《機(jī)器人技術(shù)-建模、仿真及應(yīng)用》課件全套 韓亞麗 第1-6章 緒論、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)- 機(jī)器人關(guān)節(jié)控制

ROBOT機(jī)器人技術(shù)——建模、仿真及應(yīng)用緒論第一章

目錄PART.1PART.4PART.3PART.21.1機(jī)器人的定義1.2機(jī)器人的分類(lèi)1.3機(jī)器人基礎(chǔ)知識(shí)1.4機(jī)器人的主要研究?jī)?nèi)容注：本書(shū)后續(xù)所有仿真程序基于2016b版MATLAB，需安裝RoboticsToolbox（機(jī)器人工具箱）機(jī)器人的定義PART.1概念在發(fā)展，定義在變化，關(guān)于機(jī)器人有多種定義國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織（InternationalOraganizationforStandardization,IOS）

機(jī)器人是一種自動(dòng)的、位置可控的、具有編程能力的多功能機(jī)械手，這種機(jī)械手具有幾個(gè)軸，能夠借助于可編程序操作來(lái)處理各種材料、零件、工具和專(zhuān)用裝置，以執(zhí)行種種任務(wù)。美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局（NationalBureauofStandards,NBS）一種能夠進(jìn)行編程，并在自動(dòng)控制下執(zhí)行某些操作和移動(dòng)作業(yè)任務(wù)的機(jī)械裝置。機(jī)器人的定義概念在發(fā)展，定義在變化，關(guān)于機(jī)器人有多種定義日本工業(yè)機(jī)器人協(xié)會(huì)（JapaneseIndustrialRobotAssociation，JIRA）

工業(yè)機(jī)器人是一種帶有存儲(chǔ)器件和末端執(zhí)行器的通用機(jī)械，它能夠通過(guò)自動(dòng)化的動(dòng)作替代人類(lèi)勞動(dòng)。GB/T12643---2013<<機(jī)器人與機(jī)器人裝備詞匯>>

機(jī)器人是具有兩個(gè)或兩個(gè)以上可編程的軸，以及一定程度的自主能力，可在其工作環(huán)境內(nèi)運(yùn)動(dòng)以執(zhí)行預(yù)期的任務(wù)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。機(jī)器人的定義機(jī)器人特征如下:動(dòng)作機(jī)構(gòu)具有類(lèi)似于人或其他生物體某些器官（肢體、感官等）的功能具有通用性，工作種類(lèi)多樣，動(dòng)作程序靈活易變具有不同程度的智能性，如記憶、感知、推理、決策、學(xué)習(xí)等具有獨(dú)立性，完整的機(jī)器人系統(tǒng)，在工作中可以不依賴(lài)于人的干預(yù)機(jī)器人的定義機(jī)器人的分類(lèi)PART.2機(jī)構(gòu)形式/運(yùn)動(dòng)形態(tài)分類(lèi)驅(qū)動(dòng)方式分類(lèi)控制器信息輸入/示教方法用途分類(lèi)直角坐標(biāo)機(jī)器人直角坐標(biāo)機(jī)器人定義：直角坐標(biāo)型機(jī)器人手部空間位置的改變是通過(guò)沿3個(gè)互相垂直軸線(xiàn)的移動(dòng)來(lái)實(shí)。優(yōu)點(diǎn)：位置精度高、控制簡(jiǎn)單、避障性好。缺點(diǎn)：結(jié)構(gòu)較龐大、動(dòng)作范圍小、靈活性差。圓柱坐標(biāo)機(jī)器人圓柱坐標(biāo)機(jī)器人定義：機(jī)器人手臂的運(yùn)動(dòng)系由垂直立柱內(nèi)的伸縮和沿著立柱的升降兩個(gè)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，以及手臂繞立柱的轉(zhuǎn)動(dòng)復(fù)合而成。優(yōu)點(diǎn)：位置精度高、控制簡(jiǎn)單、避障性好。缺點(diǎn)：結(jié)構(gòu)龐大、設(shè)計(jì)復(fù)雜移動(dòng)軸。機(jī)構(gòu)形式/運(yùn)動(dòng)形態(tài)分類(lèi)定義：球坐標(biāo)型機(jī)器人手臂的運(yùn)動(dòng)由一個(gè)移動(dòng)和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)組成，即手臂沿軸的伸縮、繞軸的俯仰和繞軸的回轉(zhuǎn)。優(yōu)點(diǎn)：占地面積小、結(jié)構(gòu)緊湊等。缺點(diǎn)：避障性差、平衡性差等定義：

SCARA型機(jī)器人手臂的前端結(jié)構(gòu)采用在二維空間內(nèi)能任意移動(dòng)的自由度。SCARA型機(jī)器人更能簡(jiǎn)單地實(shí)現(xiàn)二維平面上的動(dòng)作，常用于裝配作業(yè)中。特征：垂直方向剛性高，水平面內(nèi)剛性低等。球坐標(biāo)機(jī)器人球坐標(biāo)機(jī)器人SCARA型機(jī)器人SCARA型機(jī)器人機(jī)構(gòu)形式/運(yùn)動(dòng)形態(tài)分類(lèi)定義：球坐標(biāo)型機(jī)器人手臂的運(yùn)動(dòng)由一個(gè)移動(dòng)和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)組成，即手臂沿軸的伸縮、繞軸的俯仰和繞軸的回轉(zhuǎn)。優(yōu)點(diǎn)：占地面積小、結(jié)構(gòu)緊湊等。缺點(diǎn)：避障性差、平衡性差等。關(guān)節(jié)型機(jī)器人機(jī)構(gòu)形式/運(yùn)動(dòng)形態(tài)分類(lèi)并聯(lián)型機(jī)器人關(guān)節(jié)型機(jī)器人并聯(lián)型機(jī)器人定義：球坐標(biāo)型機(jī)器人手臂的運(yùn)動(dòng)由一個(gè)移動(dòng)和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)組成，即手臂沿軸的伸縮、繞軸的俯仰和繞軸的回轉(zhuǎn)。優(yōu)點(diǎn)：占地面積小、結(jié)構(gòu)緊湊等。缺點(diǎn)：避障性差、平衡性差等。驅(qū)動(dòng)形式氣力驅(qū)動(dòng)式液力驅(qū)動(dòng)式定義：以壓縮空氣來(lái)驅(qū)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)。優(yōu)點(diǎn)：空氣來(lái)源方便，動(dòng)作迅速，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，造價(jià)低。缺點(diǎn)：空氣具有可壓縮性，使得工作速度的穩(wěn)定性較差。氣力驅(qū)動(dòng)式定義：利用液體在封閉系統(tǒng)內(nèi)傳遞壓力來(lái)產(chǎn)生力和運(yùn)動(dòng)。優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)平穩(wěn)且動(dòng)作靈敏等。缺點(diǎn)：對(duì)密封的要求較高，不宜在高、低溫場(chǎng)合工作，且制造精度要求高，成本高。液力驅(qū)動(dòng)式定義：電力驅(qū)動(dòng)式機(jī)器人利用各種電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的力和力矩，直接或通過(guò)減速機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)機(jī)器人。優(yōu)點(diǎn)：無(wú)環(huán)境污染、易于控制、運(yùn)動(dòng)精度高、成本低、驅(qū)動(dòng)效率高等優(yōu)點(diǎn)。定義：由各種新技術(shù)如壓電、靜電、記憶合金驅(qū)動(dòng)器以及人工肌肉驅(qū)動(dòng)器等對(duì)機(jī)器人進(jìn)行驅(qū)動(dòng)。電力驅(qū)動(dòng)式電力驅(qū)動(dòng)式新型驅(qū)動(dòng)方式驅(qū)動(dòng)形式人工肌肉驅(qū)動(dòng)器控制器信息輸入/示教方法示教機(jī)器人可變程序機(jī)器人固定程序機(jī)器人程控機(jī)器人智能機(jī)器人按照預(yù)先設(shè)定好的順序、條件、位置，逐步完成各個(gè)階段的預(yù)設(shè)任務(wù)，但是要更改預(yù)先設(shè)定的條件非常不方便。按照預(yù)先設(shè)定好的順序、條件、位置，逐步完成各個(gè)階段的預(yù)設(shè)任務(wù)，并且可以很方便地更改預(yù)先的設(shè)定程序。預(yù)先由人對(duì)機(jī)器人的機(jī)械臂及機(jī)械手或生產(chǎn)工具的動(dòng)作進(jìn)行示教，并將作業(yè)的順序、位置等信息記錄下來(lái)，在工作時(shí)再將記錄信息讀取，由機(jī)械臂及機(jī)械手或生產(chǎn)工具完成相關(guān)作業(yè)。操作人員并不是對(duì)機(jī)器人進(jìn)行手動(dòng)示教，而是向機(jī)器人提供運(yùn)動(dòng)程序，使得機(jī)器人執(zhí)行給定的任務(wù)，其控制方式與數(shù)控機(jī)床一樣。智能機(jī)器人能夠基于傳感信息來(lái)獨(dú)立檢測(cè)其工作環(huán)境或工作條件的變化，并借助其自我決策能力，執(zhí)行相應(yīng)的工作任務(wù)。用途分類(lèi)工業(yè)機(jī)器人工作站IndustrialRobotWorkingStation

