專題26平行與垂直（5個知識點7種題型3個中考考點）

專題26平行與垂直（5個知識點7種題型3個中考考點）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.平行線的概念及表示方法（重點）知識點2.平行線的畫法（重點）知識點3.垂線的概念與表示方法（重點）知識點4.垂線的畫法（重點）知識點5.垂線的重要結(jié)論（重點）【方法二】實例探索法題型1.判斷兩直線平行題型2.平行線的基本事實的應(yīng)用題型3.作垂線題型4.利用垂直的定義求角的度數(shù)題型5.“垂線段最短”的應(yīng)用題型6.創(chuàng)新應(yīng)用題題型7.作圖與猜想【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1.垂線考法2.垂線段最短考法3.點到直線的距離【方法五】成果評定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】在豐富的現(xiàn)實情境中，了解兩條直線平行的關(guān)系，并會用符號表示兩條直線互相平行。會用三角尺、量角器、方格紙畫平行線，積累操作活動的經(jīng)驗。在操作活動中，探索并了解平行線的有關(guān)性質(zhì)。通過畫圖、折疊等活動進(jìn)一步豐富對兩直線互相垂直的認(rèn)識，并會用符號表示。4.會借助三角尺、量角器、方格紙畫垂直線，并在操作活動中探索、了解垂直線的一些性質(zhì)?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.平行線的概念及表示方法（重點）1、定義：同一平面內(nèi)的兩條直線的位置有兩種：平行或相交．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．定義中的三個要點：（1）在同一平面內(nèi)；（2）不相交，即沒有公共點；（3）兩條直線，而不是線段或射線．2、平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行．3、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行?！纠?】（2023上·七年級課時練習(xí)）在同一平面內(nèi)，與已知直線a平行的直線有條；而經(jīng)過直線外一點P，與已知直線a平行的直線有且只有條．【答案】無數(shù)，1【分析】根據(jù)與已知直線平行的直線有無數(shù)條，經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線和已知直線平行，即可得到結(jié)果．【詳解】在同一平面內(nèi)，與已知直線a平行的直線有無數(shù)條，而經(jīng)過a外一點，與已知直線a平行的直線有且只有1條．故答案為：無數(shù)，1．【點睛】本題主要考查平行公理思路拓展：解答本題的關(guān)鍵是掌握好平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線和已知直線平行，注意要強(qiáng)調(diào)“過直線外一點”．【變式】（2023上·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，MC∥AB,NC∥AB,則點M，C，N在同一條直線上，理由是.【答案】經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行【詳解】解:如圖，∵M(jìn)C∥AB，NC∥AB，∴直線MC與NC互相重合（經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行）.故答案為:經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.知識點2.平行線的畫法（重點）用直尺和三角板作平行線的步驟：①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過已知點.④畫：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.【例2】（2020下·吉林通化·七年級校考期末）過點畫直線，，分別使，．【分析】過點Q分別作，即可．【詳解】MN、EF即為所求作的直線，如圖所示：【點睛】本題主要考查了過直線外一點作已知直線的平行線，學(xué)會用平移法作平行線是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2020·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，如圖，直線與直線相交于點，點是直線上一點．求作：直線，使直線．【分析】利用三角板和直尺按照平行線的畫法作即可．【詳解】解：將三角板的一邊落在已知直線AB上，用直尺緊靠三角板的另一邊，沿直尺移動三角板，使三角板中與直線AB重合的邊過已知點D，沿過已知點D的三角板的邊畫直線DE，直線DE即為所求．如圖，【點睛】本題考查作圖，過一點作直線與已知直線平行，關(guān)鍵是掌握平行線畫法的四個步驟：“一落”；“二靠”；“三移”；“四畫”．知識點3.垂線的概念與表示方法（重點）1．垂直的定義：如圖，直線a、b相交成的四個角中有一個角是直角（通常標(biāo)上直角標(biāo)記），則直線a與直線b互相垂直，記作a⊥b或者b⊥a，交點O就是垂足．其中a是b的垂線，b也是a的垂線．垂線是直線，且相對于另一條直線而言．a(chǎn)abOa圖12．垂直定義的應(yīng)用：（1）判定：若直線AB和CD相交，交點為O，∠BOC＝90°，則AB⊥CD．這個推理過程可表示為：∵∠BOC＝90°，∴AB⊥CD．（垂直的判定）．（2）性質(zhì)：若兩條直線AB⊥CD，垂足為點O，則∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°，這個推理過程可表示為：∵AB⊥CD∴∠BOC＝90°（垂直的定義）．CCBOa圖2AD【例3】．（2023下·天津·七年級?？计谀┮阎本€經(jīng)過點O且度，則等于（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)垂線的定義結(jié)合題意，分在的內(nèi)部時，在的外部時，求解即可．【詳解】解：當(dāng)在的內(nèi)部時，∵，，∴，∴．當(dāng)在的外部時，．故選C．

