專題35實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組（舉一反三）（滬科版）

專題3.5實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組【十一大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1行程問(wèn)題】 1【題型2工程問(wèn)題】 4【題型3配套問(wèn)題】 6【題型4年齡問(wèn)題】 10【題型5銷售問(wèn)題】 12【題型6分配問(wèn)題】 16【題型7幾何圖形問(wèn)題】 20【題型8數(shù)字問(wèn)題】 22【題型9古代問(wèn)題】 26【題型10方案問(wèn)題】 28【題型11圖表問(wèn)題】 33【題型1行程問(wèn)題】【例1】（2023春·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）甲、乙兩人在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)賽跑，如果兩人同時(shí)同地反向跑，經(jīng)過(guò)25秒第一次相遇；如果兩人同時(shí)同地同向跑，經(jīng)過(guò)200秒甲第一次追上乙，求甲、乙兩人的平均速度．【答案】甲的速度為9米/秒，乙的速度為7米/秒【分析】設(shè)甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，根據(jù)“如果兩人同時(shí)同地反向跑，經(jīng)過(guò)25秒第一次相遇；如果兩人同時(shí)同地同向跑，經(jīng)過(guò)200秒甲第一次追上乙”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，依題意，得：25解得：x答：甲的速度為9米/秒，乙的速度為7米/秒．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我縣境內(nèi)的某段鐵路橋長(zhǎng)2200m，現(xiàn)有一列高鐵列車從橋上通過(guò)，測(cè)得此列高鐵從開(kāi)始上橋到完全過(guò)橋共用30s，整列高鐵在橋上的時(shí)間是25s，試求此列高鐵的車速和車長(zhǎng)．【答案】此列高鐵的車速為80m/s，車長(zhǎng)為200m【分析】設(shè)此列高鐵的車長(zhǎng)為xm，車速為ym/s，利用路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合題意即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)此列高鐵的車長(zhǎng)為xm，車速為ym/s，依題意得：30y解得：x=200答：此列高鐵的車速為80m/s，車長(zhǎng)為200m．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式12】（2023春·河北廊坊·七年級(jí)廊坊市第四中學(xué)?？计谥校╃麋餮亟謩蛩傩凶?，發(fā)現(xiàn)每隔12min從背后駛過(guò)一輛7路公交車，每隔6min從迎面駛來(lái)一輛7路公交車．假設(shè)每輛7路公交車行駛速度相同，而且7問(wèn)：（1）7路公交車行駛速度是琪琪行走速度的倍．（2）7路公交車總站每間隔min發(fā)一輛車．【答案】38【分析】設(shè)7路公交車行駛速度x米/分鐘，琪琪勻速行走的速度y米/分鐘，7路公交車發(fā)出時(shí)間間隔為t分鐘，等量關(guān)系式：12分鐘公交車行駛的路程-12分鐘琪琪走的路程=兩站之間的距離，5分鐘公交車行駛的路程+5分鐘琪琪走的路程=兩站之間的距離；據(jù)此列出方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)7路公交車行駛速度x米/分鐘，琪琪勻速行走的速度y米/分鐘，7路公交車發(fā)出時(shí)間間隔為t分鐘，由題意得12x解得：x=3故答案：（1）3（2）8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含參數(shù)的二元一次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式13】（2023春·湖南婁底·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路．假設(shè)他始終保持平路每分鐘走60米，下坡路每分鐘走80米，上坡路每分鐘走40米，則他從家里到學(xué)校需10分鐘，從學(xué)校到家里需15分鐘．

(1)小華家離學(xué)校多遠(yuǎn)？(2)小華從家里到學(xué)校到達(dá)中點(diǎn)的時(shí)間與小華從學(xué)校到家里到達(dá)中點(diǎn)的時(shí)間會(huì)一樣嗎？如果不一樣，哪種情況所花的時(shí)間更多？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．【答案】(1)小華家離學(xué)校700米(2)小華從學(xué)校到家里到達(dá)中點(diǎn)的時(shí)間比小華從家里到學(xué)校到達(dá)中點(diǎn)的時(shí)間要多一些【分析】（1）設(shè)小華從家里到學(xué)校的路是一段平路長(zhǎng)為x米，小華從家里到學(xué)校的下坡路長(zhǎng)為y米，根據(jù)小華從家里到學(xué)校和從學(xué)校到家里的時(shí)間列二元一次方程組，求出x與y，并求和即可；（2）先求出中點(diǎn)位置與學(xué)校和家里的距離，再分別求出所需時(shí)間，比較即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)小華從家里到學(xué)校的路是一段平路長(zhǎng)為x米，小華從家里到學(xué)校的下坡路長(zhǎng)為y米．由題意得：x60解得：x=300∴x+答：小華家離學(xué)校700米；（2）中點(diǎn)距離小華家和學(xué)校的距離為：700÷2=350(米)．小華從家里到學(xué)校到達(dá)中點(diǎn)所需的時(shí)間為：300÷60+350-300÷80=5.625(分鐘小華從學(xué)校到家里到達(dá)中點(diǎn)所需的時(shí)間為：350÷40=8.75(分鐘)；8.75>5.625∴小華從學(xué)校到家里到達(dá)中點(diǎn)的時(shí)間比小華從家里到學(xué)校到達(dá)中點(diǎn)的時(shí)間要多一些．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)題意列方程組和列算式是解題的關(guān)鍵．【題型2工程問(wèn)題】【例2】（2023春·安徽蕪湖·七年級(jí)校考期末）自來(lái)水廠的供水池有7個(gè)進(jìn)出水口，每天早晨6點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)出水，且此時(shí)水池中有水15%，在每個(gè)進(jìn)出水口是勻速進(jìn)出的情況下，如果開(kāi)放3個(gè)進(jìn)口和4個(gè)出口，5小時(shí)將水池注滿；如果開(kāi)放4個(gè)進(jìn)口和3個(gè)出口，2小時(shí)將水池注滿．若某一天早晨6點(diǎn)時(shí)水池中有水24%，又因?yàn)樗芨脑?