圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題（解析版）-2025年物理一輪復(fù)習(xí)講義

第四章拋體運(yùn)動(dòng)同周運(yùn)動(dòng)

第4課時(shí)專題強(qiáng)化：圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會(huì)分析水平面內(nèi)、豎直面內(nèi)和斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題。

考點(diǎn)01水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題

1.與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題

物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。

(1)如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力用m=竺;靜摩擦力的方向一定指向圓心。

r

(2)如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動(dòng)，其中一個(gè)物體存在一個(gè)

恰不向內(nèi)滑動(dòng)的臨界條件和一個(gè)恰不向外滑動(dòng)的臨界條件，分別為靜摩擦力達(dá)到最大且靜摩

擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。

2.與彈力有關(guān)的臨界極值問題

(1)兩個(gè)接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。

(2)繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。

［典例1?對(duì)水平面內(nèi)與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題的考查］(多選)(2023?陜西西安市慶安中學(xué)

期中)如圖所示,兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上,a與轉(zhuǎn)軸

的距離為1,b與轉(zhuǎn)軸的距離為2/。木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的左倍，重

力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用。表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,

且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說法正確的是()

O\

O'\

A.b一定比a先開始滑動(dòng)

B.a、b所受的摩擦力始終相等

c.。=溫是b開始滑動(dòng)的臨界角速度

(2kg

D.當(dāng)①==時(shí)，a所受摩擦力的大小為物陪

答案AC

解析小木塊a、b做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由靜摩擦力提供向心力，F(xiàn)f=m（D2R.當(dāng)角速度增大時(shí)，

靜摩擦力增大，當(dāng)增大到最大靜摩擦力時(shí)，發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，對(duì)木塊a有居@=加g2/,當(dāng)尸fa=

而g時(shí)，kmg—mcD^-l,a>a——;對(duì)木塊b有尸如=加0b入2/,當(dāng)尸如=而陪時(shí)，kmg—ma>\^-2l,

cob=—,則0=色是b開始滑動(dòng)的臨界角速度，即b比a先開始滑動(dòng)，選項(xiàng)A、C正確；

（2/J2/

兩木塊滑動(dòng)前轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，則F^mc^-ll,F^F^,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；3=

2

,a沒有滑動(dòng)，則&/=mo）2l=-kmg,選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

［拓展訓(xùn)練］（多選）如圖所示，兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的、相同的木塊/和8放在轉(zhuǎn)盤上，兩者用長

為乙的水平細(xì)繩連接，木塊與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力均為各自重力的K倍，N放在距離轉(zhuǎn)軸

￡處，整個(gè)裝置能繞通過轉(zhuǎn)盤中心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)，繩恰好伸直但無彈力，現(xiàn)讓該

裝置從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，使角速度緩慢增大，以下說法正確的是（重力加速度為g）（）

勺a

2Kg

A.當(dāng),時(shí)，4、5會(huì)相對(duì)于轉(zhuǎn)盤滑動(dòng)

J3L

B.當(dāng)。>怪,繩子一定有彈力

C.。在范圍內(nèi)增大時(shí)，8所受摩擦力變大

2Kg

D.①在0〈①〈二范圍內(nèi)增大時(shí)，/所受摩擦力一直變大

J3L

答案ABD

解析當(dāng)/、3所受摩擦力均達(dá)到最大值時(shí)，/、8相對(duì)轉(zhuǎn)盤即將滑動(dòng)，則有K%g+K〃7g=77702c

+ma)2-2L,解得0=——，A項(xiàng)正確；當(dāng)8所受靜摩擦力達(dá)到最大值后，繩子開始有彈力,

\Kg

即有Kmg—m-2L-a>2,解得可知當(dāng)a）>—時(shí)，繩子有彈力，B項(xiàng)正確；當(dāng)

2L

時(shí)，2已達(dá)到最大靜摩擦力，則o在范圍內(nèi)增大時(shí)，8受到的摩擦力不變，C

12Kg

項(xiàng)錯(cuò)誤；。在0<a><I----范圍內(nèi)，/相對(duì)轉(zhuǎn)盤是靜止的，N所受摩擦力為靜摩擦力，所以由

、3L

居一尸1=加￡。2可知，當(dāng)。增大時(shí)，靜摩擦力也增大，D項(xiàng)正確.

［典例2?對(duì)水平面內(nèi)與彈力有關(guān)的臨界極值問題的考查］（多選）（2024?黑龍江哈爾濱市第二中

學(xué)期中）質(zhì)量為m的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）由輕繩。和6分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的/點(diǎn)和8點(diǎn)，如圖所

示，當(dāng)輕桿繞軸以角速度。勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，。繩與水平方向成。角，b繩在水平方向上且長為

Zo重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.a繩的彈力隨角速度的增大而增大

當(dāng)角速度0>、島時(shí)’6繩中產(chǎn)生彈力

B.

