2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破課件：第21講 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

第21講圓的有關(guān)概念及性質(zhì)考點(diǎn)1圓的有關(guān)概念圓在一個(gè)平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓,其固定的端點(diǎn)O叫做圓心,線段OA叫做半徑弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段直徑經(jīng)過(guò)

的弦

圓心弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱(chēng)弧圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧,每一條弧都叫做半圓

于半圓的弧叫做優(yōu)弧;

于半圓的弧叫做劣弧

等圓能夠重合的兩個(gè)圓等弧在同圓或

中,能夠互相

的弧

弦心距(拓展)從圓心到弦的距離大小等圓重合考點(diǎn)2圓的有關(guān)性質(zhì)(?？键c(diǎn))1.圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形,任何一條

所在的直線都是圓的對(duì)稱(chēng)軸,圓既是中心對(duì)稱(chēng)圖形,又是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形,即旋轉(zhuǎn)任意角度都和自身重合.圓心就是它的對(duì)稱(chēng)中心.

2.垂徑定理及其推論(1)垂徑定理:垂直于弦的直徑

弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧(如圖所示).

直徑平分(2)推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于

,并且平分弦所對(duì)的

(如圖所示).

(3)圓的兩條平行弦所夾的弧相等(補(bǔ)充).歸納總結(jié)半徑、弦心距和弦的一半構(gòu)成直角三角形,滿足勾股定理,常用于在圓中求線段.弦兩條弧3.弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理及其推論(1)定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧

,所對(duì)的弦

,所對(duì)的弦的弦心距

;

(2)推論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量

,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別

.

4.圓周角定理及其推論(1)定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的

;

相等相等相等相等相等一半(2)推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角

;

(3)推論2:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是

,90°的圓周角所對(duì)的弦是

.

注意

(1)在運(yùn)用圓周角定理時(shí),一定要注意“在同圓或等圓中”的條件;(2)一條弦對(duì)著兩條弧,對(duì)著無(wú)數(shù)個(gè)圓周角,任意兩個(gè)圓周角互補(bǔ)或相等;(3)一條弧只對(duì)著一個(gè)圓心角,卻對(duì)著無(wú)數(shù)個(gè)圓周角.5.圓內(nèi)接四邊形(1)如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形,這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓;(2)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角

.

相等直角直徑互補(bǔ)C方法技巧在圓中,已知半徑、弦、弦心距、拱形高中的兩個(gè)量可以求出另外兩個(gè)量;常過(guò)圓心作垂直于弦的直徑,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理和垂徑定理或借助方程求解.BB(2)AE=CE.思路點(diǎn)撥

(2)要證明AE=CE,只要證明△ADE≌△CBE即可.歸律總結(jié)應(yīng)用弧、弦、圓心角的關(guān)系時(shí)注意(1)必須有前提條件“在同圓或等圓中”;(2)可用來(lái)證明角相等、弧相等和弦相等.A命題點(diǎn)3圓周角定理及推論(?？键c(diǎn))例3(2023成都溫江區(qū)模擬)如圖所示,AB是☉O的直徑,C是☉O上一點(diǎn),∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)E,交☉O于點(diǎn)D,連接AD,BD.(1)求證:AD=BD;歸律總結(jié)(1)進(jìn)行與圓有關(guān)的角度計(jì)算時(shí),一般先判斷角是圓周角還是圓心角,再轉(zhuǎn)化成同弧所對(duì)的圓周角或圓心角,利用同弧所對(duì)的圓周角相等,同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半的關(guān)系求解;(2)在圓中,如果有直徑,那么直徑所對(duì)的圓周角是直角,常用此結(jié)論構(gòu)造直角三角形.變式5(2024廣元利州區(qū)一模)如圖所示,OA,OB是☉O的半徑,連接AB,過(guò)點(diǎn)O作OC∥AB交☉O于點(diǎn)C,連接AC,若∠AOB=100°,則∠BAC的度數(shù)為()A.15° B.20° C.25° D.30°B變式6(2023瀘縣一模)如圖所示,AB為☉O的直徑,E為弦CD的中點(diǎn),若∠BAD=30°,且BE=2,則BC的長(zhǎng)是

.

4變式7(2024成都錦江區(qū)模擬節(jié)選)如圖所示,在△ABC中,以邊AB為直徑作☉O,交BC于點(diǎn)D,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接DE交AB于點(diǎn)F,且DE=DC.(1)求證:BD=DC;(1)證明:如圖所示