專項18-正方形綜合問題-大題專練-專題培優(yōu)

正方形綜合問題-大題專練-專題培優(yōu)一．解答題（共30小題）1．（青山區(qū)校級期中）如圖，正方形ABCD中，點E為邊BC的上一動點，作AF⊥DE交DE、DC分別于P、F點，連PC（1）若點E為BC的中點，求證：F點為DC的中點；（2）若點E為BC的中點，PE＝6，PC=42，求PF2．（三門縣一模）如圖，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊DA，AB上，且BE⊥CF于點G．（1）求證：△ABE≌△BCF；（2）若四邊形AECF的面積為12．①正方形ABCD的面積是；②當FG＝2時，求EG的長．3．（安丘市模擬）如圖1，在正方形ABCD中，點E在AD的延長線上，P是對角線BD上的一點，且點P位于AE的垂直平分線上，PE交CD于點F．猜測PC和PE有什么大小及位置關系，并給出證明．4．如圖，在△AFE中，∠FAE＝90°，AB是EF邊上的高，以AB為一邊在AB的右側作正方形ABCD，CD交AE于點M．（1）求證：△ABF≌△ADM；（2）若AF＝13，DM＝5，求CM的長；（3）連接DF交AB于點G，連接GM，若∠DFB＝∠FAB，求證：四邊形AGMD是矩形．5．（寬城區(qū)一模）問題探究：如圖①，在正方形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊CD上，且AE＝DF．線段BE與AF相交于點G，GH是△BFG的中線．（1）求證：△ABE≌△DAF．（2）判斷線段BF與GH之間的數(shù)量關系，并說明理由．問題拓展：如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．點E在邊AD上，點F在邊CD上，且AE＝2，DF＝3，線段BE與AF相交于點G．若GH是△BFG的中線，則線段GH的長為．6．如圖，在正方形ABCD中，點P在對角線AC上（不與點A、C重合），PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，連接PD．（1）求證：四邊形PMBN是矩形．（2）猜想PD、PM、PN之間的數(shù)量關系，并說明理由．7．（黑龍江）如圖，BD是正方形ABCD的對角線，線段BC在其所在的直線上平移，將平移得到的線段記為PQ，連接PA，過點Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．（1）如圖①所示，求證：AP=2OA（2）如圖②所示，PQ在BC的延長線上，如圖③所示，PQ在BC的反向延長線上，猜想線段AP、OA之間有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想，不需證明．8．（沙河市期末）如圖，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分別為AD、BC中點，連結AF、HG、AH．（1）求證：AF＝HG；（2）求證：∠FAE＝∠GHC；9．（岳麓區(qū)校級期末）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，點P是邊AD上一點（與點A、D不重合），射線PE與BC的延長線交于點Q．（1）求證：△PDE≌△QCE；（2）若PB＝PQ，點F是BP的中點，連結EF、AF，①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；②求PE的長．10．（江都區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點P滿足AP＝AB，PB＝PC．連接AC、PD．（1）求證：△APB≌△DPC；（2）求∠PAC的度數(shù)．11．（富縣期末）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB＞CE，連接BG，DE．（1）求證：BG＝DE；（2）連接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度數(shù)．12．（大觀區(qū)校級期末）如圖，∠MON＝90°，正方形ABCD的頂點A、B分別在OM、ON上，AB＝13，OB＝5，E為AC上一點，且∠EBC＝∠CBN，直線DE與ON交于點F．（1）求證：BE＝DE；（2）判斷DF與ON的位置關系，并說明理由；（3）△BEF的周長為．13．（海安市一模）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E為邊BC的中點，點F在邊CD上，連接AE，EF．（1）若CF＝2DF，連接AF．求∠EAF的度數(shù)；（2）當∠AEF＝∠DAE時，求△CEF的面積（用含a的式子表示）．14．如圖，在正方形ABCD中，BD為一條對角線，點P為CD邊上一點，A連接AP，并將△ADP平移使AD與BC邊重合，P點落在DC的延長線上的一點G處，過G點作GH⊥BD于點H，連接HP和HC（1）在圖中依題意補全圖形；（2）求證：PH＝CH．15．（浙江自主招生）已知如圖，正方形ABCD和等腰直角△BEF，BE＝EF，∠BEF＝90°，取DF中點G，連結EG、CG，探究EG、CG的數(shù)量關系和位置關系，并證明．16．（黃岡模擬）如圖，正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F．（1）求證：△OEF是等腰直角三角形．（2）若AE＝4，CF＝3，求EF的長．17．（洪山區(qū)期中）如圖，已知正方形ABCD和等邊△DCE，點F為CE的中點，AE與DF相交于點G，AG＝23．（1）直接寫出GE＝；（2）求出DG的長；（3）如圖，若將題中“等邊△DCE”改為“DC＝DE的等腰△DCE”，其他條件不變，求出BG+DG的值．18．（興化市期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊上的動點（不與點B、C重合），將射線AE繞點A按逆時針方向旋轉45°后交CD邊于點F，AE、AF分別交BD于G、H兩點．（1）當∠BEA＝55°時，求∠HAD的度數(shù)；（2）設∠BEA＝α，試用含α的代數(shù)式表示∠DFA的大小；（3）點E運動的過程中，試探究∠BEA與∠FEA有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由．19．（常州期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，將BD向兩個方向延長，分別至點E和點F，且使BE＝DF．（1）判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的猜想；（2）若AB＝32，BE＝3，求四邊形AECF的周長．20．（江陰市期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM．設點N的坐標為（m，n）．（1）若建立平面直角坐標系，滿足原點在線段BD上，點B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），則點D的坐標為，點C的坐標為；請直接寫出點N縱坐標n的取值范圍是；（2）若正方形的邊長為2，求EC的長，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：連結MN：4+23=321．