四川省綿陽市2020年中考數(shù)學(xué)試題(含解析)

年四川省綿陽市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分．每小題只有一個選項符合題目要求.題號123456789101112答案1．（3分）﹣3的相反數(shù)是（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3（3分）如圖是以正方形的邊長為直徑，在正方形內(nèi)畫半圓得到的圖形，則此圖形的對稱軸有（）A．2條B．4條C．6條D．8條3．（3分）近年來，華為手機(jī)越來越受到消費(fèi)者的青睞．截至2019年12月底，華為5G手機(jī)全球總發(fā)貨量突破690萬臺．將690萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.69×107 B．69×105 C．6.9×105 D．6.9×1064．（3分）下列四個圖形中，不能作為正方體的展開圖的是（）A．B．C．D．5．（3分）若有意義，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥0 D．a(chǎn)≤﹣16．（3分）《九章算術(shù)》中記載“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？此問題中羊價為（）A．160錢 B．155錢 C．150錢 D．145錢7．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分線BE交DF于點G，GH⊥DF，點E恰好為DH的中點，若AE＝3，CD＝2，則GH＝（）A．1B．2C．3D．4（3分）將一個籃球和一個足球隨機(jī)放入三個不同的籃子中，則恰有一個籃子為空的概率為（）A． B． C． D．9．（3分）在螳螂的示意圖中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，則∠ACD＝（）A．16°B．28° C．44°D．45°（3分）甲、乙二人同駕一輛車出游，各勻速行駛一半路程，共用3小時，到達(dá)目的地后，甲對乙說：“我用你所花的時間，可以行駛180km”，乙對甲說：“我用你所花的時間，只能行駛80km”．從他們的交談中可以判斷，乙駕車的時長為（）A．1.2小時 B．1.6小時 C．1.8小時 D．2小時（3分）三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同．當(dāng)水面剛好淹沒小孔時，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當(dāng)水位下降，大孔水面寬度為14米時，單個小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個小孔的水面寬度為（）A．4米B．5米C．2米 D．7米（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，將△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)后得△A′B′C，當(dāng)A′B′恰好經(jīng)過點D時，△B′CD為等腰三角形，若BB′＝2，則AA′＝（）A．B．2C．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．將答案填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上．13．（4分）因式分解：x3y﹣4xy3＝．（4分）平面直角坐標(biāo)系中，將點A（﹣1，2）先向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的點A1的坐標(biāo)為．（4分）若多項式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是關(guān)于x，y的三次多項式，則mn＝．16．（4分）我市認(rèn)真落實國家“精準(zhǔn)扶貧”政策，計劃在對口幫扶的貧困縣種植甲、乙兩種火龍果共100畝，根據(jù)市場調(diào)查，甲、乙兩種火龍果每畝的種植成本分別為0.9萬元、1.1萬元，每畝的銷售額分別為2萬元、2.5萬元，如果要求種植成本不少于98萬元，但不超過100萬元，且所有火龍果能全部售出，則該縣在此項目中獲得的最大利潤是萬元．（利潤＝銷售額﹣種植成本）17．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點M是四邊形ABCD內(nèi)的一個動點，滿足∠AMD＝90°，則點M到直線BC的距離的最小值為．（4分）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，則實數(shù)m的取值范圍是．三、解答題：本大題共7小題，共計90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（16分）（1）計算：|﹣3|+2cos60°﹣×﹣（﹣）0．（2）先化簡，再求值：（x+2+）÷，其中x＝﹣1．20．（12分）4月23日是“世界讀書日”，甲、乙兩個書店在這一天舉行了購書優(yōu)惠活動．甲書店：所有書籍按標(biāo)價8折出售；乙書店：一次購書中標(biāo)價總額不超過100元的按原價計費(fèi)，超過100元后的部分打6折．（1）以x（單位：元）表示標(biāo)價總額，y（單位：元）表示應(yīng)支付金額，分別就兩家書店的優(yōu)惠方式，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）“世界讀書日”這一天，如何選擇這兩家書店去購書更省錢？21．