【點睛】本題考查垂線的定義，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)以及角的和差關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．知識點4.垂線的畫法（重點）過直線上(外)一點畫已知直線的垂線的方法把三角尺的一條直角邊與已知直線重合；沿直線移動三角尺，使三角尺的頂點(或邊)與已知直線重合；過已知點沿三角尺的另一條直角邊畫一條直線；在垂足處標(biāo)出垂直符號?！纠?】（2023下·甘肅隴南·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，按要求畫圖．①畫出點到的垂線段；②過點畫的垂線；③畫出點到的垂線段．

【分析】根據(jù)鈍角三角形中作垂線的方法即可求解．【詳解】解：①畫出點到的垂線段，延長，過點作延長線于點，如圖所示，

∴線段即為點到的垂線段；②過點畫的垂線，作于點，如圖所述，

∴即為點到的垂線；③畫出點到的垂線段，延長，作延長線于點，如圖所示，

∴即為點到的垂線段．【點睛】本題主要考查鈍角三角形作垂線段，垂線的知識，掌握垂線段，垂線的概念，作圖的方法是解題的關(guān)鍵．【變式】（2023下·河南許昌·七年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格線的交點叫格點，格點P是∠AOB的邊OB上的一點（請利用三角板和直尺借助網(wǎng)格的格點畫圖）．

(1)過點P畫OB的垂線，交OA于點E；過點P畫OA的垂線，垂足為F；(2)線段PF的長度是點P到______的距離，線段______的長度是點E到直線OB的距離，所以線段PE、PF、OE這三條線段大小關(guān)系是______（用“＜”號連接），理由是______．【答案】(1)圖見解析(2)OA，PE，PF<PE<OE，垂線段最短【分析】（1）如圖，找點C，連接PC，與OA交點即為E，過P點作豎直的線，與OA交點即為F；（2）根據(jù)點到直線的距離的定義、垂線段最短即可求解．【詳解】（1）解：由題意作圖如下，PE是OB的垂線，PF是OA的垂線．

（2）解：線段PF的長度是點P到OA的距離，線段PE的長度是點E到直線OB的距離，由垂線段最短可知，PF<PE<OE，故答案為：OA，PE，PF<PE<OE，垂線段最短．【點睛】本題考查了作垂線，垂線段最短．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．知識點5.垂線的重要結(jié)論（重點）1.基本事實：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.2.垂線段最短：直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短.【例5】（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內(nèi)，OA⊥l，OB⊥l，垂足為O，則OA與OB重合的理由是（

）

A．兩點確定一條直線B．垂線段最短C．同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直D．垂直于同一直線的兩條直線平行【答案】C【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵OA⊥l，OB⊥l，垂足為O，∴OA與OB重合（同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直），故選：D．【點睛】此題主要考查了垂線的性質(zhì)，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【變式】（2023下·河南鄭州·七年級鄭州市第七十三中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，王師傅為了檢驗門框AB是否垂直于地面，在門框AB的上端A處用細(xì)線懸掛一鉛錘，看門框AB是否與鉛錘線重合．若門框AB垂直于地面，則AB會重合于AE，否則AB與AE不重合．下面哪個數(shù)學(xué)知識可以說明這個道理？（

）

A．經(jīng)過兩點有且只有一條直線B．直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短C．過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行D．平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】D【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)解答即可．【詳解】∵在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．∴若門框AB垂直于地面，則AB會重合于AE，否則AB與AE不重合．故選：D．【點睛】本題考查了垂線的性質(zhì)，熟練掌握垂線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．【方法二】實例探索法題型1.判斷兩直線平行1．（2023上·廣東惠州·七年級?？奸_學(xué)考試）同一平面內(nèi)，兩條直線不相交就一定平行．()【答案】【分析】在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系是不相交就平行．【詳解】解：同一平面內(nèi)，兩條直線不相交就一定平行．正確．故答案為：．【點睛】本題考查相交與平行，解題的關(guān)鍵是掌握相交與平行的概念．2．（2022·新疆烏魯木齊·七年級烏魯木齊八一中學(xué)?？甲灾髡猩┤绻麅蓷l直線平行，那么這兩條直線一定在同一平面內(nèi)．()【答案】√【分析】根據(jù)平行線定義：在同一個平面上，兩條永不相交的直線，就是平行線即可判斷．【詳解】如果兩條直線平行，那么這兩條直線一定在同一平面內(nèi)，說法正確，故答案為：√．【點睛】本題考查平行線定義：在同一個平面上，兩條永不相交的直線，就是平行線．3．如圖所示的是一副七巧板的模型圖，請你找出圖中各對互相平行的直線，并用符號表示出來.【分析】本題是一道較為基礎(chǔ)的題型，考查的是學(xué)生對于平行線的熟練程度，對于本題而言，根據(jù)題意列出式子即可解答.【詳解】AD∥BC，AB∥HG∥DC，EF∥BH，EK∥AC.【點睛】根據(jù)本題題干及題意可知,這是一道考查平行線的題,對于初中數(shù)學(xué)來說，牢牢掌握基礎(chǔ)定義是解題的關(guān)鍵手段，這樣可以提高解題的速度和準(zhǔn)確率.題型2.平行線的基本事實的應(yīng)用4.（2023下·七年級單元測試）如圖所示，已知P是直線l外一點，兩條直線l1，l2相交于P，且l1∥l，那么l【答案】相交【分析】根據(jù)平行公理解答即可．【詳解】解：P是直線l外一點，兩條直線l1，l2相交于P，且l1故答案為：相交．【點睛】本題考查了平行公理．解題的關(guān)鍵掌握平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．5.（2023下·湖北·七年級統(tǒng)考期末）小明與小剛在討論數(shù)學(xué)問題時，有如下對話：小明：在同一平面內(nèi)，過一點A有且只有一條直線與已知直線m平行．小剛：在同一平面內(nèi)，過一點A有且只有一條直線與已知直線m垂直．對于兩個人的說法，正確的是（

