蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊同步精講精練2.7弧長及扇形的面積(八大題型)(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第2章對稱圖形---圓》2.7弧長及扇形面積知識點一知識點一弧長公式（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為【注意】①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．③題設(shè)未標明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．知識點二知識點二扇形及扇形的面積公式◆1、扇形：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.◆2、扇形面積公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12【注意】①公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；②公式要理解記憶.題型一利用公式求弧長題型一利用公式求弧長【例題1】（2022秋?鞍山期末）已知一個扇形的圓心角為150°，半徑是6，則這個扇形的弧長是（）A．3π B．4π C．5π D．6π解題技巧提煉本題考查了弧長的計算，解題關(guān)鍵是掌握弧長公式l=nπr【變式1-1】（2023?中山市校級模擬）如圖，⊙O的半徑為1，點A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，則AC的長為（）A．18π B．14π C．12π【變式1-2】（2023?裕華區(qū)二模）一張直徑為40cm的圓餅被切掉了一塊，數(shù)據(jù)如圖所示，則優(yōu)弧ABC的長度為（）A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．30πcm【變式1-3】（2022?湖北）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點C為圓心，CA的長為半徑畫弧，交AB于點D，則AD的長為（）A．π B．43π C．53π 【變式1-4】如圖，在⊙O中，弦AC，BD相交于點E，連結(jié)AD，已知AC＝BD．（1）求證：∠A＝∠D；（2）若AC⊥BD，⊙O的半徑為6，求CD的長．題型二列方程求圓心角或半徑題型二列方程求圓心角或半徑【例題2】一條弧所對的圓心角為120°，弧長等于6πcm，則這條弧的半徑為．解題技巧提煉本題已知弧長，利用弧長的計算公式得到關(guān)于圓心角或半徑的方程，然后解方程即可解決問題．【變式2-1】（2023?平陽縣校級三模）若一個扇形的圓心角為135°，弧長為3πcm，則此扇形的半徑是cm．【變式2-2】（2022秋?潁州區(qū)期末）已知弧的長是53π，弧的半徑為3，則該弧所對的圓心角度數(shù)為【變式2-3】（2022秋?越秀區(qū)校級期末）已知扇形半徑是3cm，弧長為32πcm，則扇形的圓心角為【變式2-4】（2022秋?任城區(qū)校級期末）如圖，《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕塑，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間．?dāng)S鐵餅者張開的雙臂與肩寬可以近似看成一張拉滿弦的弓，弧長約為58π米，“弓”所在的圓的半徑約0.75米，則“弓”所對的圓心角為【變式2-5】（2023?桐廬縣一模）將一半徑為6的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開形成兩個扇形．若其中一個扇形的弧長為5π，則另一個扇形的圓心角度數(shù)是．題型三利用弧長公式求周長題型三利用弧長公式求周長【例題3】（2023?東莞市一模）如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成．已知正三角形的邊長為1，則凸輪的周長等于（）A．π3 B．π2 C．π 解題技巧提煉本題考查三角形與圓的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是將陰影部分周長轉(zhuǎn)化為線段長度與弧長的和．【變式3-1】（2023?潢川縣校級三模）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，C均在小正方形的頂點上，點B在弧AC上，且∠ACB＝15°，則陰影部分的周長為．【變式3-2】（2022?綠園區(qū)校級模擬）如圖，線段AB＝2．以AB為直徑作半圓，再分別以點A、B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C．則圖中陰影部分的周長為．【變式3-3】如圖，△ABC是邊長為12的等邊三角形，分別以點A、B、C為圓心，以4為半徑畫弧，則圖中陰影部分圖形的周長為.（結(jié)果保留π）【變式3-4】（2023?南關(guān)區(qū)校級二模）如圖，將半徑為2，圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點B落在扇形BAC的弧AC上的點D處，點C的對應(yīng)點為點E，則圖中陰影部分圖形的周長為.（結(jié)果保留π）題型四利用弧長公式求最值題型四利用弧長公式求最值【例題4】（2023?封丘縣二模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C為AB上一點，且BC=2AC，點P為扇形BOC區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）一動點．若OB＝1，則陰影部分周長的最小值為解題技巧提煉本題考查動點的最值問題，熟練掌握弧長的求法，將陰影部分周長的最值問題轉(zhuǎn)化為求弧長最值是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023?黃島區(qū)一模）如圖，半圓O的直徑AB＝3，AC=3BC．E是BC上一個動點，弦DE∥AB，OF⊥AB，交DE于點F．OH＝EF．則圖中陰影部分周長的最大值為【變式4-2】如圖，以BC為直徑作圓O，A，D為圓周上的點，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1．