最高位置與最低位置時(shí)的高度差約為厘米（2）解：設(shè)小杰原計(jì)劃小時(shí)完成鍛煉，由題意得解得：經(jīng)檢驗(yàn)：都是原方程的根，但不合題意，舍去，答：小杰原計(jì)劃鍛煉小時(shí)完成．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．25．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）A、B兩城間的鐵路路程為1800千米．為了縮短從A城到B城的行駛時(shí)間，列車實(shí)施提速，提速后速度比提速前速度每小時(shí)增加20千米．(1)如果列車提速前速度是每小時(shí)80千米，提速后從A城到B城的行駛時(shí)間減少t小時(shí)，求t的值；(2)如果提速后從A城到B城的行駛時(shí)間減少3小時(shí)，又這條鐵路規(guī)定：列車安全行駛速度不超過每小時(shí)140千米．問列車提速后速度是否符合規(guī)定?請說明理由．【答案】(1)(2)符合規(guī)定，理由見解析【分析】（1）根據(jù)時(shí)間=路程÷速度即可求出答案；（2）根據(jù)題意列分式方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：提速前從A城到B城的所用時(shí)間為：（小時(shí)），提速后的速度為100千米/小時(shí)，∴提速后從A城到B城的所用時(shí)間為：（小時(shí)），∴提速后從A城到B城的行駛時(shí)間減少（小時(shí)）；（2）解：設(shè)列車提速前速度是每小時(shí)x千米，則解得：(舍去），，∴提速后的速度為，符合規(guī)定.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程應(yīng)用題，運(yùn)用路程=速度乘以時(shí)間解決問題．26．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）解方程組：【答案】，，，【分析】首先把①、②分別進(jìn)行因式分解，可分別得到兩個(gè)二元一次方程，即可得到四個(gè)二元一次方程組，解方程組，即可分別求解．【詳解】解：方程①可變形為．得或．

方程②可變形為．得或．

因此，原方程組可組成以下四個(gè)二元一次方程組：，，，．分別解這四個(gè)方程組，得原方程組的解是，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元二次方程組，熟練掌握和運(yùn)用解二元二次方程組的方法是解決本題的關(guān)鍵．27．（2023上·上海徐匯·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）火車在行駛24千米后因故受阻12分鐘，再以每小時(shí)比原來快6千米的速度開往目的地，雖然后一段路程比前一段路程長12千米，但仍準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)，求火車原來的速度．【答案】火車原來行駛的速度為30千米/小時(shí)．【分析】火車原來行駛的速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意可得，求解即可．【詳解】解：火車原來行駛的速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意，得，整理得：，解得或（不合題意，舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，答：火車原來行駛的速度為30千米/小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用題，理解題意并建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．28．（2023上·上海虹口·九年級上外附中校考階段練習(xí)）解方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)【分析】（1）將分式方程去分母整理成一元二次方程求解即可；（2）兩邊同時(shí)平方整理成一元二次方程求解即可．【詳解】（1）解：，兩邊同乘得：，整理得：，解得：，，經(jīng)