由一臺(tái)或兩臺(tái)機(jī)器人所構(gòu)成的生產(chǎn)體系。工業(yè)機(jī)器人工業(yè)機(jī)器人：工業(yè)機(jī)器人主要應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)中，進(jìn)行焊接、噴漆、裝配、搬運(yùn)、檢驗(yàn)等作業(yè)。工業(yè)機(jī)器人生產(chǎn)線(xiàn)IndustrialRobotProductionLine由若干機(jī)器人工作站和物流系統(tǒng)組成，完成多項(xiàng)復(fù)雜作業(yè)的生產(chǎn)體系。用途分類(lèi)焊接機(jī)器人噴涂機(jī)器人搬運(yùn)機(jī)器人工業(yè)機(jī)器人用途分類(lèi)服務(wù)機(jī)器人跳舞機(jī)器人福娃機(jī)器人清掃機(jī)器人服務(wù)機(jī)器人：服務(wù)機(jī)器人是除工業(yè)機(jī)器人之外，服務(wù)人類(lèi)非生產(chǎn)性活動(dòng)的機(jī)器人總稱(chēng)。用途分類(lèi)服務(wù)機(jī)器人救援機(jī)器人導(dǎo)盲機(jī)器人醫(yī)療機(jī)器人水下機(jī)器人CanadaArm太空機(jī)械臂軍用機(jī)器人機(jī)器人基礎(chǔ)知識(shí)PART.3機(jī)器人的基本術(shù)語(yǔ)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)機(jī)器人的主要技術(shù)參數(shù)機(jī)器人的控制機(jī)器人的基本術(shù)語(yǔ)世界坐標(biāo)系一般是指建立在地球上的笛卡兒角坐標(biāo)系，也稱(chēng)為大地坐標(biāo)系?；鴺?biāo)系也稱(chēng)為基坐標(biāo)系，一般用于描述機(jī)器人操作臂，是指建立在機(jī)器人不運(yùn)動(dòng)的基座上的坐標(biāo)系通常用作描述機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)及末端位姿的參考坐標(biāo)系。關(guān)節(jié)坐標(biāo)系是設(shè)定在機(jī)器人關(guān)節(jié)中的坐標(biāo)系，在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下機(jī)器人各軸可實(shí)現(xiàn)單獨(dú)正向或反向運(yùn)動(dòng)。工具坐標(biāo)系是用來(lái)定義工具中心點(diǎn)的位置和工具姿態(tài)的坐標(biāo)系，其原點(diǎn)定義在工具中心點(diǎn)，但軸的方向定義因生產(chǎn)廠商而異。工件坐標(biāo)系也稱(chēng)為用戶(hù)坐標(biāo)系，是用戶(hù)對(duì)每個(gè)工作空間進(jìn)行定義的直角坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系以基坐標(biāo)系為參考，通常建立在工件或工作臺(tái)上。坐標(biāo)變換是指將一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)描述從一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系下的過(guò)程。在機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)中，坐標(biāo)變換非常重要，通常用于兩個(gè)相鄰連桿之間的位姿轉(zhuǎn)換。世界坐標(biāo)系基座坐標(biāo)系關(guān)節(jié)坐標(biāo)系工具坐標(biāo)系工件坐標(biāo)系坐標(biāo)變換機(jī)器人的基本術(shù)語(yǔ)機(jī)器人轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)機(jī)器人移動(dòng)關(guān)節(jié)定義：移動(dòng)關(guān)節(jié)又稱(chēng)移動(dòng)副、滑動(dòng)關(guān)節(jié)，是使兩個(gè)連桿的組件中的一件相對(duì)于另一件做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的關(guān)節(jié)，兩個(gè)連桿之間只做相對(duì)移動(dòng)。機(jī)器人移動(dòng)關(guān)節(jié)機(jī)器人轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)定義：轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)又稱(chēng)轉(zhuǎn)動(dòng)副，是使連續(xù)兩個(gè)連桿的組成件中的一個(gè)相對(duì)于另一個(gè)繞固定軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)節(jié)，兩個(gè)連桿之間只做相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。按照軸線(xiàn)的方向，轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)可分為回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和擺動(dòng)關(guān)節(jié)。操作臂末端執(zhí)行器手腕機(jī)器人的機(jī)構(gòu)機(jī)器人的基本術(shù)語(yǔ)關(guān)節(jié)空間是機(jī)器人關(guān)節(jié)變量所構(gòu)成的數(shù)學(xué)意義上的空間集合。機(jī)器人工作空間有兩層含義。一層是數(shù)學(xué)意義上，指機(jī)器人工作空間變量所構(gòu)成的空間集合。另一層含義是幾何層面上，指機(jī)器人運(yùn)動(dòng)描述參考點(diǎn)所能達(dá)到的空間的集合，它是由操作臂的連桿尺寸、關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍和構(gòu)型決定的。額定負(fù)載是指機(jī)器人在規(guī)定的性能范圍內(nèi)末端機(jī)械接口處能夠承受的最大負(fù)載量。該指標(biāo)反映了機(jī)器人搬運(yùn)重物的能力，通常用來(lái)表示機(jī)械臂的承載力。分辨率是指機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)能夠?qū)崿F(xiàn)的最小移動(dòng)距離或最小轉(zhuǎn)動(dòng)角度。該指標(biāo)反映了機(jī)器人關(guān)節(jié)傳感器的檢測(cè)精度及關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)精度。定位精度是指機(jī)器人執(zhí)行指令設(shè)定位姿與實(shí)際到達(dá)位姿的一致程度。在機(jī)器人的技術(shù)指標(biāo)中，定位精度通常用重復(fù)定位精度來(lái)表示。不同廠家對(duì)最大工作速度規(guī)定內(nèi)容不同，有的廠家定義為工業(yè)機(jī)器人主要自由度上最大的穩(wěn)定速度，有的廠家定義為手臂末端最大的合成速度。關(guān)節(jié)空間工作空間額定負(fù)載分辨率定位精度最大工作速度機(jī)器人的控制伺服系統(tǒng)是控制機(jī)器人的位姿和速度等使其跟隨目標(biāo)值變化的控制系統(tǒng)。在機(jī)器人的早期階段，需要采用專(zhuān)用的計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言編寫(xiě)機(jī)器人的控制程序。離線(xiàn)編程是機(jī)器人作業(yè)方式的信息記憶過(guò)程與作業(yè)對(duì)象不發(fā)生直接關(guān)系的編程方式。在線(xiàn)編程是讓機(jī)器人在執(zhí)行任務(wù)的過(guò)程中記住運(yùn)動(dòng)參數(shù)及軌跡的一種編程方式。在線(xiàn)編程最常用的方式是人工示教。機(jī)器人采用傳感器感知自己和周?chē)h(huán)境，因此機(jī)器人傳感器分為內(nèi)部傳感器和外部傳感器。點(diǎn)位控制是機(jī)器人的一種典型控制方式，可控制機(jī)器人從一個(gè)位姿運(yùn)動(dòng)到下一個(gè)位姿伺服系統(tǒng)機(jī)器人語(yǔ)言離線(xiàn)編程在線(xiàn)編程傳感器點(diǎn)位控制連續(xù)控制軌跡協(xié)調(diào)控制連續(xù)軌跡控制是一種比點(diǎn)位控制更復(fù)雜的控制方式，它能夠控制機(jī)器人的機(jī)械接口在指定的軌跡上按照編程規(guī)定的位姿和速度移動(dòng)協(xié)調(diào)控制是對(duì)多個(gè)機(jī)器人而言的，該控制方式可以協(xié)調(diào)控制多個(gè)手臂或多臺(tái)機(jī)器人同時(shí)進(jìn)行某種作業(yè)。機(jī)器人的主要研究?jī)?nèi)容PART.4機(jī)器人系統(tǒng)組成不同類(lèi)型的機(jī)器人的機(jī)械、電氣和控制結(jié)構(gòu)千差萬(wàn)別，但是一個(gè)機(jī)器人系統(tǒng)通常由3部分、6個(gè)子系統(tǒng)組成。3部分分別是機(jī)械部分、傳感部分和控制部分，6個(gè)子系統(tǒng)分別是機(jī)械系統(tǒng)、驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、人機(jī)交互系統(tǒng)、感知系統(tǒng)，以及機(jī)器人環(huán)境交互系統(tǒng)。主要研究?jī)?nèi)容機(jī)器人機(jī)構(gòu)是用來(lái)將輸入的運(yùn)動(dòng)和力轉(zhuǎn)換成期望的力和運(yùn)動(dòng)并輸出的機(jī)構(gòu)。機(jī)器人機(jī)構(gòu)按工作空間可分為平面機(jī)構(gòu)和空間機(jī)構(gòu)，按剛度可分為剛性機(jī)構(gòu)和柔性機(jī)構(gòu)。機(jī)器人機(jī)構(gòu)研究主要體現(xiàn)在機(jī)器人本體機(jī)構(gòu)的構(gòu)型、尺度、速度、負(fù)載能力及機(jī)構(gòu)剛度的設(shè)計(jì)等方面。機(jī)器人的執(zhí)行機(jī)構(gòu)實(shí)際上是一個(gè)多剛體系統(tǒng)，基于機(jī)器人數(shù)學(xué)描述方法，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)主要研究機(jī)器人的位置、速度、加速度及其他位置變量的高階導(dǎo)數(shù)，包括正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)兩大類(lèi)問(wèn)題。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)是研究機(jī)器人產(chǎn)生預(yù)定運(yùn)動(dòng)需要的力，這方面的研究需要建立機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程，即建立作用于機(jī)器人各機(jī)構(gòu)的力或力矩及其位置、速度、加速度關(guān)系的方程。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)是牛頓力學(xué)、拉格朗日力學(xué)等。機(jī)器人感知是通過(guò)不同的傳感器來(lái)實(shí)現(xiàn)，分內(nèi)部傳感器和外部傳感器兩大類(lèi)。機(jī)器人感知主要研究專(zhuān)用傳感器的研制及傳感器信息的處理方法和技術(shù)。機(jī)器人控制以機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)為基礎(chǔ)，主要研究?jī)?nèi)容有機(jī)器人控制方式和機(jī)器人控制策略。機(jī)器人常用的控制包括位置控制、力控制，以及力位混合控制等。機(jī)器人機(jī)構(gòu)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)器人感知機(jī)器人控制課后習(xí)題Last1.1請(qǐng)給出工業(yè)機(jī)器人的定義，并說(shuō)明工業(yè)機(jī)器人有哪幾種分類(lèi)方法。1.2簡(jiǎn)述工業(yè)機(jī)器人由哪些子系統(tǒng)構(gòu)成。1.3簡(jiǎn)述虛擬和仿真的區(qū)別與聯(lián)系，以及虛擬實(shí)驗(yàn)室的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。1.4簡(jiǎn)述工業(yè)機(jī)器人的控制過(guò)程有什么特點(diǎn)。1.5工業(yè)機(jī)器人已經(jīng)發(fā)展為獨(dú)特形態(tài)的機(jī)械電子程序一體化的工業(yè)設(shè)備，簡(jiǎn)述你認(rèn)為它在未來(lái)智慧工廠的應(yīng)用情景。習(xí)題ENDROBOT機(jī)器人技術(shù)——建模、仿真及應(yīng)用機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)第二章目錄數(shù)學(xué)基礎(chǔ)PART.1運(yùn)動(dòng)學(xué)分析PART.2數(shù)學(xué)基礎(chǔ)PART.1位置與位姿齊次變化仿真實(shí)例數(shù)學(xué)基礎(chǔ)位置描述對(duì)于直角坐標(biāo)系{A}，空間任一點(diǎn)的位置可用3×1階的列矢量來(lái)表示(也稱(chēng)位置矢量)：式中：Px、Py、Pz是點(diǎn)P在坐標(biāo)系{A}中的三個(gè)位置坐標(biāo)分量。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)位置描述向量可以由3個(gè)起始和終止的坐標(biāo)來(lái)表示。P=（