若點P為BC垂直平分線MN上的一動點，則陰影部分圖形的周長最小值為．題型五利用公式求扇形面積題型五利用公式求扇形面積【例題5】（2023?鶴山市模擬）圓心角為240°的扇形的半徑為3cm，則這個扇形的面積是（）cm2．A．π B．3π C．9π D．6π解題技巧提煉設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12【變式5-1】（2022?鹿城區(qū)校級三模）已知一個扇形的半徑為2cm，弧長是π3為cm2．【分析】根據(jù)扇形的面積公式s=12【變式5-2】如圖，一段公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧AB，則扇形AOB的面積為（）A．15πm2 B．30πm2 C．18πm2 D．12πm2【變式5-3】（2022?西城區(qū)二模）學(xué)校圖書館的閱讀角有一塊半徑為3m，圓心角為120°的扇形地毯，這塊地毯的面積為（）A．9πm2 B．6πm2 C．3πm2 D．πm2【變式5-4】（2022春?將樂縣校級月考）在一個直徑為6cm的圓中，小明畫了一個圓心角為120°的扇形，則這個扇形的面積為（）A．πcm2 B．2πcm2 C．題型六列方程求扇形圓心角或半徑題型六列方程求扇形圓心角或半徑【例題6】扇形的弧長為20πcm，面積為240πcm2，那么扇形的半徑是（）A．6cm B．12cm C．24cm D．28cm解題技巧提煉本題已知扇形的面積，利用扇形面積的計算公式得到關(guān)于圓心角或半徑的方程，然后解方程即可解決問題．【變式6-1】（2022?公安縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD垂直O(jiān)B交⊙O于C，D兩點，∠ABC＝60°，圖中陰影部分的面積2π3，則⊙OA．1 B．2 C．3 D．4【變式6-2】已知一個扇形的半徑為R，圓心角為n°，當(dāng)這個扇形的面積與一個直徑為R的圓面積相等時，則這個扇形的圓心角n的度數(shù)是（）A．180° B．120° C．90° D．60°【變式6-3】已知40°的圓心角所對應(yīng)的扇形面積為169πcm2A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm【變式6-4】一個扇形的半徑等于一個圓的半徑的2倍，且扇形面積是圓的面積的一半，則這個扇形的圓心角度數(shù)是（）A．45° B．60° C．90° D．75°題型七計算規(guī)則圖形的陰影部分的面積題型七計算規(guī)則圖形的陰影部分的面積【例題7】（2022春?萊西市期中）已知點C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點，半徑AO＝2，則扇形COD的面積為．解題技巧提煉所求陰影部分是規(guī)則圖形，直接用幾何圖形的面積公式求解.【變式7-1】（2023?錦州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，連接OA，OC．若⊙O的半徑為3，則扇形AOC（陰影部分）的面積為（）A．23π B．π C．43π 【變式7-2】（2022?鞍山）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交CD于點E，連接BE，則扇形BAEA．π3 B．3π5 C．2π3【變式7-3】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．（1）求BD的長；（2）求圖中陰影部分的面積．【變式7-4】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接AC，BC．（1）求證：∠A＝∠BCD；（2）若CD＝43，∠B＝60°，求扇形OAC（陰影部分）的面積．題型八計算不規(guī)則圖形的陰影部分的面積題型八計算不規(guī)則圖形的陰影部分的面積【例題8】（2023?鳳臺縣校級三模）如圖，點B在半圓O上，直徑AC＝10，∠BAC＝36°，則圖中陰影部分的面積為（）A．5π B．52π C．10π D．解題技巧提煉1、先將不規(guī)則陰影部分與空白部分組合，構(gòu)造規(guī)則圖形或分割后為規(guī)則圖形，再進行面積和差計算.2、計算不規(guī)則圖形的陰影部分的面積通過對圖形的變換，為利用公式法或和差法求解創(chuàng)造條件.【變式8-1】（2022?長春一模）如圖，圓心重合的兩圓半徑分別為4、2，∠AOB＝120°，則陰影部分圖形的面積為（）A．4π B．163π C．8π D．16【變式8-2】如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝4，將半圓繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°，點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置，則圖中陰影部分的面積為（）A．π B．2π C．4π D．6π【變式8-3】如圖，D是等邊△ABC內(nèi)的一點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE和扇形EAD，連接CD、BE、DE．（1）若AD＝1，求陰影部分的面積；（結(jié)果保留根號和π）（2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度數(shù)．【變式8-4】（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．（1）求⊙O的半徑；（2）求圖中陰影部分的面積．題型九求旋轉(zhuǎn)過程中掃過的路徑或面積題型九求旋轉(zhuǎn)過程中掃過的路徑或面積【例題9】如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)至△A'B'C的位置，且A、C、B'三點在同一條直線上，則點A經(jīng)過的路線的長度是（）A．8 B．43 C．323π D．8解題技巧提煉本題考查軌跡，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，弧長公式，扇形面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【變式9-1】如圖，Rt△OCB的斜邊OB在y軸上，OC=3，∠BOC＝30°，直角頂點C在第二象限，將Rt△OCB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC′B′，則B點的對應(yīng)點B′的坐標和點BA．