專題07三角形中的重要模型-等積模型（教師卷）

專題07三角形中的重要模型等積模型三角形的面積問題在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，等積變形是中學(xué)幾何里面一個(gè)非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容。本專題就三角形中的等積模型（蝴蝶（風(fēng)箏）模型，燕尾模型，鳥頭模型，沙漏模型，金字塔模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.等積變換基礎(chǔ)模型1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；如圖1，當(dāng)//，則；反之，如果，則可知直線//。圖1圖2圖32）兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比。如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如圖3，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BE⊥AD，CF⊥AD時(shí)，則S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。例1．（山東省臨沂市20232024學(xué)年八年級(jí)月考）如圖，是邊的中線，點(diǎn)E在上，，的面積是3，則的面積是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用三角形面積公式，等高的三角形的面積比等于底邊的比，由此利用已知條件可以分別求出．【詳解】解：∵是邊的中線，的面積是3，∴，∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積：三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半；三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．例2．（河北省石家莊市20232024學(xué)年八年級(jí)月考）如圖，是的邊上的中線，是的邊上的中線，是的邊上的中線，若的面積是32，則陰影部分的面積是（）

A．9 B．12 C．18 D．20【答案】B【分析】利用中線等分三角形的面積進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵是的邊上的中線，∴，∵是的邊上的中線，∴，又∵是的邊上的中線，則是的邊上的中線，∴，，則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了中線的性質(zhì)，清晰明確三角形之間的等量關(guān)系，進(jìn)行等量代換是解題的關(guān)鍵．例3．（湖北十堰五校聯(lián)考20232024學(xué)年八年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)為的重心，，，分別為，，的中點(diǎn)，具有性質(zhì)：．已知的面積為2，則的面積為．【答案】12【分析】根據(jù)高相等的兩個(gè)三角形的面積之比等于底之比可得答案．【詳解】解：，的面積為2，的面積為4，的面積為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，的面積的面積，的面積為，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的重心，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握高相等的兩個(gè)三角形的面積之比等于底之比是解題的關(guān)鍵．例4．（浙江省杭州市20232024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，是的一條中線，E為邊上一點(diǎn)且，相交于F，四邊形的面積為6，則的面積是．

【答案】14.4【分析】連接,設(shè)則根據(jù)為邊上中線，可得；根據(jù)，可得進(jìn)而，的面積可表示為和由此建立方程解出a的值即可得到的面積.【詳解】解：連接，如圖所示：設(shè)則