C.當(dāng)6繩中產(chǎn)生彈力后，角速度再增大時(shí)。繩的彈力不變

D.當(dāng)6繩突然被剪斷時(shí)，a繩的彈力一定發(fā)生變化

答案BC

me

解析當(dāng)6繩的彈力為零時(shí)，小球受重力和a繩的彈力，合力提供向心力，有----=mla>2,

tan6

解得。=二一，可知當(dāng)角速度時(shí)，6繩出現(xiàn)彈力，故B正確；根據(jù)豎直方向上受

J/tan0個(gè)/tan9

mo,

力平衡得&sin9="g,解得兄=^,可知〃繩的彈力不變，故A錯(cuò)誤，C正確；

sin0

由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷時(shí)，q繩的彈力可能不變，故D錯(cuò)誤。

［拓展訓(xùn)練］（多選X2023?湖北省公安縣等六縣質(zhì)檢）如圖所示，N2為豎直放置的光滑圓筒，一

根長細(xì)繩穿過圓筒后一端連著質(zhì)量為%=5kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端和細(xì)繩2c（懸點(diǎn)

為3）在結(jié)點(diǎn)C處共同連著一質(zhì)量為加2的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），長細(xì)繩能承受的最大拉力為60

N,細(xì)繩8c能承受的最大拉力為27.6N.圓筒頂端/到C點(diǎn)的距離A=l.5m,細(xì)繩8c剛

好被水平拉直時(shí)長/2=0.9m,轉(zhuǎn)動(dòng)圓筒并逐漸緩慢增大角速度，在8C繩被拉直之前，用手

拿著加1，保證其位置不變，在8C繩被拉直之后，放開加1，重力加速度g取10m/s2,下列

說法正確的是（）

A.在8c繩被拉直之前，NC繩中拉力逐漸增大

B.當(dāng)角速度。=￡々rad/s時(shí)，8c繩剛好被拉直

C.當(dāng)角速度①=3rad/s時(shí)，4。繩剛好被拉斷

D.當(dāng)角速度①=4rad/s時(shí)，繩剛好被拉斷

答案ABD

解析轉(zhuǎn)動(dòng)圓筒并逐漸緩慢增大角速度的過程中，/C繩與豎直方向的夾角。逐漸增大，掰2

豎直方向處于平衡，由戶T4C0se=冽2g,可知在繩被拉直之前，/C繩中拉力逐漸增大，A

3

正確；繩剛好被拉直時(shí)，由幾何關(guān)系可知4C繩與豎直方向的夾角的正弦值sin。=不，對(duì)

小球加2受力分析，由牛頓第二定律可知冽2gtan9=冽2①/小解得①rad/s,B正確；

當(dāng)。=3rad/s*§rad/s,8c繩被拉直且放開了加1,如就一直處于平衡狀態(tài)，/C繩中拉力

3

不變且為50N,小于/C繩承受的最大拉力，NC未被拉斷，C錯(cuò)誤；對(duì)小球心2,豎直方向

2

有migcos0=m2g,可得加2=4kg,當(dāng)BC被拉斷時(shí)有migsin9+F^BC=m2CO2h,解得①2=

4rad/s,D正確.

考點(diǎn)02豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題

1.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩類模型

輕繩模型輕桿模型

懣）通

常見類型

小球最高點(diǎn)沒有支撐小球最高點(diǎn)有支撐

除重力外，物體受到的彈力除重力外，物體受到的彈力方向：向

最高點(diǎn)受力特征

方向：向下或等于零下、等于零或向上

A、

匕日彈、1

mgmg

△彈00

最高點(diǎn)受力示意圖mgmg

，F(xiàn)彈

o1。

mg

0

V2V2

動(dòng)力學(xué)方程加8+/彈=機(jī)%mg±F彈=m不

產(chǎn)彈=0①恰好過最高點(diǎn)，v=0,F=mg

Vmin2②恰好無彈力，/彈=0,v=>/gR

臨界特征mw=m--------

R

即Vmin=V^

過最高點(diǎn)的條件在最高點(diǎn)的速度v20

2.解題技巧

（1）物體通過圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)、最高點(diǎn)時(shí)，利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程；

（2）物體從某一位置到另一位置的過程中，用動(dòng)能定理找出兩位置間的速度關(guān)系；

（3）注意：求對(duì)軌道的壓力時(shí)，轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，先求物體所受支持力，再根據(jù)牛頓第三定律求

出壓力O

［典例3?對(duì)輕繩模型的考查］（多選）（2023?陜西延安市黃陵中學(xué)模擬）如圖所示，一質(zhì)量為加=

0.5kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），用長為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，g=10m/s2,

