24.4 解直角三角形 華師大版數(shù)學九年級上冊教案

24.4解直角三角形第1課時解直角三角形※教學目標※【知識與技能】使學生理解直角三角形中五個元素的關系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.【過程與方法】通過綜合運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.【情感態(tài)度】滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生良好的學習習慣.【教學重點】直角三角形的解法.【教學難點】三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運用.※教學過程※一、復習引入1.在三角形中共有幾個元素？2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B這五個元素間有哪些等量關系呢？二、探索新知1.解直角三角形我們已掌握Rt△ABC的邊角關系、三邊關系、角角關系，利用這些關系，在知道其中的兩個元素（至少有一個是邊）后，就可求出其余的元素.(1)概念：由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.（2）思考：為什么要至少有一條邊?2.已知兩條邊，求其余未知元素.【例1】如圖，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，則大樹在折斷之前高多少？分析：我們在遇到實際問題時，應該先把新問題與我們熟悉的問題聯(lián)系起來，再把新問題轉化成熟悉的問題來進行研究.對于現(xiàn)實問題通?；癁閿?shù)學模型來處理，這里體現(xiàn)數(shù)學建模的思想.解：利用勾股定理可以求出折斷后倒下部分的長度為=13,13+5=18(米).答：大樹在折斷之前高18米.3.已知一條邊和一個銳角，求其余未知元素.【例2】如圖，在相距2000米的東、西兩座炮臺A、B處同時發(fā)現(xiàn)入侵敵艦C，在炮臺A處測得敵艦C在它的南偏東40°的方向，在炮臺B處測得敵艦C在它的正南方.試求敵艦與兩炮臺的距離.（精確到1米）解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,=tan∠CAB,∴BC=AB·tan∠CAB=2000×tan50°≈2384(米).∵=cos50°,∴AC=≈3111(米).答：敵艦與A、B兩炮臺的距離分別約為3111米和2384米.三、鞏固練習1.在電線桿離地面8米高處向地面拉一條纜繩，纜繩和地面成53°7′角，求該纜繩的長及纜繩地面固定點到電線桿底部的距離.（精確到0.1米）2.海船以32.6海里/時的速度向正北方向航行，在A處看燈塔Q在海船的北偏東30°處，半小時后航行到B處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔Q與海船的距離最短.求燈塔Q到B處的距離.（畫出圖形后計算，精確到0.1海里）答案：1.如圖所示，∵AC=8米，∠B=53°7′，∴AB=≈10.0(米),BC=≈6.0(米).∴該纜繩的長約為10.0米，纜繩地面固定點到電線桿底部的距離約是6.0米.2.如圖所示，當燈塔Q與海船的距離最短時，QB⊥AB.由題意知AB=32.6×=16.3(海里).∵=tan∠BAQ=tan30°,∴BQ=AB×tan30°=16.3×≈9.4(海里).答：燈塔Q到B處的距離約為9.4海里.四、應用拓展本節(jié)的重要內容是解直角三角形的有關知識，解直角三角形的依據(jù)是勾股定理、兩銳角互余和邊角之間的關系，一般有兩種類型：已知兩邊，已知一邊和一銳角，解題時要選擇適當?shù)年P系式，盡可能使用原題數(shù)據(jù)和避免做除法運算.※課后作業(yè)※教材第117頁習題24.4第1題.第2課時俯角與仰角※教學目標※【知識與技能】1.了解仰角、俯角、方位角的概念.2.能根據(jù)直角三角形的知識解決與仰角、俯角、方位角有關的實際問題.【過程與方法】能夠借助輔助線解決實際問題，掌握數(shù)形結合、抽象歸納的思想方法.【情感態(tài)度】感知本節(jié)與實際生活的密切聯(lián)系，認識知識應用于實踐的意義.【教學重點】解直角三角形在實際中的應用.【教學難點】將某些實際問題中的數(shù)量關系，歸結為直角三角形中元素之間的關系，從而解決問題.※教學過程※一、復習引入1.什么是解直角三角形？2.解直角三角形的依據(jù)是什么？二、探索新知1.仰角、俯角.（1）幾個概念：①鉛垂線；②水平線；③視線；④仰角:視線在水平線的上方，視線與水平線的夾角；⑤俯角：視線在水平線的下方，視線與水平線的夾角.（2）應用.【例1】如圖，為了測量旗桿的高度BC，在離旗桿底部10米的A處，用高1.50米的測角儀DA測得旗桿頂端C的仰角α=52°.求旗桿BC的高.（精確到0.1米）解：在Rt△CDE中，∵CE=DE×tanα=AB×tanα=10×tan52°≈12.80(米)，∴BC=BE+CE=DA+CE≈1.50+12.80=14.3(米).答：旗桿BC的高度約為14.3米.2.方位角.【例2】如圖，A城氣象部門測得今年第9號臺風上午8時在A城南偏東30°的海面B處生成，并以每小時40海里的速度向正北方向移動，上午10時測得臺風中心移到了A城南偏東45°的方向的C處，若臺風中心120海里的范圍內將受臺風影響，問A城是否會受9號臺風影響？分析：A城是否會受臺風影響，就是A城到臺風移動路線BC的距離是否大于120海里.解：過A作AE⊥BC延長線于E，設AE=EC=x,則BE=x.∵BC=2×40=80,∴BC=BE-CE=(-1)x=80.∴x=40(+1)≈109.3<120.答：A城會受臺風影響.三、鞏固練習1.