，只能開(kāi)放3個(gè)進(jìn)口和2個(gè)出口，則從早晨6點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)小時(shí)水池的水剛好注滿．【答案】3817【分析】設(shè)每個(gè)進(jìn)水口每小時(shí)進(jìn)水量為x，每個(gè)出水口每小時(shí)出水量為y，根據(jù)題意，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再將其代入1-24%3【詳解】設(shè)每個(gè)進(jìn)水口每小時(shí)進(jìn)水量為x，每個(gè)出水口每小時(shí)出水量為y，依題意，得：53解得：x=0.17∴1-24%3故答案為：3817【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023春·四川瀘州·七年級(jí)瀘縣五中?？计谥校┲圃炷撤N產(chǎn)品，1人用機(jī)器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用機(jī)器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用機(jī)器，1人靠手工，每天可制造多少件產(chǎn)品？【答案】3人用機(jī)器，1人靠手工，每天可制造100件產(chǎn)品【分析】設(shè)利用機(jī)器每人每天可制造x件產(chǎn)品，手工每人每天可制造y件產(chǎn)品，根據(jù)“1人用機(jī)器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用機(jī)器，2人靠手工，每天可制造80件”列出二元一次方程組，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)利用機(jī)器每人每天可制造x件產(chǎn)品，手工每人每天可制造y件產(chǎn)品，根據(jù)題意得，x+3解得：x=30∴3人用機(jī)器，1人靠手工，每天可制造的產(chǎn)品件數(shù)為：3×30+1×10=100（件），答：3人用機(jī)器，1人靠手工，每天可制造100件產(chǎn)品．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式22】（2023春·湖南常德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）玲玲家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作，需要6周完成，共需裝修費(fèi)5.2萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需9周才能完成，共需裝修費(fèi)4.8萬(wàn)元，玲玲的爸爸媽媽商量后決定只選一個(gè)公司單獨(dú)完成．(1)設(shè)工作總量為1，甲公司的每周工作效率為m，乙公司每周的工作效率為n，根據(jù)題意列出關(guān)于m、n的二元一次方程組．(2)如果從節(jié)約時(shí)間的角度考慮，應(yīng)選哪家公司？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如果從節(jié)約開(kāi)支的角度考慮，應(yīng)選哪家公司？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)6((2)甲公司，理由見(jiàn)解析(3)乙公司，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用時(shí)間×工作效率=工作量，建立等式，構(gòu)造方程組即可．（2）比較工作效率的大小，選擇工作效率高的公司即可．（3）設(shè)設(shè)甲公司每周費(fèi)用為a萬(wàn)元，乙公司每周費(fèi)用為b萬(wàn)元，計(jì)算兩個(gè)公司完成工作任務(wù)后的總費(fèi)用，比較大小決定即可．【詳解】（1）設(shè)工作總量為1，甲公司的每周工作效率為m，乙公司每周的工作效率為n，根據(jù)題意，得6(m（2）由（1）解得方程組的解為：m因?yàn)?10所以從時(shí)間上考慮，應(yīng)選擇甲公司．（3）解：設(shè)甲公司每周費(fèi)用為a萬(wàn)元，乙公司每周費(fèi)用為b萬(wàn)元，根據(jù)題意得：6解得：a甲公司共需35×10=30因?yàn)?萬(wàn)元＜6萬(wàn)元，所以從節(jié)約開(kāi)支上考慮，應(yīng)選擇乙公司．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確找到等量關(guān)系，列出方程組是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2023春·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期中）有一塊面積為180畝的荒地需要綠化，甲工程隊(duì)綠化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程隊(duì)完成，已知甲工程隊(duì)每天綠化8畝，乙工程隊(duì)每天綠化12畝，一共用20天完成．(1)設(shè)甲工程隊(duì)綠化m天，乙工程隊(duì)綠化n天，依題意可列方程組：______．(2)設(shè)甲工程隊(duì)綠化荒地x畝，乙工程隊(duì)綠化荒地y畝，請(qǐng)列方程組求甲、乙兩工程隊(duì)分別綠化荒地的畝數(shù)．【答案】(1)8(2)甲、乙兩工程隊(duì)分別綠化荒地120畝，60畝．【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)綠化m天，乙工程隊(duì)綠化n天，再由工作總量為180畝，工作總時(shí)間為20天列方程組即可；（2）設(shè)甲工程隊(duì)綠化荒地x畝，乙工程隊(duì)綠化荒地y畝，再由工作總量為180畝，工作總時(shí)間為20天列方程組，再解方程組即可；【詳解】（1）解：設(shè)甲工程隊(duì)綠化m天，乙工程隊(duì)綠化n天，則8m（2）設(shè)甲工程隊(duì)綠化荒地x畝，乙工程隊(duì)綠化荒地y畝，則x+y=180x解得：x=120答：甲、乙兩工程隊(duì)分別綠化荒地120畝，60畝．【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【題型3配套問(wèn)題】【例3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）張氏包裝廠承接了一批紙盒加工任務(wù)，用如圖①所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖②所示的豎式與橫式兩種上面無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒（加工時(shí)接縫材料不計(jì)）．(1)做1個(gè)豎式紙盒和2個(gè)橫式紙盒，需正方形紙板___________張（直接填空），需長(zhǎng)方形紙板___________張（直接填空）．(2)若該廠購(gòu)進(jìn)正方形紙板162張，長(zhǎng)方形紙板338張，問(wèn)豎式紙盒、橫式紙盒各加工多少個(gè)，恰好能將購(gòu)進(jìn)的紙板全部用完？