下列說法正確的是（）

A.小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度至少為2m/s

B.當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時(shí)，輕繩拉力大小為15N

C.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4gm/s

D.若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的最大速度不能超過4m/s

答案ABC

vo2

解析設(shè)小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為W，則根據(jù)牛頓第二定律有加g=加一，解得Vo=

R

2m/s,故A正確；當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為修=4m/s時(shí)，設(shè)輕繩拉力大小為戶r,根據(jù)牛頓

第二定律有尸T+%g="?一,解得尸r=15N,故B正確；小球在軌跡最低點(diǎn)處速度最大，此

R

Vn2

時(shí)輕繩的拉力最大，根據(jù)牛頓第二定律有尸rm一加g="/>,解得小=心反m/s,故C正確，D

R

錯(cuò)誤。

［拓展訓(xùn)練］如圖所示，質(zhì)量為〃，的小球在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng).圓環(huán)半徑

為凡小球半徑不計(jì)，小球經(jīng)過圓環(huán)內(nèi)側(cè)最高點(diǎn)時(shí)剛好不脫離圓環(huán)，則其通過最高點(diǎn)時(shí)下列

表述不正確的是（重力加速度為g）（）

A.小球?qū)A環(huán)的壓力大小等于7Mg

B.重力mg充當(dāng)小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力

C.小球的線速度大小等于旅

D.小球的向心加速度大小等于g

答案A

解析因?yàn)樾∏蚪?jīng)過圓環(huán)內(nèi)側(cè)最高點(diǎn)時(shí)剛好不脫離圓環(huán)，故在最高點(diǎn)時(shí)小球?qū)A環(huán)的壓力為

零，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；此時(shí)小球只受重力作用，即重力機(jī)g充當(dāng)小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，

則有加g=zw—=加〃，v=y［gR,a=g,選項(xiàng)B、C、D正確.

R

［典例4?對(duì)輕桿模型的考查］（2023?四川綿陽市診斷）如圖所示，輕桿長3人在桿兩端分別固

定質(zhì)量均為加的球A和B（均可視為質(zhì)點(diǎn)），光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為工處的。點(diǎn)，

外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無

作用力。忽略空氣阻力，重力加速度為g,則球B在最高點(diǎn)時(shí)（）

A.球B的速度為零

B.球A的速度大小為低Z

C.水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為1.5根g

D.水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為2.5加g

答案C

解析球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無作用力，即僅重力提供向心力，則有ag=

VB?-----

m—,解得VB=CgL,故A錯(cuò)誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小VA=

1,—

-\j2gL,故B錯(cuò)誤；B球在最鬲點(diǎn)時(shí)，對(duì)桿無彈力，此時(shí)A球受到的重力和桿的彈力的合力

VA2

提供向心力，有尸一加g=〃?z，解得尸=1.5%g,由牛頓第三定律可知桿受到A球的彈力大

小為1.5〃陪，則水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為1.5加g,故C正確，D錯(cuò)誤。

［拓展訓(xùn)練］如圖所示，質(zhì)量為1.6kg、半徑為0.5m的光滑細(xì)圓管用輕桿固定在豎直平面內(nèi),

小球A和B（均可視為質(zhì)點(diǎn)）的直徑略小于細(xì)圓管的內(nèi)徑（內(nèi)徑遠(yuǎn)小于細(xì)圓管半徑）。小球A、B

的質(zhì)量分別為MA=1kg、"?B=2kg。某時(shí)刻，小球A、B分別位于圓管最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，且

A的速度大小為VA=3m/s,此時(shí)桿對(duì)圓管的彈力為零，則B球的速度大小VB為（取g=

10m/s2)()

A.2m/sB.4m/s

C.6m/sD.8m/s

答案B

解析對(duì)A球，合外力提供向心力，設(shè)管對(duì)A的支持力為尸A,由牛頓第二定律有FA-"lAg=

VA2

加A——，代入數(shù)據(jù)解得FA=28N,由牛頓第三定律可得，A球?qū)艿牧ωQ直向下，為28N,

R

設(shè)B球?qū)艿牧?由管的受力平衡可得產(chǎn)B，+28N+加管g=0,解得=-44N,

負(fù)號(hào)表示和重力方向相反，由牛頓第三定律可得，管對(duì)B球的力尸B為44N,方向豎直向下,

VB2

對(duì)B球由牛頓第二定律有心+加Bg=WB——，解得VB=4m/s,故選B。

R

［典例5?對(duì)豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)與圖像綜合的考查］（2024?安徽六安一中模擬）如圖所示，豎直面

內(nèi)的圓形管道半徑R遠(yuǎn)大于橫截面的半徑，有一小球直徑比管橫截面直徑略小，在管道內(nèi)做

圓周運(yùn)動(dòng)。小球過最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)鼙诘膹椓Υ笮∮孟卤硎?、速度大小用V表示，當(dāng)小球

