2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)突破：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性（學(xué)生版）

考點(diǎn)09函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升

練+拓展沖刺練)

D1【考試提醒】

1.能通過(guò)平移，分析得出一般的軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)公式和推論2會(huì)利用對(duì)稱(chēng)公式解決問(wèn)

題.

【知識(shí)點(diǎn)】

1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

(1)奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng).

(2)若Hx—2)是偶函數(shù)，則函數(shù)人x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為；若加一2)是奇函數(shù)，則函數(shù)

於)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為.

2.若函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)，則/(a—x)=/(a+x)；

若函數(shù)y=/)滿(mǎn)足大a—x)=-j［a+x),則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

3.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)

(1)函數(shù)>=兀0與>=/(—X)關(guān)于對(duì)稱(chēng);

(2)函數(shù)y=/(x)與y=—/(x)關(guān)于對(duì)稱(chēng)；

(3)函數(shù)y=/(x)與y=一八一x)關(guān)于對(duì)稱(chēng).

【核心題型】

題型一軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)X)=/(Q+X);

a~\~b

若函數(shù)歹=/a)滿(mǎn)足Z(Q+X)=/S—%),則y=/a)的圖象關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng).

【例題1】（2024?遼寧?一模）已知函數(shù)/（X+2）為偶函數(shù)，且當(dāng)X22時(shí),

/3=1。8［，-4苫+7），若〃°）>/3）,貝!］（）

7

A.（Q+b-4）（a-b）<0B.（〃+6-4）（。-6）>0

C.（a+b+4）（a—6）<0D.（〃+6+4）（。-6）>0

【變式1】(2024?四川瀘州?二模)定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(尤+2)=/卜-2),當(dāng)

xe［-2,2］時(shí),函數(shù)〃》)=4--,設(shè)函數(shù)g(x)=e*Z(_2<x<6),則方程/(x)-g(x)=0的

所有實(shí)數(shù)根之和為()

A.5B.6C.7D.8

【變式2】(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=|x-1|,公差不為。的等差數(shù)列{%}

的刖〃項(xiàng)和為J.若)=/(。1013)，則§2024=()

A.1012B.2024C.3036D.4048

【變式3】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)及其導(dǎo)數(shù)/'(%)的定義域?yàn)镽,記

g(x)=r(x),且/(x),g(x+l)都為奇函數(shù).若/(—5)=2,則“2023)=()

A.0B.——C.2D.-2

2

題型二中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

函數(shù)>=/)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng)o/(a+x)+/(Q—x)=26<>2b—/(X)=/(2Q—x);若函數(shù)y=

la-\~bc\

八工)滿(mǎn)足次a+x)+/(b—x)=c,則》=危)的圖象關(guān)于點(diǎn)卜二，,成中心對(duì)稱(chēng).

【例題2】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)/(力是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且/(2x+l)為奇函數(shù).若

55

A.B.C.D.

6666

【變式1】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))定義在R上的偶函數(shù)/⑴滿(mǎn)足/(2-x)=-/(x),則

()

A./(x)=/(2+x)B./(—x)=/(2—x)

C./(^)=/(4-x)D.7(x-2)是奇函數(shù)

a

【變式2】(2024?四川南充?二模)已知函數(shù)〃x)=：,則函數(shù).y=/(x-l)+l的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)0,1)對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)(-U)對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)

【變式3】(23-24高三下,江蘇揚(yáng)州,開(kāi)學(xué)考試)定義在R上的函數(shù)丁=/(x)和y=g(x)的圖象

關(guān)于丁軸對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)V=/(x-2)+l是奇函數(shù)，則函數(shù)y=g(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(—2,1)D.(2,-1)

題型三兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)

b-a

函數(shù)V=/(Q+X)的圖象與函數(shù)歹=/(b—x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=《一對(duì)稱(chēng).

