2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算（教師用書(shū)）教案 新人教A版選修2-2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算（教師用書(shū)）教案新人教A版選修2-2授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間課程基本信息1.課程名稱(chēng)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高中二年級(jí)

3.授課時(shí)間：第3章第2節(jié)，第2課時(shí)

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：45分鐘

教學(xué)內(nèi)容：

1.理解復(fù)數(shù)的乘法法則，掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算。

2.理解復(fù)數(shù)的除法法則，掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算。

3.能夠運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘除法則解決實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)過(guò)程：

1.導(dǎo)入（5分鐘）：

a.復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示。

b.提問(wèn)：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，那么復(fù)數(shù)能否進(jìn)行乘除運(yùn)算呢？

2.新課講解（15分鐘）：

a.講解復(fù)數(shù)的乘法法則，通過(guò)示例演示。

b.講解復(fù)數(shù)的除法法則，通過(guò)示例演示。

3.例題講解（10分鐘）：

a.指定幾道例題，讓學(xué)生在課堂上獨(dú)立完成。

b.講解解題過(guò)程，強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn)。

4.練習(xí)鞏固（10分鐘）：

a.讓學(xué)生完成教材上的練習(xí)題。

b.老師對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)批改，及時(shí)反饋。

5.課堂小結(jié)（5分鐘）：

a.回顧本節(jié)課所學(xué)的復(fù)數(shù)乘除法則。

b.強(qiáng)調(diào)掌握復(fù)數(shù)乘除法則的重要性。

6.課后作業(yè)（布置作業(yè)）：

a.完成教材上的課后習(xí)題。

b.預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容。

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能：掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算。

2.過(guò)程與方法：通過(guò)示例和練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用復(fù)數(shù)乘除法則解決問(wèn)題的能力。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.數(shù)學(xué)抽象：使學(xué)生能夠理解復(fù)數(shù)乘除法則的內(nèi)涵，提高數(shù)學(xué)抽象思維能力。

2.邏輯推理：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理，解決復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算問(wèn)題，培養(yǎng)邏輯推理能力。

3.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生學(xué)會(huì)建立復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的數(shù)學(xué)模型，提高數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：培養(yǎng)學(xué)生熟練掌握復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算速度和準(zhǔn)確性。

5.數(shù)據(jù)分析：讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能夠分析數(shù)據(jù)，運(yùn)用復(fù)數(shù)乘除法則進(jìn)行求解。

6.數(shù)學(xué)素養(yǎng)：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致、勇于探索的數(shù)學(xué)精神，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.復(fù)數(shù)乘法法則的理解與應(yīng)用。

2.復(fù)數(shù)除法法則的理解與應(yīng)用。

難點(diǎn)：

1.復(fù)數(shù)乘法中虛數(shù)單位i的冪的運(yùn)算。

2.復(fù)數(shù)除法中分母實(shí)數(shù)化的方法。

解決辦法及突破策略：

1.通過(guò)具體例題和圖示，幫助學(xué)生形象理解復(fù)數(shù)乘法法則，特別是虛數(shù)單位i的冪的運(yùn)算規(guī)律。

-使用幾何圖形輔助理解，如用復(fù)平面上的向量旋轉(zhuǎn)解釋i的冪運(yùn)算。

2.對(duì)于復(fù)數(shù)除法，采用“分子分母同乘共軛復(fù)數(shù)”的方法，將復(fù)數(shù)除法轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)乘法，并通過(guò)步驟分解法進(jìn)行詳細(xì)講解。

-通過(guò)步驟分解法，將除法過(guò)程拆解成多個(gè)簡(jiǎn)單步驟，降低學(xué)生理解難度。

3.設(shè)計(jì)多樣化練習(xí)題，包括基礎(chǔ)題、提高題和應(yīng)用題，讓學(xué)生在不同的難度層次上反復(fù)練習(xí)，鞏固知識(shí)點(diǎn)。