以不同速度經(jīng)過管道最高點(diǎn)時(shí)，其尸一v2圖像如圖所示。則（

ObV

A.小球的質(zhì)量為一

C

R

B.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮橐?/p>

a

C.儼=6時(shí)，小球?qū)鼙诘膹椓Ψ较蜇Q直向下

D.儼=36時(shí)，小球受到的彈力大小是重力大小的5倍

答案D

v2a

解析在最高點(diǎn)，若v=0,則/=冽8=0,若尸=0,重力提供向心力，則冽g=m—=初一，解

RR

acR

得且=一，m=—,故A、B錯(cuò)誤；若b=0,有v2=q,則v?=b時(shí)，小球所受的彈力方向向

Ra

工b

下，所以小球?qū)鼙诘膹椓Ψ较蜇Q直向上，故C錯(cuò)誤；當(dāng)儼=6時(shí)，?mg+F=m—F=c

Rf

v2

=mg,解得b=2gR0當(dāng)廬=3b時(shí)，根據(jù)加g+尸'=m~,解得P=5mg,故D正確。

R

［拓展訓(xùn)練］如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為冽的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（不

計(jì)一切阻力），小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩對(duì)小球的拉力為Fr，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v,

其尸r—v2圖像如圖乙所示，則（）

A.數(shù)據(jù)。與小球的質(zhì)量無關(guān)

m

B.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹橐?/p>

a

C.當(dāng)v2=C時(shí)，輕質(zhì)繩的拉力大小為一十。

b

D.當(dāng)X=2b時(shí)，小球受到的拉力與重力大小相等

答案D

、v2m

解析設(shè)繩長為由牛頓第二定律知小球在最鬲點(diǎn)滿足方丁+加g=w—,即7^=—v2—mg,

RR

由題圖乙知q=mg,b=gR,所以g=—,R=——,A、B錯(cuò)；當(dāng)y2=。時(shí)，有戶口+加8=加一,

maR

ac,2b

將g和R的值代入得戶n=-----a,C錯(cuò)；當(dāng)v2=26時(shí)，由尸冽g=%一可得戶r2=〃=冽g,

bR

故拉力與重力大小相等，D對(duì).

考點(diǎn)03斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題

物體在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)斜面的傾角為仇重力垂直斜面的分力與物體受到的支

持力大小相等，解決此類問題時(shí)，可以按以下操作，把問題簡化.

-i豆彳本圖側(cè)視圖正視（斜面）圖

物體在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，轉(zhuǎn)動(dòng)越快，最容易滑動(dòng)的位置是最低點(diǎn)，恰好滑動(dòng)時(shí)：WMgcosd—TMgsin

0=mco2R.

［典例6?對(duì)斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題的考查］（多選）如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂

直于盤面的固定對(duì)稱軸以恒定角速度o轉(zhuǎn)動(dòng),盤面上離轉(zhuǎn)軸2.5m處有一小物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）

與圓盤始終保持相對(duì)靜止，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，盤面與水平面的夾角為30。，g

取10m/s2,則以下說法中正確的是（）

A.小物體隨圓盤以不同的角速度。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，。越大時(shí)，小物體在最高點(diǎn)處受到

的摩擦力一定越大

B.小物體受到的摩擦力可能背離圓心

行

C.若小物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為則。的最大值是1.0rad/s

2

,/3「

D.若小物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為則o的最大值是退rad/s

答案BC

解析當(dāng)物體在最高點(diǎn)時(shí)，也可能受到重力、支持力與摩擦力三個(gè)力的作用，摩擦力的方向

可能沿斜面向上（即背離圓心），也可能沿斜面向下（即指向圓心），摩擦力的方向沿斜面向上時(shí)，

。越大時(shí)，小物體在最高點(diǎn)處受到的摩擦力越小，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)物體轉(zhuǎn)到圓盤的最

低點(diǎn)恰好不滑動(dòng)時(shí)，圓盤的角速度最大，此時(shí)小物體受豎直向下的重力、垂直于斜面向上的

支持力、沿斜面指向圓心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN—mgcos30°,

2

摩擦力Ff—p.FN—/.imgcos30°,又/zmgcos30°—mgsin3Q°—ma）R,解得co=1.0rad/s,故C正

確，D錯(cuò)誤.