PX

-OX

）

i

+（PY

-OY

）

j

+（

PZ

-OZ

）

k

若O為原點(diǎn)：式中：Px、Py、Pz是向量在坐標(biāo)系{A}中的三個(gè)位置坐標(biāo)分量。向量的3個(gè)分量也可寫(xiě)成矩陣形式。(PX=cos

，PY=cos

，PZ=cos)（，，J為機(jī)械臂的雅可比矩陣（6×n矩陣））（為關(guān)節(jié)速度對(duì)末端執(zhí)行速度的3*n作用矩陣）雅可比矩陣取一個(gè)自由度為n的機(jī)械臂，其正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下：（旋轉(zhuǎn)矩陣R和位移矢量P都是關(guān)于變量

的矩陣方程）將末端執(zhí)行器的線(xiàn)速度

和角速度

表示為所有關(guān)節(jié)速度

的函數(shù)：（為關(guān)節(jié)角速度對(duì)末端執(zhí)行速度的3*n作用矩陣）兩個(gè)方程的緊湊形式：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量u、v、w的坐標(biāo)方向用齊次坐標(biāo)表示。例位置描述數(shù)學(xué)基礎(chǔ)姿態(tài)描述規(guī)定空間某剛體B的方位，設(shè)一坐標(biāo)系{B}與此剛體固連，物體相對(duì)于參考坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)相對(duì)于參考坐標(biāo)系{A}的方向余弦組成的3×3矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣：用矢量?jī)蓛芍g的余弦則表示為：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)姿態(tài)描述對(duì)應(yīng)于x、y或z軸做旋轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)變換，其旋轉(zhuǎn)矩陣分別為：旋轉(zhuǎn)矩陣應(yīng)具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：1）3個(gè)主矢量?jī)蓛纱怪保?）9個(gè)元素中，只有3個(gè)是獨(dú)立的；3）3個(gè)單位主矢量滿(mǎn)足6個(gè)約束條件，即：4）旋轉(zhuǎn)矩陣為正交矩陣，并且滿(mǎn)足以下條件，即：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次變化齊次坐標(biāo)是指在原有三維坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，增加一維坐標(biāo)而形成四維坐標(biāo)。如：空間點(diǎn)p的齊次坐標(biāo)為p=(4,6,8,w)4、6、8分別對(duì)應(yīng)p點(diǎn)在空間坐標(biāo)系中的x、y、z軸坐標(biāo)，w為其對(duì)應(yīng)的比例因子。p=（4,6,8,1）和p=(8,12,16,2）表示的是同一個(gè)p點(diǎn)。當(dāng)比例因子w≠0時(shí)p點(diǎn)的齊次坐標(biāo)的形式是不唯一的當(dāng)比例因子w=0時(shí)該齊次坐標(biāo)表示某一向量如：x=（1，0，0，0）表示坐標(biāo)系的x軸單位向量。y=（0，1，0，0）表示坐標(biāo)系的y軸單位向量。z=（0，0，1，0）表示坐標(biāo)系的z軸單位向量。對(duì)應(yīng)于x、y、z軸做轉(zhuǎn)角位

的旋轉(zhuǎn)變換，分別可得：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次變化平移齊次坐標(biāo)變換

對(duì)已知矢量

進(jìn)行平移變換所得的矢量

為：

旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換Rot表示旋轉(zhuǎn)矩陣。齊次變換平移齊次變換動(dòng)坐標(biāo)系{A}相對(duì)于固定坐標(biāo)系的X0、Y0、Z0軸作(–1，2，2)平移后到{A

}；動(dòng)坐標(biāo)系{A}相對(duì)于自身坐標(biāo)系的X、Y、Z軸分別作(–1，2，2)平移后到{A

}。A的矩陣表達(dá)式如下。寫(xiě)出坐標(biāo)系{A

}、{A

}的矩陣表達(dá)式。例齊次變換平移齊次變換動(dòng)坐標(biāo)系{A}相對(duì)于固定坐標(biāo)系的X0、Y0、Z0軸作(–1，2，2)平移后到{A

}；動(dòng)坐標(biāo)系{A}相對(duì)于自身坐標(biāo)系的X、Y、Z軸分別作(–1，2，2)平移后到{A

}。A的矩陣表達(dá)式如下。寫(xiě)出坐標(biāo)系{A

}、{A

}的矩陣表達(dá)式。例動(dòng)坐標(biāo)系{A}的平移變換算子：齊次變換旋轉(zhuǎn)齊次變換已知坐標(biāo)系中點(diǎn)U的位置矢量U=[7321]T，繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，求旋轉(zhuǎn)變換后所得的點(diǎn)W。例數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次變化平移與旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)組合變換根據(jù)平移齊次坐標(biāo)變換和旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換，空間某點(diǎn)由矢量

描述，其中i、j、k分別為x、y、z軸上的單位矢量，然后對(duì)應(yīng)于x、y、z軸做轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)變換，分別可得：齊次變換復(fù)合變換已知坐標(biāo)系中點(diǎn)U的位置矢量U=[7321]T，將此點(diǎn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，最后再作4i-3j+7k的平移，求變換后所得的點(diǎn)E。例數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仿真實(shí)例平移坐標(biāo)變換實(shí)例T0=transl(0,0,0)T1=transl(1,2,1)trplot(T0,'color','r')holdontrplot(T1,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T0,T1)例代碼：坐標(biāo)系由原點(diǎn)(0,0,0)分別沿x、y、z軸平移1、2、1個(gè)單位。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仿真實(shí)例平移坐標(biāo)變換實(shí)例T0=rotz(0)T0=rotz(0)T1=rotz(pi/4)trplot(T0,'color','r')axis([-11-11-11]);oldontranimate(T0,T1,'color','b')例代碼：坐標(biāo)系在原點(diǎn)位置繞z軸旋轉(zhuǎn)45°。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仿真實(shí)例先平移再旋轉(zhuǎn)實(shí)例T0=transl(0,0,0)T1=transl(1,2,1)trplot(T0,'color',‘r’)；holdon；trplot(T1,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T0,T1)T2=T1T3=T2*trotz(pi/2)trplot(T2,'color','r')holdontrplot(T3,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T2,T3)平移旋轉(zhuǎn)例代碼：坐標(biāo)系從原點(diǎn)位置(0,0,0)先分別沿著x、y、z軸平移1、2、1個(gè)單位，再繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仿真實(shí)例先旋轉(zhuǎn)再平移實(shí)例T0=trotz(0)T1=trotz(pi/2)trplot(T0,'color','r’);holdon；trplot(T1,'color','g')tranimate(T0,T1)T2=T1T3=transl(1,2,1)*T2trplot(T2,'color','r’);holdon；trplot(T3,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T2,T3)平移旋轉(zhuǎn)例代碼：坐標(biāo)系從原點(diǎn)位置(0,0,0)先繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再分別沿著x、y、z軸平移1、2、1個(gè)單位。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仿真實(shí)例旋轉(zhuǎn)和平移同時(shí)進(jìn)行實(shí)例T1=transl(0,0,0)T2=transl(1,2,1)T3=trotz(pi/2)T4=T2*T3trplot(T1,'color','r')holdontrplot(T4,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T4,'color','b')例代碼：坐標(biāo)系從原點(diǎn)位置分別沿著x、y、z軸平移1、2、1個(gè)單位，同時(shí)繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析PART.2正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析D-H參數(shù)法正運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真運(yùn)動(dòng)學(xué)分析正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析機(jī)器人本體，是機(jī)器人賴(lài)以完成作業(yè)任務(wù)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。機(jī)械臂多采用關(guān)節(jié)式機(jī)械結(jié)構(gòu)，一般具有6個(gè)自由度，其中3個(gè)用來(lái)確定末端執(zhí)行器的位置，另外3個(gè)則用來(lái)確定末端執(zhí)行裝置的方向。機(jī)械臂上的末端執(zhí)行裝置可以根據(jù)操作需要換成焊槍、吸盤(pán)、扳手等作業(yè)工具。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析D-H參數(shù)法連桿n坐標(biāo)系（簡(jiǎn)稱(chēng)n系）坐標(biāo)原點(diǎn)位于i關(guān)節(jié)軸線(xiàn)上，是關(guān)節(jié)i的關(guān)節(jié)軸線(xiàn)與i-1和i關(guān)節(jié)軸線(xiàn)公垂線(xiàn)的交點(diǎn)；Z軸與i關(guān)節(jié)軸線(xiàn)重合；X軸與公垂線(xiàn)重合，從關(guān)節(jié)i-1指向關(guān)節(jié)i；Y軸按右手螺旋法則確定。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析D-H參數(shù)法每個(gè)連桿可以由四個(gè)參數(shù)所描述名稱(chēng)含義“

