函數(shù)的奇偶性與周期性-專項訓(xùn)練-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含解析）

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2.3-函數(shù)的奇偶性與周期性-專項訓(xùn)練【A級基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)是()A．y＝2x B．y＝eq\r(x)C．y＝|x| D．y＝－x2＋12．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x－2,x＋2)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x－2)－1 B．f(x－2)＋1C．f(x＋2)－1 D．f(x＋2)＋13．已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且周期為4，f(－1)＝－2，則f(2025)＝()A．2 B．0C．－2 D．－44．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3，若f(a)＝－1，則f(－a)＝()A．3 B．5C．6 D．75．已知偶函數(shù)f(x)對于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞增的，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是()A．f(0)<f(－6.5)<f(－1)B．f(－6.5)<f(0)<f(－1)C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)D．f(－1)<f(0)<f(－6.5)6．若函數(shù)f(x)＝sinx·ln(mx＋eq\r(1＋4x2))的圖象關(guān)于y軸對稱，則m＝()A．2 B．4C．±2 D．±47．已知函數(shù)f(x)＝e|x|＋x2，(e為自然對數(shù)的底數(shù))，且f(3a－2)>f(a－1)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))8．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝x2＋ax＋b，則a＋b等于()A．0 B．－1C．－2 D．2二、多選題9．已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x10．已知定義在區(qū)間[－7,7]上的一個偶函數(shù)，它在[0,7]上的圖象如圖，則下列說法正確的有()A．這個函數(shù)有兩個單調(diào)遞增區(qū)間B．這個函數(shù)有三個單調(diào)遞減區(qū)間C．這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7D．這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值－711.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，則下列說法正確的是()A．f(x)的最小正周期為4B．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱C．f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱D．f(x)在(－5,5)內(nèi)至少有5個零點12．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(2－x)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x3，則下列結(jié)論錯誤的是()A．f(2021)＝0B．2是f(x)的一個周期C．當(dāng)x∈(1,3)時，f(x)＝(1－x)3D．f(x)>0的解集為(4k,4k＋2)(k∈Z)三、填空題13．已知函數(shù)f(x)＝2x－2－xlga是奇函數(shù)，則a的值等于_________.14．已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上是增函數(shù)，且在區(qū)間[3,6]上的最大值為8，最小值為－1，則f(6)＋f(－3)的值為_________.15．設(shè)f(x)是周期為3的函數(shù)，當(dāng)1≤x≤3時，f(x)＝2x＋3，則f(8)＝_7__.－2≤x≤0時，f(x)＝_________.16．已知函數(shù)f(x)，對?x∈R滿足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，則f(26)＝__________.17．已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，則f(x)>0的解集為__________________.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，若x1<0且x1＋x2>0，則()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)與f(－x2)的大小不能確定2．(多選題)函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數(shù)，f(x＋1)是偶函數(shù)，則()A．f(0)＝1B．f(x)是周期函數(shù)C．f(x＋3)為奇函數(shù)D．f(x＋5)為偶函數(shù)3．若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是()A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]4．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，則(k)＝()A．－3 B．－2C．0 D．15．已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝__________.6．函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,x2＋1)是定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5).(1)求實數(shù)a，b，并確定函數(shù)f(x)的解析式；(2)用定義證明f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)．7．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；(2)若f(x)＝eq\r(x)(0<x≤1)，求當(dāng)x∈[－5，－4]時，函數(shù)f(x)的解析式．參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．[解析]A選項，根據(jù)y＝2x的圖象知該函數(shù)非奇非偶，可知A錯誤；B選項，由y＝eq\r(x)的定義域為[0，＋∞)，知該函數(shù)非奇非偶，可知B錯誤；C選項，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，y＝|x|＝x為增函數(shù)，不符合題意，可知C錯誤；D選項；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知該函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)其圖象可看出該函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，可知D正確．故選D.2．[解析]化簡函數(shù)f(x)＝1－eq\f(4,x＋2)，分別寫出每個選項對應(yīng)的解析式，利用奇函數(shù)的定義判斷．由題意得，f(x)＝1－eq\f(4,x＋2).對A，f(x－2)－1＝－eq\f(4,x)是奇函數(shù)；對B，f(x－2)＋1＝2－eq\f(4,x)，關(guān)于(0,2)對稱，不是奇函數(shù)；對C，f(x＋2)－1＝－eq\f(4,x＋4)，定義域為(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；對D，f(x＋2)＋1＝2－eq\f(4,x＋4)，定義域為(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)．故選A.3．[解析]依題意，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，又f(x)的周期為4，且f(－1)＝－2，則f(2025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－f(－1)＝2.4．[解析]函數(shù)f(x)＝sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－eq\f(1,x)＋3＋sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3＝－sinx－x3－eq\f(1,x)＋sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋6＝6，若f(a)＝－1，則f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故選D.5．[解析]由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期是2.∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞增的，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1)．6．