2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版選修2-2

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十九數(shù)學(xué)歸納法(15分鐘30分)1.對(duì)于不等式QUOTE<n+1(n∈N*),某同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下:(1)當(dāng)n=1時(shí),QUOTE<1+1,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),不等式成立,即QUOTE<k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí),QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE=(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.則上述證法 ()A.過(guò)程全部正確B.n=1驗(yàn)得不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確【解析】選D.從n=k到n=k+1的推理過(guò)程中未用到(2)中假設(shè),所以不正確.2.某個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題:假如當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,則可以推出當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立.現(xiàn)已知n=5時(shí)命題不成立,那么可以推得 ()A.當(dāng)n=4時(shí)命題不成立B.當(dāng)n=6時(shí)命題不成立C.當(dāng)n=4時(shí)命題成立D.當(dāng)n=6時(shí)命題成立【解析】選A.因?yàn)楫?dāng)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,則可以推出當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立,所以假設(shè)當(dāng)n=4時(shí)命題成立,那么n=5時(shí)命題也成立,這與已知沖突,所以當(dāng)n=4時(shí)命題不成立.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2+1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí),第一步證明中的起始值n0應(yīng)取 ()A.2 B.3 C.5 D.6【解析】選C.令n0分別取2,3,5,6,依次驗(yàn)證即得.4.已知f(n)=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE(n∈N*),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>QUOTE時(shí),f(2k+1)-f(2k)=________.

【解析】因?yàn)榧僭O(shè)n=k時(shí),f(2k)=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,當(dāng)n=k+1時(shí),f(2k+1)=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,所以f(2k+1)-f(2k)=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE.答案:QUOTE+QUOTE+…+QUOTE5.在數(shù)列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N*).求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此揣測(cè){an},{bn}的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論.【解析】由已知得2bn=an+an+1,QUOTE=bnbn+1,a1=2,b1=4,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜想an=n(n+1),bn=(n+1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:①當(dāng)n=1時(shí),可得結(jié)論成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),結(jié)論成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)·(k+2),bk+1=QUOTE=QUOTE=(k+2)2.所以當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.由①②可知,an=n(n+1),bn=(n+1)2對(duì)一切正整數(shù)n都成立.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設(shè)f(n)=1+QUOTE+…+QUOTE(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于 ()A.QUOTE B.QUOTE-QUOTEC.QUOTE-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)閒(n+1)=1+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE,f(n)=1+QUOTE+…+QUOTE,所以f(n+1)-f(n)=QUOTE.2.下面四個(gè)推斷中,正確的是 ()A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)中,當(dāng)n=1時(shí),式子的值為1B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)中,當(dāng)n=1時(shí),式子的值為1+kC.式子1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE(n∈N*)中,當(dāng)n=1時(shí),式子的值為1+QUOTE+QUOTED.設(shè)f(n)=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE(n∈N*),則f(k+1)=f(k)+QUOTE+QUOTE+QUOTE【解析】選C.A中,n=1時(shí),式子=1+k;B中,n=1時(shí),式子=1;C中,n=1時(shí),式子=1+QUOTE+QUOTE;D中,f(k+1)=f(k)+QUOTE+QUOTE+QUOTE-QUOTE.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE(n≥2,n∈N*)的過(guò)程中,由n=k遞推到n=k+1時(shí)不等式左邊 ()A.增加了一項(xiàng)QUOTEB.增加了兩項(xiàng)QUOTE,QUOTEC.增加了B中兩項(xiàng)但削減了一項(xiàng)QUOTED.以上各種狀況均不對(duì)【解析】選C.因?yàn)閚=k時(shí),左邊=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,n=k+1時(shí),左邊=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE,所以增加了兩項(xiàng)QUOTE,QUOTE,少了一項(xiàng)QUOTE.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n-2n能被3整除”的其次步中,n=k+1時(shí),為了運(yùn)用假設(shè),應(yīng)將5k+1-2k+1變形為 ()A.5(5k-2k)+3×2k B.(5k-2k)+4×5k-2kC.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3×5k【解析】選A.假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即5k-2k能被3整除.當(dāng)n=k+1時(shí),5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.5.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿意:“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí),總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命題總成立的是 ()A.若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥1時(shí),均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,則當(dāng)k≤5時(shí),均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,則當(dāng)k≥8時(shí),均有f(k)>k2成立D.若f(4)=16成立,則當(dāng)k≥4時(shí),均有f(k)≥k2成立【解析】選D.對(duì)于A,f(3)≥9,加上題設(shè)可推出當(dāng)k≥3時(shí),均有f(k)≥k2成立,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,要求逆推到比5小的正整數(shù),與題設(shè)不符,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,沒(méi)有奠基部分,即沒(méi)有f(8)≥82,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,f(4)=16≥42,由題設(shè)的遞推關(guān)系,可知結(jié)論成立.二、填空題(每小題5分,共15分)6.平面上有n條直線,它們?nèi)魏蝺蓷l不平行,任何三條不共點(diǎn),設(shè)k條這樣的直線把平面分成f(k)個(gè)區(qū)域,則k+1條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)f(k+1)=f(k)+________.

