數(shù)學學案：課堂導學函數(shù)的應用（Ⅱ）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析一、給出函數(shù)模型的問題【例1】某民營企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖（1）,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2).（注：利潤與投資單位:萬元)（1）分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式。(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）?解析：(1）設(shè)投資為x萬元，A產(chǎn)品的利潤為f（x）萬元，B產(chǎn)品的利潤為g（x)萬元,由題設(shè)f(x)=k1x，g（x）=k2，由圖知f（1）=,∴k1=.又g(4）=，∴k2=.從而f(x)=x(x≥0）,g(x)=（x≥0)。（2）設(shè)A產(chǎn)品投入x萬元,則B產(chǎn)品投入10-x萬元。設(shè)企業(yè)利潤為y萬元。y=f(x）+g(10-x）=+,∴0≤x≤10。令=t，則y=+t=（t）2+(0≤t≤）.當t=時,ymax=≈4,此時x=10=3.75.答：當A產(chǎn)品投入3。75萬元，B產(chǎn)品投入6.25萬元時，企業(yè)獲得最大利潤約4萬元.溫馨提示本問題一般有三類:（1）直接給出函數(shù)解析式;（2）給出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象上的關(guān)鍵點求出解析式；(3）給出函數(shù)類型，自己設(shè)出解析式,利用待定系數(shù)法求出解析式。二、構(gòu)造函數(shù)模型【例2】按復利計算利率的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r,設(shè)本利和為y，存期為x,寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)式。如果存入本金1000元,每期利率為2。25％,試計算5期后的本利和是多少?思路分析：復利是一種計算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再計算下一期的利息.解：已知本金為a元，1期后的本利和為y1=a+a×r=(1+r）a；2期后的本利和為y2=a（1+r）+a(1+r）r=a(1+r）2;3期后的本利和為y3=a(1+r)3;…x期后的本利和為y=a（1+r）x,將a=1000，r=2。25%,x=5代入上式得y=1000（1+2.25%）5=1000×1。02255。由計算器算得y=1117.68（元）。答：函數(shù)式為y=a（1+r）x，5期后的本利和為1117。68元。溫馨提示在實際問題中,常常遇到有關(guān)平均增長率的問題,如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)為N，平均增長率為p,則對于時間x的總產(chǎn)值或總產(chǎn)量y，可以用公式y(tǒng)=N（1+p)x表示。解決平均增長率的問題，要用到這個函數(shù)式.三、函數(shù)模型的綜合應用【例3】如下圖,河流航線AC段長40千米，工廠B位于碼頭C正北30千米處，原來工廠B所需原料由碼頭A裝船沿水路到碼頭C后，再改陸運到工廠B,由于水運太長,運費頗高，工廠B與航運局協(xié)商在AC段上另建一碼頭D,并由碼頭D到工廠B修一條新公路，原料改為按由A到D再到B的路線運輸，設(shè)｜AD｜=x千米（0≤x≤40）,每10噸貨物總運費為y元，已知每10噸貨物每千米運費水路為1元,公路為2元.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2)要使運費最省,碼頭D應建在何處?思路分析：依題意，每10噸貨物總運費y為從A到D的水路運費與從D到B的陸路運費之和，因｜AD｜=x千米，水路運費為（x·1）元，陸路長度由勾股定理求得，陸路運費為（·2）元,不難建立y與x的函數(shù)關(guān)系式.解：（1)由題意|BD|=，易得每10噸貨物總運費y=x+2，0≤x≤40。（2)由（1）得y-x=2。兩邊平方,得(y-x）2=4(2500—80x+x2）.整理得3x2—2(160—y)x+10000-y2=0。①Δ=4(160—y）2—4×3×（10000-y2）≥0。解得y≥40+30或y≤40-30（舍去）.此時，將y=40+30代入方程①，得x=40-10∈［0,40］.∴當x=40-10時，y取最小值,即當碼頭建在AC段上與A相距（40—10）千米時，可使運費最少。溫馨提示（1）對于應用問題中所提出的問題，要認真領(lǐng)會、理解，要注意觀察問題的結(jié)構(gòu)特征，揭示內(nèi)在聯(lián)系，挖掘隱含條件,根據(jù)實際問題準確地得到函數(shù)關(guān)系式,進而利用有關(guān)的數(shù)學知識和函數(shù)性質(zhì)實施解題。（2)對于本題要注意用變化的觀點分析和探求具體問題中的數(shù)量關(guān)系,尋找已知量與未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系,然后將這些內(nèi)在聯(lián)系與數(shù)學知識聯(lián)系建立函數(shù)關(guān)系式或列出方程，利用函數(shù)性質(zhì)或方程觀點來解，則可使應用問題化生為熟，盡快得到解決.