2024全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷

下載后可任意編輯第33頁（共33頁）2024年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，則A∩B=（）A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，） D．（，3）2．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)（1+i）x=1+yi，其中x，y是實數(shù)，則|x+yi|=（）A．1 B． C． D．23．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10=8，則a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）某公司的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（）A． B． C． D．5．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知方程﹣=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）6．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）A．17π B．18π C．20π D．28π7．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的圖象大致為（）A． B． C． D．8．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，則（）A．a(chǎn)c＜bc B．a(chǎn)bc＜bacC．a(chǎn)logbc＜blogac D．logac＜logbc9．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）執(zhí)行如圖的程序框圖，假如輸入的x=0，y=1，n=1，則輸出x，y的值滿足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點．已知|AB|=4，|DE|=2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）平面α過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m、n所成角的正弦值為（）A． B． C． D．12．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣為f（x）的零點，x=為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（，）上單調(diào)，則ω的最大值為（）A．11 B．9 C．7 D．5二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，則m=．14．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）（2x+）5的展開式中，x3的系數(shù)是．（用數(shù)字填寫答案）15．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為．16．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為元．三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（12分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面積為，求△ABC的周長．18．（12分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）證明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，假如備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；（Ⅲ）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個？20．（12分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)圓x2+y2+2x﹣15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．21．（12分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有兩個零點．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2．請考生在22、23、24題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分.[選修4-1：幾何證明選講]22．（10分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓．（Ⅰ）證明：直線AB與⊙O相切；（Ⅱ）點C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：AB∥CD．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]23．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）說明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0，其中α0滿足tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a．[選修4-5：不等式選講]24．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在圖中畫出y=f（x）的圖象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．

2024年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，則A∩B=（）A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，） D．（，3）【專題】11：計算題；4O：定義法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，結(jié)合交集的定義，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故選：D．【點評】本題考查的知識點是集合的交集及其運算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)（1+i）x=1+yi，其中x，y是實數(shù)，則|x+yi|=（）A．1 B． C． D．2【專題】34：方程思想；4O：定義法；5N：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出x，y的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進行計算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故選：B．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計算，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出x，y的值是解決本題的關(guān)鍵．3．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10=8，則a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【專題】11：計算題；4O：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】根據(jù)已知可得a5=3，進而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}前9項的和為27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故選：C．【點評】本題考查的知識點是數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．4．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）某公司的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（）A． B． C． D．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】求出小明等車時間不超過10分鐘的時間長度，代入幾何概型概率計算公式，可得答案．【解答】解：設(shè)小明到達時間為y，當(dāng)y在7：50至8：00，或8：20至8：30時，小明等車時間不超過10分鐘，故P==，故選：B．【點評】本題考查的知識點是幾何概型，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知方程﹣=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，從而可求n的取值范圍．【解答】解：∵雙曲線兩焦點間的距離為4，∴c=2，當(dāng)焦點在x軸上時，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示雙曲線，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范圍是：（﹣1，3）．當(dāng)焦點在y軸上時，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，無解．故選：A．【點評】本題主要考查了雙曲線方程的應(yīng)用，考查了不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）A．17π B．18π C．20π D．