湖南省懷化市2023-2024學年高一下學期期末考試數學試題

懷化市中小學課程改革教育質量檢測試卷2024年上期期考試題高一數學考試時長：150分鐘滿分：150分注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求得，，可求.【詳解】解得，解得，所以，所以.故選：B.2.一個圓臺的上、下底面的半徑為1和4，母線為5，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圓臺的高，然后利用圓臺體積公式即可得解.【詳解】令圓臺的高為h，由圖可知，所以，故選：C.3.已知m，n是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則下列判斷錯誤的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】借助面面平行與線面垂直的性質可得A；借助線面平行的性質可得B；借助線面垂直的性質與線面平行的判斷及面面平行的性質定理可得C；由線面平行的性質定理可得D.【詳解】對A：由，得，又，所以，故A正確；對B：若，，，則，故B正確；對C：由，得，又，所以，故C正確；對D：若，，則或，故D錯誤.故選：D.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據對數函數與指數函數性質結合中間值比較可得．【詳解】因為，所以．故選：D．5.下列判斷正確的是（）A.“實部等于零”是“復數z為純虛數”的充要條件B.“”是“向量，的夾角是鈍角”的充要條件C.“存在唯一的實數k，使”是“”的充要條件D.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，“”是“”的充要條件【答案】D【解析】【分析】對于A：根據復數的相關概念結合充分、必要條件分析判斷；對于B：根據數量積的符號與夾角之間的關系結合充分、必要條件分析判斷；對于C：根據向量共線的判定定理結合充分、必要條件分析判斷；對于D：根據正弦定理合充分、必要條件分析判斷.【詳解】對于A：實部等于零時，復數z不一定是純虛數（還要虛部不等于零），所以充分性不成立，故A錯誤；對于B：若時，可知向量，的夾角可能是鈍角或平角，所以充分性不成立，故B錯誤；對于C：例如時，由不能得出存在唯一的實數k，使，故C錯誤；對于D：由正弦定理可得，所以“”是“”的充要條件，故D正確.故選：D.6.在平行四邊形ABCD中，，，，點P在CD邊上，，則（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據題意結合數量積的幾何意義可得點P與點D重合，再利用余弦定理求出，結合勾股定理逆定理可得，從而可求得答案.【詳解】由，得在上的投影向量的模，因為，，所以在上的投影為，所以如圖1，得，點P與點D重合，因為，，，所以，所以，所以，所以，故選：A.7.連續(xù)投擲一枚質地均勻骰子兩次，這枚骰子兩次出現(xiàn)的點數之積為奇數的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列舉出兩次出現(xiàn)的點數之積為奇數的情況，結合樣本空間樣本點總數，得到概率.詳解】易知樣本空間樣本點總數，記“兩次出現(xiàn)的點數之積為奇數”為事件A，則，所以，所以.故選：B.8.已知函數對任意的都有，若的圖象關于直線對稱，且對于，當時，，則（）A. B.是奇函數C.是周期為4的周期奇函數 D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件可判斷函數的奇偶性，周期性以及單調性，由此一一判斷各選項，即可得答案.【詳解】由的圖象關于直線對稱，知的圖象關于y軸對稱，所以是偶函數，所以B錯誤.在中，令得，又，所以，所以，知是周期為6的周期函數，所以C錯誤.對于，當時，，故在上單調遞減，所以，所以A錯誤.對于D，，，由在上單調遞減，得即，D正確，故選：D【點睛】結論點睛：函數的對稱性與周期性：（1）若，則函數關于中心對稱；（2）若，則函數關于對稱；（3）若，則函數的周期為2a；（4）若，則函數的周期為2a.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數在一個周期內的圖象如圖所示，則（）A. B.C.