（要求列二元一次方程組解決此問(wèn)題）【答案】(1)5；10(2)制作豎式紙盒38個(gè)、橫式紙盒62個(gè)，恰好能將購(gòu)進(jìn)的紙板全部用完【分析】（1）根據(jù)1個(gè)豎式紙盒需要長(zhǎng)方形紙板4張，正方形紙板1張，1個(gè)橫式紙盒需要長(zhǎng)方形紙板3張，正方形紙板2張，求出做1個(gè)豎式紙盒和2個(gè)橫式紙盒需要的正方形紙板和長(zhǎng)方形紙片的張數(shù)即可；（2）設(shè)制作豎式紙盒x個(gè)、橫式紙盒y個(gè)，根據(jù)制作豎式紙盒和橫式紙盒需要的正方形和長(zhǎng)方形紙板數(shù)列出方程組，解方程即可．【詳解】（1）解：需正方形紙板：1+2×2=5（張），長(zhǎng)方形紙板：4+3×2=10（張），故答案為：5；10．（2）解：設(shè)制作豎式紙盒x個(gè)、橫式紙盒y個(gè)，根據(jù)題意得：4x解得：x=38答：制作豎式紙盒38個(gè)、橫式紙盒62個(gè)，恰好能將購(gòu)進(jìn)的紙板全部用完．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正方形和長(zhǎng)方形張數(shù)列出方程組．3．（2023秋·山東濟(jì)南·七年級(jí)?？计谀┝蟹匠探M解應(yīng)題某校為7年級(jí)寄宿學(xué)生安排宿舍，每間宿舍住5人，則有4人住不下；若每間住6人，則有一間只住4人，求該年級(jí)寄宿的學(xué)生人數(shù)和宿舍間數(shù)？【答案】寄宿生人數(shù)為34人，宿舍間數(shù)為6間．【分析】設(shè)寄宿生人數(shù)為x人，宿舍間數(shù)為y間，根據(jù)學(xué)生的人數(shù)與房間的數(shù)量之間的關(guān)系建立方程組求出其解即可．【詳解】解：設(shè)寄宿生人數(shù)為x人，宿舍間數(shù)為y間，由題意，得x-解得：x=34答：寄宿生人數(shù)為34人，宿舍間數(shù)為6間．【點(diǎn)睛】本題考查了列二元一次方程組解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，二元一次方程組的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)學(xué)生的人數(shù)與房間的數(shù)量之間的關(guān)系建立方程組是關(guān)鍵．【變式31】（2023春·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考期中）一套餐桌有一張桌子和六把椅子組成．如果1立方米木料可以制作10張桌子，或制作15把椅子．現(xiàn)有15立方米的木料，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？【答案】用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．【分析】根據(jù)題意找出等量關(guān)系：1立方米木料可以制作10張桌子，或制作15把椅子和總共15立方米的木料，設(shè)出未知量列方程組計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)用x立方米的木料做桌子，用y立方米的木料做椅子，根據(jù)題意，得x+解這個(gè)方程組，得x=3經(jīng)檢驗(yàn)，方程組的解符合題意．所以用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程的應(yīng)用，難度一般，找準(zhǔn)等量關(guān)系是關(guān)鍵．【變式32】（2023春·廣東江門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）用鐵皮材料做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身30個(gè)，或制盒底50個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套．現(xiàn)有33張鐵皮材料，分別用多少?gòu)堉坪猩?、盒底，才能保證既恰好用完鐵皮材料，又使盒身和盒底正好配套？【答案】用15張制盒身，用18張制盒底，才能保證既恰好用完鐵皮材料，又使盒身和盒底正好配套【分析】設(shè)用x張制盒身，用y張制盒底，根據(jù)題中等量關(guān)系列出x、y的方程組，然后解方程組可求解．【詳解】解：設(shè)用x張制盒身，用y張制盒底，根據(jù)題意，得x+解得x=15答：用15張制盒身，用18張制盒底，才能保證既恰好用完鐵皮材料，又使盒身和盒底正好配套．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系并正確列出方程組是解答的關(guān)鍵．【變式33】（2023秋·安徽滁州·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）一工廠有60名工人，要完成1200套產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每套產(chǎn)品由4個(gè)A型零件和3個(gè)B型零件配套組成，每個(gè)工人每天能加工6個(gè)A型零件或者3個(gè)B型零件．現(xiàn)將工人分成兩組，每組分別加工一種零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工廠每天應(yīng)安排多少名工人生產(chǎn)A型零件?每天能生產(chǎn)多少套產(chǎn)品?(2)現(xiàn)工廠要在20天內(nèi)完成1200套產(chǎn)品的生產(chǎn)，決定補(bǔ)充一些新工人，這些新工人只能獨(dú)立進(jìn)行A型零件的加工，且每人每天只能加工4個(gè)A型零件．①設(shè)每天安排x名熟練工人和m名新工人生產(chǎn)A型零件，求x的值（用含m的代數(shù)式表示）②請(qǐng)問(wèn)至少需要補(bǔ)充多少名新工人才能在規(guī)定期限完成生產(chǎn)任務(wù)?【答案】(1)工廠每天應(yīng)安排24名工人生產(chǎn)A型零件，每天能生產(chǎn)36套產(chǎn)品(2)①x=-25m+24【分析】（1）設(shè)工廠每天安排x名工人生產(chǎn)A型零件，則工廠每天安排(60-x)名工人生產(chǎn)B型零件，根據(jù)“每套產(chǎn)品由4個(gè)A型零件和3個(gè)B型零件配套組成（2）①根據(jù)“x名熟練工人和m名新工人生產(chǎn)的A型零件等于1200套產(chǎn)品的A型零件總數(shù)”可列方程，進(jìn)行整理即可；②設(shè)需要補(bǔ)充m名新工人才能在規(guī)定期限完成生產(chǎn)任務(wù)，安排n名熟練工人生產(chǎn)A型零件，則安排(60-n)名熟練工人生產(chǎn)B型零件，根據(jù)題意，可得關(guān)于m、【詳解】（1）解：設(shè)工廠每天安排a名工人生產(chǎn)A型零件，則工廠每天安排(60-a)名工人生產(chǎn)由題意得：6a解得a=246a所以，工廠每天應(yīng)安排24名工人生產(chǎn)A型零件，每天能生產(chǎn)36套產(chǎn)品．（2）①設(shè)每天安排x名熟練工人和m名新工人生產(chǎn)A型零件，則安排(60-x)名熟練工人生產(chǎn)由題意得，3×(6x整理得x=-②設(shè)需要補(bǔ)充m名新工人才能在規(guī)定期限完成生產(chǎn)任務(wù)，安排n名熟練工人生產(chǎn)A型零件，則安排(60-n)名熟練工人生產(chǎn)由題意得20(6n解得m=60所以，至少需要補(bǔ)充60名新工人才能在規(guī)定期限完成生產(chǎn)任務(wù)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【題型4年齡問(wèn)題】【例4】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲．那么現(xiàn)在這對(duì)母女的年齡分別是多少？【答案】母親現(xiàn)在年齡35歲，女兒現(xiàn)在7歲【分析】設(shè)母親現(xiàn)在年齡x歲，女兒現(xiàn)在y歲，然后根據(jù)5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲，列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)母親現(xiàn)在年齡x歲，女兒現(xiàn)在y歲，則x解得x答：母親現(xiàn)在年齡35歲，女兒現(xiàn)在7歲．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于正確理解題意列出方程求解．【變式41】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）爸爸、媽媽、我、妹妹，四人今年的年齡之和是101歲，爸爸比媽媽大1歲，我比妹妹大6歲，十年前，我們一家的年齡之和是63歲，今年爸爸的年齡是（

）A．38歲 B．39歲 C．40歲 D．41歲【答案】C【分析】由題意得：妹妹今年的年齡為8歲，我今年的年齡為14歲，設(shè)媽媽今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為y歲，再由題意：一家四口人的年齡加在一起是101歲，爸爸比媽媽大1歲，列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：現(xiàn)在一家四口人的年齡之和應(yīng)該比十年前全家人年齡之和多40歲，但實(shí)際上101-63=38（歲），說(shuō)明十年前妹妹沒(méi)出生，則妹妹今年的年齡為10-(40-38)=8（歲），我的年齡為6+8=14設(shè)媽媽今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為y歲，由題意得：x+解得：x=39即爸爸今年的年齡為40歲，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式42】（2023秋·湖南永州·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）甲對(duì)乙說(shuō)：“我像你這樣大歲數(shù)的那年，你的歲數(shù)等于我今年的歲數(shù)的一半；當(dāng)你到我這樣大歲數(shù)的時(shí)候，我的歲數(shù)是你今年歲數(shù)的二倍少7歲．”則今年甲的年齡為歲，乙的年齡為歲．【答案】2821【分析】設(shè)今年甲的年齡為x歲，乙的年齡為y歲，則甲比乙大x-【詳解】解：設(shè)今年甲的年齡為x歲，乙的年齡為y歲，則甲比乙大x-由題意得：x2解得：x=28即今年甲的年齡為28歲，乙的年齡為21歲，故答案為：28，21．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找出合適的等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2023春·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）南安英都拔拔燈是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，因疫情原因停辦了好幾年，今年正月又重新舉行，吸引了眾多的海內(nèi)外游客參與．其中一位34歲的男子帶著他的兩個(gè)孩子參與了拔拔燈活動(dòng)，下面是記者與兩個(gè)孩子的對(duì)話：記者：兩位小朋友，你們幾歲了？這么小就來(lái)拔拔燈了．妹妹：我比哥哥少4歲；哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加．恰好等于爸爸的年齡；根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，請(qǐng)你用方程（組）的知識(shí)幫記者求出今年哥哥和妹妹的年齡．【答案】今年妹妹6歲，哥哥10歲．【分析】設(shè)今年妹妹的年齡為x歲，哥哥的年齡為y歲，根據(jù)兩個(gè)孩子的對(duì)話，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)今年妹妹的年齡為x歲，哥哥的年齡為y歲，根據(jù)題意得：x+4=解得：x=6答：今年妹妹6歲，哥哥10歲．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【題型5銷售問(wèn)題】【例5】（2023春·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）2020年1月底，武漢爆發(fā)“新冠”疫情，并開(kāi)始向全國(guó)蔓延，出于防疫的需求，醫(yī)用口罩迅速成為緊俏物資．某藥店為解市民的燃眉之急，先后兩次采購(gòu)了A、B兩種型號(hào)的醫(yī)用口罩進(jìn)行銷售．已知這兩種型號(hào)的醫(yī)用口罩進(jìn)貨情況如表：第一次第二次A型口罩(箱)2030B型口罩(箱)3040累計(jì)采購(gòu)款(元)5100072000（1）問(wèn)A，B兩種型號(hào)的口罩的進(jìn)貨單價(jià)各是多少元？（2）銷售中發(fā)現(xiàn)B型口罩的銷量明顯好于A型，藥店在計(jì)劃第三次采購(gòu)時(shí)，決定購(gòu)進(jìn)B型口罩的箱數(shù)比A型口罩的箱數(shù)的2倍還多10箱，在采購(gòu)總價(jià)不超過(guò)90000元的情況下，最多能購(gòu)進(jìn)多少箱B型口罩？【答案】（1）A種型號(hào)的口罩的進(jìn)貨單價(jià)是1200元，B種型號(hào)的口罩的進(jìn)貨單價(jià)是900元；（2）最多能購(gòu)進(jìn)64箱B型口罩．【分析】（1）設(shè)A種型號(hào)的口罩的進(jìn)貨單價(jià)是x元，B種型號(hào)的口罩的進(jìn)貨單價(jià)是y元，根據(jù)題意列出關(guān)于x和y的二元一次方程組，進(jìn)而求出A，B兩型口罩的進(jìn)貨單價(jià)．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)m箱A型口罩，購(gòu)進(jìn)(2m+10)箱B型口罩，列出不等式1200m【詳解】（1）設(shè)A種型號(hào)的口罩的進(jìn)貨單價(jià)是x元，B種型號(hào)的口罩的進(jìn)貨單價(jià)是y元，根據(jù)題意可得：20x解得：x=1200答：A種型號(hào)的口罩的進(jìn)貨單價(jià)是1200元，B種型號(hào)的口罩的進(jìn)貨單價(jià)是900元．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)m箱A型口罩，購(gòu)進(jìn)(2m+10)箱B型口罩，由題意可得：1200m解得：m≤27又∵m為正整數(shù)∴m的最大值為27．此時(shí)2m+10=64．答：最多能購(gòu)進(jìn)64箱B型口罩．