）A．小明對 B．小剛對 C．兩人均對 D．兩人均不對【答案】B【分析】根據(jù)平行公理，垂線的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵在同一平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，∴小明錯，小剛對，故選：B．【點睛】本題考查了平行公理，垂線的基本性質(zhì)，熟練掌握基礎(chǔ)知識點是解題的關(guān)鍵．題型3.作垂線6．（2022上·福建泉州·七年級?？计谀┤鐖D，在平面內(nèi)有A，B，C三點．

(1)畫直線；畫射線；畫線段；過A點做垂直于于點D；并延長至點E，使；(2)點A到的距離為線段的長度．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)直線，射線，線段的定義畫出圖形即可；（2）根據(jù)點到直線的距離的定義判斷即可．【詳解】（1）如圖，直線，射線，線段，直線．線段即為所求；

（2）點到的距離為線段的長度．故答案為：．【點睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，直線，射線，線段的定義，點到直線的距離等知識，解題關(guān)鍵是掌握直線，射線，線段的定義，屬于中考常考題型．7．（2023下·河南鄭州·七年級?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的方格紙中，

(1)僅用無刻度的直尺，過點作的平行線、過點作的垂線，垂足為（其中D、E為格點）；(2)比較大?。篲_____，理由是：______．【答案】(1)作圖見解析(2)，垂線段最短【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格即可過點畫直線的平行線，并標(biāo)出平行線所經(jīng)過的格點；根據(jù)網(wǎng)格即可過點畫直線的垂線，并標(biāo)出垂線所經(jīng)過的格點，垂足為點；（2）根據(jù)垂線段最短即可比較線段大?。驹斀狻浚?）解：如圖，直線、即為所求作．

（2）解：．理由：垂線段最短．故答案為：，垂線段最短．【點睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖，利用網(wǎng)格畫平行線、垂線，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是正確借助網(wǎng)格得出符合題意圖形．8．（2023下·河南許昌·七年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格線的交點叫格點，格點P是的邊OB上的一點（請利用三角板和直尺借助網(wǎng)格的格點畫圖）．

(1)過點P畫的垂線，交于點E；過點P畫的垂線，垂足為F；(2)線段的長度是點P到______的距離，線段______的長度是點E到直線OB的距離，所以線段這三條線段大小關(guān)系是______（用“＜”號連接），理由是______．【答案】(1)圖見解析(2)，，，垂線段最短【分析】（1）如圖，找點，連接，與交點即為，過點作豎直的線，與交點即為；（2）根據(jù)點到直線的距離的定義、垂線段最短即可求解．【詳解】（1）解：由題意作圖如下，是的垂線，是的垂線．

（2）解：線段的長度是點P到的距離，線段的長度是點E到直線OB的距離，由垂線段最短可知，，故答案為：，，，垂線段最短．【點睛】本題考查了作垂線，垂線段最短．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．9．（2022上·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）在方格紙上畫圖并回答問題．如圖，已知A，B，C三個點．

(1)畫射線；(2)過B點作的垂線，垂足為點；(3)過C作平行線，交于點；寫出圖中的對頂角：___________．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）畫出射線即可；（2）取的中點，即為點，連接即可；（3）畫出，寫出的對頂角即可．【詳解】（1）解：畫射線，如圖所示：