（3，﹣1）和43π B．（1，?3）和2C．（2，0）和43π D．（3，0）和2【變式9-2】如圖，等邊三角形和正方形的邊長都是a，在圖形所在的平面內(nèi)，將△PAD以點A為中心沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AP與AB重合，如此繼續(xù)分別以點B、C、D為中心將三角形進行旋轉(zhuǎn)，使點P回到原來位置為止，則點P從開始到結(jié)束所經(jīng)過路徑的長為（）A．72πa B．134πa C．196【變式9-3】（2022秋?上城區(qū)校級月考）如圖，在△AOB中，OA＝2，OB＝5，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得△A'OB'．（1）求點B掃過的弧的長；（2）求線段AB掃過的面積．【變式9-4】（2022秋?邯山區(qū)校級期末）已知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．（1）△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的△A′B′C，直接寫出A′，B′坐標；（2）在（1）的條件下，請直接寫出點B旋轉(zhuǎn)到點B′所經(jīng)過的路線長322π（結(jié)果保留（3）在（1）的條件下，求點A旋轉(zhuǎn)到點A′時，線段AC所掃過的面積（結(jié)果保留π）．【變式9-5】如圖，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，點C的對應(yīng)點E恰好落在AB的延長線上，連接CE．（1）求證：DB∥CE；（2）若AB＝3，BC＝1，求A，C兩點旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路徑長之和．

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第2章對稱圖形---圓》2.7弧長及扇形面積知識點一知識點一弧長公式（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l=nπR180（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為【注意】①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．③題設(shè)未標明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．知識點二知識點二扇形及扇形的面積公式◆1、扇形：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.◆2、扇形面積公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12【注意】①公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；②公式要理解記憶.題型一利用公式求弧長題型一利用公式求弧長【例題1】（2022秋?鞍山期末）已知一個扇形的圓心角為150°，半徑是6，則這個扇形的弧長是（）A．3π B．4π C．5π D．6π【分析】根據(jù)弧長公式可得．【解答】解：扇形的弧長為150π?6180=5故選：C．【點評】本題考查弧長的計算公式L=nπr解題技巧提煉本題考查了弧長的計算，解題關(guān)鍵是掌握弧長公式l=nπr【變式1-1】（2023?中山市校級模擬）如圖，⊙O的半徑為1，點A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，則AC的長為（）A．18π B．14π C．12π【分析】根據(jù)圓周角定理可得出∠AOC＝90°，再根據(jù)弧長公式的計算即可．【解答】解：∵∠B＝45°，∴∠AOC＝90°，∵⊙O的半徑為1，∴AC的長=nπr180故選：C．【點評】本題考查了弧長的計算以及圓周角定理，解題關(guān)鍵是掌握弧長公式l=nπr【變式1-2】（2023?裕華區(qū)二模）一張直徑為40cm的圓餅被切掉了一塊，數(shù)據(jù)如圖所示，則優(yōu)弧ABC的長度為（）A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．30πcm【分析】根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．【解答】解：優(yōu)弧ABC的長度為(360?90)π?402180故選：D．【點評】本題考查了弧長的計算，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022?湖北）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點C為圓心，CA的長為半徑畫弧，交AB于點D，則AD的長為（）A．π B．43π C．53π 【分析】連接CD，根據(jù)∠ACB＝90°，∠B＝30°可以得到∠A的度數(shù)，再根據(jù)AC＝CD以及∠A的度數(shù)即可得到∠ACD的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式求解即可．【解答】解：連接CD，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC=1由題意得：AC＝CD，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∴AD的長為：60π×4180故選：B．【點評】本題考查了弧長公式，解題的關(guān)鍵是：求出弧所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)以及弧所在扇形的半徑．【變式1-4】如圖，在⊙O中，弦AC，BD相交于點E，連結(jié)AD，已知AC＝BD．（1）求證：∠A＝∠D；（2）若AC⊥BD，⊙O的半徑為6，求CD的長．【分析】（1）根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系定理得到AC=BD，進而得出（2）連接OC、OD，根據(jù)圓周角定理求出∠COD，根據(jù)弧長公式計算，得到答案．