2024-2025學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：拓展-中點(diǎn)點(diǎn)弦問題

第07講拓展一：中點(diǎn)弦問題

一、知識點(diǎn)歸納

知識點(diǎn)01：相交弦中點(diǎn)（點(diǎn)差法）：

直線與曲線相交，涉及到交線中點(diǎn)的題型，多數(shù)用點(diǎn)差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實(shí)際

情況處理該式子。

主要有以下幾種問題：

（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求中點(diǎn)軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；

中點(diǎn)%=七迤，%=2|生

知識點(diǎn)02：點(diǎn)差法：

2222

設(shè)直線和曲線的兩個交點(diǎn)4（西,％）,8（々,為），代入橢圓方程，得%+4=1；與+終=1；

abab

將兩式相減，可得立W+Jj=O；a+X2”「X2）=—（/+%），「%）；

a2b2ab-

最后整理得：1=，；（%+%）（…）=I=-^4.A

b（再+%2）（玉一無2）bx0

同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：1=：。+%）『％）=1=^,￡_.A

b（Xj+x2）（x1-x2）bx0

設(shè)直線和曲線的兩個交點(diǎn)4（X],%）,8（%,%），代入拋物線方程，得必2=2p%；）^=2匹；

將兩式相減，可得（乂—乃）（％+%）=2。（王—々）；整理得：=——

XX

1-2%+丁2

二、題型精講

題型01求直線方程

22

【典例1】（2023春?寧夏吳忠?高二吳忠中學(xué)?？计谥校┻^點(diǎn)M（1,1）的直線與橢圓乙+乙=1交于AB兩點(diǎn),

43

且點(diǎn)M平分弦AB,則直線的方程為（）

A.4%+3>-7=0B.3x+4y-7=0

C.3x—4y+l=0D.4%—3y—1=0

【答案】B

+日=1①

3

【詳解】設(shè)4（占,月）,3（%,%）,直線/斜率為％,則有<

+立=1②

43

①②得（芭+%）（芭一馬）1（%+>2）（%->2）_0,

因?yàn)辄c(diǎn)A7為AB中點(diǎn)，貝!）為+無2=2,必+必=2,

所以九二三+2（%-=o,即4=AZA=_1.,

23占一尤24

所以直線/的方程為y—1=—：（x—1）,整理得3%+4y—7=0

故選：B

22

【典例2】（2023秋?新疆巴音郭楞?高二?？计谀?）求過點(diǎn)（2,0）,與雙曲線匕一上=1離心率相等的

6416

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）已知雙曲線;->2=1,求過點(diǎn)A（3,-l）且被點(diǎn)A平分的弦所在直線的方程.

【答案】（1）（2）3x+4y-5=0.

【詳解】⑴???雙曲線過點(diǎn)（2,0）,.?.所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，

22

又所求雙曲線離心率與雙曲線匕-二=1離心率相同,

6416

22

二可設(shè)其方程為：二-乙=〃彳>0）,

6416'7

將（2,0）代入雙曲線方程得：2=2,則所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：^-/=1.

（2）方法一：由題意知：所求直線的斜率存在，

可設(shè)其方程為：y+l=%（x-3）,即產(chǎn)區(qū)-301,

y=kx-3k-l

由K得：（1一442）尤2+8左（3左+1）無一36左2—24左一8=0,

彳

1—4K

又A（3,-l）為MV中點(diǎn)，;.A^=_4：（3：；）=3,解得：k=~,

當(dāng)左=一：時，滿足A=36x1|-4x（_：]x]-?]=5>0,符合題意;

41614八4）

35

，所求直線MN的方程為：尸丁+“即3x+4I=。；

方法二：設(shè)法（"J,、（%,%），

均在雙曲線上，:,

兩式作差得：…

直線MN的斜率％=乏*=［立乜，

玉一%4%+%

3

又A（3,—l）為肱V中點(diǎn)，，XI+X2=6,%+必=-2,=

經(jīng)檢驗(yàn)：該直線MN存在，

???所求直線MV的方程為：y+l=-^（x-3）,即3尤+4y-5=0.

【典例3】（2023春?四川?高二統(tǒng)考期末）已知直線/與拋物線C:y?=8x相交于A、8兩點(diǎn).

⑴若直線/過點(diǎn)。（4,1）,且傾斜角為45。，求|的的值；

⑵若直線/過點(diǎn)。（4,1）,且弦A8恰被Q平分，求A8所在直線的方程.