∵為邊上中線，∵，，，即解得:.，故答案為:14.4.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積的計(jì)算，關(guān)鍵是利用同底等高的三角形面積相等、等高不同底的三角形面積比為底之比來(lái)表示出三角形面積，進(jìn)而使用方程思想解決問題.例5．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積．如圖1，是邊上的中線，則．理由：因?yàn)槭沁吷系闹芯€，所以．又因?yàn)?，，所以．所以三角形中線等分三角形的面積．基本應(yīng)用：在如圖2至圖4中，的面積為a．(1)如圖2，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)D，使，連接．若的面積為，則（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖3，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊到點(diǎn)E，使，，連接．若的面積為，則（用含a的代數(shù)式表示）；(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接，，得到（如圖4）．若陰影部分的面積為，則（用含a的代數(shù)式表示）；拓展應(yīng)用：(4)如圖5，點(diǎn)D是的邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段，的中點(diǎn)，且的面積為，則的面積為（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由．【答案】(1)a(2)2a(3)6a(4)2a，見解析【分析】（1）直接根據(jù)“等底同高的三角形面積相等”即可得出答案；（2）連接，運(yùn)用“等底同高的三角形面積相等”得出，即可得解；（3）由（2）結(jié)論即可得出，從而得解；（4）點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，可得，．．點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，可得．從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖2，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)，使，為的中線，即；（2）如圖3，連接，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)，延長(zhǎng)邊到點(diǎn)，使，，，，，即；（3）由（2）得，同理：，，；（4），理由如下：理由：∵點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，∴，．∴．∵點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，∴．∴．【點(diǎn)睛】此題考查了閱讀與理解：三角形中線的性質(zhì)，等底同高的三角形面積相等，靈活運(yùn)用這個(gè)結(jié)論并適當(dāng)添加輔助線是解答此題的關(guān)鍵．例6．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)期中）解答下列各題(1)如圖1，已知直線，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)、在直線上，當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，總有______與的面積相等．(2)解答下題．①如圖2，在中，已知，且邊上的高為5，若過(guò)作，連接、，則的面積為______．②如圖3，、、三點(diǎn)在同一直線上，，垂足為．若，，，，求的面積．(3)如圖4，在四邊形中，與不平行，，且，過(guò)點(diǎn)畫一條直線平分四邊形的面積（簡(jiǎn)單說(shuō)明理由）．【答案】(1)(2)①15；②(3)圖見解析，理由見解析【分析】（1）根據(jù)，可得和同底等高，即可求解；（2）①先求出，再由，可得△ABC和△BAE是同底等高的兩個(gè)三角形，即可求解；②先求出=，再由，，可得AC∥BF，從而得到，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，取DE的中點(diǎn)F，作直線AF，則直線AF即為所求，可得，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴和同底等高，則與的面積相等；（2）解：①∵，且邊上的高為5，∴，∵，∴△ABC和△BAE是同底等高的兩個(gè)三角形，∴；②∵，，，∴，∵，，∴，，∴∠EBG=120°，∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠BAC，∴AC∥BF，∴；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，取DE的中點(diǎn)F，作直線AF，則直線AF即為所求，理由如下：∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，∴，∴，∴，∵，∴所以面積等分線必與CD相交，取DE中點(diǎn)F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行的性質(zhì)，熟練掌握兩平行線間的距離處處相等，并利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑。通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系。蝴蝶定理：任意四邊形中的比例關(guān)系如圖1，結(jié)論：①或；②。梯形蝴蝶定理：梯形中比例關(guān)系如圖2，結(jié)論：①；②；③梯形的對(duì)應(yīng)份數(shù)為。例1．在四邊形ABCD中，AC和BD互相垂直并相交于O點(diǎn)，四個(gè)小三角形的面積如圖所示．則陰影部分三角形BCO的面積為．【答案】45【詳解】設(shè)陰影部分面積為x。根據(jù)蝴蝶（風(fēng)箏）定理：即：20：x=16：36解得：x=45估陰影部分的面積為45.例2、如圖，S△ACB＝24平方厘米，S△ACD＝16平方厘米，S△ABD＝25平方厘米，則S△COB為平方厘米?！敬鸢浮?平方厘米【解析】在四邊形ABCD中，根據(jù)蝴蝶（風(fēng)箏）模型得：DO：BO＝S△ACD：S△ACB＝16：24＝2：3，則S△AOB＝S△ABD＝×25＝15（平方厘米），則S△COB＝S△ACB—S△AOB＝24—15＝9（平方厘米）例3、如下圖，梯形的平行于，對(duì)角線，交于，已知與的面積分別為平方厘米與平方厘米，那么梯形的面積是________平方厘米．【答案】144平方厘米【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，，可得，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)．那么梯形的面積為(平方厘米)．例4、如圖，梯形中，、的面積分別為和，則梯形的面積為．【答案】7.5【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，，所以，，，．例5、梯形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB垂直AC，并且已知AO＝6厘米，BO＝10厘米，則三角形DOC的面積是平方厘米?！敬鸢浮?4平方厘米【解析】在梯形ABCD中，根據(jù)蝴蝶定理得：S△DOC＝S△AOB在直角三角形AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB2＝OB2—OA2＝102—62＝64＝82，所以AB＝8所以S△DOC＝S△AOB＝6×8÷2＝24（平方厘米）例6、圖中大平行四邊形被分成若干小塊，其中四塊的面積已經(jīng)標(biāo)出，則中間的四邊形GQHS的面積為?！敬鸢浮?7【解析】如下圖，連接EF、GH和IJ在平行四邊形ABEF中，根據(jù)蝴蝶模型得：S△ABP＝S△EPF＝6，在平行四邊形EFGH中，S△EQF＝S△GQH＝13—6＝7；在平行四邊形IDCJ中，S△DCT＝S△IJT＝5，在平行四邊形GIJH中，S△GSH＝S△ISJ＝15—5＝10，所以S四邊形GQHS＝S△GQH＋S△ISJ＝7＋10＝17模型3.燕尾（定理）模型條件：如圖，在中，E分別是上的點(diǎn)，在上一點(diǎn)，結(jié)論：S1S2S3S4S1+S3S2+S4BEEC。例1、如圖，△ABC中，M、N分別是BC、AC邊上的三等分點(diǎn)，AM、BN相交于點(diǎn)O，已知△BOM的面積為2，則四邊形MCNO的面積為?！敬鸢浮?【解析】如圖，連接OC由“燕尾定理”可得：,所以可得所以,所以四邊形MCNO的面積為8.例2．（2023·山東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)P、Q分別在邊AC、BC上，BP與AQ相交于點(diǎn)O，若△BOQ、△ABO、△APO的面積分別為1、2、3，則△PQC的面積為（