-對(duì)于難點(diǎn)問(wèn)題，提供解題技巧和策略，如記憶口訣或簡(jiǎn)化公式。

4.組織小組討論，鼓勵(lì)學(xué)生互相交流解題思路，共同解決難點(diǎn)問(wèn)題。

-老師巡回指導(dǎo)，針對(duì)學(xué)生的疑惑進(jìn)行個(gè)性化解答和指導(dǎo)。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：

-確保每位學(xué)生都有《高中數(shù)學(xué)選修2-2》教材，以便跟隨課堂進(jìn)度進(jìn)行學(xué)習(xí)和筆記。

-提供與本節(jié)課相關(guān)的教材章節(jié)，包括復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的理論知識(shí)、例題、練習(xí)題和課后作業(yè)。

2.輔助材料：

-準(zhǔn)備復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘除運(yùn)算的PPT課件，包括知識(shí)點(diǎn)總結(jié)、例題解析和步驟演示。

-制作復(fù)數(shù)在復(fù)平面上表示的動(dòng)態(tài)圖表，幫助學(xué)生直觀理解復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算過(guò)程。

-準(zhǔn)備相關(guān)數(shù)學(xué)家的簡(jiǎn)介和復(fù)數(shù)歷史背景的簡(jiǎn)短視頻，以增加學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)的文化了解。

-收集一些與復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，如電路分析、流體力學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)例，增強(qiáng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力。

3.實(shí)驗(yàn)器材：

-準(zhǔn)備計(jì)算器，供學(xué)生在練習(xí)時(shí)使用，特別是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)。

-如果條件允許，可以準(zhǔn)備一些復(fù)平面模型或教具，幫助學(xué)生通過(guò)實(shí)物操作來(lái)理解復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算。

4.教室布置：

-將教室座位按照小組形式排列，便于學(xué)生進(jìn)行小組討論和合作學(xué)習(xí)。

-在教室前方設(shè)置多媒體教學(xué)設(shè)備，確保所有學(xué)生都能清晰觀看課件和視頻資源。

-在教室的一角設(shè)置實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)，供學(xué)生在需要時(shí)進(jìn)行實(shí)際操作和探索。

-在教室墻壁或黑板上張貼復(fù)數(shù)乘除法則的總結(jié)海報(bào)，方便學(xué)生隨時(shí)查閱。

-確保教室光線充足，通風(fēng)良好，為學(xué)生提供一個(gè)舒適的學(xué)習(xí)環(huán)境。

5.其他資源：

-準(zhǔn)備一些額外的學(xué)習(xí)資料，如復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)指南、習(xí)題集等，以供學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)。

-建立在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，提供本節(jié)課的教學(xué)視頻、課件和習(xí)題，方便學(xué)生課后復(fù)習(xí)和自主學(xué)習(xí)。

-準(zhǔn)備學(xué)生評(píng)價(jià)表，用于收集學(xué)生對(duì)本節(jié)課教學(xué)效果的反饋，以便教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)方法和策略。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

-通過(guò)復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的定義和代數(shù)表示，引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)過(guò)的復(fù)數(shù)加減運(yùn)算，提出問(wèn)題：“我們已經(jīng)知道了兩個(gè)復(fù)數(shù)如何相加和相減，那么它們能否相乘和相除呢？”從而引出本節(jié)課的主題——復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算。

2.新課講授（用時(shí)15分鐘）

-第一條：復(fù)數(shù)乘法法則。講解復(fù)數(shù)乘法的代數(shù)表達(dá)，通過(guò)具體例題（如(3+4i)(2-3i)）展示乘法運(yùn)算步驟，強(qiáng)調(diào)虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算規(guī)則，如i^2=-1。

-第二條：復(fù)數(shù)除法法則。介紹復(fù)數(shù)除法的基本原則，即“分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)”，通過(guò)示例（如(3+4i)/(2-3i)）演示如何將除法轉(zhuǎn)化為乘法，并詳細(xì)解釋每一步的計(jì)算。

-第三條：解決難點(diǎn)問(wèn)題。針對(duì)虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算和分母實(shí)數(shù)化的難點(diǎn)，提供具體例題和簡(jiǎn)化方法，如記憶i的冪運(yùn)算的周期性，以及快速找到共軛復(fù)數(shù)的方法。