如圖，小雅家（圖中點O處）門前有一條東西走向的公路，經測得有一水塔（圖中點A處）在她家北偏東60度500m處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是（）A.250mB.250mC.mD.250m2.兩座建筑物DA與CB，其地面距離DC為50.4米，從DA的頂點A測得CB頂部B的仰角α=20°，測得其底部C的俯角β=35°.求這兩座建筑物的高.（精確到0.1米）3.如圖，某數(shù)學興趣小組在活動課上測量學校旗桿高度，已知小明的眼睛與地面的距離AB是1.7m，看旗桿頂部M的仰角為45°；小紅的眼睛與地面的距離CD是1.5m,看旗桿頂部M的仰角為30°.兩人相距28米且位于旗桿兩側（點B、N、D在同一條直線上）.請求出旗桿MN的高度.（參考數(shù)據(jù)：≈1.4,≈1.7,結果保留整數(shù)）答案：1.A2.由題意知，在矩形ADCE中，CE=AD，AE=CD=50.4米.在Rt△ADC中，∠DAC=90°-β=55°，則AD=≈35.3(米).在Rt△ABE中，∠BAE=20°,AE=50.4米,則BE=AE×tan20°=50.4×tan20°≈18.3(米).故CB=CE+BE=AD+BE≈35.3+18.3=53.6(米).答：建筑物DA的高約為35.3米，CB的高約為53.6米.3.12m四、歸納小結1.解決仰角、俯角、方位角有關的問題時，常用的兩個基本圖形.2.通常學習兩個例題及練習，初步學會把一些實際問題轉化為數(shù)學問題，通過解直角三角形來解決，具體地說，就是利用正切解直角三角形，從而把問題解決.※課后作業(yè)※教材第117頁習題24.4第3、4題.第3課時坡度與坡角※教學目標※【知識與技能】會運用解直角三角形有關知識解決與坡度、坡角有關的實際問題.【過程與方法】逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力；滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想和方法.【情感態(tài)度】進一步感知本節(jié)與實際生活的密切聯(lián)系，認識知識應用于實踐的意義.【教學重點】解決有關坡度的實際問題.【教學難點】理解坡度的有關術語.※教學過程※一、復習引入前面我們研究了與仰角、俯角、方位角有關的問題，今天研究與坡度、坡角有關的問題.二、探索新知1.幾個概念.（1）鉛垂高度h;（2）水平長度l;（3）坡度（坡比）i:坡面的鉛垂高度h和水平長度l的比i=;(4)坡角α:坡面與水平面的夾角α,i==tanα.顯然，坡度i越大，坡角α就越大，坡面就越陡.2.應用.【例1】在山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是5.5m,測得斜坡的傾斜角是24°，求斜坡上相鄰兩樹的坡面距離是多少（精確到0.1m）.分析：題目中出現(xiàn)的術語——株距、傾斜角，需重點說明.引導學生將實際問題轉化為數(shù)學問題，畫出圖形.已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB.解：在Rt△ABC中，cosA=,∴AB=≈6.0(米).答：斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離約是6.0米.【例2】如圖，一段路基的橫斷面是梯形，高為4.2米，上底寬為12.51米，其坡面的坡角分別是32°和28°.求路基下底的寬.（精確到0.1米）解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為點E、F.由題意可知：DE=CF=4.2米，EF=CD=12.51米.在Rt△ADE中,∵=tan32°,∴AE=≈6.72米.在Rt△BCF中，同理可得BF=≈7.90米.∴AB=AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90≈27.1(米).答：路基下底的寬約為27.1米.三、鞏固練習1.如圖，一水庫大壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂寬為6.2米，壩高為23.5米，斜坡AB的坡度i1=1∶3,斜坡CD的坡度i2=1∶2.5.求：（1）斜坡AB與壩底AD的長度（精確到0.1米）；（2）斜坡CD的坡角α（精確到1°）.2.設建造一條道路，路基的橫斷面為梯形ABCD，如圖所示，設路基高為h,兩側的坡角分別α和β，已知h=2米，α=45°,tanβ=,CD=10米.（1）求路基底部AB的寬；（2）修筑這樣的路基1000米，需要多少方土？答案：1.如圖所示，過點B、C分別作BE⊥AD、CF⊥AD，交AD于點E、F.（1）由i1=1∶3,得tanA=,所以∠A≈18.43°.AB=≈74.3(米).AE==70.5(米).由i2=1∶2.5,得tanD=,所以∠D≈21.8°.FD==58.75(米).所以AD=AE+EF+FD=70.5+6.2+58.75≈135.5(米).綜上，斜坡AB長約為74.3米，壩底AD長約為135.5米.（2）因為tanα=i2=,所以∠α≈22°,即斜坡CD的坡角α約為22°.2.（1）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F.在Rt△ADE中，∠α=45°，DE=h=2米,∴AE=DE=h=2米.在Rt△BCF中，tanβ=,CF=h=2米,∴BF=2CF=4米.故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(米).（2）S梯形ABCD=(AB+CD)·h=×(10+16)×2=26（平方米）.因此所需的土石方數(shù)是26×1000=26000(立方米).四、