（12分）為助力新冠肺炎疫情后經(jīng)濟(jì)的復(fù)蘇，天天快餐公司積極投入到復(fù)工復(fù)產(chǎn)中．現(xiàn)有A、B兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠到該公司推銷雞腿，兩家雞腿的價格相同，品質(zhì)相近．該公司決定通過檢查質(zhì)量來確定選購哪家的雞腿．檢察人員從兩家分別抽取100個雞腿，然后再從中隨機(jī)各抽取10個，記錄它們的質(zhì)量（單位：克）如表：A加工廠74757575737778727675B加工廠78747873747574747575（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求A加工廠的10個雞腿質(zhì)量的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)；（2）估計B加工廠這100個雞腿中，質(zhì)量為75克的雞腿有多少個？（3）根據(jù)雞腿質(zhì)量的穩(wěn)定性，該快餐公司應(yīng)選購哪家加工廠的雞腿？．22．（12分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于點E，交AC于點F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．（1）求證：AB∥CD；（2）求證：CD是⊙O的切線；（3）求tan∠ACB的值．23．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）兩點．（1）當(dāng)m＝1時，求一次函數(shù)的解析式；（2）若點E在x軸上，滿足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函數(shù)的解析式．，24．（12分）如圖，拋物線過點A（0，1）和C，頂點為D，直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E，與直線AC交于點F，點F的橫坐標(biāo)為，四邊形BDEF為平行四邊形．（1）求點F的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當(dāng)△PAB面積最大時，求點P的坐標(biāo)及△PAB面積的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上取一點Q，同時在拋物線上取一點R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標(biāo)．25．（14分）如圖，在矩形ABCD中，對角線相交于點O，⊙M為△BCD的內(nèi)切圓，切點分別為N，P，Q，DN＝4，BN＝6．（1）求BC，CD；（2）點H從點A出發(fā)，沿線段AD向點D以每秒3個單位長度的速度運(yùn)動，當(dāng)點H運(yùn)動到點D時停止，過點H作HI∥BD交AC于點I，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．①將△AHI沿AC翻折得△AH′I，是否存在時刻t，使點H′恰好落在邊BC上？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由；②若點F為線段CD上的動點，當(dāng)△OFH為正三角形時，求t的值．2020年四川省綿陽市中考數(shù)學(xué)試卷解析版一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分．每小題只有一個選項符合題目要求．1．（3分）﹣3的相反數(shù)是（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3【解答】解：﹣3的相反數(shù)是3，故選：D．2．（3分）如圖是以正方形的邊長為直徑，在正方形內(nèi)畫半圓得到的圖形，則此圖形的對稱軸有（）A．2條B．4條 C．6條D．8條【解答】解：如圖，因為以正方形的邊長為直徑，在正方形內(nèi)畫半圓得到的圖形，所以此圖形的對稱軸有4條．故選：B．3．（3分）近年來，華為手機(jī)越來越受到消費(fèi)者的青睞．截至2019年12月底，華為5G手機(jī)全球總發(fā)貨量突破690萬臺．將690萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.69×107 B．69×105 C．6.9×105 D．6.9×106【解答】解：690萬＝6900000＝6.9×106．故選：D．4．（3分）下列四個圖形中，不能作為正方體的展開圖的是（）A．B．C．D．【解答】解：正方體展開圖的11種情況可分為“1﹣4﹣1型”6種，“2﹣3﹣1型”3種，“2﹣2﹣2型”1種，“3﹣3型”1種，因此選項D符合題意，故選：D．5．（3分）若有意義，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥0 D．a(chǎn)≤﹣1【解答】解：若有意義，則a﹣1≥0，解得：a≥1．故選：A．6．（3分）《九章算術(shù)》中記載“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？此問題中羊價為（）A．160錢 B．155錢 C．150錢 D．145錢【解答】解：設(shè)共有x人合伙買羊，羊價為y錢，依題意，得：，解得：．故選：C．7．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分線BE交DF于點G，GH⊥DF，點E恰好為DH的中點，若AE＝3，CD＝2，則GH＝（）A．1B．2 C．3D．