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用；在求解的過(guò)程中二元一次方程組可用加減消元法和代入消元法兩種消元的方法，而一元一次不等式的解集求出以后，還要根據(jù)題意對(duì)于未知數(shù)進(jìn)行正確的取值．【變式51】（2023春·重慶·七年級(jí)重慶市育才中學(xué)校考期中）向日葵水果店推出甲乙兩種禮盒，甲禮盒中有櫻桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，乙禮盒中有櫻桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，已知櫻桃每千克30元，甲禮盒每盒100元，乙禮盒每盒98元，當(dāng)然，顧客也可根據(jù)需要自由搭配，小陶用1100元買乙禮盒和自由搭配禮盒(香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克)若干盒，則小陶一共可買禮盒個(gè)．【答案】10【分析】設(shè)枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，列出方程組，得到自由搭配禮盒每盒138元，設(shè)乙禮盒m個(gè)，自由搭配禮盒n個(gè)，得到98m+138n=1100，根據(jù)m，n為非負(fù)整數(shù)，得到m，n的值即可．【詳解】解：設(shè)枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，則30+0.5x由①+②得：x+y+a=138，即自由搭配禮盒每盒138元，設(shè)乙禮盒m個(gè)，自由搭配禮盒n個(gè)，則98m+138n=1100，∵m，n為非負(fù)整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)m=7，n=3時(shí)，等式成立，∴一共可以買禮盒7+3=10（個(gè)），故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，確定自由搭配禮盒每盒138元．【變式52】（2023春·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谀┠成痰攴謨纱钨?gòu)進(jìn)A，B型兩種臺(tái)燈進(jìn)行銷售，兩次購(gòu)進(jìn)的數(shù)量及費(fèi)用如下表所示，由于物價(jià)上漲，第二次購(gòu)進(jìn)A，B型兩種臺(tái)燈時(shí)，兩種臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別上漲30%，20%．購(gòu)進(jìn)的臺(tái)數(shù)購(gòu)進(jìn)所需要的費(fèi)用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次購(gòu)進(jìn)A，B型兩種臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)A，B型兩種臺(tái)燈銷售單價(jià)不變，第一次購(gòu)進(jìn)的臺(tái)燈全部售出后，獲得的利潤(rùn)為2800元，第二次購(gòu)進(jìn)的臺(tái)燈全部售出后，獲得的利潤(rùn)為1800元．①求A，B型兩種臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)分別是多少元？②若按照第二次購(gòu)進(jìn)A，B型兩種臺(tái)燈的價(jià)格再購(gòu)進(jìn)一次，將再次購(gòu)進(jìn)的臺(tái)燈全部售出后，要想使獲得的利潤(rùn)為1000元，求有哪幾種購(gòu)進(jìn)方案？【答案】(1)第一次購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)為200元，B型臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)為50元(2)①A型臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)為340元，B型臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)為120元；②有4種購(gòu)進(jìn)方案：①購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈2臺(tái)，B型臺(tái)燈14臺(tái)；②購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈5臺(tái)，B型臺(tái)燈10臺(tái)；③購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈8臺(tái)，B型臺(tái)燈6臺(tái)；④購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈11臺(tái)，B型臺(tái)燈2臺(tái)【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系式：第一次購(gòu)買10臺(tái)A型臺(tái)燈的費(fèi)用+第一次購(gòu)買20臺(tái)B型臺(tái)燈的費(fèi)用=3000元，第二次購(gòu)買15臺(tái)A型臺(tái)燈的費(fèi)用+第二次購(gòu)買10臺(tái)B型臺(tái)燈的費(fèi)用=4500元，列出方程組，接可求解；（2）①根據(jù)等量關(guān)系式：第一次的10臺(tái)A型臺(tái)燈的利潤(rùn)+第一次的20臺(tái)B型臺(tái)燈的利潤(rùn)=2800元，第二次的15臺(tái)A型臺(tái)燈的利潤(rùn)+第二次購(gòu)買10臺(tái)B型臺(tái)燈的利潤(rùn)=1000元，列出方程組，接可求解；②設(shè)再購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈a臺(tái)，B型臺(tái)燈b臺(tái)，由按第二次購(gòu)買的價(jià)格購(gòu)買，a臺(tái)A型臺(tái)燈售出獲得利潤(rùn)+b臺(tái)B型臺(tái)燈售出獲得利潤(rùn)=1000元，列方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)為x元，B型臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)為y元，由題意得：10x解得：x=200答：第一次購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)為200元，B型臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)為50元．