重難點(diǎn)01直角三角形中的“銳角平分線”模型（原卷版）

重難點(diǎn)01直角三角形中的“銳角平分線”模型【知識(shí)梳理】運(yùn)用句股定理計(jì)算是中考必考知識(shí)點(diǎn)，如何巧妙地構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵.有些難題，同學(xué)們找到了直角三角形，但是還是不會(huì)求解，關(guān)鍵一點(diǎn)就是忽略了設(shè)未知數(shù)列方程來(lái)求解.一．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．二．翻折變換（折疊問(wèn)題）1、翻折變換（折疊問(wèn)題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱(chēng)變換．2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3、在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問(wèn)題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．首先清楚折疊和軸對(duì)稱(chēng)能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．【考點(diǎn)剖析】一．勾股定理（共1小題）1．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB＝6，BC＝8，將直角邊AB折疊使它落在斜邊AC上，折痕為AD，則BD＝．二．翻折變換（折疊問(wèn)題）（共11小題）2．如圖，直角三角形紙片ABC中，AC＝3，BC＝4，折疊紙片使邊AC落在斜邊AB上，折痕為AD，則CD的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．13．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則CE的長(zhǎng)為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊長(zhǎng)AB＝6，BC＝8，將直角邊AB折疊，使它落在斜邊AC上，折痕為AD，則CD長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．65．如圖，有一塊直角三角形紙片ABC，∠C＝90°．兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將該紙片沿直線AD折疊，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，則折痕AD＝cm．6．有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB＝6，BC＝8，將該紙片折疊，使直角邊AB落在斜邊AC上，折痕為AD，則BD＝．7．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則BD的長(zhǎng)為．8．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AB＝6，BC＝8，將三角形ABC折疊，使AB落在斜邊AC上得到線段AB'，折痕為AD，則BD的長(zhǎng)為．9．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝3，BC＝4，將直角三角形紙片ABC折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，折痕為AD，則BD＝．10．如圖，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則CD的長(zhǎng)為．11．如圖，直角三角形紙片的兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm．現(xiàn)將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合．求CD的長(zhǎng)．12．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角三角形紙片沿直線AD折疊，使點(diǎn)C恰好落在斜邊AB上點(diǎn)E處．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）直接寫(xiě)出AE、BE的長(zhǎng)及∠BED的度數(shù)；（3）求CD的長(zhǎng)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共7小題）1．（2021秋?定州市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，若CD＝3，則點(diǎn)D到AB邊的距離為（）A．1 B． C．2 D．32．（2022秋?海曙區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC＝9，AB＝15，則CE的長(zhǎng)為（）A．4 B． C． D．53．（2022?雁塔區(qū)模擬）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE∥AB交AC于點(diǎn)E，已知CE＝3，CD＝4，則AD長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C．4 D．44．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝（）°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格交點(diǎn)）．A．30 B．45 C．60 D．755．（2021秋?杏花嶺區(qū)校級(jí)期中）已知△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，則下列條件中：①a2﹣b2＝c2；②a2：b2：c2＝1：3：2；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝2∠B＝2∠C．能判斷△ABC是直角三角形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2022秋?江陰市期中）以下四組代數(shù)式作為△ABC的三邊，能使△ABC為直角三角形的有（）①3n，4n，5n（n為正整數(shù)）；②n，n+1，n+2（n為正整數(shù)）；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n為正整數(shù)）；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n為正整數(shù)）．A．1組 B．2組 C．3組 D．4組7．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將△ACD沿直線AD折疊，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，則CD的長(zhǎng)為（）cm．A． B． C．3 D．二．填空題（共7小題）8．（2022秋?海口期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，DE∥AB，交AC于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，若DE＝5，DF＝3，則AC的長(zhǎng)為．9．（2021秋?陵城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于點(diǎn)E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，則△ADE的周長(zhǎng)是．10．（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BD為AC邊的高線，則BD的長(zhǎng)為．11．（2021秋?金牛區(qū)校級(jí)期中）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論：①AB＝2；②△ABC的面積為10；③∠BAC＝90°；④點(diǎn)A到直線BC的距離是2．其中正確的結(jié)論是．（填序號(hào)）12．（2022秋?城陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)B′重合，AE為折痕，則EB′＝．13．（2022秋?菏澤月考）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)B'重合，AE為折痕，則EB'＝．14．（2021秋?連云港期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為F，與BC交于點(diǎn)E，則BE的長(zhǎng)是．三．解答題（共7小題）15．（2021秋?盤(pán)山縣期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E．若AB＝15cm，AC＝9cm，求BE的長(zhǎng)度．16．（2023春?大石橋市月考）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以6cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)t＝2時(shí)，求P，Q兩點(diǎn)之間的距離；（3）當(dāng)AP＝CQ時(shí)，求t的值？17．（2021秋?東?？h期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)△ABP為直角三角時(shí)，求t的值；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．18．（2021秋?二道區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，BD平分∠ABC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BA﹣AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合時(shí)，連結(jié)P、B、D三點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）線段AB的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)DP⊥AB時(shí)，t＝；（3）求線段BD的長(zhǎng)；（4）當(dāng)∠DBP與∠DPB相等時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．19．（2021秋?原陽(yáng)縣月考）如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，現(xiàn)將邊AC沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使它落在AB邊上．若折痕交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)