4【解答】解：過E作EM⊥BC，交FD于點H，∵DF∥BC，∴EH⊥DF，∴EH∥HG，∴＝，∵E為HD中點，∴＝，∴＝，即HG＝2EH，∴∠DHM＝∠HMC＝∠C＝90°，∴四邊形HMCD為矩形，∴HM＝DC＝2，∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EM⊥BC，∴EM＝AE＝3，∴EH＝EM﹣HM＝3﹣2＝1，則HG＝2EH＝2．故選：B．8．（3分）將一個籃球和一個足球隨機(jī)放入三個不同的籃子中，則恰有一個籃子為空的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：三個不同的籃子分別用A、B、C表示，根據(jù)題意畫圖如下：共有9種等可能的情況數(shù)，其中恰有一個籃子為空的有6種，則恰有一個籃子為空的概率為＝．故選：A．9．（3分）在螳螂的示意圖中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，則∠ACD＝（）A．16° B．28° C．44° D．45°【解答】解：延長ED，交AC于F，∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∴∠A＝∠ACB＝28°，∵AB∥DE，∴∠CFD＝∠A＝28°，∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°，∴∠ACD＝72°﹣28°＝44°，故選：C．10．（3分）甲、乙二人同駕一輛車出游，各勻速行駛一半路程，共用3小時，到達(dá)目的地后，甲對乙說：“我用你所花的時間，可以行駛180km”，乙對甲說：“我用你所花的時間，只能行駛80km”．從他們的交談中可以判斷，乙駕車的時長為（）A．1.2小時 B．1.6小時 C．1.8小時 D．2小時【解答】解：設(shè)乙駕車時長為x小時，則乙駕車時長為（3﹣x）小時，根據(jù)兩人對話可知：甲的速度為km/h，乙的速度為km/h，根據(jù)題意得：，解得：x1＝1.8或x2＝9，經(jīng)檢驗：x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，x2＝9不合題意，舍去，故選：C．11．（3分）三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同．當(dāng)水面剛好淹沒小孔時，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當(dāng)水位下降，大孔水面寬度為14米時，單個小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個小孔的水面寬度為（）A．4米B．5米 C．2米 D．7米【解答】解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO＝，設(shè)大孔所在拋物線解析式為y＝ax2+，∵BC＝10，∴點B（﹣5，0），∴0＝a×（﹣5）2+，∴a＝﹣，∴大孔所在拋物線解析式為y＝﹣x2+，設(shè)點A（b，0），則設(shè)頂點為A的小孔所在拋物線的解析式為y＝m（x﹣b）2，∵EF＝14，∴點E的橫坐標(biāo)為﹣7，∴點E（﹣7，﹣），∴﹣＝m（x﹣b）2，∴x1＝+b，x2＝﹣+b，∴MN＝4，∴|+b﹣（﹣+b）|＝4∴m＝﹣，∴頂點為A的小孔所在拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣b）2，∵大孔水面寬度為20米，∴當(dāng)x＝﹣10時，y＝﹣，∴﹣＝﹣（x﹣b）2，∴x1＝+b，x2＝﹣+b，∴單個小孔的水面寬度＝|（+b）﹣（﹣+b）|＝5（米），故選：B．12．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，將△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)后得△A′B′C，當(dāng)A′B′恰好經(jīng)過點D時，△B′CD為等腰三角形，若BB′＝2，則AA′＝（）A． B．2C． D．【解答】解：過D作DE⊥BC于E，則∠DEC＝∠DEB＝90°，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四邊形ABED是矩形，∴BE＝AD＝2，DE＝AB＝2，∵將△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)后得△A′B′C，∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，∴△A′CA∽△B′CB，∴＝，∵△B′CD為等腰三角形，∴△B′CD為等腰直角三角形，∴CD＝B′C，設(shè)B′C＝BC＝x，則CD＝x，CE＝x﹣2，∵CD2＝CE2+DE2，∴（x）2＝（x﹣2）2+（2）2，∴x＝4（負(fù)值舍去），∴BC＝4，∴AC＝＝2，∴＝，∴A′A＝，故選：A．二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．將答案填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上．13．（4分）因式分解：x3y﹣4xy3＝xy（x+2y）（x﹣2y）．【解答】解：x3y﹣4xy3，＝xy（x2﹣4y2），＝xy（x+2y）（x﹣2y）．故答案為：xy（x+2y）（x﹣2y）．14．（4分）平面直角坐標(biāo)系中，將點A（﹣1，2）先向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的點A1的坐標(biāo)為（﹣3，3）．【解答】解：∵將點A（﹣1，2）先向左平移2個單位，橫坐標(biāo)﹣2，再向上平移1個單位縱坐標(biāo)+1，∴平移后得到的點A1的坐標(biāo)為：（﹣3，3）．