第06講單調(diào)性與最值(值域)期末大總結(jié)

第6講單調(diào)性與最值(值域)期末大總結(jié)目錄速覽第一部分：必會(huì)知識結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖第二部分：考點(diǎn)梳理知識方法技巧大總結(jié)第三部分：必會(huì)技能常考題型及思想方法大歸納必會(huì)題型一：函數(shù)單調(diào)性定義及證明必會(huì)題型二：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性必會(huì)題型三：單調(diào)性求參數(shù)范圍必會(huì)題型四：利用單調(diào)性及分離常數(shù)法求函數(shù)值域(最值)必會(huì)題型五：利用復(fù)合函數(shù)及換元法求函數(shù)值域(最值)必會(huì)題型六：利用判別式法及不等式求函數(shù)值域(最值)第一部分：知識結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖速看第二部分：考點(diǎn)梳理知識方法技巧大總結(jié)1．函數(shù)單調(diào)性的刻畫(如圖)(1)圖形刻畫，對于給定區(qū)間上的函數(shù)y＝f(x)，若它的圖像從左向右連續(xù)上升(下降)，則稱函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞增(減)的；(2)定性刻畫，對于給定區(qū)間上的函數(shù)y＝f(x)，若函數(shù)值隨自變量的增大而增大(減小)，則稱函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞增(減)的．2．函數(shù)的單調(diào)性的定義(1)增函數(shù)：定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上，任取x1，x2∈A，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)[或當(dāng)x1＞x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)]，稱函數(shù)y＝f(x)在A上是增函數(shù)[等價(jià)于(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0]；(2)減函數(shù)：定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A上，任取x1，x2∈A，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)[或當(dāng)x1＞x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)]，稱函數(shù)y＝f(x)在A上是減函數(shù)[等價(jià)于(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0]；3．判斷函數(shù)單調(diào)性的常見方法：(1)定義法及步驟：①取值作差：在給定區(qū)間上任取兩個(gè)值x1、x2，且x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝……；②變形定號：對上式通過因式分解、配方、分母有理化等方法變形，盡量化成幾個(gè)最簡因式乘積的形式，并判斷符號；若不能確定，則可分區(qū)間討論；③結(jié)論：根據(jù)差的符號，得出單調(diào)性的結(jié)論．(2)直接分析法：運(yùn)用已知的結(jié)論，直接得到函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性均可直接說出．另常用到以下結(jié)論：①函數(shù)y＝－f(x)與函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性相反．②函數(shù)f(x)恒為正或恒為負(fù)時(shí)，函數(shù)y＝eq\f(1,f(x))與y＝f(x)的單調(diào)性相反．③在公共區(qū)間內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)等．(3)圖像法：根據(jù)函數(shù)圖像的升、降情況進(jìn)行判斷．(4)復(fù)合函數(shù)法(同增異減)：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定有如下結(jié)論①若g(x)∈[a，b]是[m，n]上的增(減)函數(shù)，f(x)是[a，b]上的增(減)函數(shù)，則f[g(x)]在[m，n]上是增函數(shù)．②若g(x)∈[a，b]是[m，n]上的減(增)函數(shù)，f(x)是[a，b]上的增(減)函數(shù)，則f[g(x)]在[m，n]上是減函數(shù)．4．函數(shù)單調(diào)性的用途(1)運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求最值是求解函數(shù)最值問題的重要方法，特別是當(dāng)函數(shù)圖像不好作或作不出來時(shí)，單調(diào)性幾乎成為首選方法．函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系：①若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(a)，最小值為f(b)．②若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a)．