小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)思維的滲透

【摘要】培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思維有利于學(xué)生解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，也能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的趣味性。文章以充分發(fā)揮小學(xué)數(shù)學(xué)課程的啟蒙、開智作用為目標(biāo)，探討了將培養(yǎng)函數(shù)思維滲透到“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”教學(xué)的策略，以幫助廣大教師提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)進(jìn)階?！娟P(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思想方法；函數(shù)思維函數(shù)思維，是一種以數(shù)學(xué)函數(shù)思想為核心，根據(jù)函數(shù)的概念和性質(zhì)去思考、探究量與量之間關(guān)聯(lián)的思維方式。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程中，函數(shù)思維以隱性、內(nèi)斂的形式廣泛存在于“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域之中。在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目的，將培養(yǎng)函數(shù)思維以更為有機(jī)與靈活的方式滲透到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，讓學(xué)生進(jìn)行更有深度、精度與效度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。一、立足規(guī)律探索，在“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中培養(yǎng)函數(shù)思維“數(shù)與代數(shù)”是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的核心領(lǐng)域，主要由“數(shù)與運(yùn)算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的部分組成。教師可以通過教授“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容，讓小學(xué)生挖掘與開發(fā)數(shù)量關(guān)系與運(yùn)算規(guī)律，建立良好的數(shù)感與推理意識(shí)［1］。要在該領(lǐng)域的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思維，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可帶領(lǐng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)的規(guī)律，根據(jù)量與量的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)與推理，使學(xué)生更為深刻地理解這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)，明白在數(shù)學(xué)運(yùn)算中算理、算法以及數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)聯(lián)。例如，在教授蘇教版四年級(jí)下冊數(shù)學(xué)教材中的“運(yùn)算律”一課時(shí)，教師可設(shè)計(jì)帶領(lǐng)學(xué)生歸納加法運(yùn)算律的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。教師可以先展示一些加法算式，鼓勵(lì)學(xué)生完成這些算式并觀察這些算式的規(guī)律。在學(xué)生完成任務(wù)后，教師可鼓勵(lì)學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組，在小組內(nèi)討論計(jì)算結(jié)果，交流發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律。在學(xué)生討論的過程中，小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要及時(shí)觀察學(xué)生的討論情況，鼓勵(lì)學(xué)生在小組中分享自己的發(fā)現(xiàn)與見解，并引導(dǎo)學(xué)生合作構(gòu)建能夠體現(xiàn)加法運(yùn)算規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生深入探究加法運(yùn)算律，讓學(xué)生明確在加法算式中加數(shù)與和之間的關(guān)系。這樣的教學(xué)活動(dòng)不僅能夠讓學(xué)生充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，彰顯學(xué)生的自主性，還有利于學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。在自主探究時(shí)，學(xué)生可以根據(jù)自身學(xué)習(xí)情況進(jìn)行觀察、分析；而在合作探究時(shí)，學(xué)生可以深入探究加法算式中加數(shù)與和之間的關(guān)系，學(xué)生的思維會(huì)由此得到鍛煉，他們會(huì)逐漸學(xué)會(huì)更為發(fā)散與多元的思考數(shù)學(xué)問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)原理的方法。二、專注關(guān)系推導(dǎo)，在“圖形與幾何”教學(xué)中培養(yǎng)函數(shù)思維“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)對(duì)于培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)感和空間觀念有著重要作用［2］?！皥D形與幾何”領(lǐng)域由“圖形的認(rèn)識(shí)與測量”“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”兩個(gè)部分構(gòu)成，其中“圖形的認(rèn)識(shí)與測量”涵蓋了立體圖形和平面圖形的概念、特點(diǎn)等內(nèi)容以及對(duì)圖形面積、體積、周長等的計(jì)算，既是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)，也是小學(xué)階段學(xué)生容易出現(xiàn)學(xué)習(xí)問題的關(guān)鍵內(nèi)容。