1.2 一定是直角三角形嗎 同步練習

第一章勾股定理2一定是直角三角形嗎基礎過關全練知識點1勾股定理的逆定理1.五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖，其中正確的是()A B C D2.(2021浙江金華期中)若△ABC的三邊長a，b，c滿足|a-3|+|4-b|+(c-5)2=0，則△ABC是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形3.如圖，在7×7的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1.(1)△ABC的面積為 ；

(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由；(3)AB邊上的高是 .

4.閱讀以下解題過程：已知a，b，c為△ABC的三邊長，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，試判斷△ABC的形狀.解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①∴c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2)，②∴c2=a2+b2，③∴△ABC為直角三角形.④(1)上述解題過程從哪一步開始出現(xiàn)錯誤?該步的序號為；

(2)錯誤的原因是(3)本題正確的結論是5.如圖，在△ABC中，AB=15，BC=20，CA=25，E是AC上一點，且BE=BA，求EC的長.知識點2勾股數(shù)6.(2023廣東佛山順德第一次月考)下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為()A.1、2、3 B.4、5、6 C.3、4、5 D.7、8、97.(2022山東青島育才中學期中)觀察下列幾組勾股數(shù)，并填空：①4，3，5，②6，8，10，③8，15，17，④10，24，26，⑤12，35，37，……，則第⑦組勾股數(shù)為.

能力提升全練8.(2023福建漳州一中期中)下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為()A.3，4，7 B.32，42，52 C.0.5，1.2，1.3 D.7，24，259.(2023河南鄭州楓楊外國語學校第一次月考)在下列條件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3；③AB∶BC∶AC=3∶4∶5；④∠A=∠B=∠C，能確定△ABC是直角三角形的條件有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個10.(2023河北保定樂凱中學期中)如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，從格點A，B，C，D中任取三點，以三點為頂點的三角形恰好是直角三角形的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.411.(2021廣西玉林中考)如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分別位于點A，B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿 方向航行.

12.(2022湖北黃岡中考)勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，徑隅五”.觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，這類勾股數(shù)的特點：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；……，若此類勾股數(shù)的勾為2m(m≥3，m為正整數(shù))，則其弦是 (結果用含m的式子表示).

13.(2023河南鄭州外國語學校第一次月考)在一條東西走向的河的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB=AC，由于某種原因由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點H(A、H、B在一條直線上)，并新修一條路CH，測得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米.(1)問CH是不是從村莊C到河邊的最近路?請通過計算加以說明；(2)求原來的路線AC的長.14.(2019河北中考)已知整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.嘗試化簡整式A；發(fā)現(xiàn)A=B2，求整式B；聯(lián)想由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，當n>1時，n2-1，2n，B為直角三角形的三邊長，如圖.填寫下表中B的值：直角三角形三邊長n2-12nB勾股數(shù)組Ⅰ

8勾股數(shù)組Ⅱ35

素養(yǎng)探究全練15.在學習“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中，則當a=20時，b+c的值為()a68101214…b815243548…c1017263750…A.100 B.200 C.240 D.36016.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊的長，當a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形；當a2+b2≠c2時，利用代數(shù)式比較a2+b2和c2的大小關系，可以判斷△ABC的形狀(按角分類).(1)請你通過畫圖探究并判斷：當△ABC的三邊長分別為6、8、9時，△ABC是三角形；當△ABC的三邊長分別為6、8、11時，△ABC是三角形；

(2)小明同學根據(jù)上述探究進行猜想：“當a2+b2>c2時，△ABC為銳角三角形；當a2+b2<c2時，△ABC為鈍角三角形.”請你根據(jù)小明的猜想解答下面的問題：當a=7，b=24時，c在什么范圍內(nèi)取值，△ABC是直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形?

