專題06平面向量及其應(yīng)用（講義）

專題06平面向量及其應(yīng)用易錯點一向量的概念模糊易錯點二忽略零向量與任意向量共線致誤易錯點三混淆向量平行與直線平行易錯點四確定向量夾角忽略向量的方向易錯點五對向量共線定理及平面向量基本定理理解不準確致誤易錯點六已知銳（鈍）角求參數(shù)易錯點一向量的概念模糊例1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校?？茧A段練習）(多選)下列敘述正確的為（

）A．有向線段就是向量，向量就是有向線段B．若，則C．所有的單位向量都相等D．與是非零向量，若與同向，則與反向【答案】BD【分析】根據(jù)向量的概念依次分析即可的答案.【詳解】解：對于A選項，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，故錯誤；對于B選項，根據(jù)零向量的定義，，則，故正確；對于C選項，所有的單位向量的模都相等，但方向不一定相同，故不一定相等，故錯誤；對于D選項，與是非零向量，若與同向，則與反向，故正確.故選：BD例2．（2023春·廣東佛山·高三佛山市順德區(qū)樂從中學校考階段練習）(多選)給出下列命題正確的是（

）A．平面內(nèi)所有的單位向量都相等B．長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量C．若，滿足，且，同向，則D．力、速度和位移都是向量【答案】BD【分析】根據(jù)向量、單位向量、相反向量的定義即可判斷.【詳解】對A，若單位向量的方向不同，則向量不相等，故A錯誤；對B，根據(jù)相反向量的定義可知B正確；對C，向量無法比較大小，故C錯誤；對D，根據(jù)物理學上關(guān)于力、速度和位移的定義知力和速度既有大小也有方向，其符合向量的定義，故D正確.故選：BD.易錯點二忽略零向量與任意向量共線致誤注意：零向量與任意向量共線例3．（2023春·廣東汕尾·高三華中師范大學海豐附屬學校?？茧A段練習）下列命題：①若，則；②若，，則；③的充要條件是且；④若，，則；⑤若、、、是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的概念可判斷①；利用相等向量的定義可判斷②；利用相等向量的定義以及充分條件、必要條件的定義可判斷③⑤；取可判斷④.【詳解】對于①，因為，但、的方向不確定，則、不一定相等，①錯；對于②，若，，則，②對；對于③，且或，所以，所以，“且”是“”的必要不充分條件，③錯；對于④，取，則、不一定共線，④錯；對于⑤，若、、、是不共線的四點，當時，則且，此時，四邊形為平行四邊形，當四邊形為平行四邊形時，由相等向量的定義可知，所以，若、、、是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，⑤對.故選：A.例4．（2023·全國·高一專題練習）下列四個命題中，正確的個數(shù)是（

）①

②零向量垂直于任何向量③“”等價于“存在實數(shù)，使得”④A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】對于①，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義運算可知①不正確；；對于②，零向量不談垂直問題；對于③，缺少條件；對于④，.【詳解】對于①，等式左邊，等式右邊，故①不正確；對于②，零向量的方向是任意的，零向量垂直于任何向量，故②正確；對于③，“”等價于“存在實數(shù)，使得”，故③不正確；對于④，，故④不正確.故選：B易錯點三混淆向量平行與直線平行注意：向量是可以平移的，平行向量又稱共線向量例5．（2022春·高一課時練習）下列說法中，正確的是（

）①若，則或；②向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在同一條直線上；③向量與是平行向量；④任何兩個單位向量都是相等向量．A．①④ B．③C．①②③ D．②③【答案】B【分析】根據(jù)向量的基本概念和定義，即可判斷選項.【詳解】①錯誤．由僅說明與模相等，但不能說明它們方向的關(guān)系．②錯誤．共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反，并不要求兩個向量，必須在同一直線上，因此點A、B、C、D不一定在同一條直線上．③正確．向量和是長度相等，方向相反的兩個向量，是平行向量．④錯誤．單位向量不僅有長度，而且有方向；單位向量的方向不一定相同，而相等向量要求長度相等，方向相同．故選：B例6．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校校考階段練習）下列命題：①若，則；②的充要條件是且③若，則；④若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)向量共線的概念依次判斷各選項即可得答案【詳解】解：對于①，若，則模相等，方向不一定相同，故錯誤；對于②，當時也滿足且，故錯誤；對于③，當時，滿足，但不一定成立；對于④，若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，正確.故真命題的個數(shù)是1個.故選：B易錯點四確定向量夾角忽略向量的方向注意：在判斷兩向量的夾角時,要注意把兩向量平移到共起點例7．（2023春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學?？茧A段練習）(多選)下列命題正確的是（