故答案為：（﹣3，3）．15．（4分）若多項式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是關(guān)于x，y的三次多項式，則mn＝0或8．【解答】解：∵多項式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是關(guān)于x，y的三次多項式，∴n﹣2＝0，1+|m﹣n|＝3，∴n＝2，|m﹣n|＝2，∴m﹣n＝2或n﹣m＝2，∴m＝4或m＝0，∴mn＝0或8．故答案為：0或8．16．（4分）我市認(rèn)真落實國家“精準(zhǔn)扶貧”政策，計劃在對口幫扶的貧困縣種植甲、乙兩種火龍果共100畝，根據(jù)市場調(diào)查，甲、乙兩種火龍果每畝的種植成本分別為0.9萬元、1.1萬元，每畝的銷售額分別為2萬元、2.5萬元，如果要求種植成本不少于98萬元，但不超過100萬元，且所有火龍果能全部售出，則該縣在此項目中獲得的最大利潤是125萬元．（利潤＝銷售額﹣種植成本）【解答】解：設(shè)甲種火龍果種植x畝，乙鐘火龍果種植（100﹣x）畝，此項目獲得利潤w，甲、乙兩種火龍果每畝利潤為1.1萬元，1.4萬元，由題意可知：，解得：50≤x≤60，此項目獲得利潤w＝1.1x+1.4（100﹣x）＝140﹣0.3x，當(dāng)x＝50時，w的最大值為140﹣15＝125萬元．17．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點M是四邊形ABCD內(nèi)的一個動點，滿足∠AMD＝90°，則點M到直線BC的距離的最小值為3﹣2．【解答】解：取AD的中點O，連接OM，過點M作ME⊥BC交BC的延長線于E，點點O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝2，GF＝，OF＝3，∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，∴當(dāng)O，M，E共線時，ME的值最小，最小值為3﹣2．18．（4分）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，則實數(shù)m的取值范圍是≤m≤6．【解答】解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，①當(dāng)m﹣6＝0，即m＝6時，則x＞﹣4都能使0?x＜13恒成立；②當(dāng)m﹣6≠0，則不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改變方向，∴m﹣6＜0，即m＜6，∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集為x＞，∵x＞﹣4都能使x＞成立，∴﹣4≥，∴﹣4m+24≤2m+1，∴m≥，綜上所述，m的取值范圍是≤m≤6．故答案為：≤m≤6．三、解答題：本大題共7小題，共計90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（16分）（1）計算：|﹣3|+2cos60°﹣×﹣（﹣）0．（2）先化簡，再求值：（x+2+）÷，其中x＝﹣1．【解答】解：（1）原式＝3﹣+2×﹣×2﹣1＝3﹣+﹣2﹣1＝0；（2）原式＝（+）÷＝?＝，當(dāng)x＝﹣1時，原式＝＝＝1﹣．20．（12分）4月23日是“世界讀書日”，甲、乙兩個書店在這一天舉行了購書優(yōu)惠活動．甲書店：所有書籍按標(biāo)價8折出售；乙書店：一次購書中標(biāo)價總額不超過100元的按原價計費(fèi)，超過100元后的部分打6折．（1）以x（單位：元）表示標(biāo)價總額，y（單位：元）表示應(yīng)支付金額，分別就兩家書店的優(yōu)惠方式，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）“世界讀書日”這一天，如何選擇這兩家書店去購書更省錢？【解答】解：（1）甲書店：y＝0.8x，乙書店：y＝．（2）令0.8x＝0.6x+40，解得：x＝200，當(dāng)x＜200時，選擇甲書店更省錢，當(dāng)x＝200，甲乙書店所需費(fèi)用相同，當(dāng)x＞200，選擇乙書店更省錢．21．（12分）為助力新冠肺炎疫情后經(jīng)濟(jì)的復(fù)蘇，天天快餐公司積極投入到復(fù)工復(fù)產(chǎn)中．現(xiàn)有A、B兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠到該公司推銷雞腿，兩家雞腿的價格相同，品質(zhì)相近．該公司決定通過檢查質(zhì)量來確定選購哪家的雞腿．檢察人員從兩家分別抽取100個雞腿，然后再從中隨機(jī)各抽取10個，記錄它們的質(zhì)量（單位：克）如表：A加工廠74757575737778727675B加工廠78747873747574747575（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求A加工廠的10個雞腿質(zhì)量的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)；（2）估計B加工廠這100個雞腿中，質(zhì)量為75克的雞腿有多少個？（3）根據(jù)雞腿質(zhì)量的穩(wěn)定性，該快餐公司應(yīng)選購哪家加工廠的雞腿？【解答】（1）把這些數(shù)從小到大排列，最中間的數(shù)是第5和第6個數(shù)的平均數(shù)，則中位數(shù)是＝75（克）；因為75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是75克；平均數(shù)是：（74+75+75+75+73+77+78+72+76+75）＝75（克）；（2）根據(jù)題意得：100×＝30（個），答：質(zhì)量為75克的雞腿有30個；（3）選B加工廠的雞腿．