立體幾何中的折疊和探索性問題-高考數(shù)學(xué)題型歸納與方法總結(jié)（原卷版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展27立體幾何中的折疊和探索性問題（精講+精練）

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

1.折疊問題

解決折疊問題最重要的就是對比折疊前后的圖形，找到哪些線、面的位置關(guān)系和數(shù)學(xué)量沒有發(fā)生變化，哪

些發(fā)生了變化，在證明和求解的過程中恰當(dāng)?shù)丶右岳谩?/p>

一般步驟：

①確定折疊前后的各量之間的關(guān)系，搞清折疊前后的變化量和不變量；

②在折疊后的圖形中確定線和面的位置關(guān)系，明確需要用到的線面；

③利用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行證明。

2.探索性問題

探究性問題常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立，立體幾何中的探究性問題既能夠考查學(xué)生

的空間想象能力，又可以考查學(xué)生的意志力及探究的能力。對于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析

法、特殊化法和向量法來解決.一般此類立體幾何問題描述的是動(dòng)態(tài)的過程，結(jié)果具有不唯一性或者隱藏

性，往往需要耐心嘗試及等價(jià)轉(zhuǎn)化，因此，對于常見的探究方法的總結(jié)和探究能力的鍛煉是必不可少的。

二、題型精講精練

【典例1］如圖所示的五邊形SB/。。中4BCD是矩形，3c=2/3,S3=SC,沿3C折疊成四棱錐S-43CD,

（1）在四棱錐S-/3CD中，可以滿足條件①5/=而；②cosNSBM=旦;③sin/SAW="，請從中任選

53

兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，證明：側(cè)面SBC,底面/BCD；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)

分.）

（2）在（1）的條件下求直線SC與平面&4。所成角的正弦值.

【分析】（1）選條件①②，利用勾股定理得到進(jìn)而得到皿，底面N3C。，利用面面垂直的判定

定理即可得證；

選條件①③，利用正弦定理得到SMLK4,進(jìn)而得到SML底面/BCD,利用面面垂直的判定定理即可得證;

選條件②③，利用余弦定理和勾股定理得到進(jìn)而得到底面/BCD,利用面面垂直的判定定

理即可得證；

（2）由（1）可得Ml/，平面/3C。，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】（1）證明：（1）方案一：選條件①②.

因?yàn)樵谒睦忮FS-/3CD中SB=SC,點(diǎn)M是3C的中點(diǎn)，SM=2,所以SNL3C,

又因?yàn)樵赗SS5M中，cosZSBM=—f所以跳f=l，

5

又因?yàn)?8c。是矩形，BC=2AB,所以8Af=/B=l,AM=也，

由&4=而2河=0,加=2可得弘2=AM2+SM2,所以SM_L4W,

則由MW_LBC,SMLAM,AM[yBC=M,/M,8Cu平面488,所以SN_L平面48CD,又因?yàn)?/p>

側(cè)面SBC,所以側(cè)面SBC1底面ABCD；

方案二：選條件①③.

因?yàn)樵谒睦忮FS-NBCD中S3=SC,點(diǎn)M是3c的中點(diǎn)，SM=2,所以

又因?yàn)樵凇鱏ZM中，SA=y/6,sinZSAM=—,SM=2,

3

?.,V6_2

所以由正弦定理得：即sinZSMA娓,所以s,mASMA=1,BPASMA=-,^\^SMLMA,

sinASMAsinZSAM--2

3

則由SM_LBC,SMLAM,AM[\BC=M,/M,8Cu平面/BCD,所以SM_L平面48cD,又因?yàn)槊髐

側(cè)面SBC,所以側(cè)面SBC1底面ABCD；

方案三：選條件②③.

因?yàn)樵谒睦忮FS-/BCD中S3=SC,點(diǎn)M是3C的中點(diǎn)，SM=2,所以SA/L3C,

又因?yàn)樵赗LSBM■中，cosZSBM=—,所以倒f=l,

5

又因?yàn)?8cZ）是矩形，BC=2AB,所以=43=1,41/=0，

又因?yàn)樵凇鱏ZM中，sinZSAM^—,則cosNS4M=且，

33

設(shè)S4=X,SM2=SA2+AM2-ISA-AMCOSZSAM,

所以有3Y-2&X-6=0,解得玉=&或（舍），所以“=而，

由&1=n,團(tuán)1/=板,9=2可得&4：!=AM2+SM2,所以SM1AM,

則由Ml/_L8C,SMVAM,AM^\BC=M,AM,BC^^ABCD,所以SM_L平面/BCD,又因?yàn)槊髐

側(cè)面SBC,所以側(cè)面SBC1底面ABCD；

（2）在（1）條件下知SW_L平面48cD,且〃。_L/M,

故如圖所示：以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為x軸，以M）所在直線為J軸，以順?biāo)谥本€為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則S（0,0,2）,/（亞,0,0）,￡＞（0,72,0）,C

