2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.1直線與直線垂直教學(xué)用書教案新人教A版必修第二冊

PAGE8.6空間直線、平面的垂直8.素養(yǎng)目標·定方向素養(yǎng)目標學(xué)法指導(dǎo)1．駕馭線線垂直的定義，了解常見線線垂直的形式.(數(shù)學(xué)抽象)2．會求異面直線所成的角.(數(shù)學(xué)運算)對比平面中線線位置關(guān)系，利用基本模型相識異面直線間的垂直關(guān)系及其所成的角.必備學(xué)問·探新知學(xué)問點1異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線__a′__與__b′__所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍：__0°≤α≤90°__.學(xué)問點2空間兩直線垂直假如兩條異面直線所成的角是__直角__，那么我們就說這兩條異面直線相互垂直.直線a與直線b相互垂直，記作__a⊥b__.[學(xué)問解讀]對異面直線所成的角的相識理解的留意點(1)隨意性與無關(guān)性：在定義中，空間一點O是任取的，依據(jù)等角定理，可以斷定異面直線所成的角與a′，b′所成的銳角(或直角)相等，而與點O的位置無關(guān).(2)轉(zhuǎn)化求角：異面直線所成的角是刻畫兩條異面直線相對位置的一個重要的量，通過轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，將空間角轉(zhuǎn)化為平面角來計算.(3)兩條直線垂直是指相交垂直或異面垂直.關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型一異面直線所成的角典例1如圖1，P是平面ABC外的一點，PA＝4，BC＝2eq\r(5)，D，E分別為PC，AB的中點，且DE＝3．則異面直線PA與BC所成的角的大小為__90°__.[分析]eq\x(\a\al(平移PA，BC至,一個三角形中))→eq\x(\a\al(找出PA和BC,所成的角))→eq\x(\a\al(求出,此角))[解析]如圖2，取AC的中點F，連接DF，EF，在△PAC中，∵D是PC的中點，F(xiàn)是AC的中點，∴DF∥PA.同理可得EF∥BC.∴∠DFE為異面直線PA與BC所成的角(或其補角).在△DEF中，DE＝3，又DF＝eq\f(1,2)PA＝2，EF＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(5)，∴DE2＝DF2＋EF2，∴∠DFE＝90°，即異面直線PA與BC所成的角為90°.[歸納提升]求兩異面直線所成的角的三個步驟(1)作：依據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角；(2)證：證明作出的角就是要求的角；(3)計算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二證三計算”來概括.同時留意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.【對點練習(xí)】?在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),6)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(2),2)[解析]如圖，連接BD1交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD或其補角為異面直線AD1與DB1所成角.因為在長方體ABCD－A1B1C1D1AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1．OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2).于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).題型二直線與直線垂直的證明典例2在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求證：AC⊥BC1．[證明]如圖，連接A1B，設(shè)A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因為三棱柱ABC－A1B1所以∠BB1C1＝∠A1AB所以BCeq\o\al(2,1)＝b2＋h2，AB2＝a2＋b2，A1B2＝a2＋b2＋h2，所以A1B2＝A1Ceq\o\al(2,1)＋BCeq\o\al(2,1)，則A1C1⊥BC1，即∠A1C1B又因為AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直線AC與BC所以AC⊥BC1．[歸納提升](1)要證明兩異面直線垂直，可依據(jù)兩條異面直線垂直的定義，證明這兩條異面直線所成的角為90°.(2)在證明兩條異面直線垂直時，和求兩條異面直線所成的角類似，一般也是通過平移法找到與之平行的直線.【對點練習(xí)】?如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1，求證：AC⊥B1D[證明]如圖，連接BD，交AC于O，設(shè)BB1的中點為E，連接OE，則OE∥DB1，所以O(shè)E與AC所成的角即為DB1與AC所成的角.連接AE，CE，易證AE＝CE，又O是AC的中點，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.易錯警示忽視異面直線所成的角的范圍致誤典例3(2024·湖南省永州市期末)如圖1，已知空間四邊形ABCD中，AD＝BC，M，N分別為AB，CD的中點，且直線BC與MN所成的角為30°，求BC與AD所成的角.[錯解]如圖2，連接BD，并取其中點E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其補角)為BC與MN所成的角，∠MEN(或其補角)為BC與AD所成的角.由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC與AD所成的角為120°.[錯因分析]解本題時易忽視異面直線所成的角θ的范圍是0°<θ≤90°，從而由∠MEN＝120°干脆得出BC與AD所成的角為120°這一錯解.事實上，在未推斷出∠MEN是銳角、直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩條異面直線所成的角，假如∠MEN為鈍角，那么它的補角才是異面直線所成的角.[正解]以上解答同錯解；∵異面直角所成角θ∈(0,90°]，∴BC與AD所成的角為60°.[誤區(qū)警示]求異面直線所成的角θ的