（2）如圖，取的中點，即為點，連接即為所求；由圖可知，，∵點為的中點，∴；（3）畫，交于點，如圖所示；由圖可知：的對頂角為；故答案為：．【點睛】本題考查畫射線，作高，畫平行線，對頂角．熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵點．題型4.利用垂直的定義求角的度數(shù)10．（2021上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，直線、相交于點，，，則的度數(shù)是（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)，結(jié)合垂直的定義，可求出，再根據(jù)鄰補(bǔ)角，即可得出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了角的計算，垂線，鄰補(bǔ)角，解決本題的關(guān)鍵是利用角之間的和與差進(jìn)行解答．11．（2022下·新疆阿克蘇·七年級統(tǒng)考期末）已知直線相交于點O，平分，且，射線，則．【答案】或【分析】分兩種情況，由角平分線定義求出，由對頂角的性質(zhì)得到，由垂直的定義得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖①，平分，，，，射線，，；

如圖②，平分，，，，射線，，，或．故答案為：或．【點睛】本題考查垂線的意義，角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)，關(guān)鍵是畫出圖形，分兩種情況討論．12．（2023上·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，直線與直線相交于點O，平分，若，且，則．

【答案】/50度【分析】根據(jù)垂直定義可得，從而可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后利用平角定義進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：，，，平分，，，故答案為：．【點睛】本題考查了垂線，角平分線的定義，角的和差，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．題型5.“垂線段最短”的應(yīng)用13．（2023下·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點A到直線的距離為3，若在射線上只存在一個點，記的長度為，則的值可以是（）

A．7 B．2 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)垂線段最短進(jìn)行分類討論即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意可畫圖如下：

∵，，∴的最小值為3，根據(jù)題意分類討論：當(dāng)時，射線上不存在滿足條件的點；當(dāng)時，射線上存在一個點；當(dāng)時，射線上存在兩個點；當(dāng)時，射線上存在一個點；結(jié)合選項時，在射線上只存在一個點，故選：A．【點睛】本題考查垂線段最短，熟練運用垂線段最短，能夠根據(jù)題意進(jìn)行分類討論是解此題的關(guān)鍵．14．（2023下·湖北省直轄縣級單位·七年級?？茧A段練習(xí)）直角三角形中，，，，，則點到直線上各點的所有線段中，最短的線段長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂線段最短解決此題．【詳解】如圖，過點B作于點D．∵，∴．∴根據(jù)垂線段最短，點B到直線上各點的所有線段中，最短的線段長為．故選：C．【點睛】本題主要考查垂線段最短，熟練掌握垂線段最短是解決本題的關(guān)鍵．15．（2023下·甘肅定西·七年級統(tǒng)考期末）如圖，沿筆直小路的一側(cè)栽植兩棵小樹B，C，小明在A處測得米，米，則點A到的距離d可能為米．（填一個你認(rèn)為正確的答案）

【答案】3米（答案不唯一）【分析】由點到直線的距離的定義，垂線段最短，即可得到答案．【詳解】解：米，米，點A到的距離d小于或等于4米，點A到的距離d可能為3米（答案不唯一）．故答案為：3米（答案不唯一）．【點睛】本題考查點到直線的距離，垂線段最短，關(guān)鍵是掌握點到直線距離的定義．16．（2023上·陜西西安·七年級西安市鐵一中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，直角三角形中，，，，，點是邊上一動點，作直線經(jīng)過點．點，分別過點，作與垂直，與垂直．垂足分別為，，設(shè)線段，的長度分別為，則的最大值為．

【答案】【分析】根據(jù)，即得到，則的最大值就是的最小值，由垂線段最短可得當(dāng)時，最小，即可求解．【詳解】解：由題意可得：，即化簡可得：解得，則的最大值就是的最小值，由垂線段最短可得當(dāng)時，最小，由可得，∴的最大值為故答案為：【點睛】此題考查了三角形面積的求解，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是得出，確定的最大值就是的最小值，并掌握垂線段最短的性質(zhì)．17．（2023下·河北滄州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖是一條河是河邊外一點，是河邊上一碼頭．

(1)若要從走到碼頭，請在圖1中作出最短路線示意圖．(2)現(xiàn)欲用水管從河邊將水引到處，請在圖2上作出所需水管最短的鋪設(shè)方案．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)兩點之間線段最短，連接即可得到答案；（2）根據(jù)垂線段最短，作即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意畫出圖，如圖所示：

