專(zhuān)題72等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（真題測(cè)試）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解真題測(cè)試（新教材新高考）

專(zhuān)題7.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（真題測(cè)試）一、單選題1．（2022·全國(guó)·高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D2．（2021·北京·高考真題）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為(單位:cm),且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．160【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，求得，得到，結(jié)合黨旗長(zhǎng)與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)?，，可得，可得，又由長(zhǎng)與寬之比都相等，且，可得，所以.故選：C.3．（2020·全國(guó)·高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【解析】【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.故選：C4．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)的和為，若，，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分析數(shù)列的單調(diào)性，計(jì)算、，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，則，故數(shù)列為遞增數(shù)列，因?yàn)?，，且?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，滿足當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：C.5.（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過(guò)的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.故選：C.6．（2021·北京·高考真題）已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】【分析】使數(shù)列首項(xiàng)、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式求得可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值．【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則，，所以.對(duì)于，，取數(shù)列各項(xiàng)為(，,則，所以n的最大值為11．故選：C．7．（2022·海南?？凇ざ＃┰O(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)可得.【詳解】因?yàn)?，又，所以，所以，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，又，所以，所以．故選：C.8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）等差數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（

）A．若有最大值，則數(shù)列的公差小于0B．若，則使的最大的n為18C．若，，則中最大D．若，，則數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)【答案】B【解析】【分析】由有最大值可判斷A；由，可得，，利用可判斷BC；，得，，可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，∵有最大值，∴等差數(shù)列一定有負(fù)數(shù)項(xiàng)，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，故公差小于0，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，∵，且，∴，，∴，，則使的最大的n為17，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，∵，，∴，，故中最大，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，∵，，∴，，故數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)，故選項(xiàng)D正確.故選：B.二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，且，則（

）A．d＜0 B．a(chǎn)10＝0 C．S18＜0 D．S8＜S9【答案】BC【解析】【分析】由，得，判斷出A,B選項(xiàng)，再結(jié)合，判斷C選項(xiàng)，再根據(jù)等式性質(zhì)判斷D選項(xiàng)【詳解】，，所以B正確又,,,所以A錯(cuò)誤，故C正確,故D錯(cuò)誤故選：BC10．（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）定義為數(shù)列的“優(yōu)值”．已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，前n項(xiàng)和為，下列關(guān)于數(shù)列的描述正確的有（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C．D．，，成等差數(shù)列【答案】ABC【解析】【分析】由新定義可得，利用該遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．【詳解】由已知可得，所以，所以時(shí)，，得時(shí)，，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由知，滿足．所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，故A正確，B正確，所以，所以故，故C正確．，，，，，不是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤，故選：ABC．11．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)等差數(shù)列和，其公差分別為和，其前項(xiàng)和分別為和，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，則 B．若為等差數(shù)列，則C．若為等差數(shù)列，則 D．若，則也為等差數(shù)列，且公差為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，利用化簡(jiǎn)可得答案；對(duì)于B，利用化簡(jiǎn)可得答案；對(duì)于C，利用化簡(jiǎn)可得答案；對(duì)于D，根據(jù)可得答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即，所以，化簡(jiǎn)得，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以或，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以也為等差?shù)列，且公差為，故D正確.故選：ABD12．（2022·福建南平·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類(lèi)推；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.則（

）A． B． C．D．【答案】ABD【解析】【分析】由圖觀察可知第圈的個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的這項(xiàng)的和為0，則，同時(shí)第圈的最后一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，設(shè)在第圈，則圈共有個(gè)數(shù)，可判斷前圈共有個(gè)數(shù)，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，向前推導(dǎo)，則可判斷A，B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可判斷C選項(xiàng)；借助與圖可知，即項(xiàng)之和，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，…，，即可求解判斷D選項(xiàng).【詳解】由題，第一圈從點(diǎn)到點(diǎn)共8個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知；第二圈從點(diǎn)到點(diǎn)共16個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知，即，以此類(lèi)推，可得第圈的個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的這項(xiàng)的和為0，即，設(shè)在第圈，則，由此可知前圈共有個(gè)數(shù)，故，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故A正確；，故B正確；所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故C錯(cuò)誤；，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，…，，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題13．（2019·全國(guó)·高考真題（理））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________.【答案】4.【解析】【分析】根據(jù)已知求出和的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得結(jié)果.【詳解】因，所以，即，所以．14．（2019·江蘇·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是_____.【答案】16.【解析】【分析】由題意首先求得首項(xiàng)和公差，然后求解前8項(xiàng)和即可.【詳解】由題意可得：，解得：，則.15．（2021·福建省華安縣第一中學(xué)高三期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（），則的值為_(kāi)_______，的值為_(kāi)_______.【答案】

99

4950【解析】【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】將代入得，由①得②，②①得，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都是以2為公差的等差數(shù)列，，

，故答案為：99;

4950.16．（2020·海南·高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】首先判斷出數(shù)列與項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，故答案為：.四、解答題17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】利用定義法證明出數(shù)列是等差數(shù)列.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因，顯然，否則，由此可得，矛盾，兩邊同時(shí)除以，得，而=1，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.18．（2019·北京·高考真題（文））設(shè){}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記{}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)首先求得的表達(dá)式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；當(dāng)或者時(shí)，取到最小值.19．（2016·全國(guó)·高考真題（文））等差數(shù)列{}中，.（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[2.6]=2.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件求，，從而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求數(shù)列的前10項(xiàng)和.試題解析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意有.解得.所以的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.當(dāng)n=1,2,3時(shí)，；當(dāng)n=4,5時(shí)，；當(dāng)n=6,7,8時(shí)，；當(dāng)n=9,10時(shí)，.所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.20．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；(2)∴21．（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)在曲線上（）且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，確定的值使得數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】(1)(2)1【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上（），得到，即，利用等差數(shù)列的定義求解；（2）由（1）化簡(jiǎn)得到，利用等差數(shù)列的定義得到，再利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解.(1)解：因?yàn)?，且點(diǎn)在曲線上（），所以，即，所以是以1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，所以，即；(2)由（1）知：，即為，整理得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，則，即，當(dāng)時(shí)，，若是等差數(shù)列，則適合上式，令，得，解得.22．（2021·全國(guó)·高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項(xiàng)公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：顯然為偶數(shù)，則，所以，即，且，所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，于是．[方法二]：奇偶分類(lèi)討論由題意知，所以．由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項(xiàng)起，若為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，若為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數(shù)列滿足．所以，，則．所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）[方法一]：奇偶分類(lèi)討