（濱海縣期中）如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．（1）若直線EF與AB、AD的延長線分別交于點M、N，求證：EF2＝ME2+NF2；（2）如圖2，將正方形改為矩形，若其余條件不變，請寫出線段EF、BE、DF之間的數(shù)量關系，并說明理由．22．（邳州市期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，∠EAF＝45°．（1）如圖（1），試判斷EF，BE，DF間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖（2），若AH⊥EF于點H，試判斷線段AH與AB的數(shù)量關系，并說明理由．23．（無錫期中）如圖，邊長為8的正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是AB邊上一動點，ME⊥AO，MF⊥BO．（1）求證：四邊形OEMF為矩形；（2）連接EF，求EF的最小值．24．（海珠區(qū)校級期中）（1）如圖①，點E、F分別在正方形ABCD的邊AB、BC上，∠EDF＝45°，連接EF，求證：EF＝AE+FC．（2）如圖②，點E，F(xiàn)在正方形ABCD的對角線AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的數(shù)量關系，并說明理由．25．（永年區(qū)期中）（1）如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，求證：EF＝BE+FD；（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足什么關系時，仍有EF＝BE+FD，說明理由．26．（南崗區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，H分別在BC，AB上，點G在BA的延長線上，且CE＝AG，DE⊥CH于F．（1）求證：四邊形GHCD為平行四邊形．（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ECF互余的角．27．（梁溪區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于點F．（1）求證：PC＝PE；（2）求∠CPE的度數(shù)．28．（下陸區(qū)校級期中）如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E、F分別在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延長線交于點M，OF、AB的延長線交于點N，連接MN．（1）求證：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的邊長為8，E為OM的中點，求MN的長．29．（澗西區(qū)校級期中）如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC＝2，邊BC在其所在的直線上平移，經(jīng)通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．（1）請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？（2）請判斷OA、OP之間的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明．30．（保山期中）四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．（1）求證：AM＝AD+MC．（2）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，試判斷AM＝AD+MC是否成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

正方形綜合問題-大題專練-專題培優(yōu)（解析版）一．解答題（共30小題）1．（青山區(qū)校級期中）如圖，正方形ABCD中，點E為邊BC的上一動點，作AF⊥DE交DE、DC分別于P、F點，連PC（1）若點E為BC的中點，求證：F點為DC的中點；（2）若點E為BC的中點，PE＝6，PC=42，求PF【分析】（1）由△ADF≌DCE，推出DF＝CE，由EC=12BC，BC＝DC，推出DF=12DC，即可證明（2）延長PE到N，使得EN＝PF，連接CN，根據(jù)全等三角形的判定和性質以及等腰直角三角形的性質即可解決問題．【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，∵AF⊥DE，∴∠APD＝∠DPF＝90°，∴∠ADP+∠DAF＝90°，∠ADP+∠EDC＝90°，∴∠DAF＝∠EDC，在△ADF和△DCE中，∠DAF=EDC∠ADF=∠C∴△ADF≌△DCE（AAS），∴DF＝CE，∵EC=12BC，BC＝∴DF=12∴F點為DC的中點；（2）延長PE到N，使得EN＝PF，連接CN，∵∠AFD＝∠DEC，∴∠CEN＝∠CFP，又∵E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點，∴CE＝CF，∵在△CEN和△CFP中CE=CF∠CEN=∠CFP∴△CEN≌△CFP（SAS），∴CN＝CP，∠ECN＝∠PCF，∵∠PCF+∠BCP＝90°，∴∠ECN+∠BCP＝∠NCP＝90°，∴△NCP是等腰直角三角形，∴PN＝PE+NE＝PE+PF=2∴PF=2PC?2．（三門縣一模）如圖，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊DA，AB上，且BE⊥CF于點G．（1）求證：△ABE≌△BCF；（2）若四邊形AECF的面積為12．①正方形ABCD的面積是24；②當FG＝2時，求EG的長．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質得到AB＝BC，∠A＝∠CBF＝90°，根據(jù)余角的性質得到∠BFC＝∠AEB，于是得到結論；（2）①根據(jù)全等三角形的性質得到S△ABE＝S△BCF，推出S四邊形AEGF＝S△BGC，于是得到S△BCE＝12，即可得到結論；②設CG＝x，則BE＝CF＝x+2，根據(jù)三角形的面積公式列方程得到x＝4，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBF＝90°，∵BE⊥CF，∴∠ABE+∠AEB＝∠ABE+∠BFC＝90°，∴∠BFC＝∠AEB，∴△ABE≌△BCF（AAS）；（2）解：①∵△ABE≌△BCF，∴S△ABE＝S△BCF，∴S△ABE﹣S△BFG＝S△BCF﹣S△BFG，∴S四邊形AEGF＝S△BGC，∵四邊形AECF的面積為12，∴S△BCE＝12，∴正方形ABCD的面積是24，故答案為：24；②設CG＝x，則BE＝CF＝x+2，∵S△BCE=12BE?CG=12解得x＝4，∴CG＝4，∵正方形ABCD的面積＝24，∴BC=24由勾股定理求得BG=22∴EG=6?223．（安丘市模擬）如圖1，在正方形ABCD中，點E在AD的延長線上，P是對角線BD上的一點，且點P位于AE的垂直平分線上，PE交CD于點F．猜測PC和PE有什么大小及位置關系，并給出證明．