；（2）解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：

．【點睛】本題考查了兩點之間線段最短以及垂線段最短，熟練掌握兩點之間線段最短以及垂線段最短是解題的關(guān)鍵．題型6.創(chuàng)新應(yīng)用題18．（2023下·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，點為直線上一點，為一射線，平分，平分．(1)若，試探究，的位置關(guān)系，并說明理由．(2)若為任意角，（）中，的位置關(guān)系是否仍成立？請說明理由，由此你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（數(shù)學(xué)思想鏈接：從特殊到一般）【答案】(1)，理由見解析(2)成立，鄰補(bǔ)角的兩條角平分線互相垂直【分析】（1）根據(jù)，求出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)角平分線得到∠EOC與∠COF的度數(shù)，即可得到答案；（2）根據(jù)∠BOC求出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)角平分線得到∠EOC與∠COF的度數(shù)，即可得到答案．【詳解】（1）解：．理由如下：因為，所以．因為平分，平分，所以，，所以，所以．（2）解：成立．理由：因為，所以．因為平分，平分，所以，，所以，所以．規(guī)律：鄰補(bǔ)角的兩條角平分線互相垂直．【點睛】此題考查了幾何圖形中角度的和差計算，角平分線的計算，正確理解圖形中各角的位置關(guān)系進(jìn)行和差計算是解題的關(guān)鍵，還考查了由特殊到一般的解題思想．19．（2022上·廣東汕頭·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知O是直線上的一點，是直角，平分．(1)如圖1，與在直線的同側(cè)．①若，求的度數(shù)；②若，求的度數(shù)．(2)如圖2，與在直線的異側(cè)．探究和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①由為直角，可求得的度數(shù)．再由平分，以及和為鄰補(bǔ)角即可求出．②同①可得結(jié)論；（2）設(shè)，可以求出，再由角平分線以及鄰補(bǔ)角可求出，得出和的關(guān)系．【詳解】（1）解：①為直角，．，．平分，．．②為直角，．，．平分，．．（2）設(shè)，，平分，．，．【點睛】本題考查角度的計算，主要涉及角平分線，垂直，鄰補(bǔ)角的相關(guān)知識，計算過程中注意合理利用已知條件，利用角的和差來求解要求的角．20．（2022上·山西晉城·七年級?？计谀┚C合與探究如圖，直線與相交于點，過點作．(1)如圖1，，直接寫出的度數(shù)；(2)如圖2，在的內(nèi)部作射線，且，此時，，求的度數(shù)；(3)如圖3，在直線的下方作，且，再作平分，平分，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由垂直的性質(zhì)得，由平角的定義得，由，可得的度數(shù)；（2）由垂直的性質(zhì)得，，，由對頂角，等量代換得，由得，等量代換得，由對頂角，得，由，等量代換即可求解；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，，由，等量代換即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，解得；（2）解：，，，，，，，，，解得，，，，，，解得，；（3）解：平分，平分，，，，．【點睛】本題考查了對頂角、垂線、角平分線的定義，角的和差計算，解題的關(guān)鍵是理清角之間的關(guān)系．21．（2022上·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知：O是直線上的一點，是直角，平分鈍角．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，平分，求的度數(shù)；(3)當(dāng)時，繞點O以每秒沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)t秒（），請?zhí)骄亢椭g的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)，；，【分析】（1）根據(jù)是直角和交平分線的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)是直角和交平分線的性質(zhì)求解即可；（3）分兩種情況討論：時，時．【詳解】（1）解：∵，∴，∵是直角，∴，∵平分．，∴，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，∴，∵是直角，∴；（3）解：①時，由題意得，

∴∴；②時，

由題意得∴∴；【點睛】本題考查相交線，涉及到角平分線的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)等，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵．22．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考開學(xué)考試）如圖1，是直線上的一點，，平分．

(1)若，求的度數(shù)；(2)將圖1中的繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置．①探究和的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由；②在的內(nèi)部有一條射線，內(nèi)部有一條射線，且，試確定與的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)①，理由見解析；②【分析】（1）由垂線的定義得，從而得到，由鄰補(bǔ)角的定義計算可得，最后由角平分線的性質(zhì)即可得到答案（2）①先分別表示出和，再找出其中的關(guān)系即可；②根據(jù)題意得出，，代入得到，再將，代入進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：，，，，，平分，；（2）解：①，理由如下：根據(jù)題意可得：，，，平分，，，；②畫出圖如圖所示：