）A．若向量滿足，則為平行向量B．已知平面內(nèi)的一組基底，則向量也能作為一組基底C．模等于個單位長度的向量是單位向量，所有單位向量均相等D．若是等邊三角形，則【答案】AB【分析】由平行向量定義判斷A，根據(jù)基底的定義判斷B，由相等向量的定義判斷C，由向量夾角的定義判斷D.【詳解】對于A，因為，所以當為零向量時，，是平行向量，當不是零向量時，，也是平行向量，A正確；對于B，為一組基底，不共線，假設(shè)共線，則，所以，所以，矛盾，所以不共線，所以可以作為一組基底，B正確；對于C，雖然單位向量模長相等，但方向可以不同，故不是所有單位向量均相等，C錯誤；對于D，為等邊三角形，，D錯誤.故選：AB.例8．（2023春·天津南開·高一?？茧A段練習）在中，，，，則______.【答案】【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的定義，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，，且，即，解得.故答案為:易錯點五對向量共線定理及平面向量基本定理理解不準確致誤注意：基底的定義，只有非零且不共線的向量才可以作為平面內(nèi)的基底例9．（2022·高三課時練習）已知為平面內(nèi)所有向量的一組基底，，，，則與共線的條件為（）A． B．C． D．或【答案】A【分析】由題意得存在，使得，得到關(guān)于的方程組，解之即得解．【詳解】為平面內(nèi)所有向量的一組基底，則不共線，，與共線，∴，即，又不共線，則，所以.故選：A例10．下列關(guān)于基底的說法正確的是①平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的．A．① B．② C．①③ D．②③【答案】C【分析】根據(jù)基底的定義和性質(zhì)分析判斷.【詳解】對于①，平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底，所以①正確，對于②，因為零向量與任意向量共線，故零向量不能作為基底中的向量，所以②錯誤，對于③，由平面向量基本定理可知，平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的，所以③正確，故選：C易錯點六已知銳（鈍）角求參數(shù)注意：為鈍角且與不共線；為銳角且與不共線；例11．（2023春·山東棗莊·高三滕州市第一中學新校?？茧A段練習）已知，且向量與不共線.若與的夾角為且向量與的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍_______【答案】【分析】由向量與的夾角的銳角，可得且不同向共線，展開解k即可.【詳解】與的夾角為，，向量與的夾角為銳角，，且不能同向共線，，，解得且，即或，實數(shù)k的取值范圍是例12．（2023春·重慶·高三校聯(lián)考階段練習）已知是互相垂直的兩個單位向量，若向量與向量的夾角是鈍角，請寫出一個符合題意的的值：_____________．【答案】0（答案不唯一）【分析】由條件結(jié)合向量的夾角公式列不等式求的范圍可得結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，因為向量與向量的夾角是鈍角，，所以且，所以，又，解得，以．故答案為：0（答案不唯一）一、單選題1．（2022春·高三課時練習）下列說法中正確的個數(shù)是（）①與的方向不是相同就是相反②當且僅當與共線時，與共線③若，，④若，則A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】利用共線向量定理及向量共線的性質(zhì)一一分析即可.【詳解】對于①，若，則，而的方向是不確定的，故①錯誤；對于②，當與不共線時，則顯然根據(jù)向量的加法幾何意義得此時與不共線，當與共線時，若時，則顯然與共線，當時，則當與共線時，則有，若，則，此時與共線，若，則，此時與共線，反之亦成立，故②正確，對于③，與的方向不確定，當與不共線時，則題目中結(jié)論不成立，故③錯誤，對于④，若，則顯然，即，故④正確，綜上，②④正確，①③錯誤，故選：B.2．（2022春·高三課時練習）已知A＝{與共線的向量}，B＝{與長度相等的向量}，C＝{與長度相等，方向相反的向量}，其中為非零向量，則下列說法中錯誤的是（

）A． B．A∩B＝{}C． D．A∩B{}【答案】B【分析】根據(jù)向量的基本概念一一判定即可.【詳解】對于A項，與方向相反的向量與一定共線，故A正確；對于B項，與共線且長度相等的向量可以是，故B錯誤；對于C項，顯然正確；對于D項，與共線且長度相等的向量必然包含本身，故D正確.故選：B3．（2022春·高三課時練習）若向量與向量不相等，則與一定（