［拓展訓(xùn)練］（2023?河南鄭州市外國語學(xué)校模擬）越野滑雪集訓(xùn)隊(duì)在某雪上項(xiàng)目室內(nèi)訓(xùn)練基地,

利用工作起來似巨型“陀螺”的圓盤滑雪機(jī)模擬一些特定的訓(xùn)練環(huán)境和場(chǎng)景，滑雪機(jī)轉(zhuǎn)速和

傾角根據(jù)需要可調(diào)。一運(yùn)動(dòng)員的某次訓(xùn)練過程簡化為如圖模型：圓盤滑雪機(jī)繞垂直于盤面的

固定轉(zhuǎn)軸以恒定的角速度。轉(zhuǎn)動(dòng),盤面上離轉(zhuǎn)軸距離為10m處的運(yùn)動(dòng)員（保持如圖滑行姿勢(shì),

可看成質(zhì)點(diǎn)）與圓盤始終保持相對(duì)靜止，運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量為60kg,與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5,

設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，盤面與水平面的夾角為15。，g取10m/s2,已知sin

15°心0.260,cos15°七0.966。則下列說法正確的是（）

A.運(yùn)動(dòng)員隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，一定始終受到兩個(gè)力的作用

B.o的最大值約為0.47rad/s

C.0取不同值時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在最高點(diǎn)受到的摩擦力一定隨。的增大而增大

D.某次運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)恰好不滑動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)員離轉(zhuǎn)軸距離變?yōu)?1m處，則運(yùn)動(dòng)員仍可

隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

答案B

解析運(yùn)動(dòng)員隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，在最高點(diǎn)位置可能只受到重力和支持力，二者的合

力恰好提供向心力，其他位置一定受重力、支持力、摩擦力三個(gè)力，三者的合力提供向心力，

故A錯(cuò)誤；在圓盤最低點(diǎn)，根據(jù)卬wgcos15°一加gsin15°=機(jī)0?蕨心解得rad/s,

故B正確；。取不同數(shù)值時(shí)，設(shè)摩擦力指向圓心，則有機(jī)gsin15°+居=加m2「，設(shè)摩擦力背

離圓心，則有加gsin15°—尸/=ma>22r,由兩式可知0取不同數(shù)值時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在最高點(diǎn)受到

的摩擦力可能大小相等，方向相反，故C錯(cuò)誤；運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)恰好不滑動(dòng)，有〃小geos

15°-mgsin若此時(shí)半徑變大，合力不足以提供向心力，運(yùn)動(dòng)員將會(huì)做離心運(yùn)

動(dòng)，故D錯(cuò)誤。

課時(shí)作業(yè)練

基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練

1.雜技演員表演“水流星”，在長為1.6m的細(xì)繩的一端，系一個(gè)與水的總質(zhì)量為加=0.5kg

的大小不計(jì)的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，若“水

流星”通過最高點(diǎn)時(shí)的速率為4m/s,則下列說法正確的是（g取10m/s2）（）

A.“水流星”通過最高點(diǎn)時(shí)，有水從容器中流出

B.“水流星”通過最高點(diǎn)時(shí)，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零

C.“水流星”通過最高點(diǎn)時(shí)，處于完全失重狀態(tài)，不受力的作用

D.“水流星”通過最高點(diǎn)時(shí)，繩子的拉力大小為5N

答案B

解析"水流星”在最高點(diǎn)的臨界速度v=?Z=4m/s,由此知繩的拉力恰好為零，“水流

星”的重力提供向心力，則水恰好不流出，容器底部受到的壓力為零，故選B.

2.如圖所示，某輕桿一端固定一質(zhì)量為加的小球，以另一端。為圓心，使小球在豎直平面內(nèi)

做半徑為7?的圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g,以下說法中正確的是（）

//\\

I\

I01!

\、、/；I

—

A.小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿所受的彈力不可以為零

B.小球過最高點(diǎn)時(shí)，最小速度為反

C.小球過最低點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力不一定與小球所受重力方向相反

D.小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力可以與球所受重力方向相反，此時(shí)重力一定大于或等

于桿對(duì)球的作用力

答案D

解析小球在最高點(diǎn)時(shí)，如果速度恰好為康，則此時(shí)恰好只有重力提供向心力，桿和球之

間沒有作用力，桿所受彈力為0,如果速度小于此值，重力大于所需要的向心力，桿就要對(duì)

球有支持力，方向與重力的方向相反，桿的作用力尸=加8-------,此時(shí)重力一定大于或等于

R

桿對(duì)球的作用力，故A、B錯(cuò)誤，D正確；小球過最低點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力方向豎直向上,

與重力方向一定相反，故C錯(cuò)誤.

