2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案72理第七講離散型隨機(jī)變量的分布列期望與方差理練習(xí)含解析新人教版

第七講離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差(理)A組基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個號碼，隨意抽取2個球，設(shè)2個球號碼之和為X，則X的全部可能取值個數(shù)為(C)A．25 B．10C．7 D．6[解析]X的可能取值為1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.2．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)F(x)＝P(X≤x)，則當(dāng)x的取值范圍是[1,2)時，F(xiàn)(x)＝(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)[解析]∵a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，∴a＝eq\f(1,2).∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．(2024·江西贛州模擬)一袋中裝有5個球，編號為1,2,3,4,5，在袋中同時取出3球，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為(C)[解析]隨機(jī)變量ξ的可能取值為1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10).故選C．4．(2024·孝感模擬)已知袋中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個球，其中取出1個白球計(jì)1分，取出1個紅球計(jì)2分，記X為取出3個球的總分值，則E(X)＝(B)A．eq\f(18,5) B．eq\f(21,5)C．4 D．eq\f(24,5)[解析]由題意知，X的全部可能取值為3,4,5，且P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，所以E(X)＝3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,5)＋5×eq\f(3,10)＝eq\f(21,5).5．(2024·廣東深圳二模)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為a，方差為b，則2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均數(shù)和方差分別為(D)A．2a,2b B．2a,C．2a＋3,2b D．2a6．(2024·柯城區(qū)模擬)已知某7個數(shù)的期望為6，方差為4，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)6，此時這8個數(shù)的期望為記為E(X)，方差記為D(X)，則(B)A．E(X)＝6，D(X)>4 B．E(X)＝6，D(X)<4C．E(X)<6，D(X)>4 D．E(X)<6，D(X)<4[解析]E(X)＝eq\f(1,8)(7×6＋6)＝6，D(X)＝eq\f(1,8)[7×4＋(6－6)2]＝eq\f(7,2)<4.故選B.7．(2024·山東濰坊模擬)已知甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，X表示甲車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)考察一段時間，X，Y的分布列分別是X0123P0.70.10.10.1Y012P0.50.30.2據(jù)此判定(A)A．甲比乙質(zhì)量好 B．乙比甲質(zhì)量好C．甲與乙質(zhì)量相同 D．無法判定[解析]E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙質(zhì)量好．8．(2024·貴州遵義聯(lián)考)2024年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將實(shí)行“3＋1＋2”A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,2)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,4)，故選A．9．(2024·福建福州質(zhì)檢改編)一盒中有8個乒乓球，其中6個未運(yùn)用過，2個已運(yùn)用過．現(xiàn)從盒子中任取3個球來用，用完后再裝回盒中．記盒中已運(yùn)用過的球的個數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是(C)①X的全部可能取值是3,4,5②X最有可能的取值是5③X等于3的概率為eq\f(3,28)④X的數(shù)學(xué)期望是eq\f(17,4)A．1 B．2C．3 D．4[解析]記未運(yùn)用過的乒乓球?yàn)锳，已運(yùn)用過的為B，任取3個球的全部可能是：1A2B,2A1B,A運(yùn)用后成為B，故X的全部可能取值是3,4,5；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(20,56)，∴X最有可能的取值是4，E(X)＝3×eq\f(3,28)＋4×eq\f(30,56)＋5×eq\f(20,56)＝eq\f(17,4).∴①③④正確，故選C．10．(2024·決勝高考名校溝通卷)設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(a,k＋1)(k＝1,2,5)，E(ξ)，D(ξ)分別為隨機(jī)變量ξ的均值與方差，則下列結(jié)論不正確的是(D)A．P(0<ξ<3.5)＝eq\f(5,6) B．E(3ξ＋1)＝7C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6[解析]由分布列的性質(zhì)可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝eq\f(a,2)＋eq\f(a,3)＋eq\f(a,6)＝1，解得a＝1，所以P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,6)，A選項(xiàng)正確；E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,6)＝2，所以E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，B選項(xiàng)正確；D(ξ)＝eq\f(1,2)×(1－2)2＋eq\f(1,3)×(2－2)2＋eq\f(1,6)×(5－2)2＝2，所以D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)不正確．故選D.二、填空題11．(2024·吉林質(zhì)檢)設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列為ξ012Peq\f(p,3)eq\f(p,3)1－eq\f(2,3)p則ξ的數(shù)學(xué)期望的最小值是eq\f(1,2).[解析]E(ξ)＝0×eq\f(p,3)＋1×eq\f(p,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2p,3)))＝2－p，又∵1>eq\f(p,3)≥0,1≥1－eq\f(2,3)p≥0，∴0≤p≤eq\f(3,2).∴當(dāng)p＝eq\f(3,2)時，E(ξ)的值最小，E(ξ)＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2).12．(2024·南寧二模改編)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)則P(|X－3|＝1)＝eq\f(5,12).[解析]∵eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，∴m＝eq\f(1,4)，∴P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).13．(2024·泉州模擬)在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機(jī)取一球，登記它的顏色，然后放回，再取一球，又登記它的顏色，寫出這兩次取出白球數(shù)η的分布列為.[解析]η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)14.袋中裝有3個紅球2個白球，從中隨機(jī)取球，每次一個，直到取得紅球?yàn)橹?