專題15數(shù)形結(jié)合思想

專題15數(shù)形結(jié)合思想專題點(diǎn)撥數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問題，拓寬了解題思路，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合．(1)數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：①構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像求參數(shù)的取值范圍；②構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像研究方程根的范圍；③構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像研究量與量之間的大小關(guān)系；④構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；⑤構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；⑥構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；⑦構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)；⑧研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等．(2)數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解填空題、選擇題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度．具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖像，注意函數(shù)的定義域；②用圖像法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，由圖求解．(3)在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)：①要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；②要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；③要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問題求解．例題剖析一、數(shù)形結(jié)合思想在求參數(shù)、代數(shù)式的取值范圍、最值問題中的應(yīng)用【例1】若方程x2－4x＋3＋m＝0在x∈(0，3)時(shí)有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，直接觀察得出結(jié)果．原方程可化為－(x－2)2＋1＝m(0<x<3)，設(shè)y1＝－(x－2)2＋1(0<x<3)，y2＝m，在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖像(如圖所示)．由原方程在(0，3)內(nèi)有唯一解，知y1與y2的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得m的取值范圍是(－3，0]∪{1}．【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x，x≤0.))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．【答案】(0，1)【解析】函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0,－x2－2x，x≤0))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0,－（x＋1）2＋1，x≤0))，畫出其圖像如圖所示．又由函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，知y＝f(x)與y＝m有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，1).【例2】設(shè)點(diǎn)，，若點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是

A. B.

C. D.以上都不對(duì)【答案】【解答】解：如圖，取點(diǎn)，

則的取值范圍等價(jià)于直線的斜率的取值范圍，

因?yàn)辄c(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，

則直線的斜率滿足：或，

又，，

所以或，

即的取值范圍為．

故選A．二、數(shù)形結(jié)合思想在不等式求最值問題、求方程的根的相關(guān)問題中的應(yīng)用【例3】若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，)))則eq\f(y,x)的最大值為________．【答案】3【解析】作出約束條件確定的可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，eq\f(y,x)是可行域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，點(diǎn)A與原點(diǎn)連線的斜率最大．聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－1＝0,x＋y－4＝0)))，解得A(1，3)，所以eq\f(y,x)的最大值3.【例4】已知函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，且關(guān)于的方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】【解答】解：函數(shù)在上單調(diào)遞減，

則：

解得；

在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象，如下圖：

由圖象可知，在上，有且僅有一個(gè)解，

故在上，有且僅有一個(gè)解，

當(dāng)即時(shí)，聯(lián)立，

即，，

則，

解得或舍去，

當(dāng)時(shí)，方程可化為，符合題意；

當(dāng)即時(shí)，由圖象可知，符合條件，

綜上：的取值范圍為，

故選：．【例5】若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0，3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】將對(duì)數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問題，再利用二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解決．原方程變形為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x＞0，,－x2＋3x－m＝3－x，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x＞0，,（x－2）2＝1－m.))設(shè)曲線y1＝(x－2)2，x∈(0，3)和直線y2＝1－m，圖像如圖所示．由圖可知：①當(dāng)1－m＝0時(shí)，有唯一解，m＝1；②當(dāng)1≤1－m<4時(shí)，有唯一解，即－3<m≤0.綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＝1或－3<m≤0.三、數(shù)形結(jié)合思想在平面解析幾何中的應(yīng)用【例6】已知曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．【答案】【解答】解：