【例題3】(2024上?北京?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)丁=/(x)與y=-/(x)

的圖象()

A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于了軸對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線(xiàn)N=x對(duì)稱(chēng)

【變式1](2024下?江蘇揚(yáng)州?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)定義在R上的函數(shù)＞=/(x)和y=g(x)的

圖象關(guān)于了軸對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)y=/(x-2)+l是奇函數(shù)，則函數(shù)＞=g(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為

()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(—2,1)D.(2,-1)

【變式2】(2020上?安徽?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)V=〃x-1)是定義在R上的奇函數(shù)，

函數(shù)〉=g(x)的圖象與函數(shù)了=/(X)的圖象關(guān)于直線(xiàn)X-＞=0對(duì)稱(chēng)，那么y=g(x)的對(duì)稱(chēng)中

心為()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)

【變式3】(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)了=/?的定義域?yàn)镽,貝U函數(shù)產(chǎn)加一1)與尸

/(I—x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)()

A.x=0對(duì)稱(chēng)B.y=0對(duì)稱(chēng)C.x=l對(duì)稱(chēng)D.對(duì)稱(chēng)

口【課后強(qiáng)化】

基礎(chǔ)保分練

一、單選題

1.23-24高三上?寧夏銀川?階段練習(xí))函數(shù)歹二/("滿(mǎn)足對(duì)任意xeR都有/(%+2)=/(-x)

成立，函數(shù)V=/(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(L0)對(duì)稱(chēng)，且/(1)=4,則

/(2018)+/(2019)+/(2020)=()

A.-4B.0C.4D.8

2.Q023?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=M+涼+。+6的圖象關(guān)于點(diǎn)(i,i)對(duì)稱(chēng),則方=

(

A.-1B.1C.-2D.2

2-1-尤_i_2x<—1

3.(23-24高三上?全國(guó)?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(》)=''則〃x)的圖象關(guān)于

I幺L,X>1,

()

A.點(diǎn)(1,-2)對(duì)稱(chēng)B.點(diǎn)(-1,2)對(duì)稱(chēng)C.直線(xiàn)尤=1對(duì)稱(chēng)D.直線(xiàn)尸-1對(duì)稱(chēng)

4.(2023?云南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,/(x+l)+/(x-l)=2,

g(x+2)是偶函數(shù)，且〃x)+g(2+x)=4,g⑵=2,則()

A./(x)關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)B.〃x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱(chēng)

15

C.7(2023)=1D.Z/⑻=15

k=l

5.(2023?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,7(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)

稱(chēng)，/(3)=0,且對(duì)任意的再(-應(yīng)0),x產(chǎn)七，滿(mǎn)足〃：)[/(*)<0,則不等式

(xT〃x+l)Z0的解集為()

A.(一叫l(wèi)]32,+s)B.[-4,-l]u[0,l]

C.[-4,-l]u[l,2]D.[-4,-l]u[2,+co)

二、多選題

6.2024,全國(guó)?二模)已知〃x)是定義在R上不恒為。的函數(shù)，/(x-1)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=l

對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)>=」1的圖象的對(duì)稱(chēng)中心也是/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則()

x-2

A.點(diǎn)(-2,0)是/(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

B.〃x)為周期函數(shù)，且4是〃x)的一個(gè)周期

C./(4-x)為偶函數(shù)

D./(31)+/(35)=2

7.(2024.江蘇南通?二模)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,7?的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,

0)對(duì)稱(chēng),g(0)=g(2)=l,g(x+y)+g(x-y)=g(x)/(y),則()

A.為偶函數(shù)B.g(x)為偶函數(shù)

c.g(-l-x)=-g(-l+x)D.g(l-x)=g(l+x)

三、填空題

8.(2024?寧夏銀川?一模)已知偶函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，-2)=2,且對(duì)任意

士,乙?0』，均有〃網(wǎng)+%)=〃再)+〃%)成立，若/⑺

對(duì)任意〃eN*恒成立，貝曠的最小值為.

9.(23-24高三下?河南濮陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(4x+l)的圖象關(guān)

100

于點(diǎn)(0,2)中心對(duì)稱(chēng)，若〃2+x)-〃2-x)+4x=0,則.

Z=1

四、解答題

10.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))下列函數(shù)是否存在對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心？

(2阿=(ex—門(mén)產(chǎn)；

4

(3)/(x)=2x+—.

11.(2024?湖南?二模)已函數(shù)=+々%2+6X+C(Q也CER),其圖象的對(duì)稱(chēng)中心為-2).