）A．22 B．22.5 C．23 D．23.5【答案】B【分析】連接CO，根據(jù)△BOQ、△ABO、△APO的面積分別為1、2、3，求出S△POQ=1.5，設(shè)S△OPC=x，S△COQ=y，仍然利用△BOQ、△ABO、△APO的面積分別為1、2、3，列出關(guān)于x、y的方程組，解得x、y的值，然后利用S△QPC=S△OPC+S△COQS△POQ即可求出答案．【詳解】連接CO，∵△BOQ、△ABO、△APO的面積分別為1、2、3，∴，，∴S△POQ=1.5，設(shè)S△OPC=x，S△COQ=y，則，解得，S△QPC=S△OPC+S△COQS△POQ=15+91.5=22.5．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形關(guān)于面積的相關(guān)知識(shí)與運(yùn)算.例3．如下圖，三角形中，，且三角形的面積是，則三角形的面積為．【答案】19【詳解】連接BG，份根據(jù)燕尾定理，，得(份)，(份)，則(份)，因此,同理連接AI、CH得,,所以三角形GHI的面積是1，所以三角形ABC的面積是19例4．（2023江蘇淮安九年級(jí)月考）已知的面積是60，請(qǐng)完成下列問題：

(1)如圖1，若是的邊上的中線，則的面積______的面積．（填“>”“<”“=”）(2)如圖2，若、分別是的、邊上的中線，求四邊形的面積可以用如下方法，連接，由得：，同理：，設(shè)，，則，由題意得：，，可列方程組為：，解得______，則可得四邊形的面積為______．(3)如圖3，，，則四邊形的面積為______．(4)如圖4，D，F(xiàn)是的三等分點(diǎn)，E，G是的三等分點(diǎn)，與交于O，且，則四邊形A的面積為______．【答案】(1)=(2)，20(3)11(4)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，根據(jù)中線的定義得出，再根據(jù)三角形的面積公式得出，即可得出結(jié)論；（2）用加減消元法求解該二元一次方程組，根據(jù)，即可求解；（3）連接，根據(jù)題意得出，，則，，設(shè)，，則，，列出方程組求解，最后根據(jù)即可求解；（4）連接，根據(jù)題意得出，，用和（3）一樣的方法即可求解．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，∵是的邊上的中線，∴，∵，∴，故答案為：=；

（2）解：，得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴原方程組的解為，∴，故答案為：，20；（3）解：連接，∵，，∴，，∵的面積是60，∴，，設(shè)，，則，，，解得：，∴；故答案為：11；