是圖象的一條對稱軸 D.點是圖象一個對稱中心【答案】BD【解析】【分析】由圖象可知，求出，進而求出即可判斷A.再將最高點代入可求出判斷B．根據對稱軸經過最高或者最低點，對稱中心在中間判斷C和D．【詳解】對于A，由圖象知，得，所以，所以A錯誤.對于B，由得，由圖知，即，由得，所以B正確.對于C和D，由前述推導知，所以，所以C錯誤，D正確.故選：BD.10.設A，B是兩個隨機事件，已知，，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據事件的運算關系以及對立事件的概率，一一判斷各選項，即得答案.【詳解】由，，即，知，所以C錯誤.又，所以A正確.同理可得，B正確.又，所以D正確.故選：ABD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，點M是側面內（含邊界）的動點，點P是棱的中點，則（）A.存在點M，使B.當M位于頂點D時，直線MP與所成角的余弦值為C.三棱錐體積的最大值為D.若，線段PM運動所形成的曲面的面積為【答案】AB【解析】【分析】當M為的中點時可判斷A，由余弦定理求角余弦可判斷B，當M位于頂點D時可求出棱錐的體積判斷C，由軌跡為半圓錐側面，求出面積判斷D即可.【詳解】對于A，顯然，M為的中點時，，A正確.對于B，如圖，延長到使，連和，則或其補角等于直線MP與所成角，易得，，，所以，所以B正確.對于C，如圖，顯然面積為定值，要三棱錐的體積最大，只要高最大，即當M位于頂點D時，此時，所以C錯誤.對于D，如圖所示，易知M軌跡是以為直徑，位于側面內的一段半圓弧.線段PM運動所形成的曲面是一個半圓錐側面，其面積為，所以D錯誤.故選：AB三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的相應橫線上.12.已知復數滿足，其中i為虛數單位，則________.【答案】【解析】【分析】先由求出復數z，然后可求出復數z的?！驹斀狻恳驗?，所以，.故答案為：13.已知，，則________.【答案】【解析】【分析】兩邊平方即可得到，代入得到即可.【詳解】由已知，所以，所以.故答案為：.14.統(tǒng)計學中，協(xié)方差用來描述兩個變量之間的總體的誤差.設一組數據的平均值為，另一組數據的平均值為，則協(xié)方差.某次考試結束后，抽取了高一年級10名學生的數學成績x、物理成績y如下表：序號12345678910數學成績135124118107958774635344物理成績97788283776567524445已知，則________.【答案】474【解析】【分析】根據表格數據，算出，再對協(xié)方差公式進行展開化簡，再代入求值即得.【詳解】由已知得，，則.故答案為：474.四、解答題：共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，.（1）若，求x；（2）若，且），求.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）用向量平行的坐標結論可解；（2）用向量和坐標運算和垂直的坐標結論可解．【小問1詳解】由得，所以.【小問2詳解】由得，，所以，，由得，即，即所以.16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，，，，利用余弦定理可求得；（2）由（1）可求得，進而利用正弦定理可求得，進而求得，利用兩角差的正弦公式可求值.【小問1詳解】由已知，設，，，，由余弦定理.【小問2詳解】由，，得，由正弦定理，得.又由已知是最小邊，所以是銳角，得，所以.17.近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛.某直播平臺有1000個直播商家，對其進行統(tǒng)計調查，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具和飾品類等，各類直播商家所占比例如圖1所示.為更好地服務買賣雙方，該直播平臺用分層抽樣方式抽取了80個直播商家進行問詢調查.（1）應抽取小吃類、玩具類商家各多少家？（2）工作人員對直播商家的每日平均利潤狀況進行了統(tǒng)計，制作了如圖2所示的頻率分布直方圖.