⑴求的值；

⑵判斷函數(shù)/(力的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

7

12.(2024高三下?浙江杭州?專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=-r-關(guān)于點(diǎn)(-1,1中心對(duì)稱(chēng).

x+a

⑴求函數(shù)〃X)的解析式；

⑵討論g(x)=x(〃x))2在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性；

(3)設(shè)%=1,。前=〃。“),證明：2"-2|21n??-ln7|<l.

綜合提升練

一、單選題

1.(2024?云南昆明?一模)已知函數(shù)〃x)=e'+e2T,則下列說(shuō)法正確的是()

A./(x)為增函數(shù)B.1(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

C.“X)的最大值為2eD.y=/(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)

2.(2024?河南新鄉(xiāng)二模)已知函數(shù)“X)滿(mǎn)足〃x+y+l)=/(x)+〃v),則下列結(jié)論一定

正確的是()

A./(“+1是奇函數(shù)B./(x-1)是奇函數(shù)

C.是奇函數(shù)D./(x+1)是奇函數(shù)

3.Q024高三全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=9,g(x)=eE-e-"+i+l,則/(x)與g(x)

x-1

的圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為()

A.4B.2C.1D.0

4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若定義在R上的函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(|x|)=/(x),且

/(2+x)+/(2-x)=6,/(3)=6,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A./(8+x)=/(x)B.〃x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=4對(duì)稱(chēng)

C./(201)=3D.>=〃x+2)-3是奇函數(shù)

5.(23-24高三下,山東荷澤?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)定義域?yàn)镽,且

〃2+x)-〃2-x)=-4x,/(l+3x)關(guān)于(0,2)對(duì)稱(chēng)，則“2025)=()

A.-4046B.4046C.1D.0

6.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))己知/(x)的定義域?yàn)镽,函數(shù)/(X)滿(mǎn)足

〃x）+〃4-x）=6,g（x）=弓=瀉，〃x）,g（x）圖象的交點(diǎn)分別是

4x-o

（西，%），（％2，％），（％3，為），（％4，%），......，（當(dāng)，匕），則必+必+...+"可能值為（）

A.2B.14C.18D.25

7.（2024?福建漳州?一模）已知可導(dǎo)函數(shù)〃x）的定義域?yàn)镽,-11為奇函數(shù)，設(shè)g（x）

110

是/（X）的導(dǎo)函數(shù)，若g（2x+l）為奇函數(shù)，且g（o）=3,則￡館（2左）=（）

2k=\

13131111

A.—B.——C.—D.--

2222

8.（2024?安徽蕪湖?二模）已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,且〃x+2）-2為奇函數(shù)，/（3x+l）

2024

為偶函數(shù)，/（1）=0,則￡/?。?（）

k=l

A.4036B.4040C.4044D.4048

二、多選題

9.（2023?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,〃2x+l）為奇函數(shù)，

/（4-x）=/（x）,/（0）=2,且/⑺在［0,2］上單調(diào)遞減，則（）

A./（1）=0B."8）=2

C.“X）在［6,8］上單調(diào)遞減D.在［0100］上有50個(gè)零點(diǎn)

10.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且〃2x+l）為奇函數(shù).若

A.的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱(chēng)B.〃x）的周期是2

C.的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)D.7［第1+/］等＞:

11.（2024?湖北?二模）我們知道，函數(shù)了=〃x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要

條件是函數(shù)＞=/（x）為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)）=/?的圖象關(guān)于點(diǎn)

4

尸（。⑷成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)了:/^+啰-6為奇函數(shù).已知函數(shù)/⑴二:^:，

2+2

則下列結(jié)論正確的有（）

A.函數(shù)"X）的值域?yàn)椋?,2］

B.函數(shù)，（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（L1）成中心對(duì)稱(chēng)圖形

C.函數(shù)，(x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)

D.若函數(shù)g(x)滿(mǎn)足y=g(x+l)-l為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)，⑴的圖象有2024個(gè)交

2024

點(diǎn)，記為4(4％)(，=1,2,…,2024),貝1]±(七+乂)=4048

Z=1

三、填空題

12.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)y=g(x)的圖象與>=lnx的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)

稱(chēng)，則g(%)=.