【答案］⑴8君

（2）4x-^-15=0

【詳解】（1）因直線/的傾斜角為45。，所以直線/的斜率左=tan49=l,

又因直線/過點(diǎn)。（4』），

所以直線/的方程為：廣1=無-4,即汗尤-3,

聯(lián)立丁=也得彳2-14犬+9=0,

設(shè)/（勺，九），夕（乙，九），

所以4+/=",xAxB=9,

22

所以|=^（1+Z:）［（XA+XB）-4XA］={2x（142—4x9）=86

（2）因A、8在拋物線C:V=8無上，

所以獷=84，y；=8XB,

兩式相減得：y；-需=8尤A-84,

y—y888.

得A__JBB_=----------=——=-=4

'xA-xByA+yB2y22

故直線/的斜率為4,

所以直線/的方程為：y-l=4（x-4）,即4x-y-15=0

2

【變式1］（2023?全國?高三專題練習(xí)）過點(diǎn)網(wǎng)2,1）的直線/與雙曲線/一1_=1相交于4,8兩點(diǎn)，若P是線

段A5的中點(diǎn)，則直線/的方程是（）

A.6%-^-11=0B.6x+y-13=0

C.2x-3y-l=0D.3x-2y-4=0

【答案】A

Aj------1

【詳解】解：設(shè)4（和乂）,巴.乂），貝U臺,

兩式相減得直線的斜率為k=生*=3（*+/）=手=6,

又直線/過點(diǎn)P（2,l）,

所以直線/的方程為6x-y-ll=0,

經(jīng)檢驗(yàn)此時/與雙曲線有兩個交點(diǎn).

故選：A

【變式2]（2023春?河南?高二臨潁縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓C:J3=l(a>6>0)的長

a

軸比短軸長2,橢圓C的離心率為立.

4

⑴求橢圓C的方程；

（2）若直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)，且線段4?的中點(diǎn)為加（-2,1）,求/的方程.

22

【答案】⑴土+匕=1

169

⑵9元-8y+26=0

【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為立，所以工=1一1,解得2=]..

416a2a4

又橢圓C的長軸比短軸長2,所以2a-2/?=2,

b3

—=—r<2=4,

聯(lián)立方程組a4,解得，:

2a-26=2i

22

所以橢圓C的方程為土+匕=1.

169

(2)顯然點(diǎn)M(-2,1)在橢圓9f+i6y2=i44內(nèi),

+16^=144

,因?yàn)樵跈E圓C上，所以

+16必=144

兩個方程相減得9（x；-x；）+16（y；-￡）=0,即9（為一超乂%+%2）=-16（^-^2）（^+

因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為“(-2,1),所以玉+%=-4,%+%=2,

?一%9-49

所以__V__一_

162—8.

x1-x2

g

所以/的方程為V—1=晟(％+2),即9x—8y+26=0.

8

【變式3](2023春?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高二?？茧A段練習(xí))已知拋物線C:x2=-2py(p>0)的焦點(diǎn)為

萬,4(%-9)是拋物線C上的點(diǎn),K|AF|=15.

⑴求拋物線C的方程；

⑵已知直線/交拋物線C于兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為(6,T),求直線/的方程.

【答案】⑴V=-24y

(2)x+2y+2=0

【詳解】(1)因?yàn)閨A典=9+§=15,

所以P=12,

故拋物線C的方程為V=-24y.

兩式相減得尤=-24(%一%)，整理得』二包=一五滬.

七一K

/、Vi-121

因?yàn)镸V的中點(diǎn)為(6,-4),所以％T==-五=-不，

所以直線/的方程為y+4=-g(尤-6),即x+2y+2=0.

題型02處理存在性問題

【典例1】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知拋物線C：d=2py(p>0)的焦點(diǎn)為￡E為C上的動點(diǎn)，EQ垂

直于動直線y=f(r<0),垂足為Q,當(dāng)△E。尸為等邊三角形時，其面積為4百.

⑴求C的方程；

22

⑵設(shè)。為原點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線/與C相切，且與橢圓上+匕=1交于A,8兩點(diǎn)，直線。。與A3交于點(diǎn)",

42

試問：是否存在f,使得|4〃|=忸M|?若存在，求f的值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴Y=4y；

(2)r=-l.