，則取球次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為eq\f(3,2).[解析]由題意得ξ的全部可能值為1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,10)，∴E(ξ)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).三、解答題15．(2024·廣東惠州調(diào)研)教化部《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)校體育工作的若干看法》中指出：提高學(xué)生的體質(zhì)健康水平應(yīng)作為落實(shí)教化規(guī)劃綱要和辦好人民滿足教化的重要任務(wù)．惠州市多所中小學(xué)校響應(yīng)教化部的號召，增設(shè)了多項(xiàng)體育課程．為了解全市中小學(xué)生在排球和足球這兩項(xiàng)體育運(yùn)動的參與狀況，在全市中小學(xué)校中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校(記為A、B、C、……、J)10所學(xué)校的參與人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖如下：(1)若從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查，求選出的2所學(xué)校參與足球運(yùn)動人數(shù)都超過40人的概率；(2)現(xiàn)有一名排球教練在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所學(xué)校進(jìn)行指導(dǎo)，記X為教練選中參與排球人數(shù)在30人以上的學(xué)校個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)參與足球人數(shù)超過40人的學(xué)校共4所，記“選出的兩所學(xué)校參與足球人數(shù)都超過40人”為事務(wù)S，從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校，可得基本領(lǐng)件總數(shù)為Ceq\o\al(2,10).隨機(jī)選擇2所學(xué)校共Ceq\o\al(2,4)＝6種，所以P(S)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(\f(4×3,2),\f(10×9,2))＝eq\f(2,15)，所以選出的兩所學(xué)校參與足球人數(shù)都超過40人的概率為eq\f(2,15).(2)參與排球人數(shù)在30人以上的學(xué)校共4所，X的全部可能取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)·C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)·C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)·C\o\al(0,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30).X的分布列為：X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).16．(2024·重慶巴蜀中學(xué)月考)為慶祝新中國成立七十周年，巴蜀中學(xué)將實(shí)行“歌頌祖國，喜迎國慶”歌詠競賽活動，《歌頌祖國》《精忠報(bào)國》《我和我的祖國》等一系列歌曲深受同學(xué)們的青睞，高二某班就是否選擇《精忠報(bào)國》作為本班參賽歌曲進(jìn)行投票表決，投票狀況如下表.小組12345678贊成人數(shù)45665643總?cè)藬?shù)77887766(1)若從第1組和第8組的同學(xué)中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，求所選取的4人中至少有2人贊成《精忠報(bào)國》作為本班參賽曲目的概率；(2)若從第五組和第七組的同學(xué)中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查，選取的4人中不贊成《精忠報(bào)國》作為本班參賽曲目的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)P1＝1－eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(27,35).(2)各小組人員狀況：小組12345678贊成人數(shù)45665643不贊成人數(shù)32222123總?cè)藬?shù)77887766X的可能取值為0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,4),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,21)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5)C\o\al(2,2)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(32,105)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(2,35)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,315)，隨機(jī)變量X的分布列為X01234Peq\f(4,21)eq\f(4,9)eq\f(32,105)eq\f(2,35)eq\f(1,315)E(X)＝0＋eq\f(4,9)＋2×eq\f(32,105)＋3×eq\f(2,35)＋4×eq\f(1,315)＝eq\f(26,21).B組實(shí)力提升1．(2024·河北“五個一名校聯(lián)盟”聯(lián)考)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,4，m，n出現(xiàn)的頻率分別為0.1,0.1,0.4,0.4，且樣本平均值為2.5，則m＋n＝(A)A．5 B．6C．7 D．8[解析]由題意知0.1×1＋0.1×4＋0.4m＋0.4n＝2.5，可得m＋n2．(2024·西安質(zhì)檢)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點(diǎn)的概率為(B)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)[解析]由題意知a，b，c∈[0,1]，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3)，又函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點(diǎn)，故對于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3).3．(2024·廣西柳州模擬)下圖為四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，則對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的是(D)[解析]由圖可知D中數(shù)據(jù)最離散，故選D.4．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X－10123P0.20.10.10.3m則|X－1|的分布列為.[解析]∵0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3，|X－1|的取值為0,1,2，P(|X－1|＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(|X－1|＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.4，P(|X－1|＝2)＝P(X＝－1)＋P(X＝3)＝0.5，∴|X－1|的分布列為|X－1|012P0.10.40.55.(2024·湖北隨州調(diào)研)某高校為了調(diào)查該校學(xué)生性別與身高的關(guān)系，對該校1000名學(xué)生根據(jù)101的比例進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到身高頻數(shù)分布表如下：男生身高頻數(shù)分布表男生身高(單位：厘米)[160，165)[165，170)[170，175)[175，180)[180，185)[185，190]頻數(shù)710191842女生身高頻數(shù)分布表女生身高(單位：厘米)[150，155)[155，160)[160，