【分析】這里利用正方形的軸對稱性質和線段垂直平分線的性質證明PC＝PC，再利用三角形的內(nèi)角和的關系證明∠CPF＝∠FDE，再結合正方形的每個內(nèi)角是90°，證明∠CPF＝90°即可．【解析】（1）PC＝PE，PC⊥PE證明∵點P位于AE的垂直平分線上，∴PA＝PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP（SAS）∴PA＝PC，∴PC＝PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠E，∴∠PCD＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠FDE，∵四邊形ABCD是正方形，，∴∠ADC＝90°，∴∠FDE＝90°，∴∠CPF＝90°，∴PC⊥PE．4．如圖，在△AFE中，∠FAE＝90°，AB是EF邊上的高，以AB為一邊在AB的右側作正方形ABCD，CD交AE于點M．（1）求證：△ABF≌△ADM；（2）若AF＝13，DM＝5，求CM的長；（3）連接DF交AB于點G，連接GM，若∠DFB＝∠FAB，求證：四邊形AGMD是矩形．【分析】（1）由“ASA“可證△ABF≌△ADM；（2）由全等三角形的性質和勾股定理可求CM的長；（3）由“ASA”可證△ADM≌△DAG，可得AG＝DM，可證四邊形ADGM是平行四邊形，且∠ADM＝90°，可證四邊形AGMD是矩形．【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠FAE＝∠BAD∴∠FAB＝∠DAM，且AB＝AD，∠ABF＝∠ADM＝90°，∴△ABF≌△ADM（ASA）（2）∵△ABF≌△ADM，∴BF＝DM＝5，∵AF＝13，BF＝5，∴AB=AF∴CD＝12，∴CM＝CD﹣DM＝12﹣5＝7（3）∵AD∥BC∴∠ADG＝∠DFB，且∠DFB＝∠FAB＝∠DAM，∴∠ADG＝∠DAM，且AD＝AD，∠GAD＝∠ADM＝90°∴△ADM≌△DAG（ASA）∴AG＝DM，且AG∥DM∴四邊形ADGM是平行四邊形，且∠ADM＝90°，∴四邊形AGMD是矩形．5．（寬城區(qū)一模）問題探究：如圖①，在正方形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊CD上，且AE＝DF．線段BE與AF相交于點G，GH是△BFG的中線．（1）求證：△ABE≌△DAF．（2）判斷線段BF與GH之間的數(shù)量關系，并說明理由．問題拓展：如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．點E在邊AD上，點F在邊CD上，且AE＝2，DF＝3，線段BE與AF相交于點G．若GH是△BFG的中線，則線段GH的長為372【分析】（1）由正方形的性質得出∠BAD＝∠D＝90°，AB＝DA，由SAS證明△ABE≌△DAF即可；（2）由全等三角形的性質得出∠ABE＝∠DAF，證出∠BGF＝∠ABE+∠BAG＝90°，在Rt△BFG中，由直角三角形斜邊上的中線性質得出BF＝2GH；問題拓展：由三角函數(shù)得出∠ABE＝∠DAF，證出∠BGF＝90°，在Rt△BFG中，由直角三角形斜邊上的中線性質得出BF＝2GH，由矩形的性質得出∠C＝90°，BC＝AD＝6，CD＝AB＝4，得出CF＝CD﹣DF＝1，由勾股定理求出BF=BC2【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，AB＝DA，在△ABE和△DAF中，AE=DF∠BAE=∠D∴△ABE≌△DAF（SAS）；（2）解：BF＝2GH；理由如下：∵△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF+∠BAG＝∠BAD＝90°，∴∠ABE+∠BAG＝90°，∴∠BGF＝∠ABE+∠BAG＝90°，在Rt△BFG中，GH是邊BF的中線，∴BF＝2GH；問題拓展：解：∵tan∠ABE=AEAB=2∴∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF+∠BAG＝∠BAD＝90°，∴∠ABE+∠BAG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴∠BGF＝90°，在Rt△BFG中，GH是邊BF的中線，∴BF＝2GH，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，BC＝AD＝6，CD＝AB＝4，∴CF＝CD﹣DF＝1，∴BF=B∴GH=12BF故答案為：3726．如圖，在正方形ABCD中，點P在對角線AC上（不與點A、C重合），PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，連接PD．（1）求證：四邊形PMBN是矩形．（2）猜想PD、PM、PN之間的數(shù)量關系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質得到∠B＝90°，由垂直的定義得到∠PMB＝∠PNB＝∠B＝90°，于是得到結論；（2）連接PB，MN，由矩形的性質得到PB＝MN，∠MPN＝90°，根據(jù)勾股定理得到PB2＝MN2＝PM2+PN2，根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論．【解析】（1）證明：∵四邊形BCD是正方形，∴∠B＝90°，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠PMB＝∠PNB＝∠B＝90°，∴四邊形BNPM是矩形；（2）解：PD2＝PM2+PN2；理由：連接PB，MN，∵四邊形PMBN是矩形，∴PB＝MN，∠MPN＝90°，∴PB2＝MN2＝PM2+PN2，在△DAP與△MAP中，AD=AB∠DAP=∠BAP=45°∴△DAP≌△MAP（SAS），∴PD＝PB，∴PD2＝PM2+PN2．7．（黑龍江）如圖，BD是正方形ABCD的對角線，線段BC在其所在的直線上平移，將平移得到的線段記為PQ，連接PA，過點Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．（1）如圖①所示，求證：AP=2OA（2）如圖②所示，PQ在BC的延長線上，如圖③所示，PQ在BC的反向延長線上，猜想線段AP、OA之間有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想，不需證明．