2024高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何素養(yǎng)專題五立體幾何問題的奇法妙解教師文檔教案文北師大版_第1頁
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PAGE第七章素養(yǎng)專題(五)立體幾何問題的奇法妙解授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第147頁法1模型法一、模型法推斷空間位置關(guān)系在進(jìn)行空間線面位置關(guān)系的分析推斷時(shí),借助幾何體模型能起到特別直觀的作用,提高解題的精確率.[例1]已知l,m是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題為真命題的序號(hào)是()若lα,mα,l∥β,m∥β,則α∥β;②若lα,l∥β,α∩β=m,則l∥m;③若l∥α,α∥β,則l∥β;④若l⊥α,l∥m,α∥β,則m⊥β.A.①④B.①③C.②④ D.②③[思路點(diǎn)撥]長(zhǎng)方體中存在各種平行、垂直關(guān)系,以長(zhǎng)方體為模型,結(jié)合選項(xiàng),考慮線面位置的各種可能,作出推斷.[解析]命題①,如圖(1),明顯不正確,解除選項(xiàng)A,B,依據(jù)選項(xiàng)C,D,可知②肯定正確,對(duì)于命題③,如圖(2),有直線l在平面β內(nèi)的可能,所以命題③不正確.綜上可知,選C.[答案]C二、模型法還原幾何體空間幾何體均可以看作一個(gè)更大范圍的幾何體的一個(gè)部分,依據(jù)題目的實(shí)際狀況,推斷其可能是哪個(gè)幾何體的一個(gè)部分,利用該幾何體為模型,可以較為便利地推斷出三視圖表示的空間幾何體.[例2]已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[思路點(diǎn)撥]依據(jù)三視圖可以推斷該空間幾何體是正方體的一部分,先畫出正方體,再依據(jù)三視圖確定空間幾何體.[解析]該幾何體的直觀圖如圖,其體積為正方體體積的eq\f(1,6),即該幾何體的體積為eq\f(1,6)×1×1×1=eq\f(1,6),故選A.[答案]A法2割補(bǔ)法一、分割法求空間幾何體的體積把一個(gè)不規(guī)則的幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則的幾何體,求出每個(gè)規(guī)則幾何體的體積,然后進(jìn)行體積求和即可.[例3]如圖所示,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上隨意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3,求該多面體的體積.[思路點(diǎn)撥]該幾何體為不規(guī)則幾何體,可將其分割為規(guī)則幾何體后求體積.[解析]法一:如圖(1),連接EB,EC,則該多面體的體積V=V四棱錐E-ABCD+V三棱錐F-EBC.V四棱錐E-ABCD=eq\f(1,3)×42×3=16.∵AB=2EF,EF∥AB,∴S△EAB=2S△BEF.連接AC,有V三棱錐F-EBC=V三棱錐C-EFB=eq\f(1,2)V三棱錐C-ABE=eq\f(1,2)V三棱錐E-ABC=eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱錐E-ABCD=4.故該多面體的體積V=V四棱錐E-ABCD+V三棱錐F-EBC=16+4=20.法二:如圖(2),設(shè)點(diǎn)G,H分別為AB,DC的中點(diǎn),連接EG,EH,HG,則EG∥FB,EH∥FC,GH∥BC,得三棱柱EGH-FBC和四棱錐E-AGHD.由題意得V四棱錐E-AGHD=eq\f(1,3)S矩形AGHD×3=eq\f(1,3)×4×2×3=8.連接CE,BE,BH,則V三棱柱EGH-FBC=3V三棱錐E-BGH=3×eq\f(1,2)V四棱錐E-GBCH=eq\f(3,2)V四棱錐E-AGHD=eq\f(3,2)×8=12.故該多面體的體積V=V四棱錐E-AGHD+V三棱柱EGH-FBC=8+12=20.二、補(bǔ)形法求空間幾何體的體積當(dāng)求某些幾何體的體積較困難時(shí),可以將它放置在我們熟識(shí)的幾何體中,如正方體、長(zhǎng)方體等對(duì)稱性比較好的幾何體,以此來求幾何體的體積.常見狀況如下:①將正四面體補(bǔ)為正方體,如圖所示.②將對(duì)棱長(zhǎng)相等的三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體,如圖所示.③將三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體,如圖所示,PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC.④將三棱錐補(bǔ)成三棱柱或平行六面體,如圖(1)(2)所示.⑤將三棱柱補(bǔ)成平行六面體,如圖所示.⑥將臺(tái)體補(bǔ)成錐體,如圖所示.法3綻開法涉及空間幾何體表面上折線、曲線長(zhǎng)度之和的最值問題時(shí),把空間幾何體的表面綻開.[例4]如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),PO垂直于圓O所在的平面,且PO=OB=1.(1)若點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn),求證:AC⊥平面PDO;(2)求三棱錐P-ABC體積的最大值;(3)若BC=eq\r(2),點(diǎn)E在線段PB上,求CE+OE的最小值.[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(欲證線面垂直)→eq\x(找線線垂直)(2)eq\x(欲使三棱錐P-ABC的體積最大)→eq\x(因?yàn)楦邽槎ㄖ祙PO|,所以只需△ABC的面積最大)→eq\x(推斷點(diǎn)C位置求最值)→eq\x(求體積最值)(3)eq\x(利用平面綻開圖)→eq\x(求其最值)[解析](1)證明:在△AOC中,因?yàn)镺A=OC,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),所以AC⊥DO.又PO垂直于圓O所在的平面,所以PO⊥AC.因?yàn)镈O∩PO=O,DO平面PDO,PO平面PDO,所以AC⊥平面PDO.(2)因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上,所以當(dāng)CO⊥AB時(shí),C到AB的距離最大,且最大值為1.又AB=2,所以△ABC面積的最大值為eq\f(1,2)×2×1=1.又因?yàn)槿忮FP-ABC的高PO=1,故三棱錐P-ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×1×1=eq\f(1,3).(3)在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,所以PB=eq\r(12+12)=eq\r(2).同理,PC=eq\r(2),所以PB=PC=BC.在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB所在直線旋轉(zhuǎn)至平面BC′P,使之與平面ABP共面,如圖所示.當(dāng)O,E,C′共線時(shí),CE+OE取得最小值.又因?yàn)镺P=OB,C′P=C′B,所以O(shè)C′垂直平分PB,即E為PB中點(diǎn).從而OC′=OE+EC′=eq\f(\r(2),2)+eq\f(\r(6),2)=eq\f(\r(2)+\r(6),2),亦即CE+OE的最小值為eq\f(\r(2)+\r(6),2).法4函數(shù)法涉及空間幾何體的體積、面積的最值問題時(shí),常利用函數(shù)法求解,將求最值的量表示為某變量的函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)求最值,特殊要留意變量的取值范圍,避開求解錯(cuò)誤.[例5]如圖,在四面體ABCD中,AB=CD=2,AD=BD=3,AC=BC=4,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別在棱AD,BD,BC,AC上,若直線AB,CD都平行于平面EFGH,求四邊形EFGH面積的最大值.[解析]∵直線AB∥平面EFGH,AB平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=GH,∴HG∥AB.同理,EF∥AB,F(xiàn)G∥CD,EH∥CD,∴FG∥EH,EF∥HG,故四邊形EFGH為平行四邊形.利用AD=BD,AC=BC,易證得AB⊥CD,∴EF⊥FG,所以四邊形EFGH為矩形.設(shè)BF∶BD=BG∶BC=FG∶CD=x(0≤x≤1),則FG=2x,HG=2(1-x),∴S四邊形EFGH=FG×HG=4x(1-x)=-4eq

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