13.(2024?寧夏銀川?一模)已知定義在R上的偶函數(shù)/(%)滿(mǎn)足/(M=/(2-x),當(dāng)xe[0,l]

時(shí),/(X)=2x.函數(shù)g(x)=e+T(-1<X<3),則f(x)與g(x)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和

為.

14.(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特一模)已知定義在R上的函數(shù)〃x)=ei-e1+(x-D3+x,滿(mǎn)

足不等式/(2x-4)+/(2-3x)22,則x的取值范圍是.

四、解答題

15.23-24高三上?重慶?階段練習(xí))已知函數(shù)=2、，函數(shù)〃(x)與關(guān)于點(diǎn)^log2

中心對(duì)稱(chēng).

⑴求人卜)的解析式；

⑵若方程〃X)=〃(x)有兩個(gè)不等的實(shí)根為，々，且|%72|=2,求a的值.

3

16.(2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/卜)=互行?

⑴求證：函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)[g,對(duì)稱(chēng)；

（2）求￡=/（一2022）+/（-2021）+-一+/（0）+-一+/（2022）+/（2023）的值.

17.(23-24高三上?上海?期中)已知函數(shù)〃x)=加-不f

(1)當(dāng)加=3時(shí)，確定是否存在〃，使得/'(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)；

⑵對(duì)于任意給定的非零常數(shù)加，J=〃x)的圖象與x軸負(fù)半軸總有公共點(diǎn)，求"的取值范圍;

⑶當(dāng)〃=1時(shí)，函數(shù)g(x)的圖象與圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，若對(duì)任意：XG(1,2),

g(x)<0恒成立，求加的取值范圍.

18.(23-24高三上■陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=2|x|+|2x-對(duì)(加>0)的圖象關(guān)于直

線(xiàn)X=1對(duì)稱(chēng).

⑴求冽的值，及/(X)的最小值；

14

(2)設(shè)。，b均為正數(shù)，且。+6=加，求一的最小值.

ab

19.(23-24高三下?山東?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=ln(x+l).

(1)討論函數(shù)尸(x)=ax-"x)SeR)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=(x+l)/［曰一/g+j.

(i)求g⑴-g(-2)的值;

(ii)證明：存在實(shí)數(shù)m,使得曲線(xiàn)V=g(x)關(guān)于直線(xiàn)沖機(jī)對(duì)稱(chēng).

拓展沖刺練

一、單選題

3

1.(23-24高三下?陜西安康?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=3w，則的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于直線(xiàn)x=［對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于點(diǎn)(。,|］對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線(xiàn)x=；對(duì)稱(chēng)

2.(2024?山西呂梁?一模)已知函數(shù)“X)滿(mǎn)足/(x+y)+/(x-y)=§/(x)/3,/⑴=］,

則下列結(jié)論不正確的是()

A./(0)=3B.函數(shù)〃2x7)關(guān)于直線(xiàn)x=g對(duì)稱(chēng)

C./(x)+/(0)>0D.〃x)的周期為3

3.(2023?四川樂(lè)山?一模)已知函數(shù)〃x)定義域?yàn)镽,且滿(mǎn)足"0)=0,f(-x)=f(x),

++給出以下四個(gè)命題：

①/(-1)=〃3);

②〃x+2)=〃x)；

③7(4)=64；

④函數(shù)y=/(x)-2x的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng).

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

4.(22-23高三下?全國(guó),階段練習(xí))已知函數(shù)〃無(wú))=9萬(wàn)+2"，則下列關(guān)于的結(jié)論中

正確的是()

A./(x)在［1,+⑹上有最小值B.若則/'(x)有最大值

C./(-e)+/(e)=lD.關(guān)于點(diǎn)(0』)中心對(duì)稱(chēng)

5.(2023?新疆烏魯木齊二模)已知“X),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x,y滿(mǎn)足

/(x-y)=/(x)g(y)-g(x)/(y),且/(-2)=/⑴20,則下列說(shuō)法正確的是()

A./（0）=1B.函數(shù)g(2x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)

2023

c.g(l)+g(-l)=OD.若〃1)=1,則￡"")=1

n=\

二、多選題

6.(23-24高三上?浙江杭州?期末)已知函數(shù)/(x)