高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)訓(xùn)練：重難點拓展之基本不等式（分層練）（原卷版）

第17講重難點拓展：基本不等式

【人教A版2019必修一】

目錄

題型歸納................................................................................

題型01巧用“1”的代換求最值問題........................................................................1

題型02分離消元法求最值.................................................................................3

題型03利用基本不等式證明不等式.........................................................................5

分層練習(xí).................................................................................................7

夯實基礎(chǔ)................................................................................................7

能力提升................................................................................................10

創(chuàng)新拓展................................................................................................18

題型歸納

題型01巧用“1”的代換求最值問題

【解題策略】

常數(shù)代換法解題的關(guān)鍵是通過代數(shù)式的變形，構(gòu)造和式或積式為定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.應(yīng)用此

種方法求解最值時，應(yīng)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘求積或相除求商.

【典例分析】

19

【例1】若x>0,y>0,且；+1=1，求x+y的最小值.

【變式演練】

Q］

【變式1］（2324高一上.安徽.期末）已知正數(shù)x,＞滿足一+—=1,則x+2y的最小值是（）

xy

A.6B.16C.20D.18

【變式2］已知第＞0,y＞0,x+Sy=xy,求x+2y的最小值.

1?

【變式3】（2324高一上?甘肅?期末）已知〃＞。力＞。.若一+7=1,求2〃+/?的最小值.

ab

題型02分離消元法求最值

【解題策略】

對含有多個變量的條件最值問題，若無法直接利用基本不等式求解，可嘗試減少變量的個數(shù)，即用其中一個變量表示

另一個，再代入代數(shù)式中轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的最值問題.

【典例分析】

【例2】已知1＞0,y＞0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.

【變式演練】

【變式1］已知x>0,y>0,xy=x+y+3,求孫的最小值.

【變式2］（2324高一上.廣東東莞.期末）若x>0、y>0,且，+y=l,則1的最大值為

XX

【變式3］已知。>0,/?>0,且2〃+/?=出?一1,貝!1〃+2Z?的最小值為.

題型03利用基本不等式證明不等式

【解題策略】

利用基本不等式證明不等式的策略

從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問

題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.

【典例分析】

【例3】已知a,b,c均為正實數(shù)，且〃+b+c=l.

【變式演練】

【變式1】已知a,b,c均為正實數(shù)，且a+6+c=l.

求證：a+b+^9-

【變式2】已知a,b,cGR,求證：1+式+「已片廿+萬2c2+42.

【變式3】已知”，。都是正數(shù),

分層練習(xí)

【夯實基礎(chǔ)】

選擇題（共1小題）

1Q

1.（2023秋?城關(guān)區(qū)校級期中）已知犬>0,y>0,且兀+y=4,則一+—的最小值為（）

A.2B.3C.4D.8

三.填空題（共3小題）

1o

2.（2024春?黃浦區(qū)校級期末）若正數(shù)X,y滿足上+2=1,則x+y的最小值為

龍y

3.（2023秋?斗門區(qū)校級月考）已知”>0,b>0,若a+b=2ab,則a+46的最小值為

71

4.設(shè)正數(shù)〃，。滿足2a+h=l,4+上的最小值為__.

ab

5.（2023秋?深圳期末）已知x,>>0，若%+孫=4,則尤+y的最小值為

四.解答題（共2小題）

14

6.（2023秋?漢壽縣校級期中）（1）已知〃，〃為正數(shù)，且滿足。+人=1,求上+色的最小值;

ab

(2)已知求y=4x-2d的最大值.

44x-5

7.（2022春?會寧縣校級期中）已知a,beR,求證：她,（“；與.

【能力提升】

多選題（共4小題）

1.（2023秋?岳陽期末）已知實數(shù)a,6滿足a>6>0且a+b=l,則下列說法正確的是（

A.Z7<—B.cib>一

24

41

C.ab>b2D.一+-的最小值為9

ab

2.（2023秋?汕尾期末）已知a,b為正數(shù),且2a+b=l,則（）

211

A.Ovav—B.0<cib<—C.-+-..9D.-<a92+b92<l

28ab4

3.(2023秋?開福區(qū)校級期末)若。，/?G(0,+OO),a+b=l,則下列說法正確的有（）

A.(?+-)(/?+-)的最小值為4

ab

B.&T9+&T?的最大值為通

C.工+2的最小值為3+20

ab

4.（2023秋?河池月考）下列說法正確的有（）

A.若0<x<」，則x（l—2x）的最大值是1

24

+二一的最小值是

B.若x,y,z者B是正數(shù)，且x+y+z=2,則一3

y+z

C.若%>0,y>0，x+2y+2xy=8,貝!Jx+2y的最小值是2

iii4

D.若々>04>0,—+—=1,則——+——的最小值是4

aba—1b—\

二.填空題（共2小題）

17

5.（2023秋?建鄴區(qū)期末）若*b,c均為正數(shù)，且Q+〃+C=3,則一!一+一的最小值是

2a+1b+c

6.（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）已知正數(shù)”，。滿足a+力=1,則工+1取到最小值時，a=

ab

三.解答題（共4小題）

7.（2023秋?蓮池區(qū)校級期中）解答下列問題：

（1）設(shè)正數(shù)x,y滿足x+2y=l,求」+_1的最小值;

%y

a2h2

(2)已知。，Z?G(0,+OO),比較——+——與Q+Z?的大小.

ba

4丫之—3x

8.(2023秋?重慶期中)(1)已知%>1,求y=三_；1的最小值;

41

(2)若〃、beR*,且滿足條件Q+2Z?=1,求----F—的最小值.

Q+1b

9.(2023秋?長治期末)已知無>0,y>0，xy=x+y+a.

(1)當(dāng)Q=3時，求孫的最小值；

(2)當(dāng)a=0時，求x+y+」+，的最小值.

10.(2023秋?西安期末)若a>0,b>0,S.ab=a+b+8.

(1)求點的取值范圍；

(2)求a+46的最小值，以及此時對應(yīng)的。的值.

【創(chuàng)新拓展】

一.多選題（共1小題）

1.（2023秋?渾南區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）

1L

A.若x>l,貝ljy=3x+上的最小值為2指+3

X-1

12Q

B.已知x>—l,y>0,且x+2y=l,貝！J——+—的最小值為二

x+1y2

C.已知帆.0,M..0,且加+〃=1,則*一+——的最小值為巴

m+2n+l15

D.若x>0,y>0,2>0貝3'+,+22的最小值為2

3xy+4yz5

填空題（共1小題）

71

2.（2023秋?鹽城期末）已知正實數(shù)x,y滿足4%+7y=4,則-----+------的最小值為

x+3y2x+y

三.解答題（共6小題）

3.（2023秋?鎮(zhèn)江月考）已知a,6為正實數(shù).

（1）右a+2）=l,求一+-的取小值；

ab

⑵若m,n>0,試判斷工+日與日竺電1的大小關(guān)系并證明.

aba+b

4.（2023秋?江北區(qū)校級月考）（1）已知-啜女+61,-M-Z?1,求2a+36的取值范圍；

（2）若實數(shù)a,b,c滿足片+片+C2=6.試判斷+與工一——的大小并說明理由.

a2+lb2+