【解答】（1）證明：∵AC＝BD，∴AC=∴AC?BC=∴∠A＝∠D；（2）連接OC、OD，∵AC⊥BD，∠A＝∠D，∴∠A＝45°，由圓周角定理得：∠COD＝2∠A＝90°，∴CD的長=90π×6180=【點評】本題考查的是弧長的計算、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理、圓周角定理，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．題型二列方程求圓心角或半徑題型二列方程求圓心角或半徑【例題2】一條弧所對的圓心角為120°，弧長等于6πcm，則這條弧的半徑為．【分析】利用弧長公式計算．【解答】解：設(shè)這條弧的半徑為Rcm，∵120π×R180=6∴R＝9π．故答案為：9cm．【點評】本題考查了弧長的計算，掌握已知條件周長＝弧長來計算是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題已知弧長，利用弧長的計算公式得到關(guān)于圓心角或半徑的方程，然后解方程即可解決問題．【變式2-1】（2023?平陽縣校級三模）若一個扇形的圓心角為135°，弧長為3πcm，則此扇形的半徑是cm．【分析】設(shè)扇形的半徑為r，利用弧長公式求出半徑r，再利用扇形的面積公式求解即可．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為rcm，由題意，135π?r180=3∴r＝4，∴此扇形的半徑是4cm，故答案為：4．【點評】本題考查弧長公式，扇形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【變式2-2】（2022秋?潁州區(qū)期末）已知弧的長是53π，弧的半徑為3，則該弧所對的圓心角度數(shù)為【分析】根據(jù)弧長的公式l=nπr【解答】解：∵弧長的公式l=nπr∴弧長的公式53π=解得，n＝100，故該弧所對的圓心角度數(shù)為100°，故答案為：100°．【點評】本題考查了弧長的公式計算，熟練掌握弧長的計算公式是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022秋?越秀區(qū)校級期末）已知扇形半徑是3cm，弧長為32πcm，則扇形的圓心角為【分析】設(shè)扇形的圓心角為n°，根據(jù)弧長公式和已知得出方程nπ×3180=【解答】解：設(shè)扇形的圓心角為n°，∵扇形半徑是3cm，弧長為32πcm∴nπ×3180=解得：n＝90．故答案為：90．【點評】本題考查了弧長的計算的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)弧長公式得出關(guān)于n的方程．【變式2-4】（2022秋?任城區(qū)校級期末）如圖，《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕塑，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間．?dāng)S鐵餅者張開的雙臂與肩寬可以近似看成一張拉滿弦的弓，弧長約為58π米，“弓”所在的圓的半徑約0.75米，則“弓”所對的圓心角為【分析】由l=nπr【解答】解：設(shè)“弓”所在的圓的弧長圓心角度數(shù)是n°，則nπ×0.75180解得：n＝150，故答案為：150．【點評】本題考查的是已知弧長與半徑求解弧所對的圓心角，熟記弧長公式是解本題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2023?桐廬縣一模）將一半徑為6的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開形成兩個扇形．若其中一個扇形的弧長為5π，則另一個扇形的圓心角度數(shù)是．【分析】先計算出另一個扇形的弧長為7π，設(shè)另一個扇形的圓心角為n°，利用弧長公式得n×π×6180=7【解答】解：∵圓的周長為2π×6＝12π，∴另一個扇形的弧長為12π﹣5π＝7π，設(shè)另一個扇形的圓心角為n°，根據(jù)弧長公式得n×π×6180=7解得n＝210，即另一個扇形的圓心角度數(shù)為210°．故答案為：210°．【點評】本題考查了弧長的計算：記住弧長公式是解決問題的關(guān)鍵．（弧長公式為l=nπR180，其中弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為題型三利用弧長公式求周長題型三利用弧長公式求周長【例題3】（2023?東莞市一模）如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成．已知正三角形的邊長為1，則凸輪的周長等于（）A．π3 B．π2 C．π 【分析】由“凸輪”的外圍是以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成，得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，然后根據(jù)弧長公式計算出三段弧長，三段弧長之和即為凸輪的周長．【解答】解：∵△ABC為正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，∴AB=根據(jù)題意可知凸輪的周長為三個弧長的和，即凸輪的周長=AB+AC+故選：C．【點評】此題考查了弧長的計算以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握弧長公式是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題考查三角形與圓的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是將陰影部分周長轉(zhuǎn)化為線段長度與弧長的和．【變式3-1】（2023?潢川縣校級三模）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，C均在小正方形的頂點上，點B在弧AC上，且∠ACB＝15°，則陰影部分的周長為．【分析】先確定出圓心位置根據(jù)弧長公式求出弧AB的長度，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得BC的長度，再利用勾股定理求出線段AC的長度，即得答案．