28π【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】推斷三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，利用體積求出幾何體的半徑，然后求解幾何體的表面積．【解答】解：由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是一個球去掉后的幾何體，如圖：可得：=，R=2．它的表面積是：×4π?22+=17π．故選：A．【點評】本題考查三視圖求解幾何體的體積與表面積，考查計算能力以及空間想象能力．7．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的圖象大致為（）A． B． C． D．【專題】27：圖表型；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的奇偶性，最大值及單調(diào)性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)x=±2時，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=y=2x2﹣ex，∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，故函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是單調(diào)的，故排除C，故選：D．【點評】本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，對于超越函數(shù)的圖象，一般采納排除法解答．8．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，則（）A．a(chǎn)c＜bc B．a(chǎn)bc＜bacC．a(chǎn)logbc＜blogac D．logac＜logbc【專題】33：函數(shù)思想；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；5T：不等式．【分析】根據(jù)已知中a＞b＞1，0＜c＜1，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，分析各個結(jié)論的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函數(shù)f（x）=xc在（0，+∞）上為增函數(shù)，故ac＞bc，故A錯誤；函數(shù)f（x）=xc﹣1在（0，+∞）上為減函數(shù)，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B錯誤；logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即=＜1，即logac＞logbc．故D錯誤；0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc＜blogac，故C正確；故選：C．【點評】本題考查的知識點是不等式的比較大小，熟練掌握對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，是解答的關(guān)鍵．9．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）執(zhí)行如圖的程序框圖，假如輸入的x=0，y=1，n=1，則輸出x，y的值滿足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【專題】11：計算題；28：操作型；5K：算法和程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量x，y的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：輸入x=0，y=1，n=1，則x=0，y=1，不滿足x2+y2≥36，故n=2，則x=，y=2，不滿足x2+y2≥36，故n=3，則x=，y=6，滿足x2+y2≥36，故y=4x，故選：C．【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采納模擬循環(huán)的方法解答．10．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點．已知|AB|=4，|DE|=2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A．2 B．4 C．6 D．8【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】畫出圖形，設(shè)出拋物線方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)拋物線為y2=2px，如圖：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，xA==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦點到準(zhǔn)線的距離為：4．故選：B．【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線與圓的方程的應(yīng)用，考查計算能力．轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．11．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）平面α過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m、n所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5G：空間角．【分析】畫出圖形，推斷出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如圖：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．則m、n所成角的正弦值為：．故選：A．【點評】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．12．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣為f（x）的零點，x=為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（，）上單調(diào)，則ω的最大值為（）A．11 B．9 C．7 D．5【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】根據(jù)已知可得ω為正奇數(shù)，且ω≤12，結(jié)合x=﹣為f（x）的零點，x=為y=f（x）圖象的對稱軸，求出滿足條件的解析式，并結(jié)合f（x）在（，）上單調(diào)，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣為f（x）的零點，x=為y=f（x）圖象的對稱軸，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω為正奇數(shù)，∵f（x）在（，）上單調(diào)，則﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，當(dāng)ω=11時，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此時f（x）在（，）不單調(diào)，不滿足題意；當(dāng)ω=9時，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此時f（x）在（，）單調(diào)，滿足題意；故ω的最大值為9，故選：B．【點評】本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題轉(zhuǎn)化困難，難度較大．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，則m=﹣2．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；5A：平面對量及應(yīng)用．【分析】利用已知條件，通過數(shù)量積推斷兩個向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得?=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的垂直條件的應(yīng)用，考查計算能力．14．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）（2x+）5的展開式中，x3的系數(shù)是10．（用數(shù)字填寫答案）【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；5P：二項式定理．【分析】利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為3，求出r，即可求出展開式中x3的系數(shù)．【解答】解：（2x+）5的展開式中，通項公式為：Tr+1==25﹣r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系數(shù)2=10．故答案為：10．【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為64．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】求出數(shù)列的等比與首項，化簡a1a2…an，然后求解最值．【解答】解：等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a(chǎn)1+q2a1=10，解得a1=8．則a1a2…an=a1n?q1+2+3+…+（n﹣1）=8n?==，當(dāng)n=3或4時，表達式取得最大值：=26=64．故答案為：64．【點評】本題考查數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．16．