3.實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

-第一條：學(xué)生獨(dú)立完成教材上的練習(xí)題，鞏固復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的基本步驟。

-第二條：通過(guò)復(fù)平面教具，讓學(xué)生直觀感受復(fù)數(shù)乘法導(dǎo)致的向量旋轉(zhuǎn)和縮放效果。

-第三條：選取一道應(yīng)用題，如電磁學(xué)中的復(fù)數(shù)計(jì)算，讓學(xué)生嘗試應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

4.學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

-第一方面：每組選取一道較難的復(fù)數(shù)乘除題目進(jìn)行討論，分享解題思路和計(jì)算技巧。

-例如，討論題目：(1+i)^4/(2-i)。

-第二方面：討論復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，如電子技術(shù)中的復(fù)數(shù)阻抗計(jì)算。

-舉例，如何使用復(fù)數(shù)乘法計(jì)算兩個(gè)阻抗串聯(lián)后的總阻抗。

-第三方面：探討復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的聯(lián)系，如代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等。

-例如，討論復(fù)數(shù)乘法與旋轉(zhuǎn)矩陣的關(guān)系。

5.總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

-回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的復(fù)數(shù)乘除法則，強(qiáng)調(diào)掌握乘除法則的重要性，以及它們?cè)诮鉀Q復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用中的價(jià)值。

-總結(jié)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的難點(diǎn)和解決策略，提醒學(xué)生注意虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的使用。

-鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)練習(xí)，并通過(guò)實(shí)際應(yīng)用加深對(duì)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的理解。

（總用時(shí)45分鐘）拓展與延伸1.拓展閱讀材料：

-《復(fù)數(shù)及其應(yīng)用》：介紹復(fù)數(shù)的起源、發(fā)展以及在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域的應(yīng)用。

-《復(fù)變函數(shù)》：深入探討復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的幾何意義，以及復(fù)變函數(shù)的基本概念和性質(zhì)。

-《數(shù)學(xué)史上的復(fù)數(shù)》：講述復(fù)數(shù)概念的提出過(guò)程，以及數(shù)學(xué)家們?cè)趶?fù)數(shù)領(lǐng)域的重要貢獻(xiàn)。

-《復(fù)數(shù)與電子技術(shù)》：介紹復(fù)數(shù)在電子技術(shù)中的應(yīng)用，如阻抗計(jì)算、濾波器設(shè)計(jì)等。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-研究復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算在電路分析中的應(yīng)用，如計(jì)算交流電路中的電壓和電流。

-探索復(fù)數(shù)在信號(hào)處理、量子力學(xué)、流體力學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用案例。

-學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，了解復(fù)數(shù)在解析幾何和微分方程中的作用。

-嘗試解決一些涉及復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的競(jìng)賽題目，提高解題能力。

-閱讀數(shù)學(xué)家歐拉、高斯等人的傳記，了解他們?cè)趶?fù)數(shù)領(lǐng)域的研究成果和貢獻(xiàn)。

鼓勵(lì)學(xué)生在課后選擇自己感興趣的拓展方向，通過(guò)閱讀、研究和實(shí)踐，深化對(duì)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算及其應(yīng)用的理解，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問(wèn)題的能力。同時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)小組討論、撰寫(xiě)研究報(bào)告或制作展示海報(bào)的形式，分享自己的學(xué)習(xí)成果和心得。課堂1.課堂評(píng)價(jià)：

-通過(guò)課堂提問(wèn)，了解學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)乘除法則的理解程度，檢查學(xué)生是否能夠正確運(yùn)用相關(guān)概念和法則解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。

-觀察學(xué)生在課堂上的反應(yīng)，注意是否對(duì)虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用存在困惑，及時(shí)進(jìn)行解答和澄清。

-采用小組討論的形式，評(píng)估學(xué)生在團(tuán)隊(duì)合作中表現(xiàn)出的溝通能力和問(wèn)題解決能力。

-設(shè)計(jì)課堂小測(cè)驗(yàn)，測(cè)試學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的掌握程度，包括基礎(chǔ)知識(shí)和應(yīng)用題。