（4）解：連接，∵D，F(xiàn)是的三等分點(diǎn)，E，G是的三等分點(diǎn)，∴，，∴，，∵的面積是60，∴，，設(shè)，，則，，，解得：，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握同高三角形面積比等于底的比．模型4.鳥頭定理（共角定理）模型圖1圖2共角三角形：兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比。如圖，在中，分別是上的點(diǎn)(如圖1)或在的延長(zhǎng)線上，在上(如圖2)，則例1、如圖，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上得點(diǎn)，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的面積是16平方厘米，則ABC的面積為?！敬鸢浮?0平方厘米【解析】①觀察：圖中存在鳥頭模型?假設(shè)：設(shè)三角形ABC的面積為a轉(zhuǎn)化：由鳥頭模型比例關(guān)系有：16：a=（4×2）：（5×7），得a=70。即三角形ABC的面積是70平方厘米。例2．（2023·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀理解如果兩個(gè)三角形中有一組對(duì)應(yīng)角相等或互補(bǔ)，那么這兩個(gè)三角形叫做共角三角形，共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比，例：在圖1中，點(diǎn)D，E分別在AB和AC上，△ADE和△ABC是共角三角形，則證明：分別過(guò)點(diǎn)E，C作EG⊥AB于點(diǎn)G，CF⊥AB于點(diǎn)F，得到圖2，∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴又即任務(wù)：（1）如圖3，已知∠BAC+∠DAE=180°，請(qǐng)你參照材料的證明方法，求證：（2）在（1）的條件下，若則AE=．【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DA交DA延長(zhǎng)線于F，可得∠EFA=∠CGA=90°，再由∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，推出∠CAG=∠EAF，即可證明△CAG∽△EAF，得到，再由，，得到．（2）根據(jù)，，可得，由此求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DA交DA延長(zhǎng)線于F，∴∠EFA=∠CGA=90°，∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，∴∠CAG=∠EAF，∴△CAG∽△EAF，∴，∵，，∴；（2）∵，，∴，∵∴故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確讀懂題意作出輔助線構(gòu)造相似三角形．例3．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）問題提出：如圖1，D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DE，已知線段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，則S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之間會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？問題解決：探究一：（1）看到這個(gè)問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律．如圖2，若DE∥BC，則∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方．可得．根據(jù)上述這兩個(gè)式子，可以推出：．（2）如圖3，若∠ADE＝∠C，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；著不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結(jié)論：？方法回顧：兩個(gè)三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當(dāng)兩個(gè)三角形的底成高具有一定的關(guān)系時(shí)，也可以解決．如圖4，D在△ABC的邊上，做AH⊥BC于H，可得：．借用這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你解決最初的問題．延伸探究：（1）如圖5，D、E分別在△ABC的邊AB、AC反向延長(zhǎng)線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，則．（2）如圖6，E在△ABC的邊AC上，D在AB反向延長(zhǎng)線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，．結(jié)論應(yīng)用：如圖7，在平行四邊形ABCD中，G是BC邊上的中點(diǎn)，延長(zhǎng)GA到E，連接DE交BA的延長(zhǎng)線于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，?ABCD的面積為30，則△AEF的面積是．【答案】探究一：（2）見解析；延伸探究：（1）;（2）；結(jié)論應(yīng)用：【分析】問題解決：探究一（2）：參照（1）中證明方法解答即可；探究二，過(guò)D、B點(diǎn)分別作,垂足分別為M、N，然后按照探究一中方法證明即可；延伸探究：（1）過(guò)D、B點(diǎn)分別作,垂足分別為M、N，然后按照探究一中方法證明即可；（2）過(guò)D、B點(diǎn)分別作,垂足分別為M、N，然后按照探究一中方法證明即可；結(jié)論應(yīng)用：取AD的中點(diǎn)M，連接GM并延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)N，連接DG，可得,根據(jù)題意，進(jìn)而得出,根據(jù)AM=DM,,可得FN=DN，根據(jù)AE=2，AG=4，，可得FN=2EF，進(jìn)而可得ED=5EF，即可得出．【詳解】解：?jiǎn)栴}解決：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴,∴，∴；探究二：過(guò)D、B點(diǎn)分別作,垂足分別為M、N，∵，∴,∴,；延伸探究：（1）過(guò)D、B點(diǎn)分別作,垂足分別為M、N，∵，∴,∴,；（2）過(guò)D、B點(diǎn)分別作,垂足分別為M、N，∵，∴,∴,;結(jié)論應(yīng)用：取AD的中點(diǎn)M，連接GM并延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)N，連接DG，∴AM=DM，，∵AE=2，AG=4，∴,∵AM=DM,,∴FN=DN，∵AE=2，AG=4，,∴,即：FN=2EF,∴ED=5EF，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型5.金字塔與沙漏模型金字塔模型沙漏模型條件：①；②。例1．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)D、E分別是邊上的點(diǎn)，且，面積比為，交于點(diǎn)F．則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比即可求解．【詳解】解：∵，是公共角，∴，∴，∵，∴，∵，面積比為∴相似比為，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，明確“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上高的比等于相似比”，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．例2．（2023·福建龍巖·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，，與相交于點(diǎn)．如果，那么等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，得到，，結(jié)合面積比等于相似比平方即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比等于相似比的平方．例3．（2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)O，則的面積與的面積的比為（