(2)比較大小及解不等式5．兩種常見函數(shù)圖像及性質(zhì)(1)形如y＝x－eq\f(a,x)，a＞0圖像(如圖)及性質(zhì)：在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)分別單調(diào)遞增，可直接利用函數(shù)的單調(diào)性解題．(2)形如y＝x＋eq\f(a,x)，a＞0(對勾函數(shù))圖像(如圖)及性質(zhì)：在區(qū)間(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)單調(diào)遞增，在區(qū)間[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]單調(diào)遞減；“對勾函數(shù)”在區(qū)間(－∞，0)上，x＝－eq\r(a)時(shí)有最大值ymax＝－2eq\r(a)；在區(qū)間(0，＋∞)上，x＝eq\r(a)時(shí)有最小值ymin＝2eq\r(a)．合理利用對勾函數(shù)的圖像及性質(zhì)會(huì)給解題帶來很多方便！6．求函數(shù)值域(最值)的常用方法(1)單調(diào)性法：若所給函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值．(2)數(shù)形結(jié)合法：先做出函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖像的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，可利用數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域或最值．(3)有界性法(反解法)：利用代數(shù)式的有界性(如x2≥0，eq\r(x)≥0等)確定函數(shù)的值域．(4)分離常數(shù)法：形如求y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(ac≠0)的函數(shù)的值域或最值常用分離常數(shù)法求解．(5)換元法：通過對函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)?shù)膿Q元，可將復(fù)雜的函數(shù)化歸為簡單的函數(shù)，利用這些函數(shù)的值域求原函數(shù)的值域．用換元法求函數(shù)的值域時(shí)要注意換元后輔助元(也叫中間變量)的取值范圍．求形如y＝eq\r(ax＋b)＋(cx＋d)(ac≠0)的函數(shù)的值域或最值，常用代數(shù)換元法法結(jié)合題目條件將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解．(6)判別式法：形如y＝eq\f(a1x2＋b1x＋c1,a2x2＋b2x＋c2)(a1，a2不同時(shí)為0)的函數(shù)，當(dāng)分子分母沒有公因式時(shí)(分子、分母有公因式時(shí)，先約去公因式)，將函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量x(或某個(gè)代數(shù)式)的一元二次方程A(y)x2＋B(y)x＋C(y)＝0的形式，利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是判別式Δ≥0，得到關(guān)于y的不等式，解此不等式即可得到值域．此法常用于一些“分式”函數(shù)等，使用此方法時(shí)要特別注意原式變形后的二次項(xiàng)系數(shù)分等于零和不等于零兩種情況．第三部分：必會(huì)技能?？碱}型及思想方法大歸納必會(huì)題型一：函數(shù)單調(diào)性定義及證明1．(2022·北京市第十五中學(xué)南口學(xué)校高一期中)函數(shù)y=fx在0，+∞是減函數(shù)，且0<A．fx1>fC．x1-x【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】∵y=fx在0，+∴fx1>fx2，A又x1-x2<0，∴x1-故選：D.2．(2022·北京市廣渠門中學(xué)高三階段練習(xí))下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增的是(A．y=x-C．y=x|【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性的定義，注意驗(yàn)證，可得答案.【詳解】對于A，將-x代入函數(shù)則y=-x對于B，將-x代入函數(shù)則y任意取x1，x2∈0，+∞，對于C，將-x代入函數(shù)則y函數(shù)y=x2，x對于D，函數(shù)y=lnx的定義域?yàn)?，故選：C.3．(2022·陜西·長安一中高一階段練習(xí))下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(