【詳解】(1)；AEQ/為等邊三角形時，其面積為46，

1x|￡2|2siny=4V3,解得|明=4,

根據(jù)年刊=但。|和拋物線的定義可知，。落在準(zhǔn)線上，即y=/=-|,

設(shè)準(zhǔn)線和y軸交點(diǎn)為H,易證=于是F2|cos1=2=|m卜p,

C的方程為無J4y；

(2)假設(shè)存在/,使得則M線為段AB的中點(diǎn)，

設(shè)E、,，|("0),依題意得0(”，則后2=:,

由y=亍可得y=|,所以切線/的斜率為左=；/，

設(shè)A(4yJ,B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)M］七強(qiáng)

所以一%)+(必+%)(%一%)=0

42

整理可得：卡y-％1.y箕+告必=-15,即勺1所以15無。.勺M=_1J，

七一超七十元2222Z

7177/

可得％0M=---，又因?yàn)樽?。=%0"=一，

所以當(dāng)f=—l時，k0Q=k0M=--,此時O,M,Q三點(diǎn)共線，滿足〃為A8的中點(diǎn)，

尤0

綜上，存在心使得點(diǎn)/為AB的中點(diǎn)恒成立，/=-!.

【典例2］（2023春?江西萍鄉(xiāng),高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線01-1=1（°>0/>0）的右焦點(diǎn)為尸（?,0）,

ab

且C的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)O（A/2,1）.

⑴求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在過點(diǎn)尸（2,1）的直線/與C交于不同的A,B兩點(diǎn)，且線段A3的中點(diǎn)為尸.若存在，求出直線/的方

程；若不存在，請說明理由.

22

【答案】⑴工-匕=1

42

⑵不存在，理由見解析

【詳解】⑴解：因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)為尸（五0）,所以c=",可得/+加=6,

b1

又因?yàn)殡p曲線C的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)。（點(diǎn),1）,可得￡=&，即〃=2"，

f+〃2=6

聯(lián)立方程組2，解得標(biāo)=44=2,

［片=2b2

22

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上-匕=1.

42

（2）解：假設(shè)存在符合條件的直線/,易知直線/的斜率存在，

設(shè)直線/的斜率為鼠且4和%）,8（々，為），

4上1）

則42，兩式相減得尤;一只=2（才一貨），所以二21.空造=；,

X

X2y2］%2%十12乙

彳一下一

21

因?yàn)锳B的中點(diǎn)為尸（2,1）,所以外+々=4,%+%=2,所以左x：=彳，解得左=1,

42

直線/的方程為k1=彳-2,即y=x-l,

22

把直線y=x-l代入土-乙=1,整理得尤2-4X+6=0,

42

可得A=（-4）2-4X6<0,該方程沒有實(shí)根，所以假設(shè)不成立，

即不存在過點(diǎn)尸（2.1）的直線/與C交于A8兩點(diǎn)，使得線段的中點(diǎn)為尸.

22

【變式1］（2023秋?重慶北培?高二西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）雙曲線C：^-1r=1（。>0力>0）的漸近

線方程為y=2x,一個焦點(diǎn)到該漸近線的距離為2.

⑴求C的方程；

（2）是否存在直線/,經(jīng)過點(diǎn)M（L4）且與雙曲線C于A,8兩點(diǎn)，M為線段A8的中點(diǎn)，若存在，求/的方程:

若不存在，說明理由.

2

【答案】⑴」2一匕=1

4

（2）存在;y=X+3.

【詳解】（1）雙曲線C：m-1=l（a＞0）＞0）的漸近線為y=±2尤，

aba

h

因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為y=2x,所以2=2,

a

|2c|_

又焦點(diǎn)（c,o）到直線y=2x的距離d=/+（\）2=2,所以c=百，

2

又/=4+〃，所以〃=1,b2=4,所以雙曲線方程為Y一二=1

4

（2）假設(shè)存在，由題意知：直線的斜率存在，設(shè)B（x2,y2）,直線/的斜率為％,則玉+%=2,

%+丫2=8,

兩式相減得x；一W一?+1=0,即（＞+可-%）=?+%-%）

即'3+:4,所以缺=4,解得左=1,

（一+%）（%-%）

所以直線/的方程為＞-4=尤-1,即y=x+3,

經(jīng)檢驗(yàn)直線/：＞=尤+3與雙曲線C有兩個交點(diǎn)，滿足條件，

所以直線/的方程為了=尤+3.