，則，，，整理得：，，，，，，．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、垂線的定義、與余角和補(bǔ)角有關(guān)的計算、角的計算，熟練掌握角平分線的性質(zhì)、垂線的定義，準(zhǔn)確進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．題型7.作圖與猜想23.（2023上·江蘇南京·七年級南京市第二十九中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知∠AOB畫射線OC⊥OA，射線OD⊥OB，試寫出∠AOB和∠COD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【答案】∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180【分析】分OC、OD在邊OA的同側(cè)和異側(cè)分別作出圖形，然后分別進(jìn)行計算即可得解．【詳解】∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°，理由如下：如圖1，∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOB+∠BOC=90°，∠COD+∠BOC=90°，∴∠AOB=∠COD；如圖2，∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠AOB+∠AOD=90°，∴∠AOB+∠BOC+∠AOB+∠AOD=180°，又∵∠BOC+∠AOB+∠AOC=∠COD，∴∠AOB+∠COD=180°；如圖3，∠AOB+∠COD=360°∠AOC∠BOD=360°90°90°=180°；如圖4，∵OC⊥OA，OD⊥OB，∴∠AOB+∠AOD=90°，∠COD+∠AOD=90°，∴∠AOB=∠COD；綜上所述，∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°.【點睛】本題考查了垂線的定義，角的計算，同角的余角相等的性質(zhì)，難點在于分情況討論．24．作圖與探究:如圖，已知點A、O、B是正方形網(wǎng)格的格點(網(wǎng)格線的交點)，點P是∠AOB的邊0B上的一點.(1)過點P畫OB的垂線，交OA于點E;(2)過點P畫OA的垂線，垂足為H;(3)過點P畫OA的平行線PC;(4)若每個小正方形的邊長是1,則點P到OA的距離是_________;(5)線段PE、PH、OE的大小關(guān)系是___________(用“<"連接).【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）1；（5）PH＜PE＜OE【分析】（1）過點P作PEOB，交OA于點E即可；（2）過點P作PHOA，交OA于點H即可；（3）過點P畫OA的平行線PC即可；（4）根據(jù)點到直線距離的定義得出結(jié)論；（5）根據(jù)“垂線段最短”得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖所示；（2）如圖所示；（3）如圖所示；（4）∵每個小正方形的邊長是1，∴點P到OA的距離是1．故答案為：1；（5）PH⊥OA，∴PH＜PE，∵PE⊥OB，∴PE＜OE，∴PH＜PE＜OE．故答案為：PH＜PE＜OE．【點睛】本題考查的是作圖基本作圖，熟知垂線段的作法是解答此題的關(guān)鍵．【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法1.垂線1．（2022?河南）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，則∠2的度數(shù)為（）A．26° B．36° C．44° D．54°【分析】首先利用垂直的定義得到∠COE＝90°，然后利用平角的定義即可求解．【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，∵∠1+∠COE+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．故選：B．【點評】本題主要考查了垂直的定義和平角的性質(zhì)計算，要注意領(lǐng)會由垂直得直角這一要點．2．（2021?北京）如圖，點O在直線AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，則∠BOD的大小為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)平角的意義求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)垂直的意義求出答案．【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，故選：A．【點評】本題考查平角及垂直的意義，理解互相垂直的意義是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022?威海）圖1是光的反射規(guī)律示意圖．其中，PO是入射光線，OQ是反射光線，法線KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．圖2中，光線自點P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點是（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)畫出被遮住的部分，再根據(jù)入射角等于反射角作出判斷即可．【解答】解：根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全圖2并作出法線OK，如圖所示：根據(jù)圖形可以看出OB是反射光線，故選：B．【點評】本題主要考查直線的性質(zhì)，垂線的畫法，根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全光線是解題的關(guān)鍵．考法2.垂線段最短4．（2022?常州）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．垂線段最短 B．兩點確定一條直線 C．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗結(jié)合數(shù)學(xué)原理解答即可．【解答】解：小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，故選：A．【點評】本題主要考查了垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)學(xué)和生活密不可分的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．5．（2021?杭州）如圖，設(shè)點P是直線l外一點，PQ⊥l，垂足為點Q，點T是直線l上的一個動點，連結(jié)PT，則（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)“垂線段最短”即可得到結(jié)論．【解答】解：∵PQ⊥l，點T是直線l上的一個動點，連結(jié)PT，∴PT≥PQ，故選：C．【點評】本題考查了垂線段最短，熟練掌握垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2020?吉林）如圖，某單位要在河岸l上建一個水泵房引水到C處．他們的做法是：過點C作CD⊥l于點D，將水泵房建在了D處．