-利用互動(dòng)教學(xué)工具，如電子白板或教學(xué)軟件，實(shí)時(shí)收集學(xué)生的反饋，調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和方法。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)：

-對(duì)學(xué)生的課堂練習(xí)和課后作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改，關(guān)注學(xué)生的錯(cuò)誤類(lèi)型和頻次，分析錯(cuò)誤原因，提供針對(duì)性的指導(dǎo)。

-在作業(yè)中標(biāo)注出學(xué)生的亮點(diǎn)和進(jìn)步，給予積極的評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心。

-定期對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，指出普遍存在的問(wèn)題，講解解題方法和技巧，幫助學(xué)生提高。

-鼓勵(lì)學(xué)生在作業(yè)中提出疑問(wèn)，對(duì)于學(xué)生的疑問(wèn)給予及時(shí)的解答和幫助。

-對(duì)學(xué)生的作業(yè)完成情況進(jìn)行跟蹤記錄，評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和學(xué)習(xí)態(tài)度，為后續(xù)的教學(xué)提供參考。教學(xué)反思在上完這節(jié)課后，我感到學(xué)生們對(duì)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的理解和應(yīng)用有了明顯的提升。他們能夠逐漸掌握復(fù)數(shù)乘法中虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)除法中分母實(shí)數(shù)化的技巧。在課堂提問(wèn)和小組討論中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們對(duì)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的應(yīng)用題表現(xiàn)出濃厚的興趣，這也說(shuō)明他們能夠?qū)⒗碚撝R(shí)與實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)。

然而，我也注意到，部分學(xué)生在處理復(fù)雜的復(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)仍然感到困惑，尤其是當(dāng)涉及到多個(gè)步驟的轉(zhuǎn)換和計(jì)算時(shí)。這讓我意識(shí)到，需要在接下來(lái)的課程中，進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算步驟的講解和練習(xí)，特別是對(duì)于那些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生。

在實(shí)踐活動(dòng)方面，我嘗試使用了復(fù)平面模型和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，讓學(xué)生們更直觀地理解復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算。從學(xué)生的反饋來(lái)看，這些方法幫助他們更好地理解了復(fù)數(shù)的幾何意義和實(shí)際應(yīng)用。我計(jì)劃在后續(xù)的教學(xué)中，繼續(xù)引入更多的實(shí)際案例，讓學(xué)生在解決具體問(wèn)題的過(guò)程中，深化對(duì)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的理解。

課堂討論環(huán)節(jié)，我鼓勵(lì)學(xué)生們積極發(fā)表意見(jiàn)，互相交流解題思路。我發(fā)現(xiàn)這種互動(dòng)不僅提高了學(xué)生們的參與度，也促進(jìn)了他們之間的學(xué)習(xí)。不過(guò)，我也觀察到有些學(xué)生在小組討論中不夠積極，可能是因?yàn)樗麄儗?duì)討論的話題還不夠熟悉或者缺乏自信。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我打算在下一節(jié)課中，提前給學(xué)生提供一些討論的話題和背景資料，幫助他們更好地準(zhǔn)備和參與討論。

作業(yè)評(píng)價(jià)方面，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)谕瓿勺鳂I(yè)時(shí)，對(duì)于一些基本的運(yùn)算規(guī)則掌握得還不錯(cuò)，但在面對(duì)一些綜合性的題目時(shí)，仍然顯得有些力不從心。這提醒我在作業(yè)設(shè)計(jì)中，需要增加一些綜合性強(qiáng)、難度適中的題目，讓學(xué)生在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，也能夠提高解決問(wèn)題的能力。板書(shū)設(shè)計(jì)一、本節(jié)課主題：復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算

1.復(fù)數(shù)乘法法則

2.復(fù)數(shù)除法法則

3.重點(diǎn)難點(diǎn)解析

二、復(fù)數(shù)乘法法則

1.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

2.虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算：i^2=-1,i