【分析】（1）由SAS證得△ABO≌△PQO，得出OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，證明∠AOP＝90°，則△AOP是等腰直角三角形，得出AP=2OA（2）PQ在BC的延長線上時，與（1）同理可證△ABO≌△PQO，得出OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，證明∠AOP＝90°，則△AOP是等腰直角三角形，得出AP=2OA；PQ在BC的反向延長線上時，同理可證△ABO≌△PQO，得出OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，證明∠AOP＝90°，則△AOP是等腰直角三角形，得出AP=2【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵QO⊥BD，∴∠BOQ＝90°，∴∠BQO＝∠CBD＝45°，∴OB＝OQ，∵PQ＝BC，∴AB＝PQ，在△ABO和△PQO中，OB=OQ∠ABO=∠BQO=45°∴△ABO≌△PQO（SAS），∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∵∠BOP+∠POQ＝90°，∴∠BOP+∠AOB＝90，即∠AOP＝90°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴AP=2OA（2）解：PQ在BC的延長線上，線段AP、OA之間的數(shù)量關系為：AP=2OA∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵QO⊥BD，∴∠BOQ＝90°，∴∠BQO＝∠CBD＝45°，∴OB＝OQ，∵PQ＝BC，∴AB＝PQ，在△ABO和△PQO中，OB=OQ∠ABO=∠BQO=45°∴△ABO≌△PQO（SAS），∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∵∠BOP+∠POQ＝90°，∴∠BOP+∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴AP=2OAPQ在BC的反向延長線上，線段AP、OA之間的數(shù)量關系為：AP=2OA∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵QO⊥BD，∴∠BOQ＝90°，∴∠BQO＝∠CBD＝∠OBQ＝45°，∴OB＝OQ，∠ABO＝∠PQO＝135°，∵PQ＝BC，∴AB＝PQ，在△ABO和△PQO中，OB=OQ∠ABO=∠PQO∴△ABO≌△PQO（SAS），∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∵∠BOP﹣∠POQ＝90°，∴∠BOP﹣∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴AP=2OA8．（沙河市期末）如圖，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分別為AD、BC中點，連結AF、HG、AH．（1）求證：AF＝HG；（2）求證：∠FAE＝∠GHC；【分析】（1）由AE＝HC，AE∥HC，得到四邊形AHCE為平行四邊形，所以AH＝EC，AH∥EC，再根據(jù)正方形的性質可推導出AH＝FG，AH∥FG，所以四邊形AHGF是平行四邊形，即AH＝FG；（2）由平行四邊形AHGF可得∠FAH+∠AHG＝180°，根據(jù)AD∥BC，可得∠DAH＝∠AHB，又∠AHB+∠AHG+∠GHC＝180°，所以∠FAD＝∠GHC．【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，且E、H分別為AD、BC的中點，∴AE＝HC，AE∥HC，∴四邊形AHCE為平行四邊形，∴AH＝EC，AH∥EC，又∵四邊形ECGF為正方形，∴EC＝FG，EC∥FG，∴AH＝FG，AH∥FG，∴四邊形AHGF是平行四邊形，∴AH＝FG；（2）∵四邊形AHGF是平行四邊形，∴∠FAH+∠AHG＝180°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAH＝∠AHB，又∵∠AHB+∠AHG+∠GHC＝180°，∴∠FAD＝∠GHC．9．（岳麓區(qū)校級期末）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，點P是邊AD上一點（與點A、D不重合），射線PE與BC的延長線交于點Q．（1）求證：△PDE≌△QCE；（2）若PB＝PQ，點F是BP的中點，連結EF、AF，①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；②求PE的長．【分析】（1）由正方形的性質、中點的定義及對頂角相等得出全等的判定條件即可得出答案；（2）①分別根據(jù)等腰三角形的性質、正方形的性質、全等三角形的性質及三角形的中位線定理等知識點得出兩組對邊分別平行，從而證得結論；②設AP＝x，分別用含x的式子表示出PD、CQ、BQ及EF，再根據(jù)平行四邊形的性質及勾股定理求得PE的長即可．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°，∵E是邊CD的中點，∴DE＝CE，又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE（ASA）；（2）①證明：∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，∵點F是BP的中點，∠PAB＝90°，∴AF＝PF＝BF，EF∥BQ，∴∠APF＝∠PAF，∴∠PAF＝∠EPD，∴PE∥AF，又∵EF∥BQ∥AD，∴四邊形AFEP是平行四邊形；②設AP＝x，則PD＝1﹣x，∴CQ＝1﹣x，∴BQ＝2﹣x．∵EF是△PBQ的中位線，∴EF=12（2﹣∵四邊形AFEP是平行四邊形，∴EF＝AP，∴12（2﹣x）＝x∴x=2在Rt△PDE中，DE=12，PD2+DE2＝PE∴(1?23)∴PE=1310．（江都區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點P滿足AP＝AB，PB＝PC．連接AC、PD．（1）求證：△APB≌△DPC；（2）求∠PAC的度數(shù)．【分析】（1）AP＝AB，PB＝PC，可得∠ABC﹣∠PBC＝∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP＝∠DCP，因此可證得兩三角形全等．（2）根據(jù)正方形的性質得出∠CAD＝45°，得出△PAD為等邊三角形，可求得∠BAP＝30°∠PAC＝∠PAD﹣∠CAD＝15°，進而解答即可．【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°．∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC＝∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP＝∠DCP．又∵AB＝DC，PB＝PC，∴△APB≌△DPC（SAS）．（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°．∵△APB≌△DPC，∴AP＝DP．又∵AP＝AB＝AD，∴DP＝AP＝AD．∴△APD是等邊三角形．∴∠DAP＝60°．∴∠PAC＝∠DAP﹣∠DAC＝15°．11．（富縣期末）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB＞CE，連接BG，DE．（1）求證：BG＝DE；（2）連接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度數(shù)．【分析】（1）結合正方形的性質利用SAS證明△BCG≌△DCE，進而可證明結論；（2）連接BE，通過證明△BCG≌△BCE可得△BDE為等邊三角形，進而求解．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG為正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE；（2）連接BE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°．∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE．∵CG＝CE，BC＝BC，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE．∵由（1）可知BG＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE為等邊三角形，∴∠BDE＝60°．12．（大觀區(qū)校級期末）如圖，∠MON＝90°，正方形ABCD的頂點A、B分別在OM、ON上，AB＝13，OB＝5，E為AC上一點，且∠EBC＝∠CBN，直線DE與ON交于點F．（1）求證：BE＝DE；（2）判斷DF與ON的位置關系，并說明理由；（3）△BEF的周長為24．【分析】（1）利用正方形的性質，即可得到△BCE≌△DCE（SAS），根據(jù)全等三角形的性質即可得到BE＝DE．（2）依據(jù)∠EDC＝∠CBN，∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，即可得出∠2+∠CBN＝90°，進而得到DF⊥ON；（3）過C作CG⊥ON于G，過D作DH⊥CG于H，則∠CGB＝∠AOB＝90°，四邊形DFGH是矩形，利用全等三角形的對應邊相等，即可得到DF＝HG＝12，GF＝DH＝5，BF＝BG﹣GF＝7，進而得出△BEF的周長．【解析】（1）∵四邊形ABCD正方形，∴CA平分∠BCD，BC＝DC，∴∠BCE＝∠DCE＝45°，∵CE＝CE，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴BE＝DE．（2）DF⊥ON，理由如下：∵△BCE≌△DCE，∴∠EBC＝∠EDC，∵∠EBC＝∠CBN，∴∠EDC＝∠CBN，∵∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，∴∠2+∠CBN＝90°，∴∠EFB＝90°，即DF⊥ON；（3）如圖所示，過C作CG⊥ON于G，過D作DH⊥CG于H，則∠CGB＝∠AOB＝90°，四邊形DFGH是矩形，又∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBG，∴∠BAO＝∠CBG，又∵AB＝BC，∴△ABO≌△BCG（AAS），∴BG＝AO=132?5同理可得△CDH≌△BCG，∴DH＝CG＝5，CH＝BG＝12，∴HG＝5+12＝17，∴DF＝HG＝12，GF＝DH＝5，∴BF＝BG﹣GF＝12﹣5＝7，∴△BEF的周長＝BF+EF+BE＝BF+EF+DE＝BF+DF＝7+17＝24，故答案為：24．13．（海安市一模）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E為邊BC的中點，點F在邊CD上，連接AE，EF．（1）若CF＝2DF，連接AF．求∠EAF的度數(shù)；（2）當∠AEF＝∠DAE時，求△CEF的面積（用含a的式子表示）．【分析】（1）將△ABE△繞點A點逆時針旋轉90°，證明△AEF≌△AE'F，進而求得結果；（2）過A作AG⊥EF，證明△ABE≌△AGE，△ADF≌△AGF，得BE＝GE，DF＝GF，設CF＝x，在Rt△CEF中，由勾股定理列出x的方程求得x，進而由三角形的面積公式求得結果．【解析】（1）將△ABE△繞點A點逆時針旋轉90°，如圖1，則AE＝AE'，BE＝DE'，∠E'AD＝∠EAB，∠ADE'＝∠ABE＝90°，∵∠ADF＝90°，∴點F、D、E'三點在同一直線上，∵CF＝2DF，∴CF=23a，DF=13a，CE＝BE＝DE∴E'F=56a，EF=∴EF＝E'F，∵AE＝AE'，AF＝AF，∴△AEF≌△AE'F（SSS），∴∠EAF＝∠E'AF=12∠（2）過A作AG⊥EF，如圖2，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠DAE＝∠AEF，∴∠AEB＝∠AEF，∵∠ABE＝∠AGE＝90°，∵AE＝AE，∴△ABE≌△AGE（AAS），∴BE＝GE=12a，AB＝∵AB＝AD，∴AD＝AG，∵AF＝AF，∴Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），∴DF＝GF，設CF＝x，則GF＝DF＝a﹣x，∴EF=1∵CE2+CF2＝EF2，∴(1解得，x=23∴△CEF的面積=114．如圖，在正方形ABCD中，BD為一條對角線，點P為CD邊上一點，A連接AP，并將△ADP平移使AD與BC邊重合，P點落在DC的延長線上的一點G處，過G點作GH⊥BD于點H，連接HP和HC（1）在圖中依題意補全圖形；（2）求證：PH＝CH．【分析】（1）依題意補全圖形即可；（2）先根據(jù)正方形的性質得出△DHQ是等腰直角三角形，由平移的性質得出DP＝QC，再由SAS定理證明△HDP≌△HQC，得出對應邊相等即可．【解析】（1）解：依題意補全圖形，如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ＝45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵平移△ADP，得到△BCQ，∴△ADP≌△BCQ，∴DP＝CQ，在△HDP與△HQC中，DH=QH∠HDP=∠HQC∴△HDP≌△HQC（SAS），∴PH＝CH．15．（浙江自主招生）已知如圖，正方形ABCD和等腰直角△BEF，BE＝EF，∠BEF＝90°，取DF中點G，連結EG、CG，探究EG、CG的數(shù)量關系和位置關系，并證明．【分析】延長EG到H，使EG＝GH，作FP⊥BC于P，連接EC，CH，DH，則FP∥CD，證△EFG≌△HDG（SAS），得出EF＝HD＝BE，再證△DHC≌△BEC（SAS），得出CH＝CE，∠DCH＝∠BCE，證出∠ECH＝∠BCD＝90°，得出△ECH是等腰直角三角形，進而得出結論．【解析】CG＝EG，CG⊥EG，理由如下：延長EG到H，使EG＝GH，作FP⊥BC于P，連接EC，CH，DH，如圖：則FP∥CD，∴∠DFP＝∠GDC，∵G是DF的中點，∴FG＝DG，在△EFG和△HDG中，EG=HG∠EGF=∠HGD∴△EFG≌△HDG（SAS），∴EF＝HD＝BE，∠HDG＝∠GFE，∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE＝EF＝HD，∴∠HDC+∠GDC＝∠DFP+∠PFE，∴∠HDC＝∠PFE＝∠EBC．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，在△DHC和△BEC中，DH=BE∠HDC=∠EBC∴△DHC≌△BEC（SAS），∴CH＝CE，∠DCH＝∠BCE，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴△ECH是等腰直角三角形，∵EG＝GH，∴CG＝EG，CG⊥EG．16．（黃岡模擬）如圖，正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥OF，分別交AB、BC于E、F．（1）求證：△OEF是等腰直角三角形．（2）若AE＝4，CF＝3，求EF的長．