題型03求弦中點(diǎn)的軌跡方程

【典例1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知曲線r上一動點(diǎn)尸到兩定點(diǎn)4（0,-2）,工（0,2）的距離之和為4拒，

過點(diǎn)。（—1,0）的直線L與曲線「相交于點(diǎn)3（孫幻.

⑴求曲線「的方程；

（2）動弦AB滿足：AM=MB＞求點(diǎn)M的軌跡方程；

22

【答案】⑴匕+土=1

84

（2）（2r+l）2+2/=l；

【詳解】（1）因?yàn)閯狱c(diǎn)尸到兩定點(diǎn)片（。,-2）,耳（0,2）的距離之和為40＞4，

所以曲線「是以耳（0,-2）,鳥（0,2）為焦點(diǎn)的橢圓，c=2,2a=40，

22

所以0=2后，萬2=/_02=4,所以曲線「的方程為匕+土=1；

84

（2）因?yàn)槎?礪，所以M為A8中點(diǎn)，設(shè)M（x,y）,

當(dāng)A3的斜率存在且不為0時，將"孫必）代入橢圓方程中得：

止+江=1,豈+立=1,兩式相減得上犬+立二五=o,即江空左=-2,所以磯（“=-[=-2,

848484%一馬x1+x24

即%“小?！?-2,2.）=一2,整理得（2x+iy+2y2=l；

x+1X

當(dāng)A3的斜率不存在或?yàn)?時，有"（TO）或M（0,0）,也滿足（2x+l）2+2y2=l；

所以點(diǎn)M的軌跡方程是（2x+iy+2y2=l；

22

綜上，曲線「的方程為1+?=1,點(diǎn)M的軌跡方程是（2r+l）2+2y2=l.

【典例2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知拋物線V=2x,過點(diǎn)。（2,1）作一條直線交拋物線于A,8兩點(diǎn),

試求弦A8的中點(diǎn)軌跡方程.

【答案】=X~\'

【詳解】方法1：設(shè)A（為，M）,3（々，必），弦A3的中點(diǎn)為M（x,y）,貝lj%+%=2y,

當(dāng)直線A5的斜率存在時，3rl=言.

Ji=2尤］,

因?yàn)椋純墒较鄿p，得（％+%）（%-%）=2（%一%2）.

%=2々,

所以2y.%二&=2,即訂.上二=2,

%一X2x-2

當(dāng)直線A8斜率不存在，即AB人x軸時，AB的中點(diǎn)為（2,0）,適合上式,

故所求軌跡方程為I=x4

丁-1=(-2)

方法2：當(dāng)直線A3的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y-l=Mx-2）（丘0），由

r=2x,

k

—y2—y+1—2^=0.

所以

所以左e（T?,0）U（0,"?）.

設(shè)4（%,%）,3（孫力）,AB的中點(diǎn)為尸（x,y）,

22(1-2k]

則nily+%=%，乂%=-^--

kk

所以外+%=+￡)=；[(%+%了-2%%]

1F44(1-2%)2-2k+4k2

2k2

2k2-k+l

2k2

所以

一1

I,

消去參數(shù)3得I=x4

當(dāng)直線AB的斜率不存在時，即ABIx軸時，A3的中點(diǎn)為（2,0）,適合上式,

故所求軌跡方程為y4I=T

22

【變式1］（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓亍+（=1的弦A3所在直線過點(diǎn)E（U）,求弦AB中點(diǎn)歹

的軌跡方程.

【答案】3x2+4y2-3x-4y=0

西+冗2=2x

【詳解】設(shè)A（&X），3?,%），弦AB的中點(diǎn)網(wǎng)％y）,則

%+%=2y

+人=1

將A8代入橢圓方程得

+3=1

兩式相減得（%+%）（%—%）++%)(%一%)二o

431

(石-％)八

所以工I-U，

23

當(dāng)…岫尹七寸=2沾、二=°'

因?yàn)椋F=^B，所以％二殳=2三，則

玉一%223x-1

當(dāng)國=%時，則直線A3方程為x=l,代入橢圓方程解得,T-l

所以網(wǎng)1,0）滿足上述方程，

故點(diǎn)尸的軌跡方程3*+4y2-3x-4y=0.

