新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯(cuò)題型第36講 數(shù)列的綜合運(yùn)用（原卷版）

第36講數(shù)列的綜合運(yùn)用【基礎(chǔ)知識(shí)全通關(guān)】一等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系：（1）如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，則要把成等差數(shù)列和成等比數(shù)列的項(xiàng)分別抽出來，研究這些項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系；（2）如果兩個(gè)數(shù)列是通過運(yùn)算綜合在一起的，就要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)列各自的特征進(jìn)行求解．二數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合應(yīng)用1．?dāng)?shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式相當(dāng)于函數(shù)的解析式，所以我們可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來研究數(shù)列．解決數(shù)列與函數(shù)綜合問題的注意點(diǎn)：（1）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集，而不是某個(gè)區(qū)間上的連續(xù)實(shí)數(shù)，所以它的圖象是一群孤立的點(diǎn)．（2）轉(zhuǎn)化為以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是非常容易忽視的問題．（3）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化．2．?dāng)?shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點(diǎn)．考查方式主要有三種：（1）判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系；（2）以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；（3）考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題．在解決這些問題時(shí)，要充分利用數(shù)列自身的特點(diǎn)，例如在需要用到數(shù)列的單調(diào)性的時(shí)候，可以通過比較相鄰兩項(xiàng)的大小進(jìn)行判斷．在與不等式的證明相結(jié)合時(shí)，注意構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式．三等差、等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用1．?dāng)?shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見模型①等差模型：增加或減少的量是一個(gè)固定的常數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差；②等比模型：后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的常數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公比；③遞推數(shù)列模型：題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，由此列遞推關(guān)系式．2．解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題的步驟①審題：仔細(xì)閱讀題干，認(rèn)真理解題意；②建模：將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；③求解：求出該問題的數(shù)學(xué)解；④還原：將所求結(jié)果還原到實(shí)際問題中．在實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，一般有兩種途徑：①?gòu)奶乩胧?，歸納猜想，再推廣到一般結(jié)論；②從一般入手，找到遞推關(guān)系，再進(jìn)行求解．四數(shù)列中的探索性問題對(duì)于數(shù)列中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答此類問題的一般策略是：（1）先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在；（2）若推不出矛盾，能求得符合題意的數(shù)值或取值范圍，則能得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果．五數(shù)列的求和求數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，通常有以下幾種方法：（1）公式法，即直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解；（2）倒序相加法，即如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（3）裂項(xiàng)相消法，即將數(shù)列的通項(xiàng)拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，然后消去相同的項(xiàng)求和.使用此方法時(shí)必須注意消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，一般未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn).常見的裂項(xiàng)方法有：（4）錯(cuò)位相減法，若數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且公比為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和時(shí)，常用錯(cuò)位相減法求和.基本步驟是：列出和式，兩邊同乘以公比，兩式相減并求和.在寫出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的表達(dá)式時(shí)，要將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，便于準(zhǔn)確寫出SKIPIF1<0的表達(dá)式.在運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)需注意：①合理選取乘數(shù)（或乘式）；②對(duì)公比SKIPIF1<0的討論；③兩式相減后的未消項(xiàng)及相消項(xiàng)呈現(xiàn)的規(guī)律；④相消項(xiàng)中構(gòu)成數(shù)列的項(xiàng)數(shù).（5）分組求和法，如果一個(gè)數(shù)列可寫成SKIPIF1<0的形式，而數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用1.已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.（1）設(shè)SKIPIF1<0，求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和.考點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合應(yīng)用2.已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象過點(diǎn)SKIPIF1<0，且點(diǎn)SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，又SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.考點(diǎn)三等差、等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用3.某臺(tái)商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬(wàn)美元建起一座蔬菜加工廠,第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬(wàn)美元,以后每年比上一年增加4萬(wàn)美元,每年銷售蔬菜收入50萬(wàn)美元,設(shè)f(n)表示前n年的純利潤(rùn)(f(n)=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額).（1）從第幾年開始獲得純利潤(rùn)?（2）若五年后,該臺(tái)商為開發(fā)新項(xiàng)目,決定出售該廠,現(xiàn)有兩種方案：①年平均利潤(rùn)最大時(shí),以48萬(wàn)美元出售該廠；②純利潤(rùn)總和最大時(shí),以16萬(wàn)美元出售該廠.問哪種方案較合算?考點(diǎn)四數(shù)列中的探索性問題4.已知數(shù)列{an}滿足a1=0，SKIPIF1<0，且對(duì)任意m，n∈N?都有SKIPIF1<0．（1）求a3，a（2）設(shè)bn①求數(shù)列{b②設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為Sn，是否存在正整數(shù)p，q，且1<p<q，使得S1，Sp，Sq成等比數(shù)列？若存在，求出考點(diǎn)五數(shù)列的求和5.已知數(shù)列SKIPIF1<0是公差不為0的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【考點(diǎn)易錯(cuò)】1.已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.(2)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式;(3)令SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.2.已知數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，證明數(shù)列SKIPIF1<0不是等比數(shù)列；（Ⅱ）試判斷數(shù)列SKIPIF1<0是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；3.已知{an}是公比為q的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列.(Ⅰ)求q的值；(Ⅱ)設(shè){bn}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并說明理由.4.設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【鞏固提升】1.已知數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為遞增數(shù)列，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0.且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的有()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前15項(xiàng)和為__________．3.設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是等比數(shù)列．已知SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0．（i）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（ii）求SKIPIF1<0．4.已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和SKIPIF1<0.5.設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0為等差數(shù)列，并求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.6.在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0.7.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（II）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.8.已知公比大于SKIPIF1<0的等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．9.已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等差中項(xiàng).（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）證明：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.10.已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．11.已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足SKIPIF1<0．（Ⅰ）若{bn}為等比數(shù)列，公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求q的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若{bn}為等差數(shù)列，公差SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．12.已知兩個(gè)數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，點(diǎn)SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.13.已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPI