舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修1專題5.3 三角函數(shù)的概念-重難點(diǎn)題型精講（含答案及解析）

專題5.3三角函數(shù)的概念-重難點(diǎn)題型精講1．任意角的三角函數(shù)(1)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)是一個(gè)任意角，∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y).

①把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做的正弦函數(shù)，記作，即y=；

②把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做的余弦函數(shù)，記作，即x=；

③把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切，記作，即=(x≠0).我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：(2)用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)

如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r.則=，=，=.2．三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號(hào)(1)三角函數(shù)的定義域(2)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)由于角的終邊上任意一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離r是正值，根據(jù)三角函數(shù)的定義，知

①正弦函數(shù)值的符號(hào)取決于縱坐標(biāo)y的符號(hào)；

②余弦函數(shù)值的符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x的符號(hào)；

③正切函數(shù)值的符號(hào)是由x,y的符號(hào)共同決定的，即x,y同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù).

因此，正弦函數(shù)()、余弦函數(shù)()、正切函數(shù)()的值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)如圖所示.

3．誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.

由此得到一組公式(公式一)：4．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(2)基本關(guān)系式的變形公式【題型1任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解任意角的三角函數(shù)的定義.【例1】（2022·廣東·高一開學(xué)考試）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)M1,2，則cosα=A．63 B．33 C．2 【變式1-1】（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））設(shè)α是第二象限角，Px,8為其終邊上的一點(diǎn)，且sinα=45，則A．?3 B．?4 C．?6 D．?10【變式1-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P?4m,3mm≠0，則2sinA．?35 B．25 C．1或?25【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，若A?1,y是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ=?31010A．3 B．?3 C．1 D．?1【題型2三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于確定角是第幾象限角的問題，應(yīng)先確定題目中所有三角函數(shù)值的符號(hào)，然后依據(jù)上述三角函數(shù)值的符號(hào)來確定角是第幾象限角，則它們的公共部分即所求；對(duì)于已知角的終邊所在的象限來判斷角的三角函數(shù)值的符號(hào)問題，則常依據(jù)三角函數(shù)的定義，或利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來解決.【例2】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知α為第二象限角，則（

）A．sinα<0 B．tanα>0 C．cosα<0【變式2-1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知α為第二象限的角，則1?cos2αA．sinα B．?sinα C．±【變式2-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若sinθ<0且tanθ<0，則角θ所在的象限是（A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【變式2-3】（2022·北京高一期中）設(shè)α是第一象限的角，且cosα2=cosαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型3誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】1.誘導(dǎo)公式一的實(shí)質(zhì)是終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等.2.利用誘導(dǎo)公式一可將負(fù)角或大于等于2π的角的三角函數(shù)化為0~2π之間的角的同名三角函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了“負(fù)化正，大化小”.【例3】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）求值：3cos【變式3-1】（2021·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）計(jì)算下列各式的值：(1)tan405°?(2)sin25π【變式3-2】（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：(1)sin760(2)tanα1sin【變式3-3】（2021·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）求下列各式的值：(1)cos25π3＋tan?(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【題型4根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值】【方法點(diǎn)撥】第一步：由已知三角函數(shù)的符號(hào)，確定其角終邊所在的象限；第二步：依據(jù)角的終邊所在象限進(jìn)行分類討論；第三步：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及其變形公式，求出其余三角函數(shù)值.【例4】（2022·江西省高三階段練習(xí)（理））已知tanα=?2，則sinα?3cosA．?7 B．?53 C．?【變式4-1】（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））已知sinα?cosα=12A．?34 B．34 C．?【變式4-2】（2021·河北·高二期中）已知sinα+cosα=15，且α∈A．±75 B．?75 C．【變式4-3】（2022·山東·高二階段練習(xí)）已知tanθ=2,則cosθ?sinA．?13 B．13 C．?3【題型5三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)】【方法點(diǎn)撥】1.化簡(jiǎn)原則：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)就是代數(shù)式的恒等變形，使結(jié)果盡可能簡(jiǎn)單，也就是項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，函數(shù)種類盡可能少，式子中盡量不含根號(hào)，能求值的一定要求值.2.化簡(jiǎn)常用的方法：(1)對(duì)于含有根號(hào)的，常把被開方數(shù)(式)化成完全平方數(shù)(式)，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的；(2)化切為弦，從而減少函數(shù)種類，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的；(3)對(duì)于含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解或構(gòu)造，以降低次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.【例5】（2021·福建·高一階段練習(xí)）（1）已知cosα+2sinα=0（2）已知sinβ+cosβ=23【變式5-1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知3sin(1)求tanα(2)求sinα【變式5-2】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知tanα=2(1)1sin(2)11?【變式5-3】（2022·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知3π4<α<π(1)求tanα(2)求sinα+(3)求2sin【題型6三角恒等式的證明】【方法點(diǎn)撥】三角恒等式的證明方法非常多，其主要方法有：(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡(jiǎn)；(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；(3)化異為同法，即針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對(duì)性地變形，以消除差異.【例6】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求證：(1)(1?cos(2)sinα(1+【變式6-1】（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求證：(1)1?2(2)tan【變式6-2】（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求證：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α【變式6-3】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求證：(1)sinα?cosα+1(2)2專題5.3三角函數(shù)的概念-重難點(diǎn)題型精講1．任意角的三角函數(shù)(1)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)是一個(gè)任意角，∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y).

①把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做的正弦函數(shù)，記作，即y=；

②把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做的余弦函數(shù)，記作，即x=；

③把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切，記作，即=(x≠0).我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：(2)用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示三角函數(shù)

如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r.則=，=，=.2．三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號(hào)(1)三角函數(shù)的定義域(2)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)由于角的終邊上任意一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離r是正值，根據(jù)三角函數(shù)的定義，知

①正弦函數(shù)值的符號(hào)取決于縱坐標(biāo)y的符號(hào)；

②余弦函數(shù)值的符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x的符號(hào)；

③正切函數(shù)值的符號(hào)是由x,y的符號(hào)共同決定的，即x,y同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù).

因此，正弦函數(shù)()、余弦函數(shù)()、正切函數(shù)()的值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)如圖所示.

3．誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.

由此得到一組公式(公式一)：4．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(2)基本關(guān)系式的變形公式【題型1任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解任意角的三角函數(shù)的定義.【例1】（2022·廣東·高一開學(xué)考試）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)M1,2，則cosα=A．63 B．33 C．2 【解題思路】利用三角函數(shù)的定義可求得cosα【解答過程】由三角函數(shù)的定義可得cosα=故選：B.【變式1-1】（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））設(shè)α是第二象限角，Px,8為其終邊上的一點(diǎn)，且sinα=45，則A．?3 B．?4 C．?6 D．?10【解題思路】由任意角的三角函數(shù)定義即可求解【解答過程】因?yàn)镻x,8為其終邊上的一點(diǎn)，且sin所以sinα=8x因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以x=?6，故選：C.【變式1-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P?4m,3mm≠0，則2sinA．?35 B．25 C．1或?25【解題思路】先求得點(diǎn)P與原點(diǎn)間的距離r=5m，再根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義，分m>0，m<0【解答過程】由題意可得：點(diǎn)P與原點(diǎn)間的距離r=?4m∴sinα=當(dāng)m>0時(shí)，則sinα=35當(dāng)m<0時(shí)，則sinα=?35故選：D.【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，若A?1,y是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ=?31010A．3 B．?3 C．1 D．?1【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到方程，解得即可.【解答過程】解：因?yàn)閟inθ=?31010<0，A由三角函數(shù)的定義，得yy2+1故選：B.【題型2三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于確定角是第幾象限角的問題，應(yīng)先確定題目中所有三角函數(shù)值的符號(hào)，然后依據(jù)上述三角函數(shù)值的符號(hào)來確定角是第幾象限角，則它們的公共部分即所求；對(duì)于已知角的終邊所在的象限來判斷角的三角函數(shù)值的符號(hào)問題，則常依據(jù)三角函數(shù)的定義，或利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來解決.【例2】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知α為第二象限角，則（