)A．fx=4C．fx=2【答案】B【分析】根據(jù)增函數(shù)的定義或單調(diào)性的性質(zhì)判斷．【詳解】A．f(x)=4x2+1-2x，B．f(x)=2x-1x+2=2(x+2)-5x+2=2-C．f(1)=8，f(2)=7<f(1)，在(0，D．在(0，+∞)上，y=1x+1遞減，故選：B．4．(2022·河南·高一期中)已知函數(shù)fx=-xA．定義域、值域分別是-1，3，0，C．定義域、值域分別是-1，3，0，【答案】BC【分析】首先根據(jù)題意得到-x2+2x+3≥0，從而得到函數(shù)fx的定義域?yàn)?1，3，結(jié)合二次函數(shù)【解析】要使函數(shù)fx=-x2所以函數(shù)fx=-因?yàn)閥=-x2+2x=1時(shí)，ymax=4，x=-1或x=3時(shí)，所以fx因?yàn)閽佄锞€y=-x2+2x+3的對稱軸為直線所以fx的單調(diào)減區(qū)間是1故選：BC．5．(2022·江蘇·南京師大附中高二開學(xué)考試)定義在-1，1上的函數(shù)fx滿足：對任意的x、y∈(1)求證：函數(shù)fx(2)若當(dāng)x∈-1，0時(shí)，有fx>0，求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)令x=y=0可求得f0的值，再計(jì)算得出f(2)任取x1、x2∈-1，1且x1<【解析】(1)證明：令x=y=0，可得2f0=f對任意的x∈-1，1，-x∈-1，因此，函數(shù)fx是奇函數(shù)(2)證明：任取x1、x2∈-1，1且x1-x故fx1-f因此，函數(shù)fx在-1，必會(huì)題型二：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性1．(2022·湖北·仙桃市田家炳實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高三階段練習(xí))函數(shù)f(x)=(6-x-xA．[-12，C．[-12，【答案】A【分析】先求定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的同增異減可得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】∵f(x)=∴6-x-x2即函數(shù)f(x)=(6-x-x2因?yàn)楹瘮?shù)y=x要求函數(shù)f(x)=(6-x-即求函數(shù)y=6-x-x2在由于其開口向下，且對稱軸為x=-12故選：A.2．(2020·天津·高一期末)函數(shù)f(x)=log1A．(-∞，3] B．[3，+∞) C．【答案】C【分析】首先由函數(shù)解析式，求其定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【解析】由fx=log13-x2+6x-5，則由題意，令gx=log13x易知gx在其定義域上單調(diào)遞減，要求函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間，需求在1，由hx=-x2+6x-5=-故選：C.3．函數(shù)f(x)=(12)A．(-∞，1-52) B．(-∞，【答案】A【分析】先求出函數(shù)的定義域，得出t=x【解析】由x2﹣x﹣1≥0，得x≤1-52函數(shù)t=x2-x-1在(﹣∞，1-52]上為減函數(shù)，在1+52，+∞上為增函數(shù)，而函數(shù)y＝12t在t∈0，+∞上是減函數(shù)，∴函數(shù)故選A．必會(huì)題型三：單調(diào)性求參數(shù)范圍1．(2022·全國·高三專題練習(xí))已知函數(shù)fx=a-2x，x≥212x-1A．-∞，-2 B．-∞，13【答案】B【分析】由單調(diào)性定義可知fx在R上單調(diào)遞減，由分段函數(shù)每一段上的單調(diào)性和分段處的函數(shù)值大小關(guān)系可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果【詳解】∵對任意的x1，x2x1≠∴a-2<0122-1≥2a-2，解得：故選：B.2．(2022·甘肅·西北師大附中高一期中)函數(shù)fx=x2-kx+1k∈R.若fxA．-∞，4 B．-∞，4【答案】B【分析】由于函數(shù)fx=x2-kx+1k∈R的對稱軸為x=【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx=x函數(shù)fx=x所以區(qū)間2，即k2≤2，得故選：B3．(2022·山西呂梁·高一期末)已知函數(shù)y=(12)ax2-2x-3在區(qū)間(【答案】-1【分析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得出y=ax2-2x-3在區(qū)間(-1，【解析】由函數(shù)y=12a得函數(shù)y=ax2-2當(dāng)a=0時(shí)，y=-2x-3在區(qū)間(-當(dāng)a<0時(shí)，由y=ax2-2得1a≤-1，解得：當(dāng)a>0時(shí)，由y=ax2-2得1a≥2，解得：綜上所述，a的取值范圍是a∈-14．(2023·全國·高三專題練習(xí))函數(shù)fx=12x2-ax+b的最大值為2，且在-∞【答案】

1，【分析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法及二次函數(shù)的性質(zhì)可得a2≥12，從而可求出a的范圍，再由f(x)的最大值可得b-a【解析】注意到y(tǒng)=1∴y=x2-ax+b而y=x2-ax+b∴a2≥1∵fx=1∴y=x2-ax+b=即b-a24令ha=a24∴ha在a=2處取得最小值故答案為：1，+5．(2022·海南·嘉積中學(xué)高一期中)已知定義在R上的函數(shù)fx滿足：對x，y∈R，都有fx+y=fx(1)求f0和f(2)證明函數(shù)fx為R(3)當(dāng)x∈1，2時(shí)，不等式fx【答案】(1)f0=0(2)證明見解析(3)-【分析】(1)利用賦值法可得解；(2)利用定義法可證明函數(shù)的單調(diào)性；(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性直接解不等式即可.