第一章勾股定理2一定是直角三角形嗎答案全解全析基礎過關全練1.CA.72+202≠252，152+202≠242，222+242≠252，故A不正確；B.72+242=252，152+202≠242，故B不正確；C.72+242=252，152+202=252，故C正確；D.72+202≠252，242+152≠252，故D不正確.故選C.2.A∵|a-3|+|4-b|+(c-5)2=0，∴a-3=0，4-b=0，c-5=0，∴a=3，b=4，c=5，∵a2+b2=32+42=25，c2=52=25，∴a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形.故選A.3.解析(1)S△ABC=4×4-12×4×2-12×3×4-1故答案為5.(2)△ABC是直角三角形，理由如下：解法一：∵AC2=22+12=5，BC2=22+42=20，AB2=42+32=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.解法二：如圖，∵AE=CD=2，CE=DF=1，∠AEC=∠CDF=90°，∴△ACE≌△CFD，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形.(3)設AB邊上的高是h，∴S△ABC=12AB·h=12×5h∴h=2.4.(1)③(2)沒有討論a2-b2等于0的情況(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形解析本題通過計算過程糾錯.∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2)，∴(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0，∴a2-b2=0或c2-(a2+b2)=0，當a2-b2≠0時，c2=a2+b2，此時△ABC是直角三角形，當a2-b2=0，即a=b時，△ABC是等腰三角形，∴△ABC為等腰三角形或直角三角形，故從第③步開始出現(xiàn)錯誤，其原因是不能確定a2-b2是不是等于0.5.解析如圖，作BD⊥AC，垂足為D，在△ABC中，∵AB2+BC2=152+202=625=252=AC2，∴△ABC是直角三角形，∴12AB·BC=12AC·∴BD=12，在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=152-122=81，∴AD=9，∵BE=BA，BD⊥AC，∴AE=2AD=18.∴EC=AC-AE=25-18=7.6.CA.∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股數(shù)，故A錯誤；B.∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股數(shù)，故B錯誤；C.∵32+42=25=52=25，且3，4，5都是正整數(shù)，∴是勾股數(shù)，故C正確；D.∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股數(shù)，故D錯誤.故選C.7.16，63，65解析根據(jù)題目給出的前幾組數(shù)的規(guī)律可得這組勾股數(shù)中的第一個數(shù)是2(n+1)，第二個數(shù)是n(n+2)，第三個數(shù)是(n+1)2+1，故第⑦組勾股數(shù)是16，63，65.能力提升全練8.D32+42≠72，故該組數(shù)不是勾股數(shù)；(32)2+(42)2≠(52)2，故該組數(shù)不是勾股數(shù)；0.5，1.2，1.3不是整數(shù)，故該組數(shù)不是勾股數(shù)；72+242=252且都為正整數(shù)，故該組數(shù)是勾股數(shù)，故選D.9.C①∵∠A+∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形；②由∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，設∠A=x，則∠B=2x，∠C=3x，∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，∴∠C=30°×3=90°，∴△ABC是直角三角形；③由AB∶BC∶AC=3∶4∶5，設AB=3k，則BC=4k，AC=5k，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形；④∵∠A=∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=3∠A=180°，解得∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，∴△ABC不是直角三角形.∴能確定△ABC是直角三角形的條件有①②③，共3個，故選C.10.C如圖，連接AC、AB、AD、BC、CD、BD，設小正方形的邊長為1，則AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，AD2=12+32=10，BC2=52=25，CD2=12+32=10，BD2=12+22=5，∴AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3個，故選C.11.北偏東50°解析由題意可知AP=12海里，BP=16海里，AB=20海里，∵122+162=202，∴△APB是直角三角形，且∠APB=90°，由題意知∠APN=40°，∴∠BPN=90°-∠APN=90°-40°=50°，即乙船沿北偏東50°方向航行.12.m2+1解析由勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)的勾為2m，設其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理得(2m)2+a2=(a+2)2，解得a=m2-1，∴弦為m2+1.13.解析(1)是，理由：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25，BC2=2.25，∴CH2+BH2=BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是從村莊C到河邊的最近路.(2)設AC=x千米，則AH=(x-0.9)千米，在Rt△ACH中，由勾股定理得AC2=AH2+CH2，∴x2=(x-0.9)2+1.22，∴1.8x=2.25，解得x=1.25.答：原來的路線AC的長為1.25千米.14.解析嘗試A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2.發(fā)現(xiàn)∵A=B2，B>0，∴B=n2+1.聯(lián)想勾股數(shù)組Ⅰ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.勾股數(shù)組Ⅱ∵n2-1=35，∴B=n2+1=(n2-1)+2=37.素養(yǎng)探究全練15.B根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得a2+b2=c2，并且c=b+2，則a2+b2=(b+2)2，當a=20時，202+b2=(b+2)2，解得b=99，則c=99+2=101，∴b+c=200，故選B.16.解析(1)如圖，當△ABC的