（5分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為216000元．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結(jié)合；33：函數(shù)思想；35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，根據(jù)題干的等量關(guān)系建立不等式組以及目標(biāo)函數(shù)，利用線性規(guī)劃作出可行域，通過目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求出其最大值即可；【解答】解：（1）設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，獲利為z元．由題意，得，z=2100x+900y．不等式組表示的可行域如圖：由題意可得，解得：，A（60，100），目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y．經(jīng)過A時，直線的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案為：216000．【點評】本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用，二元一次方程組的解法的運用，不等式組解實際問題的運用，不定方程解實際問題的運用，解答時求出最優(yōu)解是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，滿分60分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（12分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面積為，求△ABC的周長．【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinC不為0求出cosC的值，即可確定出出C的度數(shù)；（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周長．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化簡得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周長為5+．【點評】此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及三角函數(shù)的恒等變形，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．18．（12分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）證明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；5H：空間向量及應(yīng)用；5Q：立體幾何．【分析】（Ⅰ）證明AF⊥平面EFDC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夾角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：∵ABEF為正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF為正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四邊形EFDC為等腰梯形．以E為原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)FD=a，則E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）設(shè)平面BEC的法向量為=（x1，y1，z1），則，則，取=（，0，﹣1）．設(shè)平面ABC的法向量為=（x2，y2，z2），則，則，取=（0，，4）．設(shè)二面角E﹣BC﹣A的大小為θ，則cosθ===﹣，則二面角E﹣BC﹣A的余弦值為﹣．【點評】本題考查平面與平面垂直的證明，考查用空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標(biāo)系將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．19．（12分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，假如備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；（Ⅲ）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個？【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能確定滿足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出買19個所需費用期望EX1和買20個所需費用期望EX2，由此能求出買19個更合適．法二：解法二：購買零件所用費用含兩部分，一部分為購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用，分別求出n=19時，費用的期望和當(dāng)n=20時，費用的期望，從而得到買19個更合適．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列為：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值為19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．買19個所需費用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，買20個所需費用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴買19個更合適．解法二：購買零件所用費用含兩部分，一部分為購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用，當(dāng)n=19時，費用的期望為：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，當(dāng)n=20時，費用的期望為：20×200+500×0.08+1000×0.4=4080，∴買19個更合適．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時要仔細審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．20．（12分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)圓x2+y2+2x﹣15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．【專題】34：方程思想；48：分析法；5B：直線與圓；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）求得圓A的圓心和半徑，運用直線平行的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得EB=ED，再由圓的定義和橢圓的定義，可得E的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，求得a，b，c，即可得到所求軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，可得|MN|，由PQ⊥l，設(shè)PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距離，再由圓的弦長公式可得|PQ|，再由四邊形的面積公式，化簡整理，運用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．【解答】解：（Ⅰ）證明：圓x2+y2+2x﹣15=0即為（x+1）2+y2=16，可得圓心A（﹣1，0），半徑r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即為∠D=∠EBD，即有EB=ED，則|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，則點E的軌跡方程為+=1（y≠0）；（Ⅱ）橢圓C1：+=1，設(shè)直線l：x=my+1，由PQ⊥l，設(shè)PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，則|MN|=?|y1﹣y2|=?=?=12?，A到PQ的距離為d==，|PQ|=2=2=，則四邊形MPNQ面積為S=|PQ|?|MN|=??12?=24?=24，當(dāng)m=0時，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24?=8，即有四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12，8）．【點評】本題考查軌跡方程的求法，注意運用橢圓和圓的定義，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，以及直線和圓相交的弦長公式，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．21．（12分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有兩個零點．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2．【專題】32：分類討論；35：轉(zhuǎn)化思想；4C：分類法；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），對a進行分類討論，綜合討論結(jié)果，可得答案．