【解析】(1)令x=1，y=0，所以f1=f1令x=1，y=-1，所以f0∵f0=0，∴f-1(2)證明：?x1，有已知得fx由x1<x2知?jiǎng)tfx1-f故函數(shù)fx為R(3)有已知得f-2故原不等式可等價(jià)于fx2-mx+x<f-2，而函數(shù)f又x∈1，2而x+2x≥22，當(dāng)且僅當(dāng)所以m<22+1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為必會(huì)題型四：利用單調(diào)性及分離常數(shù)法求函數(shù)值域(最值)1．(2021·全國·高一專題練習(xí))函數(shù)f(x)=x-1x+1(x>0)A．(-1B．[-1C．(-1D．[-1【答案】A【分析】先分離常數(shù)，再求出-2<-2x+1<0，從而得到【解析】f(x)=x+1-2x+1=1-2x+1，由于x>0，∴x+1>1于是-1<1-2x+1<1，故函數(shù)f(x)故選：A.2．(2022·全國·高三專題練習(xí))函數(shù)fx=1xA．0，1 B．0，12 C【答案】A【分析】將分母配方，利用(x-1)2+1≥1【解析】因?yàn)閒x=1x2所以f(x)∈(0，1]，即fx故選：A3．(2021·安徽·安慶九一六學(xué)校高二階段練習(xí)(理))函數(shù)y=12x-1A．(-∞，1) BC．(-1，+∞) D【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)及分式的性質(zhì)即可求值域.【解析】由{2x-1>-12x-1≠0知：當(dāng)-1<2∴綜上有：值域是(-∞，故選：D4．(2022·北京·101中學(xué)高一期中)函數(shù)f(x)=x+2x，x∈[1，A．[22，3] B．3，113【答案】C【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)值域.【解析】因?yàn)閒(x)在[1，2)故fxmin=f故fxmax=113故選：C.5．(2022·陜西·咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí))已知函數(shù)fx=(1)判斷并說明函數(shù)fx(2)判斷函數(shù)fx在區(qū)間1(3)求函數(shù)fx在區(qū)間-4，【答案】(1)偶函數(shù)，理由見解析(2)見解析(3)fx的最大值和最小值分別為【分析】(1)根據(jù)奇偶性定義證明即可；(2)根據(jù)單調(diào)性的定義，結(jié)合已知條件，判斷并證明即可；(3)根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，即可求得結(jié)果.【解析】(1)函數(shù)fx函數(shù)fx的定義域?yàn)閤f-x=1x(2)fx是1證明：在1，+∞上任取xfx因?yàn)閤1>1，x2又x1<x2，則x2故fx在1，(3)因?yàn)閒x是偶函數(shù)，fx在1，+∞顯然在-4，故當(dāng)x=-4時(shí)，fx取得最小值為f當(dāng)x=-2時(shí)，fx取得最大值為f故fx的最大值和最小值分別為1必會(huì)題型五：利用復(fù)合函數(shù)及換元法求函數(shù)值域(最值)1．(2022·全國·高三專題練習(xí))函數(shù)y=x-2x2的值域?yàn)锳．[0，??2] B．?[0，??【答案】C【分析】先求函數(shù)的定義域，再利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)的值域.【解析】由題得x-2x當(dāng)0≤x≤12時(shí)，當(dāng)x=0或x=12時(shí)，y=x-2x2取最小值0；當(dāng)所以當(dāng)x=0或x=12時(shí)，y=x-2x2取最小值0；當(dāng)x=所以函數(shù)y=x-2x2故選：C2．(2022·全國·高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)y=x+4-x的值域?yàn)?A．(174，+∞) B．[174，+∞) C．(﹣∞，174) D．(﹣∞【答案】D【解析】換元：令4-x=t(t≥0)，將無理函數(shù)變成二次函數(shù)在指定區(qū)間上求最值，從而可得值域【解析】令4-x=t(t≥0)，則x=4-所以y=4-t2+t=-所以t=12時(shí)，所以函數(shù)y=x+4-x的值域?yàn)?-∞故選：D3．(2022·全國·高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)f(x)=2x2-2x，x∈[0A．12，8 B．(-∞，8]【答案】A【分析】令gt=x2-2x，x∈0，3【解析】令gt則gt則fx故選：A．必會(huì)題型六：利用判別式法及不等式求函數(shù)值域(最值)1．(2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高一期中)函數(shù)fx=-【答案】-【分析】利用判別式法即可求出函數(shù)的值域．【解析】由題知函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以，將y=-x2所以，當(dāng)y=-1時(shí)，x=0；當(dāng)y≠-1時(shí)，Δ=1-4y+12所以，y∈-32，故答案為：-2．(2020·河北·灤南縣第一中學(xué)高一期末)y=x2-x+1【答案】1【分析】利用判別式法求得函數(shù)的值域．【解析】由于x2+x+1=x+12由y=x2-x+1即y-1x2+y=1時(shí)，存在x=0，符合題意，y≠1時(shí)，由Δ=y+1即3y2-10解得13綜上可得y=x2-x+1故答案為：13