3.（2024?江蘇揚(yáng)州市江都中學(xué)檢測(cè)）如圖所示，在水平圓盤上，沿半徑方向放置物體A和B,

/WA=4kg,機(jī)B=lkg,它們分居在圓心兩側(cè)，與圓心距圖為人=0.1m,:~B=0.2m,中間用水

平細(xì)線相連，A、B與圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為"=0.2,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，

若圓盤從靜止開始繞中心轉(zhuǎn)軸非常緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，g=10m/s2,以下說法正確的是（）

A.A的摩擦力先達(dá)到最大

B.當(dāng)rad/s,細(xì)線開始出現(xiàn)張力

C.當(dāng)。i=Arad/s,A、B兩物體出現(xiàn)相對(duì)圓盤滑動(dòng)

D.當(dāng)=rad/s,A、B兩物體出現(xiàn)相對(duì)圓盤滑動(dòng)

答案D

解析A達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)的臨界角速度滿足〃加4=如0（/7%，解得。OA=2J?rad/s,同

理可得，B達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)的臨界角速度為3）B=J^rad/s,則當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的速度逐漸

變大時(shí)，B先達(dá)到角速度臨界值，則B的摩擦力先達(dá)到最大，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)B的摩擦力達(dá)

到最大，轉(zhuǎn)速再增加時(shí)，細(xì)線出現(xiàn)張力，即當(dāng)rad/s時(shí)，細(xì)線開始出現(xiàn)張力，選項(xiàng)B

錯(cuò)誤；當(dāng)A、B兩物體出現(xiàn)相對(duì)圓盤滑動(dòng)時(shí)，B受到的摩擦力方向背離圓心，A受到的摩擦

力方向指向圓心，則對(duì)A有號(hào)+〃加跖=加人。2%，對(duì)B有尸T—〃加Bg=冽BG/VB,解得①1=

572rad/s,選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。

4.（2024?江蘇南京市中華中學(xué)月考）如圖甲所示為“鐵籠飛車”的特技表演，其抽象出來的理

想模型為如圖乙所示的內(nèi)壁光滑的圓球，其中。、6、c分別表示做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的不同軌道，。

軌道與6軌道均水平，。軌道豎直，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在球內(nèi)繞其光滑內(nèi)壁做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列有關(guān)

說法正確的是（）

A.沿a軌道可能做變速圓周運(yùn)動(dòng)

B.沿c軌道運(yùn)動(dòng)的最小速度為0

C.沿a軌道運(yùn)動(dòng)的速度比沿6軌道運(yùn)動(dòng)的速度大

D.沿a軌道運(yùn)動(dòng)的周期比沿6軌道運(yùn)動(dòng)的周期大

答案D

V2

解析沿〃軌道運(yùn)動(dòng)，設(shè)彈力與豎直方向的夾角為仇根據(jù)牛頓第二定律得mgtan9=加一=

4兀2-----------------------Reos0

m--r,r=Rsin0,解得y=Yg&sin仇andT=2兀-----，沿〃軌道一定做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，0

Pdg

越小，v越小，周期越大，沿a軌道運(yùn)動(dòng)的速度比沿b軌道運(yùn)動(dòng)的速度小，周期大，A、C錯(cuò)

Vmin2

誤，D正確；沿。軌道在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得加g=W-----,解得Vmin=J^,故在

R

最高點(diǎn)的最小速度為康，B錯(cuò)誤。

5.（多選X2023?湖北省華大新高考聯(lián)盟名校聯(lián)考）如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的光

滑固定細(xì)管（忽略管的內(nèi)徑），半徑。2水平、豎直，一個(gè)直徑略小于管內(nèi)徑的小球（可視為

質(zhì)點(diǎn)）由8點(diǎn)以某一初速度均進(jìn)入細(xì)管，之后從管內(nèi)的/點(diǎn)以大小為內(nèi)的水平速度飛出.忽

略空氣阻力，重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.為使小球能從/點(diǎn)飛出，小球在8點(diǎn)的初速度必須滿足為＞J^

B.為使小球能從N點(diǎn)飛出，小球在8點(diǎn)的初速度必須滿足血尿

嬴

C.為使小球從/點(diǎn)水平飛出后再返回3點(diǎn)，小球在8點(diǎn)的初速度應(yīng)為％=

D.小球從/點(diǎn)飛出的水平初速度必須滿足白＞7^,因而不可能使小球從/點(diǎn)水平飛出后再

返回B點(diǎn)

答案BC

解析小球能從/點(diǎn)飛出，則在/點(diǎn)的最小速度大于零，則由機(jī)械能守恒定律有

1

—772Vn2＞mgR,則小球在8點(diǎn)的初速度必須滿足v（）＞J或，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；為使小球從力

2

1gR11

點(diǎn)水平飛出后再返回5點(diǎn)，則R=v〃，R=-gt1,聯(lián)立解得v/=—,-mv(?=meR-\-

2、222

\5gR

小球在B點(diǎn)的初速度應(yīng)為%=—,選項(xiàng)C正確；要使小球從4點(diǎn)飛出，則小球在4點(diǎn)的

gR

速度大于零即可，由選項(xiàng)C的分析可知，只要小球在/點(diǎn)的速度為鼻，小球就能從力點(diǎn)水

平飛出后再返回5點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

6.（2023?四川綿陽市診斷）如圖所示,輕桿長3L,在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球4和3（均