這樣做最節(jié)省水管長度，其數(shù)學(xué)道理是．【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)解答即可．【解答】解：過點C作CD⊥l于點D，將水泵房建在了D處．這樣做最節(jié)省水管長度，其數(shù)學(xué)道理是垂線段最短．故答案為：垂線段最短．【點評】本題考查了垂線段的定義和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決實際問題．考法3.點到直線的距離7．（2019?畢節(jié)市）如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，CM是AB邊上的中線，點C到邊AB所在直線的距離是（）A．線段CA的長度 B．線段CM的長度 C．線段CD的長度 D．線段CB的長度【分析】根據(jù)點C到邊AB所在直線的距離是點C到直線AB的垂線段的長度可解．【解答】解：點C到邊AB所在直線的距離是點C到直線AB的垂線段的長度，而CD是點C到直線AB的垂線段，故選：C．【點評】本題考查的是點到直線的距離的定義，選項中都有長度二字，只要知道是垂線段就比較好解．8．（2019?廣州）如圖，點A，B，C在直線l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，則點P到直線l的距離是cm．【分析】根據(jù)點到直線的距離是直線外的點到這條直線的垂線段的長度，可得答案．【解答】解：∵PB⊥l，PB＝5cm，∴P到l的距離是垂線段PB的長度5cm，故答案為：5．【點評】本題考查了點到直線的距離，點到直線的距離是直線外的點到這條直線的垂線段的長度．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2022上·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A、B、C三點，過點A可畫直線BC的平行線的條數(shù)是（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【答案】B【分析】先過B，C兩點畫直線BC，再根據(jù)過直線外一點有且只有1條直線與已知直線平行可求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)過直線外一點有且只有1條直線與已知直線平行，故選：B．【點睛】本題主要考查直線，射線，線段，平行線，掌握過直線外一點有且只有1條直線與已知直線平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·江蘇蘇州·七年級蘇州草橋中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正方體中，下列各棱與棱平行的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的定義，結(jié)合正方體的特征直接判斷即可．【詳解】解：由圖可知，與棱平行的棱有，，，故選D．【點睛】本題考查平行線的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的定義和正方體的特征．3．（2023上·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，P是直線l外一點，A，B，C三點在直線l上，且于點B，，則下列結(jié)論中正確的是（）①線段的長度是點P到直線l的距離；②線段是A點到直線的距離；③在三條線段中，最短；④線段的長度是點P到直線l的距離A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④【答案】C【分析】本題考查了點到直線的距離及垂線段最短等知識點．點到直線的距離，即過這一點做目標(biāo)直線的垂線，由這一點至垂足的距離．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵于點B，∴線段的長度是點P到直線l的距離，故①正確，④錯誤；∵，∴線段的長度是A點到直線的距離，故②錯誤；根據(jù)垂線段最短，在三條線段中，最短，故③正確；故選：C．4．（2023上·江蘇·七年級專題練習(xí)）P為直線m外一點，A，B，C為直線m上三點，，則點P到直線m的距離（）A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于【答案】D【分析】本題主要考查了點到直線的距離，熟知垂線段最短是解題的關(guān)鍵，根據(jù)垂線段最短和點到直線的距離的定義得出即可．【詳解】解：根據(jù)垂線段最短得出點P到直線m的距離是不大于，故選D．5．（2023上·江蘇·七年級專題練習(xí)）過點作的垂線，下列選項中，三角板的放法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了垂線，根據(jù)垂線的定義，即可解答．【詳解】解：過點作的垂線，下列選項中，三角板的放法正確的是故選：C6．（2023下·云南昭通·七年級校聯(lián)考期末）如圖，點在上，平分，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)得，利用角平分線得，進(jìn)而利用鄰補(bǔ)角的定義即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故選：D．【點睛】此題考查角平分線的有關(guān)計算以及垂線，熟練掌握角平分線的計算是解題的關(guān)鍵．7．（2016上·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行C．平行或相交 D．相交或垂直或平行【答案】C【分析】根據(jù)兩條直線有一個交點的直線是相交線，沒有交點的直線是平行線，可得答案．【詳解】在同一平面內(nèi)，兩條直線有一個交點，兩條直線相交；在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點，兩條直線平行．故選：C【點睛】本題主要考查了同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系，注意垂直是相交的一種特殊情況，不能單獨作為一類．8．（2023上·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）下列現(xiàn)象：①用兩根釘子就可以把一根木條固定在墻上；②把彎曲的公路改直，就能夠縮短路程；③體育課上測量某個同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績；④工人砌墻時，先在兩端立樁拉線，然后沿著線砌墻．其中，可以用“兩點確定一條直線”來解釋的現(xiàn)象是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】C【分析】本題主要考查了兩點確定一條直線，兩點之間線段最短，點到直線的距離等等，熟練掌握兩點確定一條直線的概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①用兩根釘子就可以把一根木條固定在墻上，利用了兩點確定一條直線，符合題意；②把彎曲的公路改直，就能夠縮短路程，利用“兩點之間線段最短”，不符合題意；③體育課上測量某個同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績，利用了點到直線的距離，不符合題意；④建筑工人砌墻時，經(jīng)常先在兩端立樁拉線，然后沿著線砌墻，利用了兩點確定一條直線，符合題意；故選C．9．（2023下·河北保定·七年級校考階段練習(xí)）如圖，直線與相交于點，，，則的度數(shù)為（