\7

貝!|而二（0,后2）,53=（72,0-2）,

n-SD=V2y-2z=0-/i~\

設(shè)平面SAD的法向量為〃=（x,y,z）,貝小_L,貝！]"="倉1,

n-SA=42x-2z=0''

元=[-（,孚-2

22

n-SC2

設(shè)直線SC與平面S4）所成角為0,貝（JsinO='4

M-\sc5

2

直線SC與平面SAD所成角的正弦值為-.

【典例2］如圖，在四棱錐尸-/BCD中，平面尸/。_1平面NBC。，ABHDC,PA=PD,ABAD=45°,

AD=2y/2,48=4,DC=1,尸3=26

p

⑴求四棱錐P-43。。的體積；

(2)在線段網(wǎng)上是否存在點(diǎn)“，使得CM//平面我。？若存在，求槳的值；若不存在，請說明理由.

BP

【分析】(1)先證明PG，平面ABCD,則PG為四棱錐P-A8CD的高，再應(yīng)用體積公式VP-ABCD=^PG-SABCDx

(2)先過點(diǎn)C作CN//AD交AB于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作2W//4P交PB于點(diǎn)M,再證平面P4D//平面CMN,最

后得出比值成立即可.

【詳解】(1)取AD的中點(diǎn)G,連接PG,GB,如圖所示.

在人尸/。中，PA=PD,G是AD的中點(diǎn)，所以尸G_L4D.

又平面P4D_L平面ABCD,平面尸4Dc平面48CD=4D,尸Gu平面PAD,

所以尸G,平面ABCD,即PG為四棱錐尸-4BC。的高.

又G3u平面ABCD,所以PG_LGB.

在A/GB中，由余弦定理得

2/O

GB2=AG2+AB2-2AG-AB-cosZGAB=^y+42-2X42X4X^-=1Q,故G8=VHL

在△PGB中，PB=2y/3,GB=屈,PG±GB,所以尸C=也.

me11(1+4)X25A/2

所以/ABCD=~PG-SABCD=一乂6R公——'—='?

(2)過點(diǎn)C作CN//4D交AB于點(diǎn)N,則2二，

NB3

PM1

過點(diǎn)N作M///4尸交PB于點(diǎn)M,連接CM,貝（1大=彳.

MB3

又因?yàn)镃N//N。，/Ou平面PAD,CN<Z平面PAD,所以CN//平面PAD.

因?yàn)镸NI/PA,P/u平面PAD,ACVtZ平面PAD,所以跖V〃平面PAD.

又CNcMN=N,CN,MNu平面CNM,所以平面R4D//平面CMN.

又CMu平面CMN,所以CM//平面PAD.

所以在PB上存在點(diǎn)M,使得CW//平面PAD,且槳=：.

BP4

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

1.折疊問題

一、解答題

1.（2023?四川瀘州?瀘縣五中?？既＃┤鐖D1,在梯形NBCO中，ABHCD,且ZB=2CD=4,AABC是

等腰直角三角形，其中8C為斜邊.若把A/C。沿/C邊折疊到△NCP的位置，使平面平面48C,如

圖2.

（2）若E為棱8C的中點(diǎn)，求點(diǎn)8到平面R4E的距離.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，四邊形M1BC中，08c是等腰直角三角形，N/C8=9（F,AAMC是

邊長為2的正三角形，以NC為折痕，將△3C向一方折疊到△D/C的位置，使。點(diǎn)在平面N8C內(nèi)的射

影在48上，再將AM4c向另一方折疊到AE4c的位置，使平面ENCL平面4BC,形成幾何體。4BCE.

（1）若點(diǎn)尸為3C的中點(diǎn)，求證：。尸〃平面E4C；

（2）求平面/CD與平面8CE所成角的正弦值.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖是矩形48co和以邊N2為直徑的半圓組成的平面圖形，將此圖形沿N2

折疊，使平面/BCD垂直于半圓所在的平面，若點(diǎn)E是折后圖形中半圓O上異于A,B的點(diǎn)

7T

⑵若AB=2AD=2,且異面直線4E和。。所成的角為:，求三棱錐D-/CE的體積.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖1,在邊長為4的正方形48CD中，點(diǎn)尸、0分別是邊/2、3c的中點(diǎn),

將△4PD、ACDQ分別沿DP、折疊，使/、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)連碗；PQ,得到圖2所示幾何體.