（2）解：①設(shè)A型臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)為m元，B型臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)為n元，由題意得：10m解得，m=340答：A型臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)為340元，B型臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)為120元；②第二次購(gòu)進(jìn)的A型臺(tái)燈的價(jià)格為：2001+30%=260（元），B型臺(tái)燈的價(jià)格為：設(shè)購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈a臺(tái)，B型臺(tái)燈b臺(tái)，由題意得：340-260a整理得：4a∴b∵a、b為自然數(shù)，∴a=2b=14或a=5∴有4種購(gòu)進(jìn)方案：①購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈2臺(tái)，B型臺(tái)燈14臺(tái)；②購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈5臺(tái)，B型臺(tái)燈10臺(tái)；③購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈8臺(tái)，B型臺(tái)燈6臺(tái)；④購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈11臺(tái)，B型臺(tái)燈2臺(tái)．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系式，正確列出方程（組）是解題的關(guān)鍵．【變式53】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）為了解決農(nóng)民工子女入學(xué)難的問(wèn)題，我市建立了一套進(jìn)城農(nóng)民工子女就學(xué)的保障機(jī)制，其中一項(xiàng)就是免交“借讀費(fèi)”．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2004年秋季有5000名農(nóng)民工子女進(jìn)入主城區(qū)中小學(xué)學(xué)習(xí)，預(yù)計(jì)2005年秋季進(jìn)入主城區(qū)中小學(xué)學(xué)習(xí)的農(nóng)民工子女比2004年有所增加，其中小學(xué)增加20%，中學(xué)增加30%，這樣，2005年秋季將新增1160名農(nóng)民工子女在主城區(qū)中小學(xué)學(xué)習(xí)．（1）如果按小學(xué)每生每年收“借讀費(fèi)”500元，中學(xué)每生每年收“借讀費(fèi)”1000元計(jì)算，求2005年新增加的1160名中小學(xué)學(xué)生共免收多少“借讀費(fèi)”？（2）如果小學(xué)每增加40名學(xué)生需配備2名教師，中學(xué)每增加40名學(xué)生需配備3名教師，若按2005年秋季入學(xué)后，農(nóng)民工子女在主城區(qū)中小學(xué)就讀的學(xué)生增加的人數(shù)計(jì)算，一共需要配備多少名中小學(xué)教師？【答案】(1)820000元；(2)480人.【詳解】本題考查的是方程組的應(yīng)用（1）根據(jù)題意可知本題的等量關(guān)系有，2005年進(jìn)入小學(xué)學(xué)習(xí)的人數(shù)=（1+20%）×2004年進(jìn)入小學(xué)學(xué)習(xí)的人數(shù)，2005年進(jìn)入中學(xué)學(xué)習(xí)的人數(shù)=（1+30%）×2004進(jìn)入中學(xué)學(xué)習(xí)的人數(shù)．2005年進(jìn)入中小學(xué)學(xué)習(xí)的總?cè)藬?shù)=5000+1160．依此列方程組再求解．（2）先算出秋季入學(xué)后，在小學(xué)就讀的學(xué)生人數(shù)及在中學(xué)就讀的學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)師生比例即得結(jié)果．（1）設(shè)2004年秋季在主城區(qū)小學(xué)學(xué)習(xí)的農(nóng)民工子女有x人，在主城區(qū)中學(xué)學(xué)習(xí)的農(nóng)民工子女有人，由題意可得：解得{∴，30%y∴500×680＋1000×480＝820000（元）＝82（萬(wàn)元）答：共免收82萬(wàn)元（或820000元）“借讀費(fèi)”.（2）2005年秋季入學(xué)后，在小學(xué)就讀的學(xué)生有（名），在中學(xué)就讀的學(xué)生有（名）.∴（名）答：一共需要配備360名中小學(xué)教師.【題型6分配問(wèn)題】【例6】（2023春·北京海淀·七年級(jí)北京育英中學(xué)?？计谀橛?008年奧運(yùn)會(huì)，某工藝廠準(zhǔn)備生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志“中國(guó)印”和奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃”.該廠主要用甲、乙兩種原料，已知生產(chǎn)一套奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志需要甲原料和乙原料分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運(yùn)會(huì)吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5盒和10盒．該廠購(gòu)進(jìn)甲、乙原料的量分別為20000盒和30000盒，如果所進(jìn)原料全部用完，求該廠能生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志和奧運(yùn)會(huì)吉祥物各多少套？【答案】生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志2000套，生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)吉祥物2400套【分析】設(shè)生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志x套，生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)吉祥物y套．兩個(gè)等量關(guān)系為：4×奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志套數(shù)+5×奧運(yùn)會(huì)吉祥物套數(shù)=20000；3×奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志套數(shù)+10×奧運(yùn)會(huì)吉祥物套數(shù)=30000．再列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志x套，生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)吉祥物y套．根據(jù)題意得4x①×2-②得5x∴x把x=2000代入①得5∴y答：該廠能生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志2000套，生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)吉祥物2400套．