）A．不共線 B．長度不相等C．不都是單位向量 D．不都是零向量【答案】D【分析】向量相等為長度和方向都相同，所以若向量與向量不相等，則說明向量與向量的方向和長度至少有一個不同，分析選項可得結(jié)果.【詳解】若向量與向量不相等，則說明向量與向量的方向和長度至少有一個不同．所以與有可能共線，有可能長度相等，也有可能都是單位向量，所以A，B，C都是錯誤的．但是與一定不都是零向量．故選：D4．（2023春·山東濟寧·高一嘉祥縣第一中學?？茧A段練習）若向量與向量不相等，則與一定（

）A．不共線 B．長度不相等C．不都是單位向量 D．不都是零向量【答案】D【分析】根據(jù)向量有關(guān)定義逐項判斷可得答案.【詳解】對于A，向量與向量不相等，則當向量時，向量與向量共線，故A錯誤；對于B，向量與向量不相等，則當向量時，，故B錯誤；對于C，向量與向量不相等，則當向量時，，向量與向量可以都是單位向量，故C錯誤；對于D，向量與向量都是零向量，則向量，故D正確.故選：D.5．（2022春·高三課時練習）已知向量與是兩個不平行的向量，若且，則等于（

）A． B．C． D．不存在這樣的向量【答案】A【分析】零向量與任一向量是共線向量，得到答案.【詳解】零向量與任一向量是共線向量，故滿足條件.若，則且，得到，這與條件矛盾，排除.綜上所述：故選：A6．（2023·全國·高三專題練習）下列命題中，正確的個數(shù)是（

）①單位向量都相等；②模相等的兩個平行向量是相等向量；③若滿足，且與同向，則④若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；⑤若，則A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.【詳解】單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①錯誤；模相等的兩個平行向量是相等向量或相反向量，故②錯誤；向量有方向，不能比較大小，故③錯誤；向量是可以自由平移的矢量，當兩個向量相等時，它們的起點與終點不一定相同，故④錯誤；當時，可滿足，但與不一定平行，故⑤錯誤；綜上，正確的個數(shù)是0，故選：A．二、多選題7．（2023春·安徽阜陽·高三?？计谥校┫铝姓f法中，錯誤的是（

）A．若，則或B．向量與是共線向量，則四點必在同一條直線上C．向量與是平行向量D．任何兩個單位向量都是相等向量【答案】ABD【分析】利用向量及向量共線的定義對選項逐一判斷即可.【詳解】向量是既有大小又有方向的量，若，則和大小相同，方向不一定相同，故選項A說法錯誤；向量與是共線向量，則與方向相同或反向，點可能在一條直線上，也可能組成平行四邊形，故選項B說法錯誤；向量與方向相反，是平行向量，故選項C說法正確；單位向量模長相同，方向不一定相同，故選項D說法錯誤；故選：ABD8．（2023春·河北保定·高三?？茧A段練習）已知點，，，則以，，為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】將平行四邊行轉(zhuǎn)化為向量相等，通過向量的坐標表示可得結(jié)果.【詳解】設(shè)點的坐標為，由于平行四邊形的四個頂點為，所以可能有以下三種情形：當時，即，解得，即的坐標為；當時，即，解得，即的坐標為；當，即，解得，即的坐標為；故選：ABC.三、填空題9．（2022春·陜西商洛·高三校考期中）設(shè)為單位向量，有下列3個命題：①若為平面內(nèi)的某個向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則．其中的假命題的序號是__________．【答案】①②③【分析】關(guān)于①，未指明是哪個向量的單位向量，故①錯誤；根據(jù)與平行，則與的方向相同或相反可知②③錯誤.【詳解】解：因為為單位向量，所以，但是方向不確定，故①錯誤；因為與平行，所以，，因為，所以，即，故②錯誤；因為與平行且，，所以，故③錯誤.故答案為：①②③10．（2022·高三課時練習）下列命題正確的有__________．(填序號)①向量與向量的長度相等、方向相反;②與平行，則與的方向相同或相反;③兩個相等向量的起點相同，則其終點必相同;④與是共線向量，則四點共線．【答案】①③【分析】根據(jù)向量相關(guān)的定義判斷即可.【詳解】對①，根據(jù)相反向量的定義知①正確;對②，可能存在或其中之一為，由方向具有任意性知②錯誤;對③，根據(jù)相等向量的定義知③正確;對④，共線的兩個向量可能不在同一直線上，故④錯誤．故答