(1)求證：PMLDQ.

FM

⑵在線段皿上是否存在一點(diǎn)R使.//平面物，如果存在，求正的值，如果不存在，說明理由.

5.(2023?河南濮陽?濮陽一高?？寄M預(yù)測)如圖①，在平面四邊形48co中，AB=AD=2,BC=CD=6，

/BAD=60。.將△BCD沿著8。折疊，使得點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C'的位置，且二面角/-如-。'為直二面角，如圖

②.已知尸,G,尸分別是"C',4D,43的中點(diǎn)，￡是棱48上的點(diǎn)，且C'E與平面/皿所成角的正切值為友.

(1)證明：平面尸G尸〃平面C'D8；

(2)求四棱錐尸-G尸ED的體積.

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖1,在直角梯形EF8C中，BF\\CE,EC1EF,EF=1,FB=2EC=3.

現(xiàn)沿平行于E尸的折疊，使得￡D_LDC且5c工平面如圖2所示.

(1)求的長度；

(2)求二面角下-協(xié)-C的大小.

7.(2023?新疆阿克蘇??？家荒?如圖甲所示的正方形44'44中，AAt=U,4B=Ag=3,3C=昂G=4,

對角線44：分別交84，CG于點(diǎn)P,Q,將正方形沿8月，CG折疊使得/4與重合，構(gòu)成如圖

乙所示的三棱柱N3C-4月￡?

⑴若點(diǎn)M在棱4C上，且蜀/=亍，證明：9〃平面4PQ；

(2)求平面NP。與平面4尸。夾角的余弦值.

8.(2023春?四川南充?高三閩中中學(xué)校考階段練習(xí))如圖甲所示的正方形44/4中，

N4=12，AB=&B、=3,BC=BG=4,對角線NN；分別交3綜CC】于點(diǎn)尸,。，將正方形9/4沿班|<0折疊

使得AA,與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱ABC-4AG.

甲乙

⑴若點(diǎn)M在棱4C上，且/〃=亍，證明：8M〃平面/P。；

(2)求二面角A-PQ-A的余弦值.

9.(2023?上海奉賢?校考模擬預(yù)測)如圖，將邊長為2的正方形/5CD沿對角線3。折疊，使得平面/8。工

平面CAD,/E_L平面48。，且/￡=血.

B

(1)求證：直線EC與平面沒有公共點(diǎn);

⑵求點(diǎn)C到平面BED的距離.

10.(2023?廣東深圳??？级?如圖1所示，等邊。的邊長為2a,CD是48邊上的高，E,尸分別是

AC,8C邊的中點(diǎn).現(xiàn)將沿折疊，如圖2所示.

(1)證明：CDYEF；

(2)折疊后若43=a,求二面角/-AD-E的余弦值.

11.(2023秋?四川成都?高三?？茧A段練習(xí))在圖1中，為等腰直角三角形，￡)5=90°,AB=2日,

A/CD為等邊三角形，。為/C邊的中點(diǎn)，￡在8C邊上，且EC=2BE,沿/C將ANCA進(jìn)行折疊，使點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)廠的位置，如圖2,連接尸。，F(xiàn)B,FE,使得￡8=4.

(1)證明：平面48c.

(2)求二面角E-FA-C的余弦值.

12.(2023秋?四川成都?高三成都七中校考開學(xué)考試)已知矩形/8CO中，48=2,BC=2^,M,N分別

為AD,2C中點(diǎn)，。為對角線/C,AD交點(diǎn)，如圖1所示.現(xiàn)將和AOCD剪去，并將剩下的部分按如

下方式折疊：沿將△/ODA5OC折疊，并使。/與。8重合，OC與。。重合，連接MN,得到由平面

OAM,OBN,ODM,OCN圍成的無蓋幾何體，如圖2所示.

(1)求證：MV_L平面NOC；

(2)求此多面體體積%的最大值.

