8.2 函數(shù)與數(shù)學(xué)模型【導(dǎo)學(xué)案教師版】

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2第8章 函數(shù)應(yīng)用第02講函數(shù)與數(shù)學(xué)模型目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)理解“指數(shù)爆炸”的含義；掌握函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異；掌握函數(shù)增長(zhǎng)速度的比較；理解并掌握函數(shù)增長(zhǎng)速度的應(yīng)用．1.函數(shù)增長(zhǎng)速度的比較2.函數(shù)增長(zhǎng)速度的應(yīng)用3.利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題4.實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)模型的選擇問(wèn)題知識(shí)精講知識(shí)精講一、常見(jiàn)的幾種函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)分段函數(shù)模型f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1,f2x，x∈D2,……,fnx，x∈Dn))二、解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟(1)利用函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原.(2)這些步驟用框圖表示如圖：【思考】一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、冪函數(shù)模型的選取的標(biāo)準(zhǔn)是什么？它們的增長(zhǎng)速度是如何變化的？三、函數(shù)模型的應(yīng)用幾種常見(jiàn)函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對(duì)數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)型模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)參考答案二、一次函數(shù)模型y＝kx＋b(k>0)增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升，增長(zhǎng)速度不變.二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值容易求出，常常用于最優(yōu)、最省等最值問(wèn)題，冪函數(shù)y＝axn＋b(x>0，n>0，a>0)隨x的增大而增大，但增長(zhǎng)的速度相對(duì)平穩(wěn)，圖象隨n的變化而變化.能力拓展能力拓展考法01一次函數(shù)模型（1）一次函數(shù)模型應(yīng)用時(shí)，本著“問(wèn)什么，設(shè)什么，列什么”這一原則．（2）一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時(shí)，注意系數(shù)a的正負(fù)，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來(lái)求最值．例1某電腦公司在甲、乙兩地各有一個(gè)分公司，甲分公司有電腦6臺(tái)，乙分公司現(xiàn)有同一型號(hào)的電腦12臺(tái)．現(xiàn)A地某單位向該公司購(gòu)買該型號(hào)的電腦10臺(tái)，B地某單位向該公司購(gòu)買該型號(hào)的電腦8臺(tái)．已知從甲地運(yùn)往A，B兩地每臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是40元和30元，從乙地運(yùn)往A，B兩地每臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是80元和50元例1(1)設(shè)甲地調(diào)運(yùn)x臺(tái)至B地，該公司運(yùn)往A，B兩地的總運(yùn)費(fèi)為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)若總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)1000元，問(wèn)能有幾種調(diào)運(yùn)方案？【解析】(1)甲地調(diào)運(yùn)x臺(tái)到B地，則剩下(6－x)臺(tái)電腦調(diào)運(yùn)到A地；乙地應(yīng)調(diào)運(yùn)(8－x)臺(tái)電腦至B地，運(yùn)往A地12－(8－x)＝(x＋4)臺(tái)電腦(0≤x≤6，x∈N)，則總運(yùn)費(fèi)y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，所以y＝20x＋960(x∈N，且0≤x≤6)．(2)若使y≤1000，即20x＋960≤1000，得x≤2.又0≤x≤6，x∈N，所以0≤x≤2，x∈N.所以x＝0,1,2，即有3種調(diào)運(yùn)方案．【跟蹤訓(xùn)練】某種產(chǎn)品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價(jià)120元，則每天可售出20件，如果售出件數(shù)是定價(jià)的一次函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)解析式為________.【答案】y＝－x＋50(0<x<200)【解析】設(shè)解析式為y＝kx＋b(k≠0)，由解得k＝－，b＝50，∴y＝－x＋50(0<x<200).考法02二次函數(shù)模型利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)(1)方法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法利用函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的利潤(rùn)最大、用料最省等最值問(wèn)題．(2)注意：取得最值的自變量與實(shí)際意義是否相符．