”號(hào)性質(zhì)轉(zhuǎn)角以

方向看，

和

之間的夾角右手法則常量長(zhǎng)度沿著

方向，

和

之間的距離與

正向一致常量關(guān)節(jié)角以

方向看，

和

之間的夾角右手法則轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)為變量移動(dòng)關(guān)節(jié)為常量距離沿著

方向，

和

之間的距離沿

正向?yàn)檎D(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)為常量移動(dòng)關(guān)節(jié)為變量在D-H法分析中，連桿坐標(biāo)系

相對(duì)于

的變換

稱(chēng)為連桿變換矩陣，連桿變換矩陣

相當(dāng)于坐標(biāo)系

經(jīng)過(guò)以下變換得到：運(yùn)動(dòng)學(xué)分析D-H參數(shù)法1)繞

軸旋轉(zhuǎn)，使得與平行，如圖a)所示；2)沿軸移動(dòng)，使得與在同一直線(xiàn)上，如圖b）11所示；3)繞軸旋轉(zhuǎn)，使得轉(zhuǎn)到與平行，如圖c）所示；4)沿軸移動(dòng)，使得連桿坐標(biāo)系的原點(diǎn)與的原點(diǎn)11重合，如圖d)所示。由此可得旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：D-H法矩陣變換過(guò)程運(yùn)動(dòng)學(xué)分析D-H參數(shù)法如圖所示的平面三連桿機(jī)構(gòu)，已知手臂長(zhǎng)

、和，關(guān)節(jié)變量、和，試求末端執(zhí)行器位姿矩陣。例i1000200300解：建立機(jī)械臂各桿的坐標(biāo)系，列出D-H參數(shù)。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析D-H參數(shù)法如圖所示的平面三連桿機(jī)構(gòu)，已知手臂長(zhǎng)

、和，關(guān)節(jié)變量、和，試求末端執(zhí)行器位姿矩陣。例==運(yùn)動(dòng)學(xué)分析正運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真調(diào)用MATLAB機(jī)器人工具箱，使用D-H參數(shù)法設(shè)置三連桿機(jī)械臂桿長(zhǎng)分別為30、50、40；關(guān)節(jié)角、連桿偏距、連桿轉(zhuǎn)角都為0。例a1=30;a2=50;a3=40;L(1)=Link([00a10])L(2)=Link([00a20])L(3)=Link([00a30])robot=SerialLink(L)teach(robot)代碼：運(yùn)動(dòng)學(xué)分析正運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真調(diào)用MATLAB機(jī)器人工具箱，使用D-H參數(shù)法設(shè)置三連桿機(jī)械臂連桿1的桿長(zhǎng)為30，連桿轉(zhuǎn)角為90°，關(guān)節(jié)角為0°，連桿偏距為0；連桿2的桿長(zhǎng)為50，連桿轉(zhuǎn)角為0，關(guān)節(jié)角為0°，連桿偏距為20；連桿3的桿長(zhǎng)為40，連桿轉(zhuǎn)角都為0，關(guān)節(jié)角為0°，連桿偏距為0。例L_1=30;L_2=50;L_3=40;L(1)=Link([00L_1pi/2])L(2)=Link([020L_20])L(3)=Link([00L_30])Robot=SerialLink(L);teach(Robot)代碼：運(yùn)動(dòng)學(xué)分析逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析實(shí)質(zhì)：已知BTH求解θ，從而確定與末端位置有關(guān)的所有關(guān)節(jié)的位置——實(shí)際工程問(wèn)題已知操作機(jī)桿件的幾何參數(shù)，給定操作機(jī)末端執(zhí)行器相對(duì)于參考坐標(biāo)系的期望位置和姿態(tài)（位姿），操作機(jī)能否使其末端執(zhí)行器達(dá)到這個(gè)預(yù)期的位姿？若能達(dá)到，那么操作機(jī)是否存在不同形態(tài)可滿(mǎn)足條件？逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可解性解的存在問(wèn)題取決于操作末端的工作空間（Workspace）工作空間：操作臂末端執(zhí)行器所能到達(dá)的范圍，取決于機(jī)器人結(jié)構(gòu)、桿件參數(shù)或手部位姿。工作域外逆解不存在具有轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)關(guān)節(jié)的機(jī)器人，在單一串聯(lián)鏈中共有個(gè)6自由度或小于6個(gè)自由度時(shí)是可解的。通解是數(shù)值解，非解析表達(dá)式，是利用數(shù)值迭代原理求解得到，計(jì)算量比求解析解大得多。要使機(jī)器人有解析解，設(shè)計(jì)時(shí)就要使機(jī)器人的結(jié)構(gòu)盡量簡(jiǎn)單，而且盡量滿(mǎn)足連續(xù)三個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軸交會(huì)于一點(diǎn)，或連續(xù)三個(gè)關(guān)節(jié)軸互相平行的充分條件。（Pieper準(zhǔn)則）逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)多解性對(duì)于給定位置與姿態(tài)，具有多組解。造成運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解多解是由于解反三角函數(shù)方程產(chǎn)生的。PUMA560機(jī)器人的四個(gè)逆解避免碰撞的一個(gè)可能實(shí)現(xiàn)的解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析求解方法逆解形式求解方法閉式解close-formsolution用解析函數(shù)式表示解求解速度快代數(shù)法幾何法數(shù)值解numericalsolution利用迭代性質(zhì)求解求解速度慢數(shù)值法逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析代數(shù)法根據(jù)正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，設(shè)機(jī)械臂腕關(guān)節(jié)的位置坐標(biāo)為姿態(tài)角

，機(jī)械臂執(zhí)行端坐標(biāo)為

?；贒-H坐標(biāo)系的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下：平面三連桿機(jī)械臂代數(shù)法求逆運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析由矩陣兩邊對(duì)應(yīng)相等，結(jié)合上式，可得腕部坐標(biāo)

的表達(dá)式為：即：上式有解的條件是等式右邊值的區(qū)間為[-1,1]，如果此約束條件不滿(mǎn)足，則表明目標(biāo)點(diǎn)超出了機(jī)械臂的可達(dá)工作空間，其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程無(wú)解。代數(shù)法逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析代數(shù)法假設(shè)目標(biāo)點(diǎn)在機(jī)械臂的工作空間內(nèi)，則：由式

和式

可得：上式的求解應(yīng)用了雙變量反正切公式，用

計(jì)算根據(jù)

和

的符號(hào)來(lái)判別求得的角所在的象限。根據(jù)

帶入式，

得：逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析代數(shù)法進(jìn)而可求得：結(jié)合求出的

與，可得：

則三個(gè)關(guān)節(jié)角運(yùn)用代數(shù)法全部解出。逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析幾何法平面三連桿機(jī)械臂幾何法求逆運(yùn)動(dòng)學(xué)所示，桿長(zhǎng)

，桿長(zhǎng)、坐標(biāo)系1的原點(diǎn)、坐標(biāo)系的原點(diǎn)的連線(xiàn)組成三角形，由余弦定理可得：由，得計(jì)算圖中的

和逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析幾何法即：結(jié)合

和，得即坐標(biāo)3能夠達(dá)到相同位置時(shí)，連桿機(jī)構(gòu)的另一種可能情況，此時(shí)則有：逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真封閉式解法：以KUKAKR5機(jī)器人為例，對(duì)機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行封閉解法的求解。調(diào)用MATLAB里的機(jī)器人工具箱，加載機(jī)器人KR5模型，給定一組關(guān)節(jié)角[0,0,pi/4,0,pi/2,0]，可得出按關(guān)節(jié)角旋轉(zhuǎn)達(dá)到的位姿矩陣T，并且可以由T求出使得末端執(zhí)行器達(dá)到相同位姿的兩組不同的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)角。其中，q2是指定配置得到的一個(gè)目標(biāo)解。例mdl_KR5qn=[00pi/40pi/20];T=KR5.fkine(qn)；q1=KR5.ikine6s(T)；q2=KR5.ikine6s(T,'run')；KR5.plot(q1)；%對(duì)應(yīng)輸入q1、q2按給定關(guān)節(jié)角得到的位姿矩陣T如下：代碼：達(dá)到相同位姿的兩組不同關(guān)節(jié)角分別為：逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真數(shù)值解法：以puma560機(jī)器人為例，對(duì)機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值解法的求解。調(diào)用MATLAB里的機(jī)器人工具箱，加載機(jī)器人puma560模型，給定一組關(guān)節(jié)角[0,pi/3,pi,pi/2,pi/4,0]，得出按關(guān)節(jié)角旋轉(zhuǎn)達(dá)到的位姿矩陣T。未設(shè)定初始關(guān)節(jié)角坐標(biāo)，使用ikine()進(jìn)行求解得出q1；設(shè)定初始關(guān)節(jié)角坐標(biāo)，使用ikine()進(jìn)行求解得出q2。例mdl_puma560qn=[0,pi/3,pi,pi/2,pi/4,0]；T=p560.fkine(qn)；q1=p560.ikine(T)；q2=p560.ikine(T,[103200])；p560.plot(q1)；%對(duì)應(yīng)輸入q1、q2按給定關(guān)節(jié)角得到的位姿矩陣T如下：代碼：達(dá)到相同位姿的兩組不同關(guān)節(jié)角分別為：課后習(xí)題機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)ENDROBOT機(jī)器人技術(shù)——建模、仿真及應(yīng)用速度與靜力學(xué)第三章目錄機(jī)器人連桿速度PART.1

雅可比矩陣PART.2靜力學(xué)PART.3機(jī)器人連桿速度PART.1機(jī)器人連桿速度操作臂是一個(gè)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，每一個(gè)連桿的運(yùn)動(dòng)都與它的相鄰桿有關(guān)。由基坐標(biāo)系依次計(jì)算各連桿的速度，連桿

的速度就是連桿

的速度加上那些附加到關(guān)節(jié)

上的新的速度分量。連桿角速度就等于連桿

的角速度加上一個(gè)由于連桿

的角速度引起的分量，參照坐標(biāo)系

描述關(guān)系可寫(xiě)成：注意：通過(guò)旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)@關(guān)節(jié)

的旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)旋轉(zhuǎn)變換，變換為在坐標(biāo)系

中的描述后，將兩個(gè)角速度分量相加。在上式兩邊同時(shí)左乘

得到連桿

的角速度相對(duì)于

坐標(biāo)的表達(dá)式:機(jī)器人連桿速度坐標(biāo)系

原點(diǎn)的線(xiàn)速度等于坐標(biāo)系

原點(diǎn)線(xiàn)速度加上一個(gè)由于連桿

的角速度引起的新的分量。由于

在坐標(biāo)系

中是常數(shù)，因此有：同時(shí)左乘對(duì)于關(guān)節(jié)

為移動(dòng)關(guān)節(jié)的情況，相應(yīng)的關(guān)系為：如圖a）所示是具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的操作臂。計(jì)算出操作臂末端的速度，將它表達(dá)成關(guān)節(jié)速度的函數(shù)。給出兩種形式的解答，一種是用坐標(biāo)系{3}表示的，另一種是用坐標(biāo)系{0}表示的。例解：運(yùn)用式

和式

從基坐標(biāo)系{0}開(kāi)始依次計(jì)算出每個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度，其中基坐標(biāo)系的速度為0，由于式

和式

將應(yīng)用到連桿變換，因此先將它們計(jì)算如下：注意上式關(guān)節(jié)3的轉(zhuǎn)角恒為0°。坐標(biāo)系{2}與坐標(biāo)系{3}之間的變換不必轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的連桿變換形式。對(duì)各連桿使用連桿速度公式，計(jì)算如下：機(jī)器人連桿速度如圖b）所示坐標(biāo)系{3}固連于操作臂末端，求用坐標(biāo)系{3}表示的該坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的第二部分，求用坐標(biāo)系{0}表示的這些速度。同以前一樣，首先將坐標(biāo)系固連在連桿上（如圖b）。例b）解：式

即為坐標(biāo)系{3}表示的該坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度。同時(shí)，坐標(biāo)系{3}的角速度由式

給出。為了得到這些速度相對(duì)于固定基坐標(biāo)系的表達(dá)，用旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)它們作旋轉(zhuǎn)變換，即：通過(guò)這個(gè)變換可以得到：機(jī)器人連桿速度雅可比矩陣PART.2雅可比矩陣雅克比矩陣可將單個(gè)關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)或速度轉(zhuǎn)換為感興趣點(diǎn)的微分運(yùn)動(dòng)或速度，也可將單個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)與整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來(lái)。意義：二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人(2R機(jī)器人)，端點(diǎn)位置X、Y與關(guān)節(jié)θ1、θ2的關(guān)系:例即：雅可比是一個(gè)把關(guān)節(jié)速度向量變換為手爪相對(duì)基坐標(biāo)的廣義速度向量v的變換矩陣。雅可比矩陣將其微分得寫(xiě)成矩陣形式令式中d=Jdθ雅可比矩陣對(duì)于n自由度機(jī)器人，關(guān)節(jié)變量可用廣義關(guān)節(jié)變量q表示，q=[q1，q2，…qn]。轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)：qi=θi，移動(dòng)關(guān)節(jié)：qi=didq=[dq1，dq2，…dqn]，反映關(guān)節(jié)空間的微小運(yùn)動(dòng)。機(jī)器人末端在操作空間的位置和方位用末端手爪位姿X表示，是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，X=X(q)，為6維列矢量。dX=[dX，dY，dZ，△φX，△φY，△φZ(yǔ)]反映操作空間微小運(yùn)動(dòng)，由機(jī)器人末端微小線(xiàn)位移和微小角位移(微小轉(zhuǎn)動(dòng))組成。雅可比矩陣因此，J(q)—為n自由度機(jī)器人速度雅可比，是6xn維偏導(dǎo)數(shù)矩陣，可表示為J(q)雅可比矩陣?yán)脵C(jī)器人速度雅可比可對(duì)機(jī)器人進(jìn)行速度分析，左、右兩邊同時(shí)除以dt得：或表示為：v—機(jī)器人末端在操作空間中的廣義速度—機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度J(q)—確定關(guān)節(jié)空間速度與操作空間速度v之間關(guān)系的雅可比矩陣。雅可比矩陣2R機(jī)器人的J(q)是2x2矩陣，若令J1，J2分別為雅可比的第1列矢量和第2列矢量，則原式可寫(xiě)為：總的端點(diǎn)速度v為這兩個(gè)速度矢量的合成。因此，機(jī)器人速度雅可比的每一列表示其他關(guān)節(jié)不動(dòng)而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。

——僅由第一個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度;

——僅由第二個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度;雅可比矩陣二自由度機(jī)器人手部的速度為：反之，若給定機(jī)器人手部速度，相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度為：假如已知的及是時(shí)間的函數(shù)，即，，則機(jī)器手部瞬時(shí)速度為：——機(jī)器人逆速度雅可比。如圖二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系X0軸正向以1.0m/s速度移動(dòng)，桿長(zhǎng)為l1=l2=0.5m。設(shè)在某瞬時(shí)θ1=30o，θ2=-60o

，求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。例二自由度機(jī)器人速度雅可比為：逆雅可比為：雅可比矩陣雅可比矩陣如圖二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系X0軸正向以1.0m/s速度移動(dòng)，桿長(zhǎng)為l1=l2=0.5m。設(shè)在某瞬時(shí)θ1=30o，θ2=-60o

，求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。例由于，可得且，即vX=1m/s，vY=0，因此對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人，矩陣J的行數(shù)恒為3，列數(shù)為機(jī)械手的關(guān)節(jié)數(shù)目，手的廣義位置向量[X，Y，φ]T均容易確定，且方位φ與角運(yùn)動(dòng)的形成順序無(wú)關(guān)，可采用直接微分法求φ，非常方便。三維空間作業(yè)的六自由度機(jī)器人的雅可比矩陣J

行數(shù)恒為6(沿/繞基坐標(biāo)系的變量共6個(gè))。前三行代表手部線(xiàn)速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比后三行代表手部角速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比每列代表相應(yīng)關(guān)節(jié)速度對(duì)手部線(xiàn)速度和角速度的傳遞比雅可比矩陣如果希望工業(yè)機(jī)器人手部在空間按規(guī)定的速度進(jìn)行作業(yè)，則應(yīng)計(jì)算出沿路徑每一瞬時(shí)相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。當(dāng)雅可比的秩非滿(mǎn)秩時(shí)，求解逆速度雅可比J

–1較困難，甚至可能出現(xiàn)奇異解，相應(yīng)操作空間的點(diǎn)為奇異點(diǎn)，無(wú)法解出關(guān)節(jié)速度，機(jī)器人處于退化位置。雅可比矩陣內(nèi)部奇異形位