，

為恒過的直線，

則曲線圖象如下圖所示：

由圖象可知，

當(dāng)直線斜率時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，與半圓相切，

可得：解得：，

又半圓的左端點(diǎn)坐標(biāo)為與點(diǎn)連線，

其斜率為，，

故答案為

．鞏固訓(xùn)練1.函數(shù)，的最大值為，則的取值范圍為

．【答案】【解答】解：

作出分段函數(shù)的圖象如圖：

由圖可知，要使函數(shù)，的最大值為，

則的取值范圍為．

故答案為：．2．設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，且f(2)＝0，則不等式x[f(－x)－f(x)]<0的解集為________．【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】由f(－x)＝－f(x)，x[f(－x)－f(x)]<0可轉(zhuǎn)化為xf(x)>0.畫出f(x)的簡圖，如圖所示，可知xf(x)>0的解集為(－∞，－2)∪(2，＋∞)．3.已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，－1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【答案】(eq\f(1,4)，－1)【解析】定點(diǎn)Q(2，－1)在拋物線內(nèi)部，由拋物線的定義知，動(dòng)點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q和到拋物線的準(zhǔn)線距離之和最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，顯然點(diǎn)P是直線y＝－1和拋物線y2＝4x的交點(diǎn)，解得這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是(eq\f(1,4)，－1)．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))時(shí)，不等式(x－1)2<logax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】(1，2]【解析】設(shè)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝logax，要使當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))時(shí)，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需g(x)＝(x－1)2在(1，2)上的圖像在f(x)＝logax的下方即可．當(dāng)0<a<1時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖像知顯然不成立；當(dāng)a>1時(shí)，如圖，要使在(1，2)上，g(x)＝(x－1)2的圖像在f(x)＝logax的下方，只需g(2)≤f(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1＜a≤2.∴a的取值范圍是(1，2]．5.已知函數(shù)，其中，若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，則的取值范圍是

．【答案】【解答】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的大致圖象如下：

時(shí)，，

要使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，

必須，

即，

解得，

的取值范圍是．

故答案為．二、選擇題6．若不等式logax>sin2x(a>0，a≠1)對(duì)任意x∈(0，eq\f(π,4))都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(0，eq\f(π,4))B．(0，eq\f(π,4)]C．[eq\f(π,4)，1)D．(eq\f(π,4)，1)【答案】C【解析】記y1＝logax，y2＝sin2x，原不等式相當(dāng)于y1>y2，作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖所示，知當(dāng)y1＝logax過點(diǎn)A(eq\f(π,4)，1)時(shí)，a＝eq\f(π,4)，所以當(dāng)eq\f(π,4)≤a<1時(shí)，x∈(0，eq\f(π,4))都有y1>y2.7．已知y＝f(x)是最小正周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝x2，則函數(shù)y＝f(x)(x∈R)圖像與y＝|log5|x||圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．8B．9C．10D．12【答案】C【解析】因函數(shù)y＝f(x)(x∈R)與y＝|log5|x||均為偶函數(shù)，故研究它們?cè)趛右側(cè)交點(diǎn)情況即可．作函數(shù)圖像如圖所示，從圖可知，當(dāng)0<x<5時(shí)有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x＝5時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，在x>5時(shí)沒有交點(diǎn)，故在y右側(cè)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，由對(duì)稱性知，在y軸左側(cè)交點(diǎn)個(gè)數(shù)也是5.則兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10個(gè)．三、解答題8.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ax2＋2x＋1，x≥0，,－x2＋bx＋c，x<0)))是偶函數(shù)，直線y＝t與函數(shù)f(x)的圖像自左至右依次交于四個(gè)不同點(diǎn)A、B、C、D，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))，求實(shí)數(shù)t的值．【解析】由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可知f(x)＝f(－x)，當(dāng)x<0時(shí)，f(－x)＝a(－x)2＋2(－x)＋1＝ax2－2x＋1＝f(x)＝－x2＋bx＋c，故a＝－1，b＝－2，c＝1，則f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x≥0,－x2－2x＋1，x<0)))，由函數(shù)圖像可知：①當(dāng)x≥0時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＝t,－x2＋2x＋1＝y(tǒng))))，解得x＝1±eq\r(2－t)，故C點(diǎn)坐標(biāo)為(1－eq\r(2－t)，t)，②當(dāng)x<0時(shí)，eq\b\lc\{(