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文檔簡介
專題15數(shù)形結合思想專題點撥數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù),以數(shù)解形”,使復雜問題簡單化,抽象問題具體化,從形的直觀和數(shù)的嚴謹兩方面思考問題,拓寬了解題思路,是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結合.(1)數(shù)形結合思想解決的問題常有以下幾種:①構建函數(shù)模型并結合其圖像求參數(shù)的取值范圍;②構建函數(shù)模型并結合其圖像研究方程根的范圍;③構建函數(shù)模型并結合其圖像研究量與量之間的大小關系;④構建函數(shù)模型并結合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式;⑤構建立體幾何模型研究代數(shù)問題;⑥構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題;⑦構建方程模型,求根的個數(shù);⑧研究圖形的形狀、位置關系、性質等.(2)數(shù)形結合思想是解答高考數(shù)學試題的一種常用方法與技巧,特別是在解填空題、選擇題時發(fā)揮著奇特功效,這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練,以提高解題能力和速度.具體操作時,應注意以下幾點:①準確畫出函數(shù)圖像,注意函數(shù)的定義域;②用圖像法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個數(shù)是一種行之有效的方法,值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式(有時可能先作適當調整,以便于作圖),然后作出兩個函數(shù)的圖像,由圖求解.(3)在運用數(shù)形結合思想分析問題和解決問題時,需做到以下四點:①要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征;②要恰當設參,合理用參,建立關系,做好轉化;③要正確確定參數(shù)的取值范圍,以防重復和遺漏;④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”,使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化,幾何問題代數(shù)化,以便于問題求解.例題剖析一、數(shù)形結合思想在求參數(shù)、代數(shù)式的取值范圍、最值問題中的應用【例1】若方程x2-4x+3+m=0在x∈(0,3)時有唯一實根,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】利用數(shù)形結合的方法,直接觀察得出結果.原方程可化為-(x-2)2+1=m(0<x<3),設y1=-(x-2)2+1(0<x<3),y2=m,在同一坐標系中畫出它們的圖像(如圖所示).由原方程在(0,3)內有唯一解,知y1與y2的圖像只有一個公共點,可得m的取值范圍是(-3,0]∪{1}.【變式訓練1】已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x-1,x>0,,-x2-2x,x≤0.))若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點,則實數(shù)m的取值范圍為________.【答案】(0,1)【解析】函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x-1,x>0,-x2-2x,x≤0))=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x-1,x>0,-(x+1)2+1,x≤0)),畫出其圖像如圖所示.又由函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點,知y=f(x)與y=m有3個交點,則實數(shù)m的取值范圍是(0,1).【例2】設點,,若點在線段上,則的取值范圍是
A. B.
C. D.以上都不對【答案】【解答】解:如圖,取點,
則的取值范圍等價于直線的斜率的取值范圍,
因為點,,點在線段上,
則直線的斜率滿足:或,
又,,
所以或,
即的取值范圍為.
故選A.二、數(shù)形結合思想在不等式求最值問題、求方程的根的相關問題中的應用【例3】若x,y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x-1≥0,,x-y≤0,,x+y-4≤0,)))則eq\f(y,x)的最大值為________.【答案】3【解析】作出約束條件確定的可行域如圖中陰影部分所示,由斜率的意義知,eq\f(y,x)是可行域內一點與原點連線的斜率,由圖可知,點A與原點連線的斜率最大.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x-1=0,x+y-4=0))),解得A(1,3),所以eq\f(y,x)的最大值3.【例4】已知函數(shù),且在上單調遞減,且關于的方程恰好有兩個不相等的實數(shù)解,則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】【解答】解:函數(shù)在上單調遞減,
則:
解得;
在同一直角坐標系中,畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象,如下圖:
由圖象可知,在上,有且僅有一個解,
故在上,有且僅有一個解,
當即時,聯(lián)立,
即,,
則,
解得或舍去,
當時,方程可化為,符合題意;
當即時,由圖象可知,符合條件,
綜上:的取值范圍為,
故選:.【例5】若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)內有唯一解,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】將對數(shù)方程進行等價變形,轉化為一元二次方程在某個范圍內有實解的問題,再利用二次函數(shù)的圖像進行解決.原方程變形為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3-x>0,,-x2+3x-m=3-x,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3-x>0,,(x-2)2=1-m.))設曲線y1=(x-2)2,x∈(0,3)和直線y2=1-m,圖像如圖所示.由圖可知:①當1-m=0時,有唯一解,m=1;②當1≤1-m<4時,有唯一解,即-3<m≤0.綜上可知,實數(shù)m的取值范圍是m=1或-3<m≤0.三、數(shù)形結合思想在平面解析幾何中的應用【例6】已知曲線與直線有兩個交點,則實數(shù)的取值范圍是
.【答案】【解答】解:
,
為恒過的直線,
則曲線圖象如下圖所示:
由圖象可知,
當直線斜率時,曲線與直線有兩個交點,與半圓相切,
可得:解得:,
又半圓的左端點坐標為與點連線,
其斜率為,,
故答案為
.鞏固訓練1.函數(shù),的最大值為,則的取值范圍為
.【答案】【解答】解:
作出分段函數(shù)的圖象如圖:
由圖可知,要使函數(shù),的最大值為,
則的取值范圍為.
