2024-2025學年高一【數(shù)學(人教A版)】函數(shù)的單調(diào)性-教學設計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高一學期第一學期課題函數(shù)的單調(diào)性教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：1.借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性，會用定義證明簡單函數(shù)的單調(diào)性；2.經(jīng)歷從定性到定量的概念形成過程，體現(xiàn)了數(shù)學抽象的一般過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象的素養(yǎng)；3.通過構建一個從具體到抽象，從特殊到一般的過程，使學生歸納概括出用嚴格數(shù)學語言精確刻畫單調(diào)性的方法，提升數(shù)學運算和直觀想象的素養(yǎng)．教學重點：函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．教學難點：符號語言的引入，對“任意”“都有”等涉及無限取值的語言的理解和使用．教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動3分鐘（一）知識引入教師引導：我們知道函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學模型，這樣我們可以通過研究函數(shù)的性質獲得對客觀世界中事物變化規(guī)律的認識．那么什么是函數(shù)性質呢？總體而言，函數(shù)性質就是“變化中的不變性，變化中的規(guī)律性”．研究函數(shù)性質，就是要學會在運動變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．請大家回顧初中學習過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，我們通過什么來研究它們的性質呢？師生活動：學生回答，師生共同得到結論：通過圖象研究函數(shù)性質.問題1：請看下面的函數(shù)圖象，從中能發(fā)現(xiàn)什么變化中的規(guī)律？師生活動：教師利用PPT展示例子，學生觀察圖象并回答問題．學生的回答可能涉及很多方面（如升降變化，對稱性，最高點或最低點等），教師引導學生關注圖象從左到右升降變化的特點．追問：函數(shù)圖象所反映的這些特點就是函數(shù)的性質．你能回顧一下初中的知識，用定性的方法描述前兩個圖象從左到右的升降變化嗎？即隨的增大是如何變化的？預設：第一個圖象從左到右是上升的，即在上，隨的增大而增大；第二個函數(shù)在及兩個區(qū)間上，從左到右圖象分別上升，隨的增大而增大；在及兩個區(qū)間上，從左到右圖象分別下降，隨的增大而減?。處熤赋觯罕竟?jié)課我們繼續(xù)研究這一性質，我們要用定量的方法刻畫函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減?。┑淖兓?guī)律．設計意圖：通過實例，使學生感受研究函數(shù)性質的必要性；結合初中已學的定性方法刻畫函數(shù)單調(diào)性的知識，明確學習任務．12分鐘（二）函數(shù)單調(diào)性的定量刻畫1.具體實例的分析問題2：初中我們研究過二次函數(shù)，現(xiàn)在我們以函數(shù)為例，我們知道在區(qū)間上，隨的增大而減?。垎柲闶窃鯓永斫狻半S的增大而減小”的？你能說說它的數(shù)量特征嗎？師生活動：學生獨立思考并交流．設計意圖：從刻畫數(shù)量特征的角度進行描述，促使學生深入思考單調(diào)性，從定性描述轉向定量刻畫．追問1：“增大了”如何用符號語言表示？“對應的函數(shù)值減小”又該如何表示？觀察下表，你能給出具體的描述嗎？…-5-4-3-2-1……2516941…師生活動：一般地，學生會從表格中看到具體數(shù)值的變化規(guī)律，如：當從-5增大到-4，函數(shù)值從25減小到16；當從-4增大到-3，函數(shù)值從16減小到9；當從-3增大到-2，函數(shù)值從9小到4；……追問2：這樣的變化過程能寫的完嗎？你能借助字母符號，歸納出上述具體數(shù)值變化的共同點嗎？師生活動：先讓學生從具體到抽象嘗試概括，教師進行啟發(fā)，最后得到符號表示“只要，就有”．追問3：這里對，有什么要求？只取上的某些數(shù)對是否可以？你能舉例說明嗎？師生活動：讓學生展開討論，教師適當引導，并舉出反例進行說明，要讓學生明確，應該是區(qū)間上的所有數(shù)對，．預設反例：如圖象所示函數(shù)，我們可以找到、，但很明顯函數(shù)在區(qū)間上并不單調(diào)遞減．追問4：“所有”又該如何說明？既然“所有”不易操作，可以用什么量詞來代替“所有”呢？你能嚴格的表達出來嗎？師生活動：教師引導學生說出用“任意”代替“所有”，幫助學生體會用“任意”處理“無限”的思想．預設：任取，，只要，就有．教師總結：我們借助數(shù)學符號語言，給出了一個與“無限”相關的變化規(guī)律的定量描述，即任取，，把“無窮”問題轉化為了可操作的有限過程，這就是數(shù)學抽象的力量．追問5：你能說出為什么嗎？教師引導：要對兩個函數(shù)值比大小，實質上是不等式的代數(shù)證明，具體證明方法我們稍后會說明．追問6：對于函數(shù)，你能模仿上述方法，給出“在區(qū)間上，隨的增大而增大”的符號語言刻畫嗎？設計意圖：這個環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點，也是難點，其核心是通過從具體到抽象的過程，讓學生學會用嚴格的符號語言刻畫“在區(qū)間上，當增大時，相應的隨之減小”．