例2一塊形狀為直角三角形的鐵皮，直角邊長(zhǎng)分別是40cm與60cm，現(xiàn)在將它剪成一個(gè)矩形，并以此三角形的直角為矩形的一個(gè)角，問(wèn)怎樣剪才能使剩下的殘料最少？并求出此時(shí)殘料的面積．例2【解析】設(shè)直角三角形為△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形為CDEF，如圖所示，設(shè)CD＝x，CF＝y(tǒng)，則由Rt△AFE∽R(shí)t△EDB得，即，解得y＝40－x，記剩下的殘料面積為S，則S＝×60×40－xy＝x2－40x＋1200＝(x－30)2＋600(0＜x＜60)，故當(dāng)x＝30時(shí)，Smin＝600，此時(shí)y＝20，所以當(dāng)x＝30，y＝20時(shí)，剩下的殘料面積最小為600cm2.【名師指點(diǎn)】解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟特別提醒：對(duì)應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解確定，分解不開時(shí)再求判別式Δ，用求根公式計(jì)算．【跟蹤訓(xùn)練】A，B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處D地建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得少于10km，已知每個(gè)城市的供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ＝0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．(1)把A，B兩城月供電總費(fèi)用y(萬(wàn)元)表示成x(km)的函數(shù)，并求定義域；(2)核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使供電總費(fèi)用最?。窘馕觥?1)由題意設(shè)甲城的月供電費(fèi)用為y1，則y1＝λ×20x2.設(shè)乙城的月供電費(fèi)用為y2，則y2＝λ×10×(100－x)2，∴甲、乙兩城月供電總費(fèi)用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.∵λ＝0.25，∴y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．(2)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25000＝，則當(dāng)x＝時(shí)，y最?。十?dāng)核電站建在距A城km時(shí)，才能使供電總費(fèi)用最小．考法03分段函數(shù)模型應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.例3國(guó)慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅行團(tuán)例3(1)寫出每人需交費(fèi)用y關(guān)于人數(shù)x的函數(shù)；(2)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？【解析】(1)當(dāng)0<x≤30時(shí)，y＝900；當(dāng)30<x≤75，y＝900－10(x－30)＝1200－10x；即y＝(2)設(shè)旅行社所獲利潤(rùn)為S元，則當(dāng)0<x≤30時(shí)，S＝900x－15000；當(dāng)30<x≤75，S＝x(1200－10x)－15000＝－10x2＋1200x－15000；即S＝因?yàn)楫?dāng)0<x≤30時(shí)，S＝900x－15000為增函數(shù)，所以x＝30時(shí)，Smax＝12000；當(dāng)30<x≤75時(shí)，S＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，即x＝60時(shí)，Smax＝21000>12000.所以當(dāng)旅行社人數(shù)為60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn).【跟蹤訓(xùn)練】某游樂(lè)場(chǎng)每天的盈利額y元與售出的門票張數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，試由圖象解決下列問(wèn)題：(1)求y與x的函數(shù)解析式；(2)要使該游樂(lè)場(chǎng)每天的盈利額超過(guò)1000元，每天至少賣出多少?gòu)堥T票？【解析】(1)由圖象知，可設(shè)y＝kx＋b，x∈[0,200]時(shí)，代入點(diǎn)(0，－1000)和(200,1000)，解得k＝10，b＝－1000，從而y＝10x－1000；x∈(200,300]時(shí)，代入點(diǎn)(200,500)和(300,2000)，解得k＝15，b＝－2500，從而y＝15x－2500，所以y＝(2)每天的盈利額超過(guò)1000元，則x∈(200,300]，由15x－2500>1000，得x>，故每天至少需要賣出234張門票．考法04指數(shù)型模型的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用1．在實(shí)際問(wèn)題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題常可以用指數(shù)函數(shù)模型表示．通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)的形式．2．解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題應(yīng)過(guò)的三關(guān)(1)理解關(guān)：數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量較大，需要通過(guò)閱讀找出關(guān)鍵詞、句，確定已知條件是什么，要解決的問(wèn)題是什么．(2)建模關(guān)：將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)文字關(guān)系，進(jìn)而建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題．