【解析】當(dāng)n=k+1時(shí),第k+1條直線被前k條直線分成(k+1)段,而每一段將它們所在區(qū)域一分為二,故增加了k+1個(gè)區(qū)域.答案:k+17.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式,當(dāng)n=k時(shí),表達(dá)式為1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,則當(dāng)n=k+1時(shí),表達(dá)式為_(kāi)_______.

答案:1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)28.視察下列等式,照此規(guī)律,第n個(gè)等式為_(kāi)_______.

1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…【解析】將原等式變形如下:1=1=122+3+4=9=323+4+5+6+7=25=524+5+6+7+8+9+10=49=72…由圖知,第n個(gè)等式的左邊有2n-1項(xiàng),第一個(gè)數(shù)是n,是2n-1個(gè)連續(xù)整數(shù)的和,則最終一個(gè)數(shù)為n+(2n-1)-1=3n-2,右邊是左邊項(xiàng)數(shù)2n-1的平方,故有n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2三、解答題(每小題10分,共20分)9.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+QUOTE≤1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≤QUOTE+n(n∈N*).【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí),QUOTE≤1+QUOTE≤QUOTE,命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,即1+QUOTE≤1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≤QUOTE+k,則當(dāng)n=k+1時(shí),1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>1+QUOTE+2k·QUOTE=1+QUOTE.又1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE+k+2k·QUOTE=QUOTE+(k+1),即n=k+1時(shí),命題成立.由(1)和(2)可知,命題對(duì)全部n∈N*都成立.10.設(shè)a>0,f(x)=QUOTE,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.(1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.【解析】(1)因?yàn)閍1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=QUOTE;a3=f(a2)=QUOTE;a4=f(a3)=QUOTE.猜想an=QUOTE(n∈N*).(2)①易知,n=1時(shí)正確.②假設(shè)n=k時(shí)正確,即ak=QUOTE,則ak+1=f(ak)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.這說(shuō)明,n=k+1時(shí)也正確.由①②知,對(duì)于隨意n∈N*,都有an=QUOTE.已知函數(shù)f(x)=ax-QUOTEx2的最大值不大于QUOTE,又當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f(x)≥QUOTE.(1)求a的值.(2)設(shè)0<a1<QUOTE,an+1=f(an),n∈N*,證明:an<QUOTE.【解析】(1)由題意,知f(x)=ax-QUOTEx2=-QUOTE+QUOTE.又f(x)max≤QUOTE,所以fQUOTE=QUOTE≤QUOTE.所以a2≤1.又當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f(x)≥QUOTE,所以QUOTE即QUOTE解得a≥1.又因?yàn)閍2≤1,所以a=1.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時(shí),0<a1<QUOTE,明顯結(jié)論成立.因?yàn)楫?dāng)x∈QUOTE時(shí),0<f(x)≤QUOTE,所以0<a2=f(a1)≤QUOTE<QUOTE.故n=2時(shí),原不等式也成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí),不等式0<ak<QUOTE成立.因