可視為質(zhì)點(diǎn)），光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球/為工處的。點(diǎn)，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和

球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，球3運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球2恰好無作用力.忽略空氣阻力，重力

加速度為g,則球8在最高點(diǎn)時(shí)（）

A.球3的速度為零

B.球/的速度大小為低Z

C.水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為1.5mg

D.水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為2.5加g

答案C

解析球3運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球2恰好無作用力，即僅重力提供向心力，則有wg=

VB2I-------、,

m—,解得一=J2g￡,故A錯(cuò)誤；由于4、5兩球的角速度相等，則球4的速度大小匕=

1.—

-^IgL,故B錯(cuò)誤；8球在最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)桿無彈力，此時(shí)N球受到的重力和拉力的合力提供

向心力，有F-mg=m~Y，解得尸=1.5機(jī)g,即桿受到的彈力大小為1.5%g,可知水平轉(zhuǎn)軸對(duì)

桿的作用力為1.5ag,C正確，D錯(cuò)誤.

7.（2023?重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)月考）如圖所示，在傾角為a=30。的光滑斜面上有一長￡=

0.8m的輕桿，桿一端固定在。點(diǎn)，可繞。點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端系一質(zhì)量為機(jī)=0.05kg的小

球（可視為質(zhì)點(diǎn)），小球在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)，g取10m/s2.要使小球能到達(dá)最高點(diǎn)/,則小球

在最低點(diǎn)B的最小速度是（）

A.4m/sB.2-/10m/s

C.2y/~5m/sD.2-72m/s

答案A

解析小球恰好到達(dá)4點(diǎn)時(shí)的速度大小為%=0,此時(shí)對(duì)應(yīng)5點(diǎn)的速度最小，設(shè)為山，對(duì)小

11

球從4到B的運(yùn)動(dòng)過程，由動(dòng)能定理有3加班2—yv/=2次g￡sin明代入數(shù)據(jù)解得vB=^m/s,

故選A.

8.（2022?長春市第二中學(xué)高一期末）如圖甲所示，輕桿的一端固定一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端

套在光滑的水平軸。上，。軸的正上方有一速度傳感器，可以測(cè)量小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度

大小v,O軸處有一力傳感器，可以測(cè)量小球通過最高點(diǎn)時(shí)。軸受到的桿的作用力品若取

豎直向下為尸的正方向，在最低點(diǎn)時(shí)給小球不同的初速度，得到的尸一V2(v為小球在最高點(diǎn)

處的速度)圖像如圖乙所示，取g=10m/s2,貝i]()

A.小球恰好通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為5m/s

B.小球在最高點(diǎn)的速度大小為西m/s時(shí)，桿對(duì)球的作用力為支持力

C.小球的質(zhì)量為3kg

D.。軸到小球的距離為0.5m

答案D

解析由于是球桿模型，小球恰好通過最高點(diǎn)時(shí)的速度為零，A錯(cuò)誤；當(dāng)小球通過最高點(diǎn)的

速度為零時(shí)，桿對(duì)小球的支持力恰好等于小球的重力，由題圖乙可知，小球的重力為3N,

即質(zhì)量為0.3kg,C錯(cuò)誤；由題圖乙可知，當(dāng)小球以B=5m2/s2通過最高點(diǎn)時(shí)，恰好對(duì)桿沒

V2

有作用力，此時(shí)重力提供向心力，設(shè)。軸到小球的距離為根據(jù)7咕=加工，得4=0.5m,

-----V2

故D正確；當(dāng)小球以JUm/s的速度通過最高點(diǎn)時(shí)，根據(jù)mg+/=〃7，可得尸=6N,此時(shí)

桿對(duì)球的作用力是向下的拉力，大小為6N,故B錯(cuò)誤.

9.如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對(duì)稱軸以恒定的角速度。轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面與

水平面的夾角為37。，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離1.0m處有一小物體與圓盤始終保持相對(duì)靜止，小物

體的質(zhì)量為1.0kg,小物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.8(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)。

則當(dāng)。達(dá)到最大值時(shí)，小物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)所受摩擦力的大小為(g取10m/s2,sin37。=

0.6,cos37°=0.8)()

A.5.6NB.6.0NC.6.4ND.8.0N

答案A

解析經(jīng)分析，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，摩擦力達(dá)到最大值，角速度達(dá)到最大值，根據(jù)牛頓