）A．sinα<0 B．tanα>0 C．cosα<0【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)求解即可.【解答過程】因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，所以sinα>0,故選：C.【變式2-1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知α為第二象限的角，則1?cos2αA．sinα B．?sinα C．±【解題思路】根據(jù)α所在的象限，可以定sinα【解答過程】因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，所以sin所以1?故選：A.【變式2-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若sinθ<0且tanθ<0，則角θ所在的象限是（A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的正負(fù)，確定角θ所在的象限.【解答過程】sinθ<0，則角θ在第三，四象限，tanθ<0，則角所以滿足sinθ<0且tanθ<0，角故選：D.【變式2-3】（2022·北京高一期中）設(shè)α是第一象限的角，且cosα2=cosαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】由α的范圍進(jìn)而得出α2的范圍，結(jié)合cos【解答過程】因?yàn)棣潦堑谝幌笙薜慕牵?kπ<α<π所以kπ<α2<又因?yàn)閏osα2=cosα故選：A.【題型3誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】1.誘導(dǎo)公式一的實(shí)質(zhì)是終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等.2.利用誘導(dǎo)公式一可將負(fù)角或大于等于2π的角的三角函數(shù)化為0~2π之間的角的同名三角函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了“負(fù)化正，大化小”.【例3】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）求值：3cos【解題思路】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)計(jì)算可得；【解答過程】解：3====?3【變式3-1】（2021·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）計(jì)算下列各式的值：(1)tan405°?(2)sin25π【解題思路】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得；【解答過程】(1)解：tan==tan(2)解：sin===3【變式3-2】（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：(1)sin760(2)tanα1sin【解題思路】（1）利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【解答過程】(1)解：sin760(2)解：∵α為第二象限角，則sinα>0，cos則tanα【變式3-3】（2021·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）求下列各式的值：(1)cos25π3＋tan?(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【解題思路】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的一個(gè)很大作用是把一個(gè)角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為某個(gè)相關(guān)銳角的三角函數(shù)值，以便于化簡(jiǎn)或求值.【解答過程】(1)cos25π3＋tan?15π=cos(2)sin810°＋tan1125°==sin【題型4根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值】【方法點(diǎn)撥】第一步：由已知三角函數(shù)的符號(hào)，確定其角終邊所在的象限；第二步：依據(jù)角的終邊所在象限進(jìn)行分類討論；第三步：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及其變形公式，求出其余三角函數(shù)值.【例4】（2022·江西省高三階段練習(xí)（理））已知tanα=?2，則sinα?3cosA．?7 B．?53 C．?【解題思路】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入即可.【解答過程】解：因?yàn)閠anα=?2，所以sin故選：D.【變式4-1】（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））已知sinα?cosα=12A．?34 B．34 C．?【解題思路】先把已知的等式平方得到sinα【解答過程】由sinα?所以1?2sin∴sinα所以sinα故選：A．【變式4-2】（2021·河北·高二期中）已知sinα+cosα=15，且α∈A．±75 B．?75 C．【解題思路】將已知等式兩邊平方，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系求得2sinαcosα的值，結(jié)合α的范圍確定sinα【解答過程】因?yàn)閟inα+cosα=故2sinαcosα=?24又因?yàn)?<α<π，所以sinα>0，所以sinα?故選：C.【變式4-3】（2022·山東·高二階段練習(xí)）已知tanθ=2,則cosθ?sinA．?13 B．13 C．?3【解題思路】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系,分子分母同時(shí)除以cosθ【解答過程】∵tanθ=2∴cosθ?故選:A.【題型5三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)】【方法點(diǎn)撥】1.化簡(jiǎn)原則：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)就是代數(shù)式的恒等變形，使結(jié)果盡可能簡(jiǎn)單，也就是項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，函數(shù)種類盡可能少，式子中盡量不含根號(hào)，能求值的一定要求值.2.化簡(jiǎn)常用的方法：(1)對(duì)于含有根號(hào)的，常把被開方數(shù)(式)化成完全平方數(shù)(式)，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的；(2)化切為弦，從而減少函數(shù)種類，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的；(3)對(duì)于含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解或構(gòu)造，以降低次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.【例5】（2021·福建·高一階段練習(xí)）（1）已知cosα+2sinα=0（2）已知sinβ+cosβ=23【解題思路】（1）先求出tanα=?12，進(jìn)而由1=（2）由(sin【解答過程】（1）由cosα+2sinα=0所以tanα=?1?2=tan（2）(sin所以(sin又β為第四象限角，所以sinβ<0,所以sinβ?【變式5-1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知3sin(1)求tanα(2)求sinα【解題思路】（1）利用“1”的代換及弦切互化可求tanα=（2）利用“1”的代換及弦切互化可求三角函數(shù)式的值.【解答過程】（1）解法一：∵sin2α+cos2α=1∴3sin分子分母同時(shí)除以cos2α，得即(2tanα?1)2解法二：∵3sin2α?4sin即(2sinα?cos∴tanα=（2）∵tanα=12，【變式5-2】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知tanα=2(1)1sin(2)11?【解題思路】（1）利用1=sin2α+（2）通分化簡(jiǎn)后，再利用1=sin2α+【解答過程】（1）因?yàn)閠an所以原式=（2）因?yàn)閠anα=2所以1===2【變式5-3】（2022·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知3π4<α<π(1)求tanα(2)求sinα+(3)求2sin【解題思路】（1）根據(jù)tanα＋1tana（2）利用弦化切，將sinα+cosα（3）利用1=sin2α+cos2α【解答過程】（1）由tanα＋1解得tanα=?3或?因?yàn)?π4<α<π，故?1<（2）