）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】A【分析】利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得,由可得，然后由角的和差即可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了垂直的定義、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、角的和差等知識點，根據(jù)圖形明確各角的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023下·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線相交于點平分．若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】由角平分線定義得到，由垂直的定義得到，由平角定義即可求出的度數(shù)．【詳解】解：平分，，，，，故選：C．【點睛】本題考查垂線，角平分線定義，平角的定義，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023上·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，現(xiàn)要從幸福小區(qū)M修建一條連接街道的最短小路，過點M作于點C，這樣做的依據(jù)是．

【答案】垂線段最短【分析】由垂線的性質(zhì)，即可判斷．【詳解】解：過點M作于點C，沿修建道路就能滿足小路最短．故答案為：垂線段最短．【點睛】本題考查垂線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握：垂線段最短．12．（2023上·江蘇南京·七年級期末）如圖，，垂足為C，若，則點A到的距離為．【答案】4【分析】本題考查點到直線的距離，此題關(guān)鍵是理解點A到BC的距離是從點A向BC作垂線，所得的垂線段．根據(jù)點到直線的距離即可判斷．【詳解】解：∵，垂足為C．∴點A到的距離，即.故答案為：413．（2023上·江蘇·七年級專題練習(xí)）在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是．【答案】平行或相交【分析】本題考查平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線要么平行，要么相交，熟記相關(guān)結(jié)論即可．【詳解】解：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是平行或相交，故答案為：平行或相交．14．（2022上·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）下列說法：①對頂角相等；②兩點之間的線段是兩點間的距離；③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；⑤一個銳角的補(bǔ)角一定比它的余角大90°，正確的有．（填序號）【答案】①⑤【分析】根據(jù)對頂角、線段、直線、垂直的定義、平行線的性質(zhì)及余補(bǔ)角的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：①對頂角相等，原說法正確；②兩點之間的線段長度是兩點間的距離，原說法錯誤；③過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，原說法錯誤；④在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，原說法錯誤；⑤一個銳角的補(bǔ)角一定比它的余角大90°，原說法正確；綜上所述：正確的有①⑤；故答案為①⑤．【點睛】本題主要考查對頂角、線段、直線、垂直的定義、平行線的性質(zhì)及余補(bǔ)角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022上·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）下列說法中：①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；②經(jīng)過三點一定能畫出三條直線；③如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角；④點C是直線上的點，如果，則點C為的中點．其中正確的有．（填序號）【答案】①【分析】根據(jù)平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可判斷①，根據(jù)兩點確定一條直線可判斷②，根據(jù)對頂角的含義可判斷③，根據(jù)中點的定義可判斷④．【詳解】解：①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；故①符合題意．②當(dāng)三點共線時，經(jīng)過三點能畫出1條直線，三點不共線時，同時經(jīng)過三點不能畫直線，故②不符合題意．③如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角，描述錯誤，相等的兩個角不一定是對頂角，故③不符合題意．④點C是直線上的點，當(dāng)點C不在線段上時，也可以滿足，但點C不是的中點．故④不符合題意．故答案為①．【點睛】本題考查平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，兩點確定一條直線，對頂角的含義，線段中點的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本定義及性質(zhì)．16．（2023下·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線相交于O，平分，，若，．

【答案】/70度【分析】由對頂角相等可得，由角平分線的性質(zhì)可得的度數(shù)，利用，可得，用角的和差可求的度數(shù)．【詳解】∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分的定義、對頂角的性質(zhì)、垂直的意義、平角的意義，熟練掌握對頂角相等以及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．17．（2023上·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線相交于點，于點，若，則的度數(shù)等于．

【答案】【分析】由垂線的定義可得，根據(jù)對頂角相等可得，最后根據(jù)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了垂線的定義、對頂角相等，熟練掌握以上知識點是解此題的關(guān)鍵．18．（2023下·江蘇南通·七年級啟東市長江中學(xué)校考階段練習(xí)）已知和互為鄰補(bǔ)角，且，平分，射線在內(nèi)部，且，，，則．【答案】或【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：在上方，或在下方，先依據(jù)已知條件求得的度數(shù)，再根據(jù)，即可得到的度數(shù)．【詳解】解：分兩種情況進(jìn)行討論：①如圖1所示，若在上方，

∵平分，∴，∵，，∴，即，設(shè)，則，∵為平角，∴，即，解得，∴，又∵，∴，∴；②如圖2所示，若在下方，

同理可得，，又∵，∴，∴；綜上所述，的度數(shù)為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，垂直的定義，正確畫出圖形，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．三、作圖題19．（2023上·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，分別是兩條筆直的公路，是三個商店．

(1)如果經(jīng)過點處建設(shè)一條公路，使這條公路與公路平行，且交于點，在圖上畫出這條公路．(2)一個人從處走最近的路線到達(dá)公路，畫出這個人行走的路線．(3)一輛貨車在公路上行駛，當(dāng)停在處時，可以使兩處的人到貨車的距離之和最小，畫出點的位置．這樣畫的依據(jù)是．【答案】(1)圖見解析；(2)圖見解析；(3)圖見解析，兩點之間線段最短；【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作平行線的方法即可解答；（2）根據(jù)尺規(guī)作垂線的方法即可解答；（3）根據(jù)兩點之間線段最短即可解答．【詳解】（1）解：如圖所示即為所求，

（2）解：如圖所示即為所求，（3）解：如圖所示點即為所求依據(jù)是：兩點之