(3)數(shù)理關(guān)：建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，要運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法．例4(鏈接教材P148例4(1)求t年后，這種放射性元素的質(zhì)量w的表達(dá)式；(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期(結(jié)果精確到0.1)．【解析】(1)最初的質(zhì)量為500g.經(jīng)過(guò)1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；經(jīng)過(guò)2年，w＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由題意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，∴t＝eq\f(lg0.5,lg0.9)≈6.6.即這種放射性元素的半衰期為6.6年．

【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)在海拔xm處的大氣壓強(qiáng)為ykPa，y與x的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y＝100eax，已知在海拔1000m處的大氣壓強(qiáng)為90kPa，則根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，在海拔2000m處的大氣壓強(qiáng)為________kPa.【答案】81【解析】將(1000,90)代入y＝100eax，可得a＝eq\f(ln0.9,1000)，y與x的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y＝100eeq\f(ln0.9,1000)x，當(dāng)x＝2000時(shí)，y＝100(eln0.9)2＝81.考法05對(duì)數(shù)型模型的應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類型和求解策略：(1)基本類型：有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會(huì)給出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)實(shí)際問(wèn)題求解；(2)求解策略：首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或根據(jù)給出的具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入解析式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義．例5大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)v＝eq\f(1,2)log3eq\f(θ,100)，單位是m/s，θ是表示魚的耗氧量的單位數(shù)．例5(1)當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？(2)某條鮭魚想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來(lái)的多少倍？【解析】(1)由v＝eq\f(1,2)log3eq\f(θ,100)可知，當(dāng)θ＝900時(shí)，v＝eq\f(1,2)log3eq\f(900,100)＝eq\f(1,2)log39＝1(m/s)．所以當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)，它的游速是1m/s.(2)由v2－v1＝1，即eq\f(1,2)log3eq\f(θ2,100)－eq\f(1,2)log3eq\f(θ1,100)＝1，得eq\f(θ2,θ1)＝9.所以耗氧量的單位數(shù)為原來(lái)的9倍．[母題探究](變?cè)O(shè)問(wèn))若本例條件不變：(1)當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是8100個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？(2)求一條鮭魚靜止時(shí)耗氧量的單位數(shù)．【解析】(1)將θ＝8100代入函數(shù)解析式，得v＝eq\f(1,2)log381＝eq\f(1,2)×4＝2(m/s)，所以一條鮭魚的耗氧量是8100個(gè)單位時(shí)，它的游速是2m/s.(2)令v＝0，得eq\f(1,2)log3eq\f(θ,100)＝0，即eq\f(θ,100)＝1，則θ＝100，所以一條鮭魚靜止時(shí)的耗氧量為100個(gè)單位．【跟蹤訓(xùn)練】某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制訂了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，在銷售額x為8萬(wàn)元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)1萬(wàn)元；銷售額x為64萬(wàn)元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)4萬(wàn)元．若公司擬定的獎(jiǎng)勵(lì)模型為y＝alog4x＋b.某業(yè)務(wù)員要得到8萬(wàn)元獎(jiǎng)勵(lì)，則他的銷售額應(yīng)為________萬(wàn)元．【答案】1024【解析】依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(alog48＋b＝1，,alog464＋b＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a＋b＝1，,3a＋b＝4.))解得a＝2，b＝－2.∴y＝2log4x－2，當(dāng)y＝8時(shí)，2log4x－2＝8，解得x＝1024.故他的銷售額應(yīng)為1024萬(wàn)元．