）A．1：2 B． C．1：4 D．【答案】C【分析】設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為1，根據(jù)等腰直角三角形和勾股定理求出AB和CD的長(zhǎng)，再根據(jù)得到，然后利用相似三角形的性質(zhì)來(lái)求解．【詳解】解：如下圖，設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為1，∵、分別是邊長(zhǎng)為1和2的等腰直角三角形，∴，，．∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形面積比與相似比的關(guān)系，關(guān)鍵是判斷兩三角形相似，確定其相似比．例4．（2023春·北京海淀·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，是等邊三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若圖中陰影部分的面積是6，則四邊形的面積為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】由題意易得，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意可知：，∴，∵，∴，∴，∵陰影部分的面積是6，∴，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·遼寧·九年級(jí)校考期中）如圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)處與地面的距離為米，車頭可近似看成一個(gè)矩形，且滿，盲區(qū)的長(zhǎng)度是6米，車寬的長(zhǎng)度為米．

【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，根據(jù)題意，設(shè)米，由得，，證明，得出，根據(jù)列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，則，

設(shè)米，由得，，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，解得，，∴車寬的長(zhǎng)度為米，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例6．（2023·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，中，點(diǎn)分別在上，且，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，且，連接，若的面積等于75，則的最小值為．【答案】【分析】先證，利用對(duì)應(yīng)高之比等于相似比，設(shè)，根據(jù)勾股定理表示出，通過(guò)配方求最小值．【詳解】解：，，，，，，，，，，∴四邊形是矩形，，，，，，，；的面積等于75，，，，，，設(shè)，則，，，∴當(dāng)時(shí)，有最小值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、三角形面積、勾股定理，解決問題的關(guān)鍵熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理．例7．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)校考期中）如圖，矩形EFGH內(nèi)接于（矩形各頂點(diǎn)在三角形邊上），E，F(xiàn)在上，H，G分別在，上，且于點(diǎn)D，交于點(diǎn)N．(1)求證：(2)若，，設(shè)，則當(dāng)x取何值時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)見解析；(2)當(dāng)取1.5時(shí)，矩形的面積最大，，最大面積是6.75．【分析】（1）由，可證；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，表達(dá)出與的關(guān)系，進(jìn)而求出矩形的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而解答．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，設(shè)矩形的面積為，則．∴當(dāng)取1.5時(shí)，矩形的面積最大，最大面積是6.75．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023山西八年級(jí)期末）如圖在中，、分別是邊、的中點(diǎn)．，，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】可求得，，，據(jù)此即可求得答案．【詳解】∵是邊的中點(diǎn)，∴．∵是邊的中點(diǎn)，∴．∵，∴．∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的中線，牢記三角形的中線的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，一個(gè)矩形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占矩形面積的15%，黃色三角形面積是21平方厘米，則矩形面積為平方厘米．【答案】60【詳解】分別作出黃色三角形和綠色三角形的高線，據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式說(shuō)明S黃+S綠=S矩形，然后列式計(jì)算即可.詳解：如圖，分別作出4個(gè)三角形的高線.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC,AB=CD.∴S黃+S綠=AD·OM+BC·ON=AD·AB=S矩形，∴S矩形=21÷(15％)=60平方厘米.故答案為60.點(diǎn)睛：本題考查了矩形的性質(zhì)和三角形的而面積公式，證明S黃+S綠=S矩形是解答本題的關(guān)鍵.3．（2023安徽蕪湖八年級(jí)期中）如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，且，則．