【解答】解：由題意知圓心位置如圖所示，∵∠ACB＝15°，∴AOB＝30°，∴∠BOC＝60°，即△BOC為等邊三角形，OC＝BC＝OB＝6，∴弧AB的長度為：30×6×π180由勾股定理得：AC=62+陰影部分的周長為：6+62+故答案為：6+62+π【點評】本題考查了弧長的計算公式、勾股定理求格點中線段的長度、等邊三角形的判定等知識點．解題關(guān)鍵是：確定出弧所在圓的圓心位置．【變式3-2】（2022?綠園區(qū)校級模擬）如圖，線段AB＝2．以AB為直徑作半圓，再分別以點A、B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C．則圖中陰影部分的周長為．【分析】陰影部分的周長為弧AC，弧BC和半圓AB的和．【解答】解：60π×2180×2+12×2π故答案為：7π3【點評】本題考查了弧長公式：l=nπr【變式3-3】如圖，△ABC是邊長為12的等邊三角形，分別以點A、B、C為圓心，以4為半徑畫弧，則圖中陰影部分圖形的周長為.（結(jié)果保留π）【分析】分別求出陰影部分弧長與線段長度然后相加求解．【解答】解：如圖，圓弧交AB于點E，F(xiàn)，由題意得AB＝12，AE＝BF＝4，∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴圖中總弧長為180π×4180=4∴圖中陰影部分圖形的周長為3EF+4π＝12+4π．故答案為：12+4π．【點評】本題考查三角形與圓的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是將陰影部分周長轉(zhuǎn)化為線段長度與弧長的和．【變式3-4】（2023?南關(guān)區(qū)校級二模）如圖，將半徑為2，圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點B落在扇形BAC的弧AC上的點D處，點C的對應(yīng)點為點E，則圖中陰影部分圖形的周長為.（結(jié)果保留π）【分析】連接BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AD＝BC＝BD＝2，求出△ABD是等邊三角形，求出∠ABF＝60°，即可求出AD，再根據(jù)陰影部分的周長=AD【解答】解：連接BD，如圖，∵將半徑為2，圓心角為90°的扇形BAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點B落在扇形BAC的弧上的點D處，點C的對應(yīng)點為點E，∴AB＝AD＝BC＝BD＝2，∠ADE＝∠ABC＝90°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，∴弧AD的長=60π×2180=23∴陰影部分的周長=AD故答案為：53【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，弧長計算等知識點，如果扇形的圓心角為n°，扇形的半徑為r，那么扇形的弧長=nπr題型四利用弧長公式求最值題型四利用弧長公式求最值【例題4】（2023?封丘縣二模）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C為AB上一點，且BC=2AC，點P為扇形BOC區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）一動點．若OB＝1，則陰影部分周長的最小值為【分析】根據(jù)題意求出圓心角∠BOC的度數(shù)，根據(jù)弧長公式求出弧BC的長以及BC長的長即可．【解答】解：如圖，連接BC，由于陰影部分的周長等于BC的長與PA、PB的長度和，要使周長最小，則PA+PB最小，而PA+PB的最小值是BC，∵∠AOB＝90°，BC=2AC∴∠BOC＝90°×2∵OB＝OC，∴△BOC是等邊三角形，∴BC＝OB＝OC＝1，∴BC的長為60π×1180∴陰影部分的最小值為π3故答案為：π3【點評】本題考查弧長的計算，掌握弧長的計算公式以及正三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提．解題技巧提煉本題考查動點的最值問題，熟練掌握弧長的求法，將陰影部分周長的最值問題轉(zhuǎn)化為求弧長最值是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023?黃島區(qū)一模）如圖，半圓O的直徑AB＝3，AC=3BC．E是BC上一個動點，弦DE∥AB，OF⊥AB，交DE于點F．OH＝EF．則圖中陰影部分周長的最大值為【分析】連接OE，可證四邊形HOEF是平行四邊形，則DF+AH+HF＝3，所以當(dāng)E與C點重合時，AD弧的長最大，可求∠BOC＝45°，即可求AD弧的長=3π【解答】解：連接OE，∵DE//AB，OF⊥AB，∴OF⊥DE，∴DF＝EF，∵DE∥AB，OH＝EF，∴四邊形HOEF是平行四邊形，∴HF＝OE，DF＝OH，∵HO＝EF，∴DF+AH＝HO+AH＝AO，∴DF+AH+HF＝AO+OE＝AB，∵AB＝3，∴DF+AH+HF＝3，∵點E是BC上一個動點，∴當(dāng)E與C點重合時，AD弧的長最大，此時陰影部分周長最大，∵AC=3BC∴∠BOC＝45°，∴AD弧的長=45π×3∴陰影部分周長的最大值為38π故答案為：38π【點評】本題考查動點的最值問題，熟練掌握弧長的求法，將陰影部分周長的最大值問題轉(zhuǎn)化為求弧長最大值是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】如圖，以BC為直徑作圓O，A，D為圓周上的點，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1．若點P為BC垂直平分線MN上的一動點，則陰影部分圖形的周長最小值為．【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)可知陰影部分的周長的最小值為AC+CD，求出AC的長即可．【解答】解：連接AC，根據(jù)對稱的意義可知，PD+PC的最小值為AC，∵AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∴AB=∴∠ABC＝2∠ACB，∵BC為直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，∴AC=3?AB=所以陰影部分周長的最小值為AC+CD=3故答案為：3+【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，圓周角定理，理解軸對稱的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．