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質可得∠ABO＝∠ACF＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠EOB＝∠FOC，然后利用“角邊角”證明△BEO和△CFO全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OE＝OF，從而得證；（2）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE＝CF，再根據(jù)正方形的四條邊都相等求出AE＝BF，再利用勾股定理列式進行計算即可得解．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABO＝∠ACF＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠FOC+∠BOF＝90°，又∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB+∠BOF＝90°，∴∠EOB＝∠FOC，在△BEO和△CFO中，∠ABO=∠ACFOB=OC∴△BEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF，又∵∠EOF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（2）解∵△BEO≌△CFO（已證），∴BE＝CF＝3，又∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∴AB﹣BE＝BC﹣CF，即AE＝BF＝4，在Rt△BEF中，EF=BE17．（洪山區(qū)期中）如圖，已知正方形ABCD和等邊△DCE，點F為CE的中點，AE與DF相交于點G，AG＝23．（1）直接寫出GE＝2；（2）求出DG的長；（3）如圖，若將題中“等邊△DCE”改為“DC＝DE的等腰△DCE”，其他條件不變，求出BG+DG的值．【分析】（1）連接AC，根據(jù)正方形ABCD和等邊△DCE，點F為CE的中點，可以證明△AGC為直角三角形，進而可得GE的長；（2）結合（1）可得DF的長，再根據(jù)等腰直角△CGE斜邊上中線等于斜邊的一半得GF=2，進而可得DG（3）如圖2，過D作DN⊥AE于N，過A作AM⊥AE交GD的延長線于M，可以證明MAD≌△GAB，可得BG＝DM，進而可得BG+DG的值．【解析】（1）如圖1，連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，∵點F為等邊△DCE邊CE的中點，∴DF是CE的垂直平分線，∴GE＝GC，∵∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝15°，∴∠GEC＝∠GCE＝60°﹣15°＝45°，∴GC⊥AE，∴△AGC為直角三角形，∵∠GAC＝∠DAC﹣∠DAE＝45°﹣15°＝30°，AG＝23，∴GC＝GE=33故答案為：2；（2）由（1）可得AC＝4，則DC＝22，在等邊△DCE中DF=6在等腰直角△CGE中，由斜邊上中線等于斜邊的一半得GF=2∴DG=6（3）如圖2，過D作DN⊥AE于N，過A作AM⊥AE交GD的延長線于M，∵∠ADN+∠CDN＝90°，∠ADN+∠DAN＝90°，∴∠DAN＝∠CDN，∵AD＝DC＝DE，∴∠DAN＝∠CDN＝∠DEA，∵F是CE中點，∴∠CDF＝∠EDF，∵∠NDG＝∠CDN+∠CDF，∠DGN＝∠DEA+∠EDF，∴∠NDG＝∠DGN＝45°，∴∠M＝45°，∴AM＝AG，∵∠DAM+∠DAN＝90°，∠BAG+∠DAN＝90°，∴∠DAM＝∠BAG，在△MAD和△GAB中，AM=AG∠DAM=∠BAG∴△MAD≌△GAB（SAS），∴BG＝DM，∴BG+DG＝DM+DG＝MG=2AG=2×2318．（興化市期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊上的動點（不與點B、C重合），將射線AE繞點A按逆時針方向旋轉45°后交CD邊于點F，AE、AF分別交BD于G、H兩點．（1）當∠BEA＝55°時，求∠HAD的度數(shù)；（2）設∠BEA＝α，試用含α的代數(shù)式表示∠DFA的大??；（3）點E運動的過程中，試探究∠BEA與∠FEA有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質和三角形的內(nèi)角和解答即可；（2）根據(jù)正方形的性質和三角形內(nèi)角和解答即可；（3）延長CB至I，使BI＝DF，根據(jù)全等三角形的判定和性質解答即可．【解析】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EBA＝∠BAD＝90°，∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠HAD＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EBA＝∠BAD＝∠ADF＝90°，∴∠EAB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣（90°﹣α）＝α﹣45°，∴∠DFA＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α；（3）∠BEA＝∠FEA，理由如下：延長CB至I，使BI＝DF，連接AI．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABC＝90°，∴∠ABI＝90°，又∵BI＝DF，∴△DAF≌△BAI（SAS），∴AF＝AI，∠DAF＝∠BAI，∴∠EAI＝∠BAI+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°＝∠EAF，又∵AE是△EAI與△EAF的公共邊，∴△EAI≌△EAF（SAS），∴∠BEA＝∠FEA．19．（常州期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，將BD向兩個方向延長，分別至點E和點F，且使BE＝DF．（1）判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的猜想；（2）若AB＝32，BE＝3，求四邊形AECF的周長．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質和菱形的判定解答即可；（2）根據(jù)正方形和菱形的性質以及勾股定理解答即可．【解析】（1）證明：∵正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．∵BE＝DF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF．∴四邊形AECF是平行四邊形．∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形．（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AO=12AC，BO=12BD，AC＝BD，∴AO＝BO，∠AOB＝90°．在直角△AOB中，由勾股定理知：AB=AO2∴AO＝BO＝3．∴EO＝OB+BE＝6．在△AOE中，∠AOE＝90°，AE=AO2∵四邊形AECF是菱形，∴AE＝EC＝CF＝AF．∴四邊形AECF的周長＝4AE＝125．∴四邊形AECF的周長是125．20．（江陰市期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM．設點N的坐標為（m，n）．