考法06建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題例6為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響，在山上建立了一個(gè)觀察站，測(cè)量最大積雪深度x與當(dāng)年灌溉面積y例6年序最大積雪深度x(cm)灌溉面積y(公頃)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描點(diǎn)畫出灌溉面積隨積雪深度變化的圖象；(2)建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型，并畫出圖象；(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，估計(jì)若今年最大積雪深度為25cm，則可以灌溉土地多少公頃？【解析】(1)描點(diǎn)，作圖如右圖所示．(2)從(1)圖可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近，由此，設(shè)灌溉面積y和最大積雪深度x滿足線性模型：y＝a＋bx.取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21.1＝a＋10.4b，,45.8＝a＋24.0b，))解得a≈2.4，b≈1.8，所以該函數(shù)模型為：y＝2.4＋1.8x.作出函數(shù)圖象(如右圖)，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說(shuō)明它能較好地反映積雪面積與灌溉面積的關(guān)系．(3)由(2)得y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即當(dāng)積雪深度為25米時(shí)，可以灌溉土地47.4公頃．【跟蹤訓(xùn)練】某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？【解析】設(shè)可獲得總利潤(rùn)為R(x)萬(wàn)元，則R(x)＝40x－y＝40x－eq\f(x2,5)＋48x－8000＝－eq\f(x2,5)＋88x－8000＝－eq\f(1,5)(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)，∴當(dāng)x＝210時(shí)，R(x)max＝－eq\f(1,5)(210－220)2＋1680＝1660(萬(wàn)元)．∴年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1660萬(wàn)元．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．毛衣柜里的樟腦丸會(huì)隨著時(shí)間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為，經(jīng)過(guò)天后體積與天數(shù)的關(guān)系式為．若新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)椋瑒t一個(gè)新丸體積變?yōu)樾杞?jīng)過(guò)的時(shí)間為（）A．125天 B．100天 C．75天 D．50天【答案】C【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)，有．即，得．所以當(dāng)時(shí)，有．即，得．所以．故選：C2．“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來(lái)，城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學(xué)治污．某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為立方米，每天的進(jìn)出水量為立方米．已知污染源以每天個(gè)單位污染河水，某一時(shí)段（單位：天）河水污染質(zhì)量指數(shù)為（每立方米河水所含的污染物）滿足（為初始質(zhì)量指數(shù)），經(jīng)測(cè)算，河道蓄水量是每天進(jìn)出水量的80倍．若從現(xiàn)在開始關(guān)閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時(shí)的10%，需要的時(shí)間大約是（參考數(shù)據(jù)：）（）A．1個(gè)月 B．3個(gè)月 C．半年 D．1年【答案】C【解析】由題可知：∴∴∴（天）∴要使河水的污染水平下降到初始時(shí)的10%，需要的時(shí)間大約是半年.故選：C.3．核酸檢測(cè)分析是用熒光定量法，通過(guò)化學(xué)物質(zhì)的熒光信號(hào)，對(duì)在擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，在擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閾值時(shí)，的數(shù)量與擴(kuò)增次數(shù)滿足，其中為擴(kuò)增效率，為的初始數(shù)量.已知某被測(cè)標(biāo)本擴(kuò)增次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的倍，那么該樣本的擴(kuò)增效率約為（）(參考數(shù)據(jù)：，)A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631【答案】C【解析】由題意知，，即，所以，解得.故選：C.4．某醫(yī)藥研究所研發(fā)了一種治療某疾病的新藥，服藥后，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.25毫克時(shí)，治療疾病有效．據(jù)監(jiān)測(cè)，服藥后每毫升血液中的含藥量y（單位：毫克）與時(shí)間t（單位：時(shí)）之間滿足如圖所示的曲線，則服藥一次后治療疾病的有效時(shí)間為（）A． B． C．5 D．6【答案】B【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象是一個(gè)線段，由于過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)，故其解析式為，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，此時(shí)在曲線上，將此點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，解得故函數(shù)的解析式為，．所以．令，即，解得，．服藥一次治療疾病有效的時(shí)間為小時(shí)．故選：．5．