【答案】【分析】由點(diǎn)，，分別為邊，，的中點(diǎn)可得是的中線，是的中線，是的中線，是的中線，得的面積，再由是的中線，得到的面積．【詳解】解：已知點(diǎn)，，分別為邊，，的中點(diǎn)，是的中線，是的中線，是的中線，是的中線，是的中線，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線和三角形面積之間的關(guān)系“三角形的中線將三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形”，這也是本題的突破點(diǎn)．4．（浙江省杭州20232024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，是的一條中線，為邊上一點(diǎn)且相交于，四邊形的面積為，則的面積是．

【答案】【分析】連接，設(shè)，則，根據(jù)為邊上中線，可得，；根據(jù)，可得，，進(jìn)而的面積可表示為和，由此建立方程，解出的值即可得到的面積．【詳解】解：連接，如圖所示：

設(shè)，則，為邊上中線，，，，，，，，即，解得：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查與中線有關(guān)的三角形面積的計(jì)算，關(guān)鍵是利用同底等高的三角形面積相等、等高不同底的三角形面積比為底之比來(lái)表示出三角形面積，進(jìn)而使用方程思想解決問題．5．（廣東省寶安區(qū)文匯學(xué)校20232023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，的面積為，，則四邊形的面積等于．

【答案】【分析】連接，求出，，,設(shè)，則，得到，解方程后即可得到四邊形的面積．【詳解】解：如圖，連接，

∵∴，∴，∴，∵的面積為，∴，∴，,設(shè)，則，，解得，∴四邊形的面積為．故答案是：【點(diǎn)睛】此題考查的是不同底等高的三角形面積，靈活分割三角形面積進(jìn)行計(jì)算是解答此題的關(guān)鍵．6.如圖，在中，已知、分別在邊、上，與相交于,若、和的面積分別是3、2、1，則的面積是．【答案】22.5【詳解】這道題給出的條件較少，需要運(yùn)用共邊定理和蝴蝶定理來(lái)求解．根據(jù)蝴蝶定理得設(shè)，根據(jù)共邊定理我們可以得，，解得．7.如圖，，，求梯形的面積．【答案】9【詳解】設(shè)為份，為份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，，所以；又因?yàn)椋?；那么，，所以梯形面積，或者根據(jù)梯形蝴蝶定理，．四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)(如圖所示)。如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，，那么的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的_________倍?！敬鸢浮俊驹斀狻吭诒绢}中，四邊形為任意四邊形，對(duì)于這種”不良四邊形”，無(wú)外乎兩種處理方法：⑴利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；⑵通過(guò)畫輔助線來(lái)改造不良四邊形。看到題目中給出條件，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法。又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個(gè)中介來(lái)改造這個(gè)”不良四邊形”，于是可以作垂直于，垂直于，面積比轉(zhuǎn)化為高之比。再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果。請(qǐng)老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會(huì)到蝴蝶定理的優(yōu)勢(shì)，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題。解法一：∵，∴，∴．解法二：作于，于．∵，∴，∴，∴，∴，∴．9.如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的公共點(diǎn)為G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是．【答案】4【詳解】解：∵△ABC的三條中線AD、BE，CF交于點(diǎn)G，AG：GD＝2：1，∴AE＝CE，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S陰影＝S△CGE+S△BGF＝4．故答案為：4．10．如圖，三角形的面積是，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，與交于點(diǎn)．則四邊形的面積等于．【答案】【詳解】方法一：連接，根據(jù)燕尾定理，，,設(shè)份，則份，份