估計該直播平臺商家平均日利潤的中位數和平均數（結果保留整數，求平均值時，同一組中的數據用該組區(qū)間中點的數值代替）；（3）甲、乙、丙三人進入該直播平臺后，下單購物的概率分別為，，，且各自是否下單購物相互獨立.求在某次直播中，甲、乙、丙三人中有且只有1人下單購物的概率.【答案】（1）28，8（2）中位數為433元，平均數為440元（3）【解析】【分析】（1）根據分層抽樣的定義計算即可；（2）根據中位數和平均數的定義計算即可；（3）記“甲、乙、丙三人下單購物”分別為事件A，B，C，，，，“三人中有且只有1人下單購物”為事件D，，利用互互斥事件概率加法公式與獨立事件概率乘法公式求解即可.【小問1詳解】由已知，小吃類商家占35%，，玩具類商家占10%，，所以小吃類、玩具類商家應分別抽取28家、8家.【小問2詳解】由已知，所以，設中位數為x，因為前兩組的頻率之和為0.3，前三組的頻率之和為0.6，所以，且，解得，.所以，估計該直播平臺商家平均日利潤的中位數為433元，平均數為440元.【小問3詳解】記“甲、乙、丙三人下單購物”分別為事件A，B，C，“三人中有且只有1人下單購物”為事件D，由已知，，，則.18.如圖1，在矩形ABCD中，，，M是邊BC上的一點，將沿著AM折起，使點B到達點P的位置.（1）如圖2，若M是BC的中點，點N是線段PD的中點，求證：平面PAM；（2）如圖3，若點P在平面AMCD內射影H落在線段AD上.①求證：平面PAD；②求點M的位置，使三棱錐的外接球的體積最大，并求出最大值.【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②M位于點C，【解析】【分析】（1）根據線面平行的判定即可得證；（2）①根據線面垂直判定可證；②先分析得O是三棱錐外接球的球心，再求得直徑，然后根據函數的單調性求出最值，進而利用球的體積公式求出球的體積的最大值即可【小問1詳解】如圖，取PA的中點E，連接ME和EN，則EN是的中位線，所以且，又且，所以且，所以四邊形ENCM是平行四邊形，所以，又平面PAM，平面PAM，所以平面PAM.【小問2詳解】①由平面AMCD，平面PFH，得，又已知，且AD，PH是平面PAD內兩條相交直線，所以平面PAD.②，由①知平面PAD，又平面PAD，所以，所以是，由平面AMCD，平面AMCD，所以，是.如圖，取PC的中點O，則點O到三棱錐各頂點的距離都相等，所以O是三棱錐外接球的球心.如圖，過點P作于F，連HF和BF，因為平面AMCD，平面AMCD，所以，又PF，PH是平面PHF內兩條相交直線，所以平面PFH，又平面PFH，所以，由和翻折關系知，所以B，F(xiàn)，H三點共線，且，設，則，，又，所以，，，由，得，所以，，所以，，因為在時單調遞增，所以時，有最大值，此時，點M位于點的C位置，所以，，.所以點M位于點的C時，三棱錐外接球的體積的最大值為.【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側面為直角三角形，或正四面體，或對棱二面角均相等的模型，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據帶其他頂點距離也是半徑，列關系求解即可；④坐標法：建立空間直角坐標系，設出外接球球心的坐標，根據球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.19.射影幾何學中，中心投影是指光從一點向四周散射而形成的投影，如圖，為透視中心，平面內四個點經過中心投影之后的投影點分別為.對于四個有序點，定義比值叫做這四個有序點的交比，記作.（1）若點分別是線段的中點，求；（2）證明：；（3）已知，點為線段的中點，，，求.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據條件，可求得，，即可求出結果；（2）根據條件，將邊長之比轉化成面積之比，再結合題設定義，即可證明結果；（3）方法一：根據條件得到，再利用幾何關系得到，設，，利用有，再利用余弦定理和正弦定理，建立方程，即可求解；方法二：設，根據條件，得到，再利用及余弦定理，建立方程，即可求解.【小問1詳解】由已知，，所以.【小問2詳解】在，，，中，，同理，所以，又在，，，中，，同理，所以，又，，，，所以，所以.【小問3詳解】方法一：由，可得，即，所以，又點B為線段AD的中點，即，所以，又，所以，，，又已知，所以.設，，由，得，即，解得，…①在中，由正弦定理可得，得，…②在中