題型五利用公式求扇形面積題型五利用公式求扇形面積【例題5】（2023?鶴山市模擬）圓心角為240°的扇形的半徑為3cm，則這個扇形的面積是（）cm2．A．π B．3π C．9π D．6π【分析】根據(jù)扇形的面積公式計算即可．【解答】解：S=240π×9360=6π故選：D．【點評】本題主要考查了扇形的面積公式．解題技巧提煉設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR2或S扇形=12【變式5-1】（2022?鹿城區(qū)校級三模）已知一個扇形的半徑為2cm，弧長是π3為cm2．【分析】根據(jù)扇形的面積公式s=12【解答】解：扇形的面積=12×π3×故答案為：π3【點評】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式S=12lr【變式5-2】如圖，一段公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧AB，則扇形AOB的面積為（）A．15πm2 B．30πm2 C．18πm2 D．12πm2【分析】直接利用扇形的面積公式求得即可．【解答】解：扇形AOB的面積為：108π×102360=30π故選：B．【點評】此題考查了扇形面積的計算，知道熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022?西城區(qū)二模）學(xué)校圖書館的閱讀角有一塊半徑為3m，圓心角為120°的扇形地毯，這塊地毯的面積為（）A．9πm2 B．6πm2 C．3πm2 D．πm2【分析】應(yīng)用扇形面積的計算公式進行計算即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意可得，n＝120°，r＝3，∴S=nπr2360=120π×故選：C．【點評】本題主要考查了扇形面積的計算，熟練掌握扇形面積的計算公式進行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2022春?將樂縣校級月考）在一個直徑為6cm的圓中，小明畫了一個圓心角為120°的扇形，則這個扇形的面積為（）A．πcm2 B．2πcm2 C．【分析】扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形=n360πR【解答】解：∵扇形所在圓的半徑r=12×6＝3cm∴扇形的面積=nπr2360=120π×故選：C．【點評】本題考查扇形的面積，關(guān)鍵是掌握扇形面積的計算公式．題型六列方程求扇形圓心角或半徑題型六列方程求扇形圓心角或半徑【例題6】扇形的弧長為20πcm，面積為240πcm2，那么扇形的半徑是（）A．6cm B．12cm C．24cm D．28cm【分析】根據(jù)扇形面積公式和扇形的弧長公式之間的關(guān)系：S扇形=12lr，把對應(yīng)的數(shù)值代入即可求得半徑【解答】解：∵S扇形=1∴240π=12?20π∴r＝24（cm）故選：C．【點評】解此類題目的關(guān)鍵是掌握住扇形面積公式和扇形的弧長公式之間的等量關(guān)系：S扇形=12解題技巧提煉本題已知扇形的面積，利用扇形面積的計算公式得到關(guān)于圓心角或半徑的方程，然后解方程即可解決問題．【變式6-1】（2022?公安縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD垂直O(jiān)B交⊙O于C，D兩點，∠ABC＝60°，圖中陰影部分的面積2π3，則⊙OA．1 B．2 C．3 D．4【分析】將陰影部分的面積轉(zhuǎn)換為扇形BOD的面積，利用扇形面積的計算方法進行計算即可．【解答】解：如圖，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，又∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOD＝2∠BAC＝60°，設(shè)⊙O的半徑為R，由于S陰影部分＝S扇形BOD=2π所以60π×R所以R＝2，故選：B．【點評】本題考查扇形面積的計算，圓周角定理，掌握扇形面積的計算公式以及圓周角定理是正確解答的關(guān)鍵．【變式6-2】已知一個扇形的半徑為R，圓心角為n°，當(dāng)這個扇形的面積與一個直徑為R的圓面積相等時，則這個扇形的圓心角n的度數(shù)是（）A．180° B．120° C．90° D．60°【分析】根據(jù)扇形和圓的面積公式列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意得，n?πR2360=（R解得：n＝90，故選：C．【點評】本題考查了扇形的面積公式，熟記扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】已知40°的圓心角所對應(yīng)的扇形面積為169πcm2A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm【分析】利用扇形的面積的公式=nπ【解答】解：∵扇形的面積的公式=nπr2360，n＝40°，扇形面積為16∴169π=解得；r＝±4（負數(shù)舍去），∴這條弧所在圓的直徑為8cm．故選：C．【點評】本題主要考查了扇形面積公式的應(yīng)用，準確記憶扇形面積公式是解題關(guān)鍵．【變式6-4】一個扇形的半徑等于一個圓的半徑的2倍，且扇形面積是圓的面積的一半，則這個扇形的圓心角度數(shù)是（）A．45° B．60° C．90° D．75°【分析】根據(jù)扇形和圓的面積公式列出等式計算．【解答】解：設(shè)圓的半徑為r，扇形圓心角為n°．則扇形的半徑為2r，利用面積公式可得：nπ(2r)解得n＝45．故選：A．【點評】本題考查了扇形面積的計算．解題時，主要是根據(jù)扇形和圓的面積公式列出等式計算，即可求出圓心角度數(shù)．題型七計算規(guī)則圖形的陰影部分的面積題型七計算規(guī)則圖形的陰影部分的面積【例題7】（2022春?萊西市期中）已知點C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點，半徑AO＝2，則扇形COD的面積為．【分析】先求出扇形的圓心角，再根據(jù)公式計算即可．【解答】解：∵點C，D是以AB為直徑的半圓的三等分點，∴弧AC＝弧CD＝弧BD，∴∠COD＝60°，∴扇形COD的面積為60π×2故答案為：2π3【點評】本題考查了扇形面積的計算，解答本題的關(guān)鍵是將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OCD的面積，難度一般．