故答案為:.2.設奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調遞增函數(shù),且f(2)=0,則不等式x[f(-x)-f(x)]<0的解集為________.【答案】(-∞,-2)∪(2,+∞)【解析】由f(-x)=-f(x),x[f(-x)-f(x)]<0可轉化為xf(x)>0.畫出f(x)的簡圖,如圖所示,可知xf(x)>0的解集為(-∞,-2)∪(2,+∞).3.已知點P在拋物線y2=4x上,那么點P到點Q(2,-1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點P的坐標為________.【答案】(eq\f(1,4),-1)【解析】定點Q(2,-1)在拋物線內部,由拋物線的定義知,動點P到拋物線焦點的距離等于它到準線的距離,問題轉化為當點P到點Q和到拋物線的準線距離之和最小時,求點P的坐標,顯然點P是直線y=-1和拋物線y2=4x的交點,解得這個點的坐標是(eq\f(1,4),-1).若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,2))時,不等式(x-1)2<logax恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為________.【答案】(1,2]【解析】設geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-1))2,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))=logax,要使當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,2))時,不等式(x-1)2<logax恒成立,只需g(x)=(x-1)2在(1,2)上的圖像在f(x)=logax的下方即可.當0<a<1時,結合函數(shù)圖像知顯然不成立;當a>1時,如圖,要使在(1,2)上,g(x)=(x-1)2的圖像在f(x)=logax的下方,只需g(2)≤f(2),即(2-1)2≤loga2,loga2≥1,∴1<a≤2.∴a的取值范圍是(1,2].5.已知函數(shù),其中,若存在實數(shù),使得關于的方程有三個不同的根,則的取值范圍是
.【答案】【解答】解:當時,函數(shù)的大致圖象如下:
時,,
要使得關于的方程有三個不同的根,
必須,
即,
解得,
的取值范圍是.
故答案為.二、選擇題6.若不等式logax>sin2x(a>0,a≠1)對任意x∈(0,eq\f(π,4))都成立,則實數(shù)a的取值范圍為()A.(0,eq\f(π,4))B.(0,eq\f(π,4)]C.[eq\f(π,4),1)D.(eq\f(π,4),1)【答案】C【解析】記y1=logax,y2=sin2x,原不等式相當于y1>y2,作出兩個函數(shù)的圖像,如圖所示,知當y1=logax過點A(eq\f(π,4),1)時,a=eq\f(π,4),所以當eq\f(π,4)≤a<1時,x∈(0,eq\f(π,4))都有y1>y2.7.已知y=f(x)是最小正周期為2的函數(shù),當x∈[-1,1]時,f(x)=x2,則函數(shù)y=f(x)(x∈R)圖像與y=|log5|x||圖像的交點的個數(shù)是()A.8B.9C.10D.12【答案】C【解析】因函數(shù)y=f(x)(x∈R)與y=|log5|x||均為偶函數(shù),故研究它們在y右側交點情況即可.作函數(shù)圖像如圖所示,從圖可知,當0<x<5時有四個交點,當x=5時有一個交點,在x>5時沒有交點,故在y右側交點個數(shù)為5,由對稱性知,在y軸左側交點個數(shù)也是5.則兩個函數(shù)圖像交點個數(shù)為10個.三、解答題8.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ax2+2x+1,x≥0,,-x2+bx+c,x<0)))是偶函數(shù),直線y=t與函數(shù)f(x)的圖像自左至右依次交于四個不同點A、B、C、D,若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC)),求實數(shù)t的值.【解析】由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可知f(x)=f(-x),當x<0時,f(-x)=a(-x)2+2(-x)+1=ax2-2x+1=f(x)=-x2+bx+c,故a=-1,b=-2,c=1,則f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(-x2+2x+1,x≥0,-x2-2x+1,x<0))),由函數(shù)圖像可知:①當x≥0時,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y=t,-x2+2x+1=y(tǒng)))),解得x=1±eq\r(2-t),故C點坐標為(1-eq\r(2-t),t),②當x<0時,eq\b\lc\{(
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