從圖象到定性再到定量的不斷精確化的過程中，通過問題串，設法引出“任意”，引導學生體會用“任意”刻畫“無限”的力量．練習：請你模仿上述過程，用嚴格的符號語言刻畫函數(shù)的單調(diào)性．2.單調(diào)性定義的抽象問題3：請你歸納以上兩個函數(shù)單調(diào)性的刻畫方法，給出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的符號表述．師生活動：先由學生獨立完成并交流，再由教師給出嚴格的單調(diào)性定義表述．定義：一般地，設函數(shù)的定義域為，區(qū)間．如果，，當時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)．再由學生類比給出單調(diào)遞減及減函數(shù)的定義．3.單調(diào)性定義的辨析問題4：函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的，你能舉出在整個定義域內(nèi)單調(diào)遞增的函數(shù)（即增函數(shù)）例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？師生活動：先由學生思考并交流，教師幫助完善．預設1：如函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，描述函數(shù)單調(diào)性，要說清哪個函數(shù)、在哪個區(qū)間上，單調(diào)怎樣．預設2：允許函數(shù)在某些區(qū)間上單調(diào)遞增，在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減，只有在整個定義域上單調(diào)遞增才能叫增函數(shù)．預設3：當函數(shù)有多個單調(diào)區(qū)間時，不能隨意用并集．如反比例函數(shù)，我們不能說它在單調(diào)遞減，因為可以找到如，但這樣的反例，不滿足單調(diào)遞減的定義，所以只能說函數(shù)在及上分別單調(diào)遞減．設計意圖：這個辨析是為了區(qū)分“單調(diào)遞增”與“增函數(shù)”、“單調(diào)遞減”與“減函數(shù)”等概念，也是為了引導學生體會函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質．函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)，并不意味著函數(shù)在整個定義域內(nèi)都是單調(diào)的．8分鐘（三）單調(diào)性定義的簡單應用例1根據(jù)定義，研究函數(shù)的單調(diào)性．師生活動：先讓學生獨立思考，共同討論研究思路，教師給出嚴格的表述．教師強調(diào)：（1）研究一個函數(shù)的單調(diào)性，需要利用單調(diào)性的定義，考察在定義域內(nèi)的哪些區(qū)間上單調(diào)遞增、在哪些區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）具體的操作方法是，在條件下，考察與的大小關系，比大小可以做差，這里往往要用到不等式的性質和代數(shù)變形．設計意圖：例1不僅是讓學生熟悉利用定義研究函數(shù)單調(diào)性的過程，也是對初中階段從圖象中得到的結論進行嚴格的證明．此外，這里將“比較與的大小”轉化為“比較與0的大小”的做法，體現(xiàn)了數(shù)學中“化繁為簡”“化難為易”的轉化與化歸思想．例2物理學中的玻意耳定律（為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積減小時，壓強將增大，試對此用函數(shù)的單調(diào)性證明．師生活動：先讓學生獨立思考“體積減小時，壓強增大”的含義，建立物理意義與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系，明確只要證明函數(shù)（）是減函數(shù)即可．再讓學生獨立給出證明，教師完善．設計意圖：例2是一個物理學中的公式，本例要使學生體會函數(shù)模型可以用來刻畫現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象．數(shù)學的研究是將一類運動變化的現(xiàn)象抽象成一類函數(shù)，通過研究這一類函數(shù)的性質而獲得事物的變化規(guī)律．注意培養(yǎng)學生數(shù)學表達的嚴謹性和規(guī)范性．追問：你能由例1、例2的解題過程，歸納一下用單調(diào)性定義研究或證明一個函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的基本步驟嗎？師生活動：師生共同歸納出證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的基本步驟：第一步，在區(qū)間上任取兩個自變量的值，，并規(guī)定；第二步，計算，將分解為若干個可以直接確定符號的式子；第三步，確定的符號．若，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；若，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．設計意圖：此環(huán)節(jié)旨在幫助學生規(guī)范證明過程．2分鐘（四）課堂小結問題5：請同學們回答下列問題：（1）什么叫函數(shù)的單調(diào)性？你能舉出一些具體例子嗎？（2）證明函數(shù)單調(diào)性時，應把握好哪些關鍵問題？（3）結合本節(jié)課的學習過程，你對函數(shù)性質的研究方法有什么體會？師生活動：學生思考并回答，教師進行歸納．設計意圖：（1）讓學生準確敘述單調(diào)