【變式2］（2022?全國?高三專題練習(xí)）橢圓工+9=1,則該橢圓所有斜率為;的弦的中點(diǎn)的軌跡方程

42

為______________

【答案】y=-j（-V2<x<V2）

【詳解】設(shè)斜率為1的直線方程為y=+與橢圓的交點(diǎn)為4（4%）,3（々,%），

設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為（X,y）,則:黃=一3，后逗=x，MfM=y，

國2

“I

，兩式相減可得（網(wǎng)一々）（彳+毛）

所以=（%一%）（必+%），

X，4

2=1

即，*

X221

=1

.2

—4+y

由于在橢圓內(nèi)部，由<得工+法+。2_1=0,

y=—x+b2

2

所以A=^-2伊-1）=0時，即）=±&直線與橢圓相切,

此時由+±0x+l=O解得x=e或x=_0,

所以一0〈尤<四，

所求得軌跡方程為y=-j（-V2<x<y/2）.

故答案為：y=-|（-V2<x<V2）.

題型04確定參數(shù)的取值范圍

【典例1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：—+y2=l,A為橢圓的下頂點(diǎn)，設(shè)橢圓C與直線

3

/=丘+根（左/0,相>￡|相交于不同的兩點(diǎn)以、N,尸為弦跖V的中點(diǎn)，當(dāng)APLMV時，求機(jī)的取值范圍.

【答案】［；，2）

y=kx+m

【詳解】由題設(shè)，聯(lián)立M_,得(3妤+l)f+6優(yōu)依+39?-1)=

20,

丁'=

由題設(shè)知A=36m2)t2一12(3左2+1)(療_])>0,即病<3/+1①,

-6mk3(m2-1)

設(shè)N(x,y)

22則xl+x2=：3〃+1'—3Jt2+l

因?yàn)椤笧橄襇N的中點(diǎn),

3mkm

,)^^yP=kxp+m=~~

3r+1女+1

又由題意知A(0,T),左w0,m＞；,

3上m+3k2+1

xp3mk

???AP1MN,貝+=即2m=3公+1②,

3mkk

把②代入①得2根〉病，解得0＜根＜2,又機(jī)＞/,

故機(jī)的取值范圍是,,2)

22

【典例2】(2022?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測)已知橢圓C:二+3=l(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分

ab

別為￡(-c,0),鳥(c,0),離心率e為正，直線/:〉=依尤+。)("片0)和橢圓交于48兩點(diǎn)，且△AB外的周長為

2

8vL

⑴求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T為線段A3的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段OT長度的取值范圍.

22

【答案y；

(2)(0,2).

【詳解】(1)由橢圓的定義知，△人3名的周長為4〃=80，所以Q=2夜,

Q22

由離心率e=￡=在，解得c=2,所以C的方程為工+二=1.

a284

(2)設(shè)AB,7的坐標(biāo)分別為A(%,%),3(孫%)，T。,y),

則有4+近=1①，看+貨=1②，2^A=y,

848422

由①-②可得：＜+犬一＜=0,即a+、)a-—)+(乂+%)(%—%)=0,

8484

將條件變五=X,空=,及

/.2A,-X]x十/

22

帶入上式可得點(diǎn)T的軌跡方程為x+2x+2y=0,

J5|fLU|0712=x2+y2=x2-1(x2+2x)=|x2-x,xe(-2,0),

所以0<|OT『<4,

所以線段I?！蹰L度的取值范圍為(0,2).

【變式1](2023,天津?校考模擬預(yù)測)已知曲線C的方程為丁=4x(尤>0),曲線E是以耳(-1,0)、&(1,0)為

焦點(diǎn)的橢圓，點(diǎn)P為曲線C與曲線E在第一象限的交點(diǎn)，且|P&|=g.

⑴求曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)M在曲線C上，求直線/的斜率k的取值范圍.

22

【答案】(1),+5~=1

(2)-亞<左<逅且左w0

88

22

【詳解】([)設(shè)橢圓方程為1+2=13>6>0),

ab

依題意，c=l,1至1=5|，利用拋物線的定義可得5解得芍=；?，

,尸點(diǎn)的坐標(biāo)為§,平)，所以|戶用=(,

75

由橢圓定義，得+鳥|=g+§=4,a=2.

b2=a2—c2=39

22

所以曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+工=1;

43

(2)設(shè)直線/與橢圓石的交點(diǎn)A&,y),B(X2,%)，A,6的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(%，%)，

設(shè)直線/的方程為〉=米+根(左w。，加。0),

(當(dāng)左=0時，弦中點(diǎn)為原點(diǎn),但原點(diǎn)并不在V=4x(%>0)上,同樣加=0弦中點(diǎn)為原點(diǎn)，不適合題意)