（1）若建立平面直角坐標系，滿足原點在線段BD上，點B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），則點D的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，﹣1）；請直接寫出點N縱坐標n的取值范圍是0＜n≤3（2）若正方形的邊長為2，求EC的長，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：連結MN：4+23=3【分析】（1）如圖1，以直線BD為x軸，直線AC為y軸，建立平面直角坐標系，根據(jù)正方形的性質得到OA＝OB＝OC＝OD，由點B（﹣1，0），A（0，1），于是得到D（1，0），C（0，﹣1）；過N作NH⊥BD于h，根據(jù)旋轉的性質得到∠NBH＝60°，BM＝BN，求得NH=32BN=（2）如圖所示，連接MN，過E作EH⊥BC，交CB的延長線于H，由旋轉的性質得到BM＝BN，∠NBM＝60°，求得△BMN是等邊三角形，求得MN＝BM，根據(jù)等邊三角形的性質得到BE＝BA，∠ABE＝60°，求得∠ABM＝∠EBN，根據(jù)全等三角形的性質得到AM＝EN，求得AM+BM+CM＝EN+MN+CM，當E，N，M，C在同一直線上時，AM+BM+CN的最小值是CE的長，解直角三角形即可得到結論．【解析】（1）如圖1，以直線BD為x軸，直線AC為y軸，建立平面直角坐標系，∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵點B（﹣1，0），A（0，1），∴D（1，0），C（0，﹣1）；過N作NH⊥BD于h，∴∠NHB＝90°，∵將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，∴∠NBH＝60°，BM＝BN，∴NH=32BN=∵0＜t≤2，∴點N縱坐標n的取值范圍是0＜n≤3故答案為：（1，0），（0，﹣1）；0＜n≤3（2）如圖所示，連接MN，過E作EH⊥BC，交CB的延長線于H，由旋轉可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，∴△BMN是等邊三角形，∴MN＝BM，∵△ABE是等邊三角形，∴BE＝BA，∠ABE＝60°，∴∠ABM＝∠EBN，∴△ABM≌△EBN（SAS），∴AM＝EN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，∴當E，N，M，C在同一直線上時，AM+BM+CN的最小值是CE的長，又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，∴∠EBH＝30°，∴Rt△EBH中，EH=12EB∴BH=E∴CH＝2+3∴Rt△CEH中，CE=H∴AM+BM+CM的最小值為6+21．（濱?？h期中）如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．（1）若直線EF與AB、AD的延長線分別交于點M、N，求證：EF2＝ME2+NF2；（2）如圖2，將正方形改為矩形，若其余條件不變，請寫出線段EF、BE、DF之間的數(shù)量關系，并說明理由．【分析】（1）將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△ABG，連結GM．證明△AEG≌△AEF，則EG＝EF．再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出CE＝CF，BE＝BM，NF=2DF，然后證明∠GME＝90°，MG＝NF，利用勾股定理得出EG2＝ME2+MG2，等量代換即可證明EF2＝ME2+NF2（2）延長EF交AB延長線于M點，交AD延長線于N點，將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△AGH，連結HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，結合勾股定理以及相等線段可得（GH+BE）2+（BE﹣GH）2＝EF2，所以2（DF2+BE2）＝EF2．【解析】（1）證明：如圖1，設正方形ABCD的邊長為a．將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△ABG，連結GM．則△ADF≌△ABG，DF＝BG．∴AF＝AG，∠FAG＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＝45°，在△AGE與△AFE中，AG=AF∠GAE=∠FAE=45°∴△AGE≌△AFE（SAS）；∴EG＝EF．∵∠CEF＝45°，∴△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，∴CE＝CF，BE＝BM，NF=2DF∴a﹣BE＝a﹣DF，∴BE＝DF，∴BE＝BM＝DF＝BG，∴∠BMG＝45°，∴∠GME＝45°+45°＝90°，∴EG2＝ME2+MG2，∵EG＝EF，MG=2BM=2DF＝∴EF2＝ME2+NF2；（2）解：EF2＝2BE2+2DF2．如圖2所示，延長EF交AB延長線于M點，交AD延長線于N點，將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△AGH，連結HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，則由勾股定理有（GH+BE）2+BG2＝EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2＝EH2又∴EF＝HE，DF＝GH＝GM，BE＝BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2＝EF2，即2（DF2+BE2）＝EF2，22．（邳州市期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，∠EAF＝45°．（1）如圖（1），試判斷EF，BE，DF間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖（2），若AH⊥EF于點H，試判斷線段AH與AB的數(shù)量關系，并說明理由．【分析】（1）延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，證△GDA≌△EBA，△GAF≌△EAF，根據(jù)全等三角形的性質得出GD+DF＝BE+DF＝EF進而求出即可；（2）把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABQ，如圖，根據(jù)旋轉的性質得AQ＝AF，∠FAQ＝90°，∠ABQ＝∠D＝90°，則可判斷點Q在CB的延長線上，由∠EAF＝45°得到∠QAE＝90°﹣∠EAF＝45°，然后根據(jù)“SAS”判斷△AEQ≌△AEF，得到EQ＝FE，再根據(jù)全等三角形對應邊上的高相等得到結論．