兩個(gè)或兩個(gè)以上關(guān)節(jié)軸線(xiàn)重合時(shí)，機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)相互抵消，不產(chǎn)生操作運(yùn)動(dòng)。這時(shí)相應(yīng)的機(jī)器人形位稱(chēng)為內(nèi)部奇異形位。機(jī)器人的奇異形位分為兩類(lèi)：邊界奇異形位當(dāng)機(jī)器人臂全部伸展開(kāi)或全部折回時(shí)，使手部處于機(jī)器人工作空間的邊界上或邊界附近出現(xiàn)逆雅可比奇異，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)受到物理結(jié)構(gòu)的約束。這時(shí)相應(yīng)的機(jī)器人形位稱(chēng)為邊界奇異形位。機(jī)器人處在奇異形位時(shí)會(huì)產(chǎn)生退化現(xiàn)象，喪失一個(gè)或更多自由度。意味著在工作空間的某個(gè)方向上，不管怎樣選擇機(jī)器人關(guān)節(jié)速度，手部也無(wú)法實(shí)現(xiàn)移動(dòng)。雅可比矩陣上例中當(dāng)l1l2s2＝0時(shí)無(wú)解。例由于l1≠0，l2≠0，則在θ2＝0或θ2＝180°時(shí)，二自由度工業(yè)機(jī)器人逆速度雅可比J-1奇異。此時(shí)機(jī)器人二臂完全伸直，或完全折回，即兩桿重合，工業(yè)機(jī)器人處于奇異形位。此奇異形位下，手部處與工作域的邊界上，該瞬時(shí)手部?jī)H能沿著一個(gè)方向(即與臂垂直的方向)運(yùn)動(dòng)，不能沿其它方向運(yùn)動(dòng)，退化一個(gè)自由度。雅可比矩陣如圖所示的平面三連桿機(jī)械臂，求其雅可比矩陣。例解：平面三連桿機(jī)械臂的雅可比矩陣表示為：轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)軸的單位矢量在坐標(biāo)系{0}的投影為。不同連桿的位置矢量在坐標(biāo)系{0}的投影分別計(jì)算如下：根據(jù)如上位置矢量關(guān)系可計(jì)算出雅可比矩陣，由于只有3個(gè)非零矢量是相關(guān)的，故平面三連桿機(jī)械臂的雅可比矩陣如下：雅可比矩陣如圖所示的二自由度機(jī)械手，底座與地板固定。該機(jī)械手桿長(zhǎng)、都為0.5，關(guān)節(jié)角

1°、1111

°，機(jī)械手沿固定坐標(biāo)系1以速度1恒定移動(dòng)，輸出相應(yīng)關(guān)節(jié)角速率，對(duì)其進(jìn)行仿真計(jì)算。解：按所給條件進(jìn)行仿真計(jì)算如下：L1=0.5；L2=0.5；vx=1；vy=0theta1(1)=30theta2(1)=-60fori=1:6t=0ift<6J=[-L1*sind(theta1(i))-L2*sind(theta1(i)+theta2(i)),-L2*sind(theta1(i)+theta2(i));L1*cosd(theta1(i))+L2*cosd(theta1(i)+theta2(i)),L2*cosd(theta1(i)+theta2(i))]p=inv(J)*[vx;vy]w1(i)=p(1,1)*180/piw2(i)=p(2,1)*180/pii=i+1t=t+1theta1(i)=p(1,1)*180/pitheta2(i)=p(2,1)*180/piendendt=[0,1,2,3,4,5]plot(t,w1,'r',t,w2,'b')gridon;title('關(guān)節(jié)角速率');例關(guān)節(jié)角速率輸出圖雅可比矩陣靜力學(xué)PART.3機(jī)器人工作狀態(tài)下與環(huán)境之間產(chǎn)生相互作用的力和力矩。機(jī)器人各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)裝置為關(guān)節(jié)提供力和力矩，通過(guò)連桿傳遞至末端執(zhí)行器，克服外界作用力和力矩。關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力和力矩與末端執(zhí)行器施加的力和力矩之間的關(guān)系是機(jī)器人操作臂力控制的基礎(chǔ)。靜力學(xué)靜力學(xué)為相鄰桿件所施加的力和力矩定義以下特殊的符號(hào)：為連桿

施加在連桿

上的力。為連桿

施加在連桿

上的力矩。如圖所示為施加在連桿上的靜力和靜力矩（除了重力以外）。將這些力相加并令其和為0，有：將坐標(biāo)系{}原點(diǎn)的力矩相加，有：靜力學(xué)從末端連桿到基座進(jìn)行計(jì)算就可以計(jì)算出作用于每一根連桿上的力和力矩，從高序號(hào)連桿向低序號(hào)連桿進(jìn)行迭代求解，結(jié)果如下：用坐標(biāo)系

相對(duì)于坐標(biāo)系

描述的旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行變換，就得到了最重要的連桿之間的靜力“傳遞”公式：為了求出保持系統(tǒng)靜平衡所需的關(guān)節(jié)力矩，應(yīng)計(jì)算關(guān)節(jié)軸矢量和施加在連桿上的力矩矢量的點(diǎn)積：是移動(dòng)關(guān)節(jié)的情況，可以計(jì)算出關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力為：靜力學(xué)例L1=0.5；L2=0.5Fx=4；Fy=3theta1(1)=30theta2(1)=-60fori=1:6t=0ift<6J=[-L1*sind(theta1(i))-L2*sind(theta1(i)+theta2(i)),-L2*sind(theta1(i)+theta2(i));L1*cosd(theta1(i))+L2*cosd(theta1(i)+theta2(i)),L2*cosd(theta1(i)+theta2(i))]q1(i)=J(1,1)*Fx+J(2,1)*Fy如圖所示的二自由度機(jī)械手，底座與地板固定。該機(jī)械手桿長(zhǎng)、都為0.5，關(guān)節(jié)角111°、1111°，機(jī)械手端點(diǎn)力為11111，11輸出相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩，對(duì)其進(jìn)行仿真計(jì)算。q2(i)=J(1,2)*Fx+J(2,2)*Fyp=J.'*[Fx;Fy]i=i+1t=t+1theta1(i)=p(1,1)*180/pitheta2(i)=p(2,1)*180/piendendt=[0,1,2,3,4,5]plot(t,q1,'r',t,q2,'b')gridon;title('關(guān)節(jié)力矩');解：按已知條件，進(jìn)行仿真計(jì)算如下：關(guān)節(jié)角力矩輸出圖課后習(xí)題速度與靜力學(xué)3.1計(jì)算Puma560在坐標(biāo)系{6}中的雅可比矩陣。3.2某兩連桿操作臂的雅可比矩陣為：不計(jì)重力，求出使操作臂產(chǎn)生靜力矢量

的關(guān)節(jié)力矩3.3已知一個(gè)3R機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)解為求，將其乘以關(guān)節(jié)速度矢量，求坐標(biāo)系{3}的原點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系{0}的線(xiàn)速度。ENDROBOT機(jī)器人技術(shù)——建模、仿真及應(yīng)用機(jī)器人動(dòng)力學(xué)第四章

目錄剛體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)PART.1牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程PART.2歐拉-拉格朗日方程PART.3引言

動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題是已知機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，即機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡

，這可以用于對(duì)機(jī)械臂的仿真。

動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題是已知機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡，即各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求各關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動(dòng)力或力矩

，這可以用于對(duì)機(jī)械臂的控制。

動(dòng)力學(xué)主要研究產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)所需要的力。對(duì)于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析，有兩種經(jīng)典的方法：一種是牛頓-歐拉法，另一種是拉格朗日法。與機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)相似，機(jī)器人動(dòng)力學(xué)也有兩個(gè)相反的問(wèn)題：剛體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)PART.1質(zhì)量分布剛體的加速度剛體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)質(zhì)量分布如圖表示一個(gè)剛體，坐標(biāo)系建立在剛體上，

表示單元體

的位置矢量。坐標(biāo)系

中的慣性張量可用3×3矩陣表示如下：矩陣中的各元素為：式中剛體由單元體

組成，單元體的密度為

。每個(gè)單元體的位置由矢量

確定，如圖所示。慣性張量剛體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)質(zhì)量分布

,

和

為慣量矩，是單元體質(zhì)量

乘以單元體到相應(yīng)轉(zhuǎn)軸垂直距離的平方在整個(gè)剛體上的積分。

交叉項(xiàng)稱(chēng)為慣量積。對(duì)于一個(gè)剛體來(lái)說(shuō)，上述六個(gè)相互獨(dú)立參量取決于所在坐標(biāo)系的位姿。慣性張量剛體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)剛體的加速度有關(guān)剛體加速度問(wèn)題：任一瞬時(shí)，對(duì)剛體的線(xiàn)速度和角速度求導(dǎo)。例如，加速度可以通過(guò)計(jì)算空間一點(diǎn)

相對(duì)于坐標(biāo)系

的速度的微分進(jìn)行描述，即：同速度一樣，當(dāng)微分的參考坐標(biāo)系為世界坐標(biāo)系時(shí)，可用下列符號(hào)表示剛體的速度，即：線(xiàn)速度剛體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)剛體的加速度把坐標(biāo)系

固連在一剛體上，要求描述相對(duì)于坐標(biāo)系

的速度矢量，如圖，這里假設(shè)坐標(biāo)系

是固定的。坐標(biāo)系

相對(duì)于坐標(biāo)系

的位置矢量

和旋轉(zhuǎn)矩陣

來(lái)描述，假設(shè)方位

不隨時(shí)間變化，則

點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)