[解析]因為f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x)為偶函數(shù)，又y＝sinx為奇函數(shù)，所以y＝ln(mx＋eq\r(1＋4x2))為奇函數(shù)，即ln[－mx＋eq\r(1＋4·－x2)]＝－ln(mx＋eq\r(1＋4x2))，解得m＝±2.故選C.7．[解析]顯然f(x)為偶函數(shù)且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(3a－2)>f(a－1)?|3a－2|>|a－1|?(3a－2)2>(a－1)2?a>eq\f(3,4)或a<eq\f(1,2)，故選C.8．[解析]因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x∈[0,2]時，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)．又對任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以－eq\f(a,2)＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.二、多選題9．[解析]由奇函數(shù)的定義f(－x)＝－f(x)驗證，A項，f(|－x|)＝f(|x|)，為偶函數(shù)；B項，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，為奇函數(shù)；C項，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，為偶函數(shù)；D項，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，為奇函數(shù)．可知B、D正確．10．[解析]根據(jù)偶函數(shù)在[0,7]上的圖象及其對稱性，作出其在[－7,7]上的圖象，如圖所示．由圖象可知這個函數(shù)有三個單調(diào)遞增區(qū)間，有三個單調(diào)遞減區(qū)間，在其定義域內(nèi)有最大值7，最小值不是－7，故選BC.11.[解析]因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期為4，但f(x)的最小正周期不一定為4，如f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)x))，滿足f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋2)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)x＋2))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)x＋3π))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)x))＝－f(x)，而f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)x))的最小正周期為eq\f(4,3)，故A錯誤；因為f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，即f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故B正確；由f(x＋4)＝f(x)，及f(x)為奇函數(shù)可知f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱，故C正確；因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(2)＝－f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，故f(－2)＝－f(2)＝0，f(－4)＝－f(4)＝0，所以在(－5,5)內(nèi)f(x)至少有－4，－2,0,2,4這5個零點，故D正確．故選BCD.12．[解析]∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)的最小正周期是4，故B錯誤；f(2021)＝f(1)＝1，故A錯誤；∵當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x3，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)＝x3，當(dāng)x∈(1,3)時，2－x∈(－1,1)，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，故C錯誤；易知當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)>0，∵f(x)的最小正周期是4，∴f(x)>0的解集為(4k,4k＋2)(k∈Z)，故D正確．三、填空題13．[解析]由題設(shè)條件可知，可由函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程f(x)＋f(－x)＝0，由此方程求出a的值．函數(shù)f(x)＝2x－2－xlga是奇函數(shù)，∴f(x)＋f(－x)＝0，∴2x－2－xlga＋2－x－2xlga＝0，即2x＋2－x－(2x＋2－x)lga＝0，∴l(xiāng)ga＝1，∴a＝10.14．[解析]由于f(x)在[3,6]上為增函數(shù)，所以f(x)的最大值為f(6)＝8，f(x)的最小值為f(3)＝－1，因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.15．[解析]因為f(x)是周期為3的函數(shù)，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.當(dāng)－2≤x≤0時，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.16．[解析]∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期為4，∴f(26)＝f(2)．∵對?x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.17．[解析]由已知可構(gòu)造y＝f(x)的示意圖象，所以f(x)>0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．[解析]因為x1<0且x1＋x2>0，所以x2>－x1>0，又因為f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．2．[解析]因為f(x＋1)是偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，即f(－x)＝f(2＋x)，又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，于是f(2＋x)＝－f(x)，即有f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的一個周期為4，故A錯誤，B正確；設(shè)g(x)＝f(x＋3)，則g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)為偶函數(shù)，C錯誤；設(shè)h(x)＝f(x＋5)，則h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)為偶函數(shù)，D正確，故選BD.3．[解析]因為定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也單調(diào)遞減，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(0,2)時，f(x)>0，當(dāng)x∈(－2,0)∪(2，＋∞)時，f(x)<0，所以由xf(x－1)≥0可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,－2≤x－1≤0或x－1≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,0≤x－1≤2或x－1≤－2))或x＝0.解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1,0]∪[1,3]．故選D.4．[解析]因為f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)②.由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的一個周期為6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根據(jù)函數(shù)的周期性知，(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故選A.5．[解析]解法一(定義法)：因為f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)對任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)對任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0對任意的x∈R恒成立，所以a＝1.解法二(取特殊值檢驗法)：因為f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－2))＝2a－eq\f(1,2)，解得a＝1，經(jīng)檢驗，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數(shù)，所以a＝1.解法三(轉(zhuǎn)化法)：由題意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數(shù)．設(shè)g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因為g(x)＝x3為奇函數(shù)，所以h(x)＝