空間向量與立體幾何 2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練（含答案）

空間向量與立體幾何--2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練

一、選擇題1．在空間四邊形PABC中,()A. B. C. D.2．已知為平面內(nèi)一點(diǎn),若平面的法向量為,則點(diǎn)到平面的距離為()A.2 B. C. D.13．直線的方向向量,直線的方向向量,則不重合直線與的位置關(guān)系是()A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能確定4．已知向量為平面法向量,點(diǎn)在內(nèi),則點(diǎn)到平面的距離為()A. B. C. D.5．已知空間向量,,且,則向量與的夾角為()A. B. C. D.6．在正方體中,直線與平面所成的角為().A. B. C. D.7．已如向量,,且與互相垂直,則().A. B. C. D.8．在空間四邊形OABC中,,,,點(diǎn)M在OB上,且,N為AC的中點(diǎn),則()A. B. C. D.9．向量,，若，則x的值為()A. B.1 C. D.310．已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，則的值為()A. B. C. D.二、填空題11．設(shè)向量,,若,則________.12．已知直線過點(diǎn),且為其一個方向向量,則點(diǎn)到直線l的距離為________.13．四棱錐中,底面ABCD,底面ABCD是正方形,且,,F是的重心,則PG與平面PAD所成角的正弦值為________.14．已知空間向量,,則在上的投影向量的坐標(biāo)是________.三、解答題15．如圖甲,中國是風(fēng)箏的故鄉(xiāng),南方稱“鷂”,北方稱“鳶”.某種風(fēng)箏的骨架模型是是四棱錐,其中,,AC交BD于點(diǎn)O,如圖乙.（1）求證:平面PBD;（2）若,,點(diǎn)Q是線段PC的中點(diǎn),求直線BQ與平面PAD所成角的正弦值.

參考答案1．答案：B解析：.故選:B.2．答案：B解析：,面的法向量為,則點(diǎn)到平面的距離為.故選:B.3．答案：B解析：因?yàn)?所以,所以直線與平行.故選:B4．答案：B解析：因?yàn)?所以,因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?所以點(diǎn)P到平面的距離.故選:B5．答案：A解析：,解得,則,,,設(shè)向量與的夾角為,則,,,即與的夾角為.故選:A.6．答案：B解析：如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,則,,,,所以,,,設(shè)平面的一個法向量為,直線與平面所成的角為,則,令,,即,所以,所以.故選:B7．答案：B解析：,,則,與互相垂直,則,.故選:B.8．答案：A解析：.故選:A9．答案：D解析：由，可得，解得，故選：D.10．答案：C解析：由題意，,和,之間夾角均為，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算有故選：C11．答案：4解析：因?yàn)?所以,即,解得.故答案為:412．答案：解析：因?yàn)辄c(diǎn),點(diǎn),所以,所以點(diǎn)到直線l的距離為:,故答案為:13．答案：解析：因?yàn)榈酌鍭BCD,底面ABCD是正方形,所以DA,DC,DP兩兩垂直,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,則重心,因而,,,設(shè)平面PAD的一個法向量為,則,令則,則,故答案為:.14．答案：解析：,,,故在上的投影向量的坐標(biāo).故答案為:15．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明:因?yàn)?,,所以,有,又,,所以.所以,,所以.同理,,有又因?yàn)?平面PBD,平面PBD,所以平面PBD.（2）由（1）可知,因?yàn)?,,所以,所以,從而由等面積法,可知,由勾股定理,可知因?yàn)?所以,所以.又因?yàn)?,OB,平面ABCD,所以平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OP所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由（1）可知,所以,所以,因?yàn)?,,,因?yàn)辄c(diǎn)Q為線段PC的中點(diǎn),所以