【解析】（1）解：BE+DF＝EF；理由如下：如圖1，延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，∵在△GDA和△EBA中，DG=BE∠GDA=∠ABE=90°∴△GDA≌△EBA（SAS），∴AG＝AE，∠GAD＝∠EAB，故∠GAF＝45°，在△GAF和△EAF中，∵AG=AE∠GAF=∠EAF∴△GAF≌△EAF（SAS），∴GF＝EF，即GD+DF＝BE+DF＝EF；（2）AH＝AB，理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABQ，如圖2，∴AQ＝AF，∠FAQ＝90°，∠ABQ＝∠D＝90°，而∠ABC＝90°，∴點Q在CB的延長線上，∵∠EAF＝45°，∴∠QAE＝90°﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠QAE，在△AEQ和△AEF中，AE=AE∠EAF=∠QAE∴△AEQ≌△AEF（SAS），∴EQ＝EF，∵AB⊥EQ，AH⊥FE，∴AB＝AH．23．（無錫期中）如圖，邊長為8的正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是AB邊上一動點，ME⊥AO，MF⊥BO．（1）求證：四邊形OEMF為矩形；（2）連接EF，求EF的最小值．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質和矩形判定解答即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質解答即可．【解析】（1）∵ME⊥AO，MF⊥BO，∴∠MEO＝90°，∠MFO＝90°，∵正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，∴∠EOF＝90°，∴四邊形OEMF為矩形；（2）∵邊長為8的正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，∴OA＝OB＝42，當M在AB的中點時，EF有最小值，最小值=O24．（海珠區(qū)校級期中）（1）如圖①，點E、F分別在正方形ABCD的邊AB、BC上，∠EDF＝45°，連接EF，求證：EF＝AE+FC．（2）如圖②，點E，F(xiàn)在正方形ABCD的對角線AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的數(shù)量關系，并說明理由．【分析】（1）延長BA，使AM＝CF，由題意可證△AMD≌△CFD，可得MD＝FD，∠ADM＝∠CDF，即可得∠MDE＝∠EDF＝45°，即可證△MDE≌△FDE，可得EF＝EM，則可得EF＝AE+CF；（2）將△CDF繞點D順時針旋轉90°，可得△ADN，由旋轉的性質可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，由“SAS”可證△EDF≌△EDN，可得EF＝EN，即可得結論．【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如圖①：延長BA，使AM＝CF，連接MD，在△AMD和△CFD中，AM=CF∠MAD=∠C∴△AMD≌△CFD（SAS），∴∠MDA＝∠CDF，MD＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，∴∠ADM+∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠EDF，在△EDF和△EDM中，MD=DF∠MDE=∠FDE∴△EDF≌△EDM（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝AM+AE＝AE+CF，∴EF＝AE+CF；（2）EF2＝AE2+CF2，理由如下：如圖②，將△CDF繞點D順時針旋轉90°，可得△ADN，由旋轉的性質可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，∴∠CAN＝∠CAD+∠DAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EDF＝45°，∴∠CDF+∠ADE＝45°，∴∠ADE+∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF，在△EDF和△EDN中，DF=DN∠FDE=∠NDE∴△EDF≌△EDN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．25．（永年區(qū)期中）（1）如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，求證：EF＝BE+FD；（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足什么關系時，仍有EF＝BE+FD，說明理由．【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質可以得到△ADG≌△ABE，則GF＝BE+DF，只要再證明△AFG≌△AFE即可；（2）延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，證△ADF≌△ABM，再證△FAE≌△MAE，即可得出答案．【解析】證明：（1）如圖1：把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，則△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠FAE，在△GAF和△EAF中，AG=AE∠GAF=∠FAE∴△GAF≌△EAF（SAS）．∴GF＝EF．又∵DG＝BE，∴GF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF；（2）當∠BAD＝2∠EAF時，仍有EF＝BE+FD，理由如下：如圖2，延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，AB=AD∠ABM=∠D∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，AE=AE∠FAE=∠MAE∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF．26．（南崗區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，H分別在BC，AB上，點G在BA的延長線上，且CE＝AG，DE⊥CH于F．（1）求證：四邊形GHCD為平行四邊形．（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ECF互余的角．【分析】（1）根據(jù)正方形性質求出AD＝DC，∠GAD＝∠DCE＝90°，根據(jù)全等三角形判定可得DG＝HC，DE＝CH，再根據(jù)平行線的判定可得DG∥HC，進而可得即可四邊形GHCD為平行四邊形；（2）根據(jù)直角三角形兩個銳角互余，再結合（1）可得圖中所有與∠ECF互余的角．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠GAD＝∠DCE＝90°，在△GAD和△ECD中，AG=CE∠GAD=∠ECD∴△GAD≌△ECD（SAS），∴DE＝DG，∠GDA＝∠EDC，∴∠GDA+∠ADF＝∠EDC+∠ADF，即∠GDF＝∠ADC＝90°，∵DE⊥CH，∴∠DFH＝∠CFD＝90°，∴DG∥CH，∵∠HCB+∠HCD＝∠EDC+∠DCF＝90°，∴∠HCB＝∠EDC，在△HBC和△ECD中，∠HCB=∠EDCBC=DC∴△HBC≌△ECD（ASA）∴CH＝DE，∴DG＝CH，∵DG∥CH，∴四邊形GHCD為平