視力檢測(cè)結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：小數(shù)記錄五分記錄現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①，②，表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，表示五分記錄數(shù)據(jù)，請(qǐng)選擇最合適的模型解決如下問(wèn)題：小明同學(xué)檢測(cè)視力時(shí)，醫(yī)生告訴他的視力為，則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（附，，）（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故合適的函數(shù)模型為，令，解得.故選：B.6．某化工廠對(duì)產(chǎn)生的廢氣進(jìn)行過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量（單位：）與時(shí)間（單位：）間的關(guān)系為：，其中是正的常數(shù)．如果在前消除了的污染物，則污染物減少需要花費(fèi)的時(shí)間為（）（精確到，參考數(shù)據(jù)）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】D【解析】由題意當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以．當(dāng)時(shí)，有，即，解得．故選：D．7．為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)費(fèi)方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過(guò)的部分3元/超過(guò)但不超過(guò)的部分6元/超過(guò)的部分9元/若某戶居民本月交納的水費(fèi)為54元，則此戶居民的用水量為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)此戶居民本月用水量為,繳納的水費(fèi)為元,則當(dāng)時(shí),元,不符合題意;當(dāng)時(shí),,令,解得,符合題意；當(dāng)時(shí),,不符合題意.綜上所述:此戶居民本月用水量為15.故選：C.8．單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”，與道路設(shè)施、交通服務(wù)、環(huán)境、氣候等諸多條件相關(guān).假設(shè)某條道路一小時(shí)通過(guò)的車輛數(shù)滿足關(guān)系，其中為安全距離，為車速.當(dāng)安全距離取時(shí)，該道路一小時(shí)“道路容量”的最大值約為（）A．135 B．149C．165 D．195【答案】B【解析】由題意得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以該道路一小時(shí)“道路容量”的最大值約為149.故選：B題組B能力提升練1．某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為（不超過(guò)按起步價(jià)付費(fèi)）；超過(guò)但不超過(guò)時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過(guò)時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元，下列結(jié)論正確的是（）A．出租車行駛，乘客需付費(fèi)8元B．出租車行駛，乘客需付費(fèi)9.6元C．出租車行駛，乘客需付費(fèi)25.45元D．某人兩次乘出租車均行駛的費(fèi)用之和超過(guò)他乘出租車行駛一次的費(fèi)用【答案】CD【解析】對(duì)于A：出租車行駛，乘客需付起步價(jià)8元和燃油附加費(fèi)1元，共9元，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：出租車行駛，乘客需付費(fèi)8+2.15+1=11.15元，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：出租車行駛，乘客需付費(fèi)元，故C正確；對(duì)于D：某人兩次乘出租車均行駛的費(fèi)用之和為元，一次行駛的費(fèi)用為25.45元，，故D正確.故選：CD2．如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系為，關(guān)于下列說(shuō)法正確的是（）A．浮萍每月的增長(zhǎng)率為2B．浮萍每月增加的面積都相等C．第4個(gè)月時(shí)，浮萍面積超過(guò)D．若浮萍蔓延到所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是，則【答案】CD【解析】由圖可知，過(guò)，所以，，對(duì)A，由為指數(shù)函數(shù)，為爆炸式增長(zhǎng)，取前三個(gè)月浮萍面積3，9，27，故增長(zhǎng)率逐月增大，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，第一個(gè)月為3，第二個(gè)月為9，第三個(gè)月為27，浮萍每月增加的面積不相等，對(duì)C，，，故C正確；對(duì)D，，所以，，所以，故D正確，故選：CD3．已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費(fèi)為1.8元，某食品加工廠對(duì)餅干采用兩種包裝，其包裝費(fèi)用、銷售價(jià)格如表所示：型號(hào)小包裝大包裝質(zhì)量100克300克包裝費(fèi)0.5元0.7元銷售價(jià)格3.00元8.4元?jiǎng)t下列說(shuō)法正確的是（）A．買小包裝實(shí)惠B．買大包裝實(shí)惠C．賣3小包比賣1大包盈利多D．賣1大包比賣3小包盈利多【答案】BD【解析】大包裝300克8.4元，則等價(jià)為100克2.8元，小包裝100克3元，則買大包裝實(shí)惠，故B正確，賣1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，賣1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，則賣3小包盈利0.7×3=2.1(元)，則賣1大包比賣3小包盈利多，故D正確.