2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章第五章平面向量與復(fù)數(shù)(測(cè)試)(學(xué)生版+解析)

第五章平面向量與復(fù)數(shù)（測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量為單位向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．2．已知向量，則（

）A． B．2 C． D．33．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．直線上 B．直線上C．直線上 D．直線上4．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則等于（

）A． B． C． D．5．設(shè)是關(guān)于的方程的兩根其中，若（為虛數(shù)單位）.則（

）A． B． C． D．26．已知非零不共線向量滿(mǎn)足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知，都是正實(shí)數(shù)，若向量，，且滿(mǎn)足，則的最小值是（

）A．50 B． C． D．8．是等腰直角三角形，其中，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若（且），則在上的投影向量的長(zhǎng)度的取值范圍是（

）四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）已知平面向量，.(1)求的值；(2)求與夾角的余弦值.16．（15分）已知復(fù)數(shù)與．(1)求及的值；(2)設(shè)，滿(mǎn)足的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？17．（15分）在復(fù)數(shù)域中，對(duì)于正整數(shù)滿(mǎn)足的所有復(fù)數(shù)稱(chēng)為單位根，其中滿(mǎn)足對(duì)任意小于的正整數(shù)，都有，則稱(chēng)這種復(fù)數(shù)為次的本原單位根，例如當(dāng)時(shí)，存在四個(gè)4次單位根，因?yàn)?，因此只有兩個(gè)4次本原單位根．(1)直接寫(xiě)出復(fù)數(shù)的3次單位根，并指出那些是復(fù)數(shù)的3次本原單位根（無(wú)需證明）．(2)①若是復(fù)數(shù)的8次本原單位根，證明：．②若是復(fù)數(shù)的次本原單位根，證明：．18．（17分）如圖，在平面四邊形中，已知，，，為線段上一點(diǎn).(1)求的值；(2)若為線段的中點(diǎn)，求的值；(3)試確定點(diǎn)的位置，使得最小.19．（17分）定義向量的“伴隨函數(shù)”為；函數(shù)的“伴隨向量”為.(1)寫(xiě)出的“伴隨函數(shù)”，并直接寫(xiě)出的最大值；(2)寫(xiě)出函數(shù)的“伴隨向量”為，并求；(3)已知，的“伴隨函數(shù)”為，的“伴隨函數(shù)”為，設(shè)，且的伴隨函數(shù)為，其最大值為.①若，求的取值范圍；②求證：向量的充要條件是.第五章平面向量與復(fù)數(shù)（測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量為單位向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄烤鶠閱挝幌蛄浚?，且，，則，兩邊平方可得，即，所以，又，所以與的夾角為．故選：C．2．已知向量，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】由兩邊平方得，，所以，所以，所以，故選：D.3．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．直線上 B．直線上C．直線上 D．直線上【答案】B【解析】易知，所以，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于直線上.故選：B4．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，.故選：A5．設(shè)是關(guān)于的方程的兩根其中，若（為虛數(shù)單位）.則（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】因?yàn)殛P(guān)于的方程的一個(gè)根為，所以另一個(gè)根，所以.故選：A.6．已知非零不共線向量滿(mǎn)足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，由兩邊平方得，，整理得，，因是非零不共線向量，則，即，解得，，此時(shí)函數(shù)是增函數(shù)，故，即的取值范圍為.故選：D.7．已知，都是正實(shí)數(shù)，若向量，，且滿(mǎn)足，則的最小值是（

）A．50 B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，，且，則，所以，化簡(jiǎn)可得，整理可得，因?yàn)椋际钦龑?shí)數(shù)，所以，即，所以，解得或（舍），所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：A8．是等腰直角三角形，其中，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若（且），則在上的投影向量的長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，（且），則（且），則在線段上，如圖所示，當(dāng)與重合時(shí)，在上的投影向量的長(zhǎng)度取得最大值，最大值為；當(dāng)與重合時(shí)，在上的投影向量的長(zhǎng)度取得最小值，最大值為；則在上的投影向量的長(zhǎng)度的取值范圍是．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量，，為非零向量，下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，，則B．已知向量，，則C．若，則和在上的投影向量相等D．已知，，，則點(diǎn)A，B，D一定共線【答案】CD【解析】對(duì)于A，若，，則與可能平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，則，解得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所?所以點(diǎn)A，B，D一定共線，故D正確.故選：CD.10．已知復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A，設(shè)，顯然，但，故A錯(cuò)；對(duì)于B，設(shè)，則，，，所以，故B對(duì)；對(duì)于CD，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量，復(fù)數(shù)加減法對(duì)應(yīng)向量加減法，故和分別為和為鄰邊構(gòu)成平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度，所以，，故C對(duì)，D對(duì).故選：BCD.11．已知點(diǎn)，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若， D．的最大值為【答案】ACD【解析】由題意可知，，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以,即，故，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使得，即，解得，故或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，解得，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，其中，所以?dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知正方形ABCD，邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，若，則.【答案】【解析】因?yàn)樵趩挝徽叫危c(diǎn)是邊上一點(diǎn)，又，所以，，所以.故答案為：13．已知復(fù)數(shù)，且，則的最小值是．【答案】1【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，且，所以，所以，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即或（舍去）時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是1.故答案為：114．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為，正方形邊長(zhǎng)為1，則的值為.若在線段上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】6【解析】由已知得正方形與正方形的中心重合，不妨設(shè)為，所以，，則；，顯然，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，所以故答案為：6；．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）已知平面向量，.(1)求的值；(2)求與夾角的余弦值.【解析】（1），（3分）故；（6分）（2）設(shè)與夾角為，，（12分）故與夾角的余弦值為（13分）16．（15分）已知復(fù)數(shù)與．(1)求及的值；(2)設(shè)，滿(mǎn)足的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？【解析】（1），；（7分）（2）由（1）知，設(shè)（x、）．因?yàn)椴坏仁降慕饧且詾閳A心，1為半徑的圓上和該圓外部所有點(diǎn)組成的集合，不等式的解集是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上和該圓內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合，（12分）所以滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并包括圓環(huán)的邊界，如圖所示．（15分）17．（15分）在復(fù)數(shù)域中，對(duì)于正整數(shù)滿(mǎn)足的所有復(fù)數(shù)稱(chēng)為單位根，其中滿(mǎn)足對(duì)任意小于的正整數(shù)，都有，則稱(chēng)這種復(fù)數(shù)為次的本原單位根，例如當(dāng)時(shí)，存在四個(gè)4次單位根，因?yàn)椋虼酥挥袃蓚€(gè)4次本原單位根．(1)直接寫(xiě)出復(fù)數(shù)的3次單位根，并指出那些是復(fù)數(shù)的3次本原單位根（無(wú)需證明）．(2)①若是復(fù)數(shù)的8次本原單位根，證明：．②若是復(fù)數(shù)的次本原單位根，證明：．【解析】（1）由題意可得的解為，（3分）則復(fù)數(shù)的3次單位根為，由于因?yàn)?，的一次方以?次方均不等于1，故復(fù)數(shù)的3次本原單位根為.（6分）（2）證明：①因?yàn)槭菑?fù)數(shù)的8次本原單位根，所以.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最小.（17分）法二：建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)()，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最?。?7分）19．（17分）定義向量的“伴隨函數(shù)”為；函數(shù)的“伴隨向量”為.(1)寫(xiě)出的“伴隨函數(shù)”，并直接寫(xiě)出的最大值；(2)寫(xiě)出函數(shù)的“伴隨向量”為，并求；(3)已知，的“伴隨函數(shù)”為，