∵A、B平均值一樣，B的方差比A的方差小，B更穩(wěn)定，∴選B加工廠的雞腿．22．（12分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于點E，交AC于點F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．（1）求證：AB∥CD；（2）求證：CD是⊙O的切線；（3）求tan∠ACB的值．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠CEB，∠CEB＝∠DCA，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD；（2）證明：連接EO并延長交⊙O于G，連接CG，如圖1所示：則EG為⊙O的直徑，∴∠ECG＝90°，∵OC＝OG，∴∠OCG＝∠EGC，∵∠EAC＝∠EGC，∠EAC＝∠DCE，∴∠DCE＝∠EGC＝∠OCG，∵∠OCG+∠OCE＝∠ECG＝90°，∴∠DCE+∠OCE＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（3）解：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，∴cos∠ACD＝＝＝，∵CD是⊙O的切線，AB∥CD，∴∠ABC＝∠ACD＝∠CAB，∴BC＝AC＝10，AB＝2BC?cos∠ABC＝2×10×＝12，過點B作BG⊥AC于C，如圖2所示：設(shè)GC＝x，則AG＝10﹣x，由勾股定理得：AB2﹣AG2＝BG2＝BC2﹣GC2，即：122﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，解得：x＝，∴GC＝，∴BG＝＝＝，∴tan∠ACB＝＝＝．23．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）兩點．（1）當(dāng)m＝1時，求一次函數(shù)的解析式；（2）若點E在x軸上，滿足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函數(shù)的解析式．【解答】解：（1）當(dāng)m＝1時，點A（﹣3，1），∵點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝﹣3×1＝﹣3，∴反比例函數(shù)為y＝﹣；∵點B（n，2）在反比例函數(shù)y＝﹣圖象上，∴2n＝﹣3，∴n＝﹣，設(shè)直線AB的解析式為y＝ax+b，則，∴，∴直線AB的解析式為y＝x+3；（2）如圖，過點A作AM⊥x軸于M，過點B作BN⊥x軸于N，過點A作AF⊥BN于F，交BE于G，則四邊形AMNF是矩形，∴FN＝AM，AF＝MN，∵A（﹣3，m），B（n，2），∴BF＝2﹣m，∵AE＝2﹣m，∴BF＝AE，在△AEG和△BFG中，，∴△AEG≌Rt△BFG（AAS），∴AG＝BG，EG＝FG，∴BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，∵點A（﹣3，m），B（n，2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝﹣3m＝2n，∴m＝﹣n，∴BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2+n，MN＝n﹣（﹣3）＝n+3，∴BE＝AF＝n+3，∵∠AEM+∠MAE＝90°，∠AEM+∠BEN＝90°，∴∠MAE＝∠NEB，∵∠AME＝∠ENB＝90°，∴△AME∽△ENB，∴＝＝＝＝，∴ME＝BN＝，在Rt△AME中，AM＝m，AE＝2﹣m，根據(jù)勾股定理得，AM2+ME2＝AE2，∴m2+（）2＝（2﹣m）2，∴m＝，∴k＝﹣3m＝﹣，∴反比例函數(shù)為y＝﹣．24．（12分）如圖，拋物線過點A（0，1）和C，頂點為D，直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E，與直線AC交于點F，點F的橫坐標(biāo)為，四邊形BDEF為平行四邊形．（1）求點F的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當(dāng)△PAB面積最大時，求點P的坐標(biāo)及△PAB面積的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上取一點Q，同時在拋物線上取一點R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴直線AB為y＝﹣x+1，∵點F的橫坐標(biāo)為，∴F點縱坐標(biāo)為﹣+1＝﹣，∴點F（，﹣），又∵點A在拋物線上，∴c＝1，對稱軸為：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化為：y＝ax2﹣2ax+1，∵四邊形DBFE為平行四邊形．∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+1；（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x軸交AC于點P'，則P'（n，﹣n+1），∴PP'＝﹣n2+n，S△ABP＝OB?PP'＝﹣n＝﹣+，∴當(dāng)n＝時，△ABP的面積最大為，此時P（，）．（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），設(shè)Q（，m），①當(dāng)AQ為對角線時，∴R（﹣），∵R在拋物線y＝+4上，∴m+