故選：BD4．創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂，國(guó)家大力提倡大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè)，有利于培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新精神.小李同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過(guò)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本5萬(wàn)元，每年生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本C(x)萬(wàn)元，在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件時(shí)，(萬(wàn)元)；在年產(chǎn)量不小于8萬(wàn)件時(shí)，(萬(wàn)元).每件產(chǎn)品售價(jià)為10元，經(jīng)分析，生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.（1）寫出年利潤(rùn)P(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式(年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本).（2）年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為8萬(wàn)件時(shí)，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.【解析】（1）因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為10元，所以x萬(wàn)件產(chǎn)品銷售收入為10x萬(wàn)元.依題意得，當(dāng)0<x<8時(shí)，P(x)=10x--5=+6x-5；當(dāng)x≥8時(shí)，P(x)=10x--5=28-.所以P(x)=；（2）當(dāng)0<x<8時(shí)，P(x)=-+13，當(dāng)x=6時(shí)，P(x)取得最大值P（6）=13；當(dāng)x≥8時(shí)，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).當(dāng)x=8時(shí)，P(x)取得最大值P（8）=.由13<，則可知當(dāng)年產(chǎn)量為8萬(wàn)件時(shí)，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.5．自新冠病毒爆發(fā)以后，各國(guó)科技人員都在攻關(guān)疫苗的難題，近日我國(guó)在這一領(lǐng)域取得重大突破，國(guó)產(chǎn)疫苗在國(guó)際上受到廣泛認(rèn)可.我國(guó)在實(shí)驗(yàn)階段為了研究T型病毒的變化規(guī)律，將T型病毒注入一個(gè)健康的小白鼠體內(nèi)，根據(jù)觀測(cè)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)分析，小白鼠體內(nèi)的病毒數(shù)y與天數(shù)n近似滿足.已知T型病毒在體內(nèi)超過(guò)109個(gè)時(shí)，小白鼠就會(huì)死亡，但如果注射了某種藥物可有效殺死體內(nèi)的T型病毒，為使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不會(huì)死亡，第一次注射該種藥物最遲應(yīng)在第___________天(參考數(shù)據(jù)：).【答案】19【解析】由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為，則由兩邊取對(duì)數(shù)得，解得．即第一次最遲應(yīng)在第19天注射該種藥物．故答案為：19.6．據(jù)觀測(cè)統(tǒng)計(jì)，某濕地公園某種珍稀鳥類以平均每年4%的速度增加.按這個(gè)增長(zhǎng)速度，大約經(jīng)過(guò)___________年以后，這種鳥類的個(gè)數(shù)達(dá)到現(xiàn)有個(gè)數(shù)的4倍或4倍以上.(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：)【答案】60【解析】設(shè)濕地公園某種珍稀鳥類的數(shù)量為，，故答案為：.7．?dāng)?shù)學(xué)建模小組檢測(cè)到相距3米的A，B兩光源的強(qiáng)度分別為a，b，異于A，B的線段上任意一點(diǎn)C處的光強(qiáng)度y等于兩光源到該處的強(qiáng)度之和，設(shè)米.（1）假設(shè)某處的光強(qiáng)度與光源的強(qiáng)度成正比，與到光源的距離的平方成反比，比例系數(shù)為常數(shù)，測(cè)得數(shù)據(jù)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，求A，B兩處的光強(qiáng)度，并寫出函數(shù)的解析式；（2）假設(shè)某處的光強(qiáng)度與光源的強(qiáng)度成正比，與到光源的距離成反比，比例系數(shù)為常數(shù)，測(cè)得數(shù)據(jù)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，問(wèn)何處的光強(qiáng)度最弱？并求最弱處的光強(qiáng)度.【解析】（1）由已知，得所以，，故，.（2）由已知，得，所以，故，.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)所以當(dāng)時(shí)的C處，光強(qiáng)度最弱為．8．為了響應(yīng)國(guó)家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”的號(hào)召，王韋達(dá)同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為2萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入可變成本萬(wàn)元，在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元）；在年產(chǎn)量不小于8萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元）．