在以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)解析式推導(dǎo)計(jì)算圖形周長、面積與體積的公式，讓學(xué)生由淺層學(xué)習(xí)逐步進(jìn)入深度學(xué)習(xí)，從而掌握復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)。例如，在教授蘇教版五年級(jí)上冊數(shù)學(xué)教材中的“多邊形的面積”一課時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生由平行四邊形面積計(jì)算公式推導(dǎo)三角形面積計(jì)算公式，讓學(xué)生借助函數(shù)解析式了解“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識(shí)。具體來說，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生探究同底同高的平行四邊形與三角形的面積的關(guān)系，然后帶領(lǐng)學(xué)生據(jù)此推導(dǎo)計(jì)算未知三角形面積的公式。首先，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以提供一組平行四邊形（如圖1），讓學(xué)生測量圖中平行四邊形的底與高，再計(jì)算各個(gè)平行四邊形的面積。其次，教師可讓學(xué)生先將得到的數(shù)據(jù)填到如下表格（如表1）中，再沿這些平行四邊形的任意一條對(duì)角線剪下兩個(gè)三角形，并測量三角形的底和高，對(duì)照表格中的數(shù)據(jù)，思考這些三角形的面積與同底同高的平行四邊形面積的關(guān)系。最后，在學(xué)生推理出同底同高的平行四邊形與三角形面積的關(guān)系后，小學(xué)數(shù)學(xué)教師便可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步推導(dǎo)未知三角形的面積計(jì)算公式。在這樣的教學(xué)活動(dòng)中，教師借助函數(shù)解析式指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生可以順利地掌握?qǐng)D形之間的邏輯關(guān)系，加深對(duì)圖形特征的認(rèn)識(shí)。三、聚焦數(shù)據(jù)分析，在“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)中培養(yǎng)函數(shù)思維“統(tǒng)計(jì)與概率”也是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵領(lǐng)域［3］。在小學(xué)階段，“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容包含“數(shù)據(jù)分類”“數(shù)據(jù)收集、整理與表達(dá)”“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”三個(gè)部分。教授“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的重點(diǎn)是讓學(xué)生了解如何通過統(tǒng)計(jì)圖表等進(jìn)行有效的數(shù)據(jù)分析，掌握有價(jià)值的數(shù)學(xué)規(guī)律，建立良好的數(shù)據(jù)意識(shí)。小學(xué)數(shù)學(xué)教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域知識(shí)時(shí)，可帶領(lǐng)學(xué)生分析函數(shù)圖像，再讓學(xué)生通過繪制將數(shù)據(jù)分類展示的圖像發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)，并逐步理解函數(shù)思想的本質(zhì)，形成良好的數(shù)據(jù)分析意識(shí)與統(tǒng)計(jì)觀念。例如，在教授蘇教版五年級(jí)下冊數(shù)學(xué)教材中的“折線統(tǒng)計(jì)圖”一課時(shí)，教師就可以指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐探究，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。教師可以布置“探究自己一天內(nèi)體溫變化情況”的任務(wù)，然后指導(dǎo)學(xué)生據(jù)此繪制函數(shù)圖像，有效分析自己收集的數(shù)據(jù)。首先，教師需要指導(dǎo)學(xué)生思考收集數(shù)據(jù)的方法和要點(diǎn)。小學(xué)數(shù)學(xué)教師可提出以下問題：“同學(xué)們，你們了解體溫變化的知識(shí)嗎？你們知道人的體溫一般保持在什么范圍內(nèi)嗎？你們知道怎么測量體溫嗎？如果需要探究自己一天內(nèi)體溫變化情況，你們認(rèn)為需要收集哪些有價(jià)值的信息呢？又要如何繪制統(tǒng)計(jì)表呢？”這些問題可以激發(fā)學(xué)生的探究興趣，在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生會(huì)將注意力集中在有效采集信息的方法和要點(diǎn)上。教師可以指導(dǎo)學(xué)生提取“一天”與“體溫”兩個(gè)關(guān)鍵詞，并據(jù)此找到需要收集的數(shù)據(jù)，繪制如表2的統(tǒng)計(jì)表。其次，教師需要指導(dǎo)學(xué)生有效收集數(shù)據(jù)。教師可為每名學(xué)生提供家用體溫計(jì)，介紹使用家用體溫計(jì)的方法，然后讓學(xué)生觀察家用體溫計(jì)的量程與分度值，并以此為培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)思維的突破口，向?qū)W生講解“定義域”“值域”等函數(shù)中重要的概念。此后，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生使用家用體溫計(jì)獲得所需數(shù)據(jù)，再結(jié)合數(shù)據(jù)自主繪制體現(xiàn)自己一天內(nèi)體溫變化情況的折線統(tǒng)計(jì)圖。最后，教師需要指導(dǎo)學(xué)生有效分析數(shù)據(jù)。小學(xué)數(shù)學(xué)教師可借助現(xiàn)代化教學(xué)軟件展示學(xué)生自主繪制的統(tǒng)計(jì)圖表，同時(shí)向?qū)W生提出相關(guān)的教學(xué)問題，驅(qū)使學(xué)生從函數(shù)的角度思考自己的體溫隨著時(shí)間變化的情況，得出有效的結(jié)論。