第二定律得fimgcos37°—mgsin37。=〃7r0m\在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得Ff+mgsin37°=

mrm^,聯(lián)立以上兩式并代入數(shù)據(jù)得Ff=-5.6N。負(fù)號(hào)表示摩擦力的方向沿盤面向上，大小

為5.6N,故選A。

10.(2024?浙江?開學(xué)考試)如圖甲所示為一種叫“魔力陀螺”的玩具，其結(jié)構(gòu)可簡化為圖乙所

示.質(zhì)量為M、半徑為R的鐵質(zhì)圓軌道用支架固定在豎直平面內(nèi)，陀螺在軌道內(nèi)、外兩側(cè)均

可以旋轉(zhuǎn).陀螺的質(zhì)量為加，其余部分質(zhì)量不計(jì).陀螺磁芯對(duì)軌道的吸引力始終沿軌道的半

徑方向，大小恒為6mg.不計(jì)摩擦和空氣阻力，重力加速度為g.

(1)若陀螺在軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的速度為/荻，求此時(shí)軌道對(duì)陀螺的彈力大?。?/p>

(2)要使陀螺在軌道外側(cè)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)不脫離軌道，求陀螺通過最低點(diǎn)時(shí)的最大速度；

(3)若陀螺在軌道外側(cè)運(yùn)動(dòng)到與軌道圓心等高處時(shí)速度為J或，求固定支架對(duì)軌道的作用力

大小；

答案(1)10〃7g(2)75gR(3)V4w2+A/2g

解析(1)當(dāng)陀螺在軌道內(nèi)側(cè)最高點(diǎn)時(shí)，設(shè)軌道對(duì)陀螺的吸引力為尸1,軌道對(duì)陀螺的支持力為

陀螺所受的重力為%最高點(diǎn)的速度為受力分析可知：

FN1,g,vi,

Vl2

mg+F^i—Fi=m—

解得FN1=10mg

⑵設(shè)陀螺在軌道外側(cè)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)陀螺的吸引力為尸2,軌道對(duì)陀螺的支持力為

,V22

F,陀螺所受的重力為加g,最低點(diǎn)的速度為電，受力分析可知：F—F—mg=m—

N22N2R

由題意可知，當(dāng)心2=。時(shí)，陀螺通過最低點(diǎn)時(shí)的速度為最大值，解得為=/癡

(3)設(shè)陀螺在軌道外側(cè)運(yùn)動(dòng)到與軌道圓心等高處時(shí)，軌道對(duì)陀螺的吸引力為尸3,軌道對(duì)陀螺的

支持力為FN3,陀螺所受的重力為冽g.則：

mg

V2

Fn=F—F^=m—

33R

解得鼻［3=4加g

由牛頓第三定律可知與N3'=網(wǎng)3,/3,=/3

固定支架對(duì)軌道的作用力為尸=J（FN3,一尸3,）2+（Mg）2

解得F=gyJAn^^M2.

能力提升練

11.（多選）（2023?湖北省重點(diǎn)中學(xué)檢測(cè)）如圖甲所示的陀螺可在圓軌道的外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好

像軌道對(duì)它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”，該玩具深受孩子們的喜愛.其物理原理可

等效為如圖乙所示的模型：半徑為R的磁性圓軌道豎直固定，質(zhì)量為別的小鐵球（視為質(zhì)點(diǎn)）

在軌道外側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)，/、8兩點(diǎn)分別為軌道上的最高點(diǎn)、最低點(diǎn).鐵球受軌道的磁性引力始終指

向圓心且大小不變，重力加速度為g,不計(jì)摩擦和空氣阻力.下列說法正確的是（）

A.鐵球可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

B.鐵球繞軌道轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒

C.鐵球在N點(diǎn)的速度一定大于或等于必

D.要使鐵球不脫軌，軌道對(duì)鐵球的磁性引力至少為5%g

答案BD

解析鐵球繞軌道轉(zhuǎn)動(dòng)受到重力、軌道的磁性引力和軌道的彈力作用，而軌道的磁性引力和

彈力總是與速度方向垂直，故只有重力對(duì)鐵球做功，鐵球做變速圓周運(yùn)動(dòng)，鐵球繞軌道轉(zhuǎn)動(dòng)

時(shí)機(jī)械能守恒，選項(xiàng)B正確，A錯(cuò)誤；鐵球在/點(diǎn)時(shí)，有加g+尸吸一,當(dāng)尸N4="Zg

R

11

十尸吸時(shí)，匕=0,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；鐵球從4到5的過程，由動(dòng)能定理有2冽8氏=罰如2一罰匕2,

當(dāng)VA=0時(shí)，鐵球在B點(diǎn)的速度最小，解得如min=2?^,球在B點(diǎn)處，軌道對(duì)鐵球的磁性

V§2___

引力最大，F(xiàn)吸一mg—FNB=m—^,當(dāng)如=V3min=2而左且/N8=0時(shí)，解得尸吸min=5mg,故

R

要使鐵球不脫軌