解題技巧提煉所求陰影部分是規(guī)則圖形，直接用幾何圖形的面積公式求解.【變式7-1】（2023?錦州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，連接OA，OC．若⊙O的半徑為3，則扇形AOC（陰影部分）的面積為（）A．23π B．π C．43π 【分析】先由圓周角定理可得∠AOC的度數(shù)，再由扇形的面積公式求解即可．【解答】解：∵∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，∴扇形AOC的面積為80×π×3故選：D．【點評】此題主要是考查了扇形的面積公式，圓周角定理，能夠求得∠AOC的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022?鞍山）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交CD于點E，連接BE，則扇形BAEA．π3 B．3π5 C．2π3【分析】解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面積公式求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝BE＝2，BC=3∴cos∠CBE=CB∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，∴S扇形BAE=60?π?故選：C．【點評】本題考查扇形的面積，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求出∠CBE的度數(shù)．【變式7-3】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．（1）求BD的長；（2）求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求出∠C＝90°，再根據(jù)勾股定理求出AB，由∠ABD＝45°求出∠DOB＝90°，根據(jù)勾股定理求出BD即可；（2）根據(jù)扇形的面積即可求出陰影部分的面積．【解答】解：（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∵BC＝6cm，AC＝8cm，∴AB=AC2∵∠ABD＝45°，OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45°，∴∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠ABD＝90°，∵AB＝10cm，∴OB＝OA＝5cm，∴OD＝5cm，∴BD=OD2+OB（2）陰影部分的面積S＝S扇形AOD=90π×52360=【點評】本題考查了勾股定理，圓周角定理，扇形的面積計算，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識點，能求出AB的長和∠DOB的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．【變式7-4】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接AC，BC．（1）求證：∠A＝∠BCD；（2）若CD＝43，∠B＝60°，求扇形OAC（陰影部分）的面積．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到BC=（2）根據(jù)等邊三角形的判定定理得到△BOC為等邊三角形，求出∠AOC，根據(jù)正弦的定義求出OC，利用扇形面積公式計算即可．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴BC=∴∠A＝∠BCD；（2）解：∵OC＝OB，∠B＝60°，∴△BOC為等邊三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE=12CD＝2在Rt△COE中，OC=CE∴扇形OAC（陰影部分）的面積=120π×4【點評】本題考查的是扇形面積計算、垂徑定理、圓周角定理，掌握扇形面積公式S=nπ題型八計算不規(guī)則圖形的陰影部分的面積題型八計算不規(guī)則圖形的陰影部分的面積【例題8】（2023?鳳臺縣校級三模）如圖，點B在半圓O上，直徑AC＝10，∠BAC＝36°，則圖中陰影部分的面積為（）A．5π B．52π C．10π D．【分析】先根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形得到△AOB的面積與△COB的面積相等，從而把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBC的面積，再根據(jù)扇形面積計算公式求出即可．【解答】解：∵點O是AC的中點，∴線段BO是△ABC的中線，∴S△AOB＝S△COB，∴S陰影＝S扇形OBC，∵∠BAC＝36°，∴∠BOC＝2∠BAC＝72°，∵直徑AC＝10，∴OC＝5，∴S扇形OBC∴S陰影＝5π，故選：A．【點評】本題考查了扇形的面積，圓周角定理，三角形的中線的性質(zhì)，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、先將不規(guī)則陰影部分與空白部分組合，構(gòu)造規(guī)則圖形或分割后為規(guī)則圖形，再進行面積和差計算.2、計算不規(guī)則圖形的陰影部分的面積通過對圖形的變換，為利用公式法或和差法求解創(chuàng)造條件.【變式8-1】（2022?長春一模）如圖，圓心重合的兩圓半徑分別為4、2，∠AOB＝120°，則陰影部分圖形的面積為（）A．4π B．163π C．8π D．16【分析】陰影部分的面積是一個環(huán)形，可用大圓中240°角所對的扇形的面積減去小圓中240°角所對的面積來求得．根據(jù)扇形的面積求解即可．【解答】解：S陰影=240π×42故選：C．【點評】本題主要考查了扇形面積公式，關(guān)鍵是找出圖中的關(guān)系和熟記公式．【變式8-2】如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝4，將半圓繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°，點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置，則圖中陰影部分的面積為（）A．