的運(yùn)動(dòng)是由于

或

隨時(shí)間的變化引起的。求解坐標(biāo)系

中

的線(xiàn)速度只要寫(xiě)出坐標(biāo)系

中的兩個(gè)速度分量，求其和為：公式（4.7）只適用于坐標(biāo)系

和坐標(biāo)系

的相對(duì)方位保持不變的情況。坐標(biāo)系

以速度

相對(duì)于坐標(biāo)系

平移坐標(biāo)系

相對(duì)于坐標(biāo)系

的方位是隨時(shí)間變化的，

相對(duì)于

的旋轉(zhuǎn)速度用矢量

來(lái)表示。已知矢量

確定了坐標(biāo)系

中一固定點(diǎn)的位置，則可得點(diǎn)

的角速度為：角速度剛體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)剛體的加速度固定坐標(biāo)系

中的矢量

以角速度

相對(duì)于坐標(biāo)系

旋轉(zhuǎn)首先討論兩坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合、相對(duì)相速度為零的情況，而且它們的原點(diǎn)始終保持重合，其中一個(gè)或兩個(gè)坐標(biāo)系固連在剛體上，如圖所示。

線(xiàn)速度和角速度同時(shí)存在時(shí)，且兩坐標(biāo)系原點(diǎn)不重合，把線(xiàn)速度帶入上式，可以得到從坐標(biāo)系

觀測(cè)坐標(biāo)系

中固定速度矢量的普遍公式：線(xiàn)加速度剛體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)剛體的加速度式

描述了當(dāng)坐標(biāo)系

的原點(diǎn)與坐標(biāo)系

的原點(diǎn)重合時(shí)，坐標(biāo)系

下的速度矢量

，方程左邊描述的是矢量

隨時(shí)間變化的情況，由于兩個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，因此可以把改寫(xiě)成如下形式：對(duì)式

求導(dǎo)，當(dāng)坐標(biāo)系

的原點(diǎn)與坐標(biāo)系

的原點(diǎn)重合時(shí)，可得到

的加速度在坐標(biāo)系

的表達(dá)式：上式第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)應(yīng)用式（1），則式（2）變?yōu)椋海?）（2）線(xiàn)加速度剛體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)剛體的加速度將

同類(lèi)項(xiàng)合并，整理得：為了將結(jié)論推廣到兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)不重合的一般情況，附加一個(gè)表示坐標(biāo)系

原點(diǎn)線(xiàn)加速度的項(xiàng)，最終得到一般表達(dá)式：值得指出的是，當(dāng)

是常量時(shí)，即：此時(shí)，上式簡(jiǎn)化為：角加速度剛體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)剛體的加速度假設(shè)坐標(biāo)系

以角速度

相對(duì)于坐標(biāo)系

轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)坐標(biāo)系

以角速度

相對(duì)于坐標(biāo)系

轉(zhuǎn)動(dòng)。為求

在坐標(biāo)系

中進(jìn)行矢量相加，即：對(duì)上式求導(dǎo)，得：將式

代入上式右側(cè)最后一項(xiàng)中，得：上式用于計(jì)算操作臂連桿的角加速度。牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程PART.2歐拉方程牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程牛頓方程牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程牛頓方程作用于剛體質(zhì)心的力F引起剛體運(yùn)動(dòng)加速度如圖所示的剛體質(zhì)心正以加速度

做加速運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，由牛頓方程可得作用在質(zhì)心上的力F引起剛體加速度為：式中，m代表剛體總質(zhì)量。牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程歐拉方程如圖所示為一個(gè)旋轉(zhuǎn)剛體，其角速度和角加速度分別為

、

。此時(shí)，由歐拉方程可得，作用在剛體上的力矩N引起剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)為：作用在剛體上的力矩N，剛體旋轉(zhuǎn)角速度

和角加速度式中

是剛體在坐標(biāo)系{C}中的慣性張量。剛體的質(zhì)心在坐標(biāo)系{C}的原點(diǎn)上。牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動(dòng)力學(xué)方程有關(guān)操作臂給定運(yùn)動(dòng)軌跡的力矩計(jì)算的問(wèn)題。（1）計(jì)算速度和加速度的向外迭代法：為了計(jì)算作用在連桿上的慣性力，需要計(jì)算操作臂每個(gè)連桿在某一時(shí)刻的角速度、線(xiàn)加速度和角加速度。可應(yīng)用迭代方法完成這些計(jì)算。首先對(duì)連桿1進(jìn)行計(jì)算，接著計(jì)算下一個(gè)連桿，這樣一直向外迭代到連桿n。角速度在連桿之間的傳遞如圖所示，連桿

的角速度為：由角加速度的公式可得：牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動(dòng)力學(xué)方程當(dāng)?shù)趇+1個(gè)關(guān)節(jié)是移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為：由線(xiàn)速度公式可以得到每個(gè)連桿坐標(biāo)系原點(diǎn)的線(xiàn)加速度：當(dāng)?shù)趇+1個(gè)關(guān)節(jié)是移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為：牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)而可以得到每個(gè)連桿質(zhì)心的線(xiàn)加速度：假定坐標(biāo)系{C}連于連桿i上,坐標(biāo)系原點(diǎn)位于連桿質(zhì)心，且各坐標(biāo)軸方位與原連桿坐標(biāo)系{i}方位相同。由于上式與關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，因此無(wú)論是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)還是移動(dòng)關(guān)節(jié)，上式對(duì)于第i+1個(gè)連桿來(lái)說(shuō)都是有效的。計(jì)算每個(gè)連桿質(zhì)心的線(xiàn)加速度和角加速度后，運(yùn)用牛頓-歐拉公式可以分別計(jì)算出作用在連桿質(zhì)心上的慣性力和力矩，即：式中，坐標(biāo)系

的原點(diǎn)位于連桿質(zhì)心，各坐標(biāo)軸方位與原連桿坐標(biāo)系

方位相同。牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動(dòng)力學(xué)方程（2）計(jì)算力和力矩的向內(nèi)迭代法：計(jì)算出作用在每個(gè)連桿上的力和力矩之后，需要計(jì)算關(guān)節(jié)力矩，它們是實(shí)際施加在連桿上的力和力矩。根據(jù)典型連桿在無(wú)重力狀態(tài)下的受力圖，如圖所示，列出力平衡方程和力矩平衡方程，每個(gè)連桿都受到相鄰連桿的作用力和作用力矩以及附加的。這里定義了一些專(zhuān)用符號(hào)用來(lái)表示相鄰的作用力和力矩：?jiǎn)蝹€(gè)連桿的力平衡、力矩平衡=連桿

作用在連桿

上的力；②=連桿

作用在連桿

上的力矩。將所有作用在連桿

上的力相加，得到力平衡方程如下：牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動(dòng)力學(xué)方程將所有作用在質(zhì)心上的力矩相加，并且令他們的和為零，得到力矩平衡方程如下：將式

的結(jié)果以及附加旋轉(zhuǎn)矩陣的方法帶入上式，可得：最后，重新排列力和力矩方程，形成相鄰連桿從高序號(hào)向低序號(hào)排列的迭代關(guān)系分別為：牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動(dòng)力學(xué)方程應(yīng)用這些方程對(duì)連桿依次求解，從連桿n開(kāi)始向內(nèi)迭代一直到機(jī)器人基座。在靜力學(xué)中，可通過(guò)下式計(jì)算一個(gè)連桿施加于相鄰連桿的力矩在

方向的分量求得關(guān)節(jié)力矩：式中，

表示線(xiàn)性驅(qū)動(dòng)力。注意：對(duì)一個(gè)在自由空間中運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人來(lái)說(shuō)，

和

等于零，因此應(yīng)用這些方程首先計(jì)算連桿n時(shí)是很簡(jiǎn)單的；如果機(jī)器人與環(huán)境接觸，

和

不為零，力平衡方程中就包含了接觸力和力矩。牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動(dòng)力學(xué)方程（3）牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)算法:由關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)計(jì)算關(guān)節(jié)力矩的完整算法由兩部分組成:第一部分是對(duì)每個(gè)連桿應(yīng)用牛頓-歐拉方程，從連桿1到連桿n向外迭代計(jì)算連桿的速度和加速度；第二部分是對(duì)每個(gè)連桿n到連桿1向內(nèi)迭代計(jì)算連桿間的相互作用力和力矩以及關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)來(lái)說(shuō)，這個(gè)算法歸納如下：1）外推，