各個擊破類題演練1某商品在近100天內(nèi)，商品的單價f（t)(元)與時間t(天）的函數(shù)關(guān)系式如下：f（t）=銷售量g（t）與時間t(天）的函數(shù)關(guān)系式是g（t)=（0≤t≤100,t∈Z)。求這種商品在這100天內(nèi)哪一天的銷售額最高。解析：依題意該商品在近100天內(nèi)日銷售額F（t）與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系式為F(t）=f（t）·g(t)=（1）若0≤t≤40,t∈Z,則F(t)==，當t=12時，F(xiàn)(t）max=(元）.(2)若40＜t≤100，t∈Z，則F(t）=()()=（t-108)2，∵t=108>100,∴F（t）在（40,100］上遞減。∴當t=41時,F(t）max=745。5.∵〉745。5，∴第12天的日銷售額最高.變式提升1某服裝市場今年一月、二月、三月分別銷售1萬件、1。2萬件、1。3萬件服裝，為了預測以后各月的銷售趨勢，以這三個月的銷售量為依據(jù),用一個函數(shù)模擬銷售量y與月份x之間的關(guān)系,模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或y=a·bx+c(a,b,c為常數(shù)），已知四月份的實際銷售量為1。37萬件,試問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好,求出此函數(shù).解析：由條件知f（1）=1，f（2)=1.2，f(3）=1.3.若用二次函數(shù)，可設(shè)f（x）=ax2+bx+c，則解得a=∴f(x)=x2+x+.當x=4時,f(4)=13.。若用f（x)=a·bx+c，則解得∴f(x)=·（）x+。此時當x=4時，f(4)==13。5。又知四月份的實際銷售量為1.37，由此可知選用f(x）=·()x+，∴用y=a·bx+c作模擬函數(shù)較好。類題演練2某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%,試解答下面的問題：（1)寫出該城市人口總數(shù)x(萬人)與年份x(年）的函數(shù)關(guān)系式；（2）計算10年后該城市人口總數(shù)；（精確到0.1萬人)(3)計算大約多少年以后該城市人口將達到120萬人。（精確到1年）解析：（1)1年后該城市人口總數(shù)為y=100+100×1.2%=100×（1+1。2%）;2年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1。2%)+100×（1+1.2%）×1.2％=100×(1+1.2％)2；3年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%）2+100×(1+1。2％）2×1。2%=100×（1+1.2%)3;……x年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2％）x。（2）10年后人口數(shù)為100×(1+1。2%）10≈112。7(萬人).(3)設(shè)x年后該城市人口將達到120萬人,即100×（1+1。2％)x=120，x=log1。012=log1。0121。20≈15(年）。類題演練3某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品每年需投入固定成本0.5萬元，此外每年生產(chǎn)100件產(chǎn)品還需要增加投資0。25萬元.經(jīng)市場調(diào)查知這種產(chǎn)品的年需求量為500件,售出的這種產(chǎn)品數(shù)量為t（百件）時，銷售所得收入約為5t（萬元）(t≤5).（1)若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x(百件），設(shè)該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的利潤為當年產(chǎn)量x的函數(shù)f（x),求f（x);(2)當該公司的年產(chǎn)量為多大時,當年所得的利潤最大？解析：產(chǎn)品生產(chǎn)件數(shù)與售出件數(shù)之間的關(guān)系,有兩種情況，若生產(chǎn)量不超500件,則能全賣出,若生產(chǎn)超過500件，則只能售出500件,所以要應用分段函數(shù)求解。（1)由題意知：當0＜x≤5時，產(chǎn)品全部售出,當x>5時，產(chǎn)品只能售出5（百件）?！鄁(x）=即f(x）=（2)當0＜x≤5時,f（x）=x2+4.75x-0。5，∴當x=4。75時，f（x)max=10。78125（萬元)。而當x〉5時，f（x)=12—0。25x<12—0.25×5=10。75（萬元）?！喈斈戤a(chǎn)量為475件時，利潤最大.變式提升3學校請了30名木工，要制作200把椅子和100張課桌.已知制作一張課桌與制作一把椅子的工時數(shù)之比為10∶7，問30名工人應當如何分組（一組制課桌,另一組制椅子），能使完成全部任務最快？解析：設(shè)x名工人制課桌，(30-x)名工人制椅子,一個工人在一個單位時間里可制7張課桌或10把椅子,所以制作100張課桌所需時間為