（Ⅱ）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，則﹣a==，令g（x）=，則g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的單調(diào)性，令m＞0，則g（1+m）﹣g（1﹣m）=，設(shè)h（m）=，m＞0，利用導(dǎo)數(shù)法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），①若a=0，那么f（x）=0?（x﹣2）ex=0?x=2，函數(shù)f（x）只有唯一的零點2，不合題意；②若a＞0，那么ex+2a＞0恒成立，當(dāng)x＜1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)為增函數(shù)；此時當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取微小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函數(shù)f（x）在x＞1存在一個零點；當(dāng)x＜1時，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的兩根為t1，t2，且t1＜t2，則當(dāng)x＜t1，或x＞t2時，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函數(shù)f（x）在x＜1存在一個零點；即函數(shù)f（x）在R是存在兩個零點，滿足題意；③若﹣＜a＜0，則ln（﹣2a）＜lne=1，當(dāng)x＜ln（﹣2a）時，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)ln（﹣2a）＜x＜1時，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，故當(dāng)x=ln（﹣2a）時，函數(shù)取極大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；④若a=﹣，則ln（﹣2a）=1，當(dāng)x＜1=ln（﹣2a）時，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；⑤若a＜﹣，則ln（﹣2a）＞lne=1，當(dāng)x＜1時，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)1＜x＜ln（﹣2a）時，x﹣1＞0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞ln（﹣2a）時，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增，故當(dāng)x=1時，函數(shù)取極大值，由f（1）=﹣e＜0得：函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；綜上所述，a的取值范圍為（0，+∞）證明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的兩個零點，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，則g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴當(dāng)x＜1時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；設(shè)m＞0，則g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，設(shè)h（m）=，m＞0，則h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上為增函數(shù)，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，則g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）?g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）?2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【點評】本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的極值，函數(shù)的零點，分類討論思想，難度較大．請考生在22、23、24題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分.[選修4-1：幾何證明選講]22．（10分）（2024?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓．（Ⅰ）證明：直線AB與⊙O相切；（Ⅱ）點C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：AB∥CD．【專題】14：證明題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5M：推理和證明．【分析】（Ⅰ）設(shè)K為AB中點，連結(jié)OK．根據(jù)等腰三角形AOB的性質(zhì)知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，則AB是圓O的切線．（Ⅱ）設(shè)圓心為T，證明OT為AB的中垂線，OT為CD的中垂線，即可證明結(jié)論．【解答】證明：（Ⅰ）設(shè)K為AB中點，連結(jié)OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直線AB與⊙O相切；（Ⅱ）因為OA=2OD，所以O(shè)不是A，B，C，D四點所在圓的圓心．設(shè)T是A，B，C，D四點所在圓的圓心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT為AB的中垂線，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT為CD的中垂線，∴AB∥CD．【點評】本題考查了切線的判定，考查四點共圓，考查學(xué)生分析解決問題的能力．解答此題時，充分利用了等腰三角形“三合一”的性質(zhì)．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]23．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）說明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0，其中α0滿足tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；5S：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（Ⅰ）把曲線C1的參數(shù)方程變形，然后兩邊平方作和即可得到普通方程，可知曲線C1是圓，化為一般式，結(jié)合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）化曲線C2、C3的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，由條件可知y=x為圓C1與C2的公共弦所在直線方程，把C1與C2的方程作差，結(jié)合公共弦所在直線方程為y=2x可得1﹣a2=0，則a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，兩式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1為以（0，1）為圓心，以a為半徑的圓．化為一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，兩邊同時乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0滿足tanα0=2，得y=2x，∵曲線C1與C2的公共點都在C3上，∴y=2x為圓C1與C2的公共弦所在直線方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即為C3，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【點評】本題考查參數(shù)方程即簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，訓(xùn)練了兩圓公共弦所在直線方程的求法，是基礎(chǔ)題．[選修4-5：不等式選講]24．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在圖中畫出y=f（x）的圖象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）運用分段函數(shù)的形式寫出f（x）的解析式，由分段函數(shù)的畫法，即可得到所求圖象；（Ⅱ）分別討論當(dāng)x≤﹣1時，當(dāng)﹣1＜x＜時，當(dāng)x≥時，解絕對值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函數(shù)的圖象畫法，可得f（x）的圖象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得當(dāng)x≤﹣1時，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；當(dāng)﹣1＜x＜時，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；當(dāng)x≥時，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．綜上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．則|f（x）|＞1的解集為（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【點評】本題考查絕對值函數(shù)的圖象和不等式的解法，注意運用分段函數(shù)的圖象的畫法和分類討論思想方法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．個人工作業(yè)務(wù)總結(jié)本人于2024年7月進入新疆中正鑫磊地礦技術(shù)服務(wù)有限