向外迭代。2）內(nèi)推，

向內(nèi)迭代。已知關(guān)節(jié)位置、速度和加速度，應(yīng)用外推和內(nèi)推公式可以計(jì)算出所需的關(guān)節(jié)力矩。假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長(zhǎng)分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程首先，確定牛頓-歐拉迭代公式中各參量的值。每個(gè)連桿質(zhì)心的位置矢量分別為:由于假設(shè)為集中質(zhì)量，因此每個(gè)連桿質(zhì)心的慣性張量為零矩陣，即:末端執(zhí)行器上沒(méi)有作用力，因而有:機(jī)器人基座不旋轉(zhuǎn)，因此有:包括重力因素，有:相鄰連桿坐標(biāo)系之間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)由下式給出:牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用方程式外推和內(nèi)推公式，對(duì)連桿1用向外迭代法求解如下:牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長(zhǎng)分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長(zhǎng)分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例對(duì)連桿2用向外迭代法求解如下:牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長(zhǎng)分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長(zhǎng)分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例對(duì)連桿2用向內(nèi)迭代法求解如下:（48）牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長(zhǎng)分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例對(duì)連桿1用向內(nèi)迭代法求解如下:牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長(zhǎng)分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例取中的方向分量，得關(guān)節(jié)力矩:上式將驅(qū)動(dòng)力矩表示為關(guān)于關(guān)節(jié)位置、速度和加速度的函數(shù)。牛頓-歐拉迭代動(dòng)力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長(zhǎng)分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例歐拉-拉格朗日方程PART.3歐拉-拉格朗日方程歐拉-拉格朗日方程是用廣義坐標(biāo)表示完整工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，拉格朗日函數(shù)

定義為系統(tǒng)的全部動(dòng)能

和全部勢(shì)能

之差，即：式中，動(dòng)能

取決于機(jī)器人系統(tǒng)中連桿的位姿和速度；而勢(shì)能

取決于連桿的位形。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式，即歐拉-拉格朗日方程如下：式中，

表示與廣義坐標(biāo)

相關(guān)的廣義力；

為相應(yīng)的廣義速度。勢(shì)能計(jì)算運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)能計(jì)算拉格朗日法仿真實(shí)例歐拉-拉格朗日方程動(dòng)能計(jì)算在機(jī)械臂中，連桿是運(yùn)動(dòng)部件，連桿

的動(dòng)能

連桿質(zhì)心線(xiàn)速度產(chǎn)生的動(dòng)能和連桿角速度產(chǎn)生的動(dòng)能之和。因此，對(duì)于有

個(gè)連桿的機(jī)器人系統(tǒng)，其總動(dòng)能是每一連桿相關(guān)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)能之和，表達(dá)如下：式中，

為連桿

的質(zhì)心

的三維線(xiàn)速度矢量；

為連桿

的三維角速度矢量；

為連桿

的質(zhì)量，是標(biāo)量；

為連桿

的慣性張量。由于

和

分別為關(guān)節(jié)變量

和關(guān)節(jié)速度

的函數(shù)，由

可知機(jī)器人的動(dòng)能是關(guān)節(jié)變量

和關(guān)節(jié)速度

的函數(shù)。歐拉-拉格朗日方程勢(shì)能計(jì)算與動(dòng)能計(jì)算類(lèi)似，機(jī)器人的總勢(shì)能也是各連桿的勢(shì)能之和。假設(shè)連桿是剛性體，勢(shì)能的表達(dá)如下：式中，矢量

為關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，且該函數(shù)是非線(xiàn)性的。由此可知，總勢(shì)能

只關(guān)于關(guān)節(jié)變量

的函數(shù)，與關(guān)節(jié)速度

無(wú)關(guān)。歐拉-拉格朗日方程運(yùn)動(dòng)方程按照式

和式

計(jì)算系統(tǒng)總動(dòng)能和總勢(shì)能，牛頓歐拉章節(jié)的例題中機(jī)器人的拉格朗日函數(shù)可寫(xiě)為：拉格朗日函數(shù)對(duì)關(guān)節(jié)變量

、關(guān)節(jié)速度

和時(shí)間

求導(dǎo)可得動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，其中勢(shì)能與關(guān)節(jié)速度

無(wú)關(guān)，即有：式中，

表示與廣義坐標(biāo)

相關(guān)的廣義力；

為相應(yīng)的廣義速度。實(shí)際計(jì)算機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)時(shí)，

和

對(duì)應(yīng)連桿轉(zhuǎn)矩

；而

和

對(duì)應(yīng)連桿推力

。歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實(shí)例機(jī)器人是結(jié)構(gòu)復(fù)雜的連桿系統(tǒng)，一般采用齊次變換的方法，用拉格朗日方程建立其系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)其位姿和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行描述。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的具體推導(dǎo)過(guò)程如下：1.選取坐標(biāo)系，選定完全而且獨(dú)立的廣義關(guān)節(jié)變量

。2.選定相應(yīng)關(guān)節(jié)上的廣義力

：當(dāng)

位移變量時(shí)，

為力；當(dāng)

是角度變量時(shí)，

為力矩。3.求出機(jī)器人各構(gòu)件的動(dòng)能和勢(shì)能，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。4.代入拉格朗日方程求得機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。例歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實(shí)例說(shuō)明下圖機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)過(guò)程。選取笛卡兒標(biāo)系。連桿1和連桿2的關(guān)節(jié)變量分別是轉(zhuǎn)角

和

，連桿1和連桿2的質(zhì)量分別是

和

，桿長(zhǎng)分別為

和

，質(zhì)心分別在

和

處，離關(guān)節(jié)中心的距離分別為

和

，其中底座與大地固定。因此，連桿1質(zhì)心

的位置坐標(biāo)為：連桿1質(zhì)心

速度的平方為：連桿2質(zhì)心

的位置坐標(biāo)為：連桿2質(zhì)心

速度的平方為：歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實(shí)例系統(tǒng)動(dòng)能為：系統(tǒng)勢(shì)能為：拉格朗日函數(shù)為：選取笛卡兒標(biāo)系，設(shè)定連桿1的關(guān)節(jié)變量

，則其角速度連桿2的關(guān)節(jié)變量

，則其角速度

，連桿1的桿長(zhǎng)

，其質(zhì)量

。連桿2的桿長(zhǎng)

，其質(zhì)量

。根據(jù)上述動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)過(guò)程對(duì)機(jī)械臂10s內(nèi)的動(dòng)能和勢(shì)能變化進(jìn)行仿真求解，仿真代碼及結(jié)果如下。歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實(shí)例例已知條件：

歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實(shí)例t=0:2:10;theta1=2*pi/180*(t.^2);theta2=pi/180*(t.^2);a=4*pi/180*t;b=2*pi/180*t;m1=20;m2=15;l1=4;l2=3;g=9.8;p1=1/2*l1;p2=1/2*l2;X1=p1*sin(theta1);Y1=-p1*cos(theta1);V12=(p1*a).^2;X2=l1*sin(theta1)+p2*sin(theta1+theta2);Y2=-l1*cos(theta1)-p2*cos(theta1+theta2);V22=(l1^2)*(a.^2)+(p2^2)*((a+b).^2)+2*l1*p2*((a.^2)+a.*b).*cos(theta2);Ek1=1/2*m1*V12;Ek2=1/2*m2*V22;Ek=Ek1+Ek2;subplot(2,1,1);plot(t,Ek,'r','LineWidth',1),xlabel('t'),ylabel('Ek'),gridon;動(dòng)能代碼：動(dòng)能變化曲線(xiàn)圖已知條件：

勢(shì)能代碼：歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實(shí)例已知條件：

勢(shì)能變化曲線(xiàn)圖X1=p1*sin(theta1);Y1=-p1*cos(theta1);V12=(p1*a).^2;X2=l1*sin(theta1)+p2*sin(theta1+theta2);Y2=-l1*cos(theta1)-p2*cos(theta1+theta2);V22=(l1^2)*(a.^2)+(p2^2)*((a+b).^2)+2*l1*p2*((a.^2)+a.*b).*cos(theta2);Ep1=m1*g*p1*(1-cos(theta1));Ep2=m2*g*l1*(1cos(theta1))+m2*g*p2*(1-cos(theta1+theta2));Ep=Ep1+Ep2;subplot(2,1,2);plot(t,Ep,'g','LineWidth',2),xlabel('t'),ylabel('Ep'),gridon;t=0:2:10;theta1=2*pi/180*(t.^2);theta2=pi/180*(t.^2);a=4*pi/180*t;b=2*pi/180*t;m1=20;m2=15;l1=4;l2=3;g=9.8;p1=1/2*l1;p2=1/2*l2;課后習(xí)題機(jī)器人動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)述歐拉方程的基本原理。簡(jiǎn)述用拉格朗日方程建立機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的步驟。動(dòng)力學(xué)方程的簡(jiǎn)化條件有哪些？推導(dǎo)圖1所示二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。用拉格朗日法推導(dǎo)圖2所示二自由度機(jī)器人手臂的運(yùn)動(dòng)方程。連桿質(zhì)心位于連桿中心，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為

和

。圖1二自由度系統(tǒng)圖2二自由度機(jī)器人手臂ENDROBOT機(jī)器人技術(shù)——建模、仿真及應(yīng)用軌跡規(guī)劃第五章

目錄軌跡規(guī)劃應(yīng)考慮的問(wèn)題PART.1關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃PART.2直角坐標(biāo)空間的軌跡規(guī)劃PART.3引言一類(lèi)是點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，如將部件從一點(diǎn)搬運(yùn)到另外一點(diǎn)。另外一類(lèi)是沿著一段連續(xù)的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如擬合一段焊縫的操作。機(jī)器人機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃是指機(jī)械臂做運(yùn)動(dòng)的指令函數(shù)，這種隨時(shí)間變化的指令函數(shù)主要包含兩類(lèi)：軌跡規(guī)劃應(yīng)考慮的問(wèn)題PART.1軌跡規(guī)劃應(yīng)考慮的問(wèn)題軌跡規(guī)劃中不僅要規(guī)定機(jī)器人的起始點(diǎn)和終止點(diǎn),還要給出中間點(diǎn)(路徑點(diǎn)