13.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖(1)所示，在“3C中，48=4后，BC=26,ZS=60°,DE垂直

平分現(xiàn)將V/OE沿DE折起，使得二面角8大小為60。，得到如圖(2)所示的空間幾何體(折

疊后點(diǎn)A記作點(diǎn)P)

圖(2)

⑴求點(diǎn)。到面PEC的距離;

(2)求四棱錐P-BCED外接球的體積;

(3)點(diǎn)。為一動(dòng)點(diǎn)，滿足而=2而(0<2<1),當(dāng)直線8。與平面PEC所成角最大時(shí)，試確定點(diǎn)。的位置.

14.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖1所示，在邊長為12的正方形中，點(diǎn)5C在線段4r上，且

AB=3,BC=4,^BBJ!AAX,分別交N/；、于點(diǎn)片、P,作CCJ/44,分別交/國；、4v于點(diǎn)C。Q,

將該正方形沿3鳥,CG折疊，使得⑷4與44重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱/BC—4耳G.

（I）在三棱柱/BC—4gG中，求證：A31平面8。。耳；

（2）試判斷直線AQ是否與平面4G尸平行，并說明理由.

2.探索性問題

一、解答題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知正四棱臺(tái)/BCD-48cl。的體積為電1,其中/8=24耳=4.

3

⑴求側(cè)棱與底面/BCD所成的角；

（2）在線段CG上是否存在一點(diǎn)尸，使得族，4。？若存在請確定點(diǎn)尸的位置；若不存在，請說明理由.

2.（2023春?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在五棱錐P-中，BE!/CD,

AB=BE=EA=PD+DE=PC+CB,ZDEB=ZCBE=60°.

p

(1)證明：BE1AP-,

PDPD

⑵若平面尸C。，平面45CQE,平面尸CS,平面尸￡5,探索：-刀是否為定值？若為定值，請求出F的值;

AEAE

若不是定值，請說明理由.

3.(2023秋?云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習(xí))如圖，在五面體4BCD所中，四邊形A8CD是邊長為

4的正方形，EFHAD,平面平面48CD,且8C=2￡尸，AE=AF,點(diǎn)G是昉的中點(diǎn).

⑴證明：/6_1平面/88；

MC

(2)線段NC上是否存在一點(diǎn)使MG//平面若存在，求出=7的值；若不存在，說明理由.

4.(2023秋?浙江?高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知四棱錐中，四邊形N3CD為等腰梯

形，ABHDC,AB=4,AD=DC-2,BE=4,V/DE1為等邊三角形.

(1)求證：平面ADEJ_平面48cD；

(2)是否存在一點(diǎn)歹，滿足礪=4旗(0<4<1),使直線4尸與平面所成的角為60。？若存在，求出2的

值；若不存在，請說明理由.

5.(2023秋?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？奸_學(xué)考試)如圖，在四棱錐P-NBCD中，底面48。是菱形,

ZABC=60°,三角形尸為正三角形，且側(cè)面底面/3CD.瓦M(jìn)分別為線段“民PD的中點(diǎn).

p

M

/：￡匕-

/I/、

B

(1)求證：尸8//平面/CW；

(2)在棱8上是否存在點(diǎn)G,使得平面GZM,平面/BCD?若存在，請求出巖的值；若不存在，請說明

理由.

6.(2023秋?江西吉安?高三吉安三中?？奸_學(xué)考試)如圖，在四棱錐尸-4BCD中，BD±PC,ZABC=60°,

四邊形48。是菱形，PB=6AB=6PA,E是棱尸。上的動(dòng)點(diǎn)，且麗=4麗.

(1)證明:P4_L平面/BCD.

(2)是否存在實(shí)數(shù)4,使得平面尸N3與平面/CE所成銳二面角的余弦值是嚕？若存在，求出2的值；若不

存在，請說明理由.

7.(2023春?河南信陽?高三信陽高中?？茧A段練習(xí))如圖，在等腰梯形/BCD中,

AB//CD,AD=DC=1,ZBCD=—,四邊形/CEE為矩形，且CFL平面48cD,CF=1.

3

(1)求證：平面8c/;

(2)在線段"上是否存在點(diǎn)“，使得平面M45與平面尸C8所成銳二面角的平面角為。，且滿足cos6=，.

若不存在，請說明理由；若存在，求出的長度.

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐48c中，平面平面NBC,APBC為等邊三角形,

D,￡分別為PC,P5的中點(diǎn)，BDLPA,BC=2,AC=\.

⑴求證：ZC_L平面P8C；

（2）在線段ZC上是否存在點(diǎn)尸，使得平面DE廠與平面N8C的夾角為g,若存在，求出C