π B．2π C．4π D．6π【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得S半圓AB＝S半圓AC，∠BAC＝45°，再利用面積的和差得到S陰影部分+S半圓AB＝S半圓AC+S扇形BAC，即有S陰影部分＝S扇形BAC，然后根據(jù)扇形的面積公式計算即可．【解答】解：∵半圓AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，點A旋轉(zhuǎn)到C的位置，∴S半圓AB＝S半圓AC，∠BAC＝45°，∵S陰影部分+S半圓AB＝S半圓AC+S扇形BAC，∴S陰影部分＝S扇形BAC=45π×42故選：B．【點評】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-3】如圖，D是等邊△ABC內(nèi)的一點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE和扇形EAD，連接CD、BE、DE．（1）若AD＝1，求陰影部分的面積；（結(jié)果保留根號和π）（2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度數(shù)．【分析】（1）利用扇形面積公式和三角形面積公式求得即可；（2）由SAS證△EAB≌△DAC可得∠AEB＝∠ADC＝110°，證△EAD為等邊三角形，則∠AED＝60°，繼而得出答案．【解答】解：（1）∵AD＝AE＝1，∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴S△ADE=1∴S陰影=60π×（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD，∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC，∴∠EAB＝∠DAC，在△EAB和△DAC中，AB=AC∠EAB=∠DAC∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠AEB＝∠ADC＝110°，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD為等邊三角形，∴∠AED＝60°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝110°﹣60°＝50°．【點評】本題主要考查扇形面積的計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證得三角形的全等是解題的關(guān)鍵．【變式8-4】（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．（1）求⊙O的半徑；（2）求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得CE的長，再根據(jù)已知DE平分AO得CO=12AO=（2）先求出扇形的圓心角，再根據(jù)扇形面積和三角形的面積公式計算即可．【解答】解：（1）∵直徑AB⊥DE，∴CE=12∵DE平分AO，∴CO=12AO=設(shè)CO＝x，則OE＝2x．由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．x=3∴OE＝2x=2即⊙O的半徑為23（2）連接OF，在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，∴∠D＝90°﹣45°＝45°．∴∠EOF＝2∠D＝90°．∴S扇形OEF=90?π?(2∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF=SRt△OEF=1∴S陰影＝S扇形OEF﹣SRt△OEF=13π【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了扇形的面積公式、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．題型九求旋轉(zhuǎn)過程中掃過的路徑或面積題型九求旋轉(zhuǎn)過程中掃過的路徑或面積【例題9】如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)至△A'B'C的位置，且A、C、B'三點在同一條直線上，則點A經(jīng)過的路線的長度是（）A．8 B．43 C．323π D．8【分析】由旋轉(zhuǎn)可知，點A經(jīng)過的路線是弧長，計算出半徑和圓心角即可．【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵∠BAC＝30°，BC＝2，∴∠ACB＝60°，AC＝2BC＝4，∵A、C、B'三點在同一條直線上，∴∠ACA′＝120°，由弧長公式可知：點A經(jīng)過的路線長度為：120×π×4180故選：D．【點評】本題是以直角三角形為背景的旋轉(zhuǎn)，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及弧長公式，求出半徑和圓心角是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．解題技巧提煉本題考查軌跡，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，弧長公式，扇形面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【變式9-1】如圖，Rt△OCB的斜邊OB在y軸上，OC=3，∠BOC＝30°，直角頂點C在第二象限，將Rt△OCB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC′B′，則B點的對應(yīng)點B′的坐標和點BA．（3，﹣1）和43π B．（1，?3）和2C．（2，0）和43π D．（3，0）和2【分析】如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC＝1，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OC′＝OC=3，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BC