在這樣的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生不僅可以掌握“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的知識(shí)，學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際需要確定統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的方法，深刻理解折線統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表在表達(dá)數(shù)據(jù)變化趨勢、展示數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)變化規(guī)律等方面的價(jià)值，學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力與統(tǒng)計(jì)觀念也會(huì)在活用函數(shù)思想的過程中得到增強(qiáng)。四、圍繞問題解決，在“綜合與實(shí)踐”教學(xué)中培養(yǎng)函數(shù)思維在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到解決實(shí)際問題中，這樣的教學(xué)活動(dòng)也是讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)與生活、社會(huì)、科技之間的關(guān)聯(lián)及發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵活動(dòng)［4］。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程中，教師組織的綜合實(shí)踐活動(dòng)多為主題式學(xué)習(xí)活動(dòng)或項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生可以在這些活動(dòng)中親歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的學(xué)習(xí)過程，從而持續(xù)積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，了解相關(guān)的數(shù)學(xué)思想和方法，形成良好的建模意識(shí)以及一定的創(chuàng)新、創(chuàng)造能力。小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以在組織綜合實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生聚焦解決問題的數(shù)學(xué)思想和方法，指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思想去審視、分析、解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。例如，在教授蘇教版六年級(jí)下冊數(shù)學(xué)教材中的“正比例與反比例”一課時(shí)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生以小組形式展開實(shí)踐，圍繞“大樹有多高”這一主題進(jìn)行綜合探究。小學(xué)數(shù)學(xué)教師在幫助學(xué)生科學(xué)劃分學(xué)習(xí)小組后，可以利用多媒體設(shè)備展示我國古代發(fā)明——日晷的圖片、視頻資料，讓學(xué)生了解日晷的工作原理，以開闊學(xué)生的視野，激活學(xué)生思維。在此之后，教師便可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和科學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)實(shí)踐探究內(nèi)容。本次綜合實(shí)踐活動(dòng)的核心問題是“如何測得大樹的高度”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，轉(zhuǎn)而思考“如何利用樹高與影長之間的關(guān)系測出樹高”這一問題。在學(xué)生明確探究核心后，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可鼓勵(lì)學(xué)生自主思考解決問題的思路，然后指導(dǎo)各個(gè)學(xué)習(xí)小組利用竹竿、卷尺等材料展開實(shí)踐探究。在學(xué)生測得數(shù)據(jù)后，教師還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用圖像分析法計(jì)算竹竿長度與影長之間的比值。如果學(xué)生沒有思路，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可提示學(xué)生應(yīng)用此前學(xué)過的正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的知識(shí)推測竹竿長與影長之間的關(guān)系，然后畫出函數(shù)圖像，再具體分析竹竿長度及其影長的比例。至此，學(xué)生會(huì)逐漸掌握收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)與分析數(shù)據(jù)的方法，意識(shí)到在同一時(shí)刻、同一地點(diǎn)，物體的高度與其影長的比例，并能夠用函數(shù)表示物體的高度與物體的影長兩個(gè)量之間的關(guān)聯(lián)。小學(xué)數(shù)學(xué)教師還可以在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深一步的探究。教師可以組織討論活動(dòng)，將學(xué)生的思維引回他們解決本次綜合實(shí)踐活動(dòng)主要問題的過程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思、總結(jié)，驅(qū)使學(xué)生分析自己如何有效遷移運(yùn)用函數(shù)思想歸納出物高與影長的關(guān)系，如何測出大樹物體的高度，使其充分體驗(yàn)應(yīng)用函數(shù)思維解決數(shù)學(xué)問題的樂趣。在這樣的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生可以學(xué)會(huì)從函數(shù)的角度觀察與分析不同物體的數(shù)量關(guān)系的方法，而在綜合運(yùn)用圖像分析法、函數(shù)解析式研究物高與影長之間的定量關(guān)系與