【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系：4×奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志套數(shù)+5×奧運(yùn)會(huì)吉祥物套數(shù)=20000；3×奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志套數(shù)+10×奧運(yùn)會(huì)吉祥物套數(shù)=30000，列出方程組，再求解．本題需注意應(yīng)根據(jù)用的原料種類分類判斷得到等量關(guān)系．【變式61】（2023春·廣西桂林·七年級(jí)校考期中）某汽車制造廠生產(chǎn)一款電動(dòng)汽車，計(jì)劃一個(gè)月生產(chǎn)200輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來(lái)完成電動(dòng)汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人，也能獨(dú)立進(jìn)行電動(dòng)汽車的安裝．生產(chǎn)開(kāi)始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動(dòng)汽車，2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動(dòng)汽車（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動(dòng)汽車？（2）若工廠現(xiàn)在有熟練工人30人，求還需要招聘多少新工人才能完成一個(gè)月的生產(chǎn)計(jì)劃？【答案】（1）每名熟練工每月可以安裝4輛電動(dòng)汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動(dòng)汽車；（2）40名【分析】（1）設(shè)每名熟練工每月可以按裝x輛電動(dòng)汽車，每名新工人每月可以按裝y輛電動(dòng)汽車，根據(jù)“1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動(dòng)汽車；2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動(dòng)汽車”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)還需要招聘m名新工人才能完成一個(gè)月的生產(chǎn)計(jì)劃，根據(jù)工作總量＝工作效率×人數(shù)結(jié)合計(jì)劃一個(gè)月生產(chǎn)200輛，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)每名熟練工每月可以安裝x輛電動(dòng)汽車，每名新工人每月可以安裝y輛電動(dòng)汽車，依題意，得：x+2解得：x=4答：每名熟練工每月可以安裝4輛電動(dòng)汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動(dòng)汽車．（2）設(shè)還需要招聘m名新工人才能完成一個(gè)月的生產(chǎn)計(jì)劃，依題意，得：4×30+2m＝200，解得：m＝40．答：還需要招聘40名新工人才能完成一個(gè)月的生產(chǎn)計(jì)劃．【點(diǎn)睛】本題考查的是用二元一次方程組解決問(wèn)題中的工程問(wèn)題，理解題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系列出方程組是解答關(guān)鍵.【變式62】（2023春·浙江·七年級(jí)期末）杭州某公司準(zhǔn)備安裝完成6000輛如圖所示款共享單車投入市場(chǎng)．由于抽調(diào)不出足夠熟練工人，公司準(zhǔn)備招聘一批新工人．生產(chǎn)開(kāi)始后發(fā)現(xiàn)：1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天裝的共享單車數(shù)與3名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．（1）求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車?（2）若公司原有熟練工a人，現(xiàn)招聘n名新工人a>n，使得最后能剛好一個(gè)月（30天）完成安裝任務(wù)，求【答案】（1）每名熟練工人每天可以安裝12輛共享單車，每名新工人每天可以安裝8輛共享單車；（2）a的值為16或14或12．【分析】（1）設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)“1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天安裝的共享單車數(shù)與3名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)抽調(diào)a名熟練工人，由工作總量＝工作效率×工作時(shí)間，即可得出關(guān)于n，a的二元一次方程，再根據(jù)n，a均為正整數(shù)且n＜a，即可求出n的值．【詳解】解：（1）設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)題意得：x+2解得：x=12答：每名熟練工人每天可以安裝12輛共享單車，每名新工人每天可以安裝8輛共享單車．（2）根據(jù)題意得：30×（8n+12a）＝6000，整理得：n＝25﹣32a∵n，a均為正整數(shù)，且n＜a，∴n=1a=16，n∴a的值為16或14或12．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．【變式63】（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題解決：糖葫蘆一般是用竹簽串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，現(xiàn)將一些山楂分別串在若干個(gè)竹簽上，如果每根竹簽串4個(gè)山楂，還剩余3個(gè)山楂；如果每根竹簽串7個(gè)山楂，還剩余6根竹簽，求竹簽有多少根？山楂有多少個(gè)？反思?xì)w納：現(xiàn)有m根竹簽，n個(gè)山楂，若每根竹簽串a(chǎn)個(gè)山楂，還剩b個(gè)山楂，則m、n、a、b滿足的等量關(guān)系為（用含m、n、a、b的代數(shù)式表示）．【答案】竹簽有15根，山楂有63個(gè)；am+b＝n．【分析】設(shè)竹簽有x根，山楂有y個(gè)，根據(jù)“如果每根竹簽串4個(gè)山楂，還剩余3個(gè)山楂；如果每根竹簽串7個(gè)山楂，還剩余6根竹簽”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出竹簽及山楂的數(shù)量；利用山楂的個(gè)數(shù)＝每根竹簽串的山楂個(gè)數(shù)×竹簽數(shù)量+剩余山楂的數(shù)量，即可找出m、n、a、b之間的等量關(guān)系．【詳解】問(wèn)題解決：設(shè)竹簽有x根，山楂有y個(gè)，依題意得：4x解得：x=15答：竹簽有15根，山楂有63個(gè)．∵山楂的個(gè)數(shù)＝每根竹簽串的山楂個(gè)數(shù)×竹簽數(shù)量+剩余山楂的數(shù)量∴am+b＝n．故答案為：am+b＝n．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．