與土+乙=1聯(lián)立，得(3+4%2)/+8輸+4療-12=0,

43

由A>0得442—根2+3〉。①，

-8km4m2-12

由韋達(dá)定理得,X]+%2——A12'%X]=~

一3+4k~123+4公

-4km.3m

貝n.!i]%=----K,y=kx+m=----，

03+4k2n°Q03+4kT2

Tkm3m

將中點(diǎn)(-?)代入曲線C的方程為/=4無(X>0),

3+4/'3+4/

整理，得9/"=-16左（3+4公），②

將②代入①得16*（3+4公）<81,

令：=4/什>0）,則64〃+]92—81<0,解得0<r<|,.

所以直線/的斜率上的取值范圍為-且<%〈理且b0.

88

【變式2]（2023春?內(nèi)蒙古赤峰?高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為耳（0,-2日），鳥（0,20）,

且離心率6=述.

3

（1）求橢圓的方程；

（2）直線/（與坐標(biāo)軸不平行）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A3,且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-；，求直線/傾斜

角的取值范圍.

【答案】（1）尤2+q=1；（2）直線/傾斜角的取值范圍為（J,?）口?，。

92332

22

【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為%+、=1(4>。>0),

由題意得c=2夜，e=￡=2也，所以。=3,

a3

b2=a2-c2=1,

2

所以橢圓的方程為一+匕=1;

9

(2)設(shè)直線/的方程為y=丘+根(左w。)，

y=kx+m

由<oy2W(^2+9)x2+2hwc+m2-9=0,

x+—=1

19

則A=442加2_4伏2+9)(蘇—9)>0,即左2—蘇+9>0①,

%），則%晨,

設(shè)A(%,yj,B(X2,+9=—

11O

因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-所以2x（-fl^IgTl,

化簡得左2+9=2初7,所以m=工匯②，

2k

把②代入①整理得/+6左2_27>0，解得k〈Y或k>5

所以直線/傾斜角的取值范圍為（J,各59，9.

乙3》乙

題型05定值問題

【典例1】（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知橢圓C:g+與=l（a>b>0）的離心率為正，直線x=-2被橢

圓C截得的線段長為20.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)過橢圓C的右焦點(diǎn)/與坐標(biāo)軸不垂直的直線/交C于點(diǎn)A,8,交y軸于點(diǎn)E,尸為線段AB的中點(diǎn)，

EQLOP且。為垂足.問：是否存在定點(diǎn)H,使得?！钡拈L為定值？若存在，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

22C1A

【答案】⑴二+二=1；⑵存在，定點(diǎn)H匕,0.

84U）

【詳解】（1）由題意得：e=-=^-,a2-b2=c2,化簡得4=2廿，

a2

22

故C的方程為：表+}=13>0）

將x=-2代入橢圓C的方程得：2,

所以2A份一2=2應(yīng)，解得：/=4，所以/=2/=8,

22

所以橢圓C的方程：—+-=I；

84

（2）設(shè)A（占,%）,3（%,%）,戶（不，兒），直線的方程為丫=笈（%一2）,

則直線與，軸的交點(diǎn)為磯0,-2左）

區(qū)+近=1,得上2"白-；

由

84x2~x\x2+xiX2

又k=王?=所以上”=一二，故OP的方程為y=-jx,

X2-%1

由EQLOP得：kEQ=2k,

所以直線EQ的方程為y=2履-2左，即y=2左（x-l）,

所以直線EQ過定點(diǎn)M（LO）,

所以。在以O(shè)M為直徑的圓％2+,2_%=0上，

所以存在定點(diǎn)使QH的長為定值

22

【典例2】（2023春?湖南株洲,高二株洲二中?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線C:二-3=1（a>0,b>0）的

ab

漸近線方程為y=土&,焦點(diǎn)到漸近線的距離為73.

⑴求雙曲線C的方程；

（2）設(shè)A,3是雙曲線C右支上不同的兩點(diǎn)，線段的垂直平分線/交于“，點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為2,則是

否存在半徑為1的定圓P,使得/被圓尸截得的弦長為定值，若存在，求出圓P的方程；若不存在，請說明

理由.

2

【答案】⑴/一匕=1;

3

(2)存在,定圓尸:(x-8)2+/=l

【詳解】⑴設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)與(G0),則點(diǎn)1(c,0)到漸近線氐+y=0的距離為6,