每件產(chǎn)品售價(jià)為7元，假設(shè)小王生產(chǎn)的商品當(dāng)年全部售完．（1）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式（注：年利潤(rùn)年銷售收入固定成本可變成本）；（2）年產(chǎn)量x為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以（2）當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，最大；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)，所以，此時(shí)x=10.即年產(chǎn)量x為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是15萬(wàn)元.題組C培優(yōu)拔尖練1．咖啡產(chǎn)品的經(jīng)營(yíng)和銷售如何在中國(guó)開拓市場(chǎng)是星巴克、漫咖啡等歐美品牌一直在探索的內(nèi)容，而2018年至今中國(guó)咖啡行業(yè)的發(fā)展實(shí)踐證明了以優(yōu)質(zhì)的原材料供應(yīng)以及大量?jī)?yōu)惠券、買贈(zèng)活動(dòng)吸引消費(fèi)者無(wú)疑是開拓中國(guó)咖啡市場(chǎng)最有效的方式之一.若某品牌的某種在售咖啡產(chǎn)品價(jià)格為30元/杯，其原材料成本為7元/杯，營(yíng)銷成本為5元/杯，且該品牌門店提供如下4種優(yōu)惠方式：（1）首杯免單，每人限用一次；（2）3.8折優(yōu)惠券，每人限用一次；（3）買2杯送2杯，每人限用兩次；（4）買5杯送5杯，不限使用人數(shù)和使用次數(shù).每位消費(fèi)者都可以在以上4種優(yōu)惠方式中選擇不多于2種使用.現(xiàn)在某個(gè)公司有5位后勤工作人員去該品牌門店幫每位技術(shù)人員購(gòu)買1杯咖啡，購(gòu)買杯數(shù)與技術(shù)人員人數(shù)須保持一致；請(qǐng)問(wèn)，這個(gè)公司的技術(shù)人員不少于（）人時(shí)，無(wú)論5位后勤人員采用什么樣的優(yōu)惠方式購(gòu)買咖啡，這筆訂單該品牌門店都能保證盈利.A．28 B．29 C．30 D．31【答案】C【解析】由題意知，咖啡產(chǎn)品原價(jià)為30元杯，成本為12元杯，優(yōu)惠方式（1）免單購(gòu)買，每購(gòu)買1杯該品牌門店虧損12元；優(yōu)惠方式（2）每杯售價(jià)11.4元，每購(gòu)買1杯該品牌店虧損0.6元；優(yōu)惠方式（3）和（4）相當(dāng)于5折購(gòu)買，每購(gòu)買1杯該品牌門店盈利3元；我們只需要考慮最優(yōu)的購(gòu)買方式，每位后勤工作人員能選擇2種優(yōu)惠方式，必然包含優(yōu)惠方式（1），可以免單購(gòu)買5杯咖啡，該品牌門店因此虧損60元，最優(yōu)的購(gòu)買方式是不包含原價(jià)購(gòu)買任何一杯咖啡，說(shuō)明只要用原價(jià)購(gòu)買1杯咖啡，哪怕最大程度利用3.8折優(yōu)惠，花費(fèi)也一定會(huì)超過(guò)搭配使用（2）（4）優(yōu)惠購(gòu)買咖啡），故顯然該品牌門店必須按照優(yōu)惠方式（3）和（4）售出20杯以上的咖啡才能盈利，故技術(shù)人員人數(shù)一定多于人；技術(shù)人員在人時(shí)，免單購(gòu)買5杯咖啡買5送5購(gòu)買20杯咖啡折購(gòu)買14杯咖啡，該品牌門店依舊虧損；技術(shù)人員為30人時(shí)，最優(yōu)購(gòu)買方式為免單購(gòu)買5杯咖啡十買5送5購(gòu)買20杯咖啡十買2送2購(gòu)買4杯咖啡折購(gòu)買1杯咖啡，該品牌門店盈利元；由于4，故技術(shù)人員超過(guò)30人時(shí)，該品牌門店能保證持續(xù)盈利．故選：C．2．(5分)為了研究國(guó)民收入在國(guó)民之間的分配，避免貧富過(guò)分懸殊，美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線時(shí)，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時(shí)，表示收入完全不平等.記區(qū)域?yàn)椴黄降葏^(qū)域，表示其面積，為的面積，將稱為基尼系數(shù).對(duì)于下列說(shuō)法：①越小，則國(guó)民分配越公平；②設(shè)勞倫茨曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，則對(duì)，均有；③若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為，則；④若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為，則.其中正確的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④【答案】A【解析】對(duì)于①，根據(jù)基尼系數(shù)公式，可得基尼系數(shù)越小，不平等區(qū)域的面積越小，國(guó)民分配越公平，所以①正確.對(duì)于②，根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得，均有，可得，所以②錯(cuò)誤.對(duì)于③，因?yàn)?，所以，所以③錯(cuò)誤.對(duì)于④，因?yàn)?，所以，所以④正確.故選A．3．某廠商為推銷自己品牌的可樂(lè)，承諾在促銷期內(nèi)，可以用3個(gè)該品牌的可樂(lè)空罐換1罐可樂(lè).對(duì)于此促銷活動(dòng)，有以下三個(gè)說(shuō)法：①如果購(gòu)買10罐可樂(lè)，那么實(shí)際最多可以飲13罐可樂(lè);②欲飲用100罐可樂(lè)，至少需要購(gòu)買67罐可樂(lè)：③如果購(gòu)買罐可樂(lè)，那么實(shí)際最多可飲用可樂(lè)的罐數(shù).（其中表示不大于x的最大整數(shù)）則所有正確說(shuō)法的序號(hào)是__________.【答案】②③.【解析】①：購(gòu)買罐可樂(lè)時(shí)，第一次可換罐還剩個(gè)空罐，第二次可換罐還剩個(gè)空罐，所以最多可飲用罐可樂(lè)，