【題型7幾何圖形問(wèn)題】【例7】（2023春·江蘇蘇州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）把長(zhǎng)都是寬的兩倍的1個(gè)大長(zhǎng)方形紙片和4個(gè)相同的小長(zhǎng)方形紙片按圖①、圖②方式擺放，則圖②中的大長(zhǎng)方形紙片未被4個(gè)小長(zhǎng)方形紙片覆蓋部分的面積為cm2．【答案】24【分析】根據(jù)題意中的等量關(guān)系大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+2倍小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=12，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)2倍小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=4列出方程組進(jìn)行求解.【詳解】解：設(shè)大長(zhǎng)方形長(zhǎng)為x,小長(zhǎng)方形長(zhǎng)為y.根據(jù)題意，得{x+2∴大長(zhǎng)方形的寬為4，小長(zhǎng)方形的寬為1.4×8-1×2×4=24.所以被覆蓋部分的面積為24【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，再列出方程．【變式71】（2023春·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在長(zhǎng)為18m，寬為15m的長(zhǎng)方形空地上，沿平行于長(zhǎng)方形各邊的方向分別割出三個(gè)大小完全一樣的小長(zhǎng)方形花圃，其示意圖如圖所示，則其中一個(gè)小長(zhǎng)方形花圃的面積為（

）

A．10m2 B．12m2 C．【答案】D【分析】設(shè)小長(zhǎng)方形花圃的長(zhǎng)為xm，寬為y【詳解】解：設(shè)小長(zhǎng)方形花圃的長(zhǎng)為xm，寬為y根據(jù)題意可得：2x解得：x=7∴xy=7×4=28∴一個(gè)小長(zhǎng)方形花圃的面積為：28m故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式72】（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，放入6個(gè)形狀、大小都相同的小長(zhǎng)方形，所標(biāo)尺寸如圖所示.

(1)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是多少？(2)求陰影部分的面積.【答案】(1)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為10cm，寬為3(2)67cm【分析】（1）設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm，觀察圖形即可列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、（2）根據(jù)陰影部分的面積=大長(zhǎng)方形的面積-6【詳解】（1）設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，寬為y根據(jù)圖形可知：x+3解得：x=10答：小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為10cm，寬為3（2）由（1）得：小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為10cm，寬為3∴長(zhǎng)方形ABCD的寬為13cm則陰影部分的面積=大長(zhǎng)方形的面積-6=13×19-6×3×10，=67(cm答：陰影部分的面積為67cm【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，觀察圖形列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式73】（2023春·山西·七年級(jí)統(tǒng)考期中）小敏通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，生活中很多產(chǎn)品的包裝都是長(zhǎng)方體，她從家里找了一個(gè)長(zhǎng)方體包裝盒，將其展開(kāi)后，得到如圖所示的示意圖，根據(jù)示意圖中的數(shù)據(jù)可得原長(zhǎng)方體的體積為cm【答案】192【分析】根據(jù)圖形分析得到長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是8cm，設(shè)寬是xcm，高是ycm，列方程組求解即可得到寬和高，再根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式計(jì)算體積.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的寬是xcm，高是ycm，由題意得2×8+x解得x=6∴長(zhǎng)方體的體積是8×6×4=192（c故答案為：192.【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，正確觀察圖形理解長(zhǎng)、寬、高之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【題型8數(shù)字問(wèn)題】【例8】（2023春·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）某兩位數(shù)，兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和為11．這個(gè)兩位數(shù)加上45，得到的兩位數(shù)恰好等于原兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字交換位置所表示的數(shù)，求原兩位數(shù)．(1)列一元一次方程求解．(2)如果設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，列二元一次方程組．(3)檢驗(yàn)（1）中求得的結(jié)果是否滿足（2）中的方程組．【答案】(1)原兩位數(shù)為38(2)x(3)（1）中求得的結(jié)果滿足（2）中的方程組【分析】（1）設(shè)原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為m，則十位數(shù)字為11-m（2）設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，根據(jù)題意，列出方程組即可求解；（3）結(jié)合（1），可知：x=3，y=8【詳解】（1）解：設(shè)原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為m，則十位數(shù)字為11-m依題意，得：10×11-解得：m=8∴11-m答：原兩位數(shù)為38；（2）設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，依題意，得：x+（3）結(jié)合（1）可知，x=3，y∴x+y=11∴（1）中求得的結(jié)果滿足（2）中的方程組．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程（組）是解題的關(guān)鍵．【變式81