《電工電子技術(shù)及應(yīng)用》課件-第3章

第3章正弦交流電路3.1正弦交流電的基本概念3.2正弦量的相量表示3.3電阻、電感、電容在交流

電路中的特征方程及功率3.4電阻、電感與電容串聯(lián)的交流電路3.5正弦交流電路的一般分析方法3.6電路的諧振及應(yīng)用3.7功率因數(shù)的提高3.8日光燈電路習(xí)題3

3.1正弦交流電的基本概念

正弦交流電是指大小、方向隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電壓、電動勢和電流等物理量,并統(tǒng)稱為正弦量,如圖3.1.1所示。在不加特殊說明時(shí),今后所說的交流電都是指正弦交流電。由圖3.1.1可知,正弦交流電的取值時(shí)正時(shí)負(fù)。這實(shí)際上和直流電路一樣,是先設(shè)定了參考方向的,取正值表示實(shí)際方向和參考方向一致,取負(fù)值則表示實(shí)際方向和參考方向相反。圖3.1.1正弦交流電的波形圖

正弦交流電可以用三角函數(shù)表達(dá)式表示,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式(3.1.1)是正弦交流電的瞬時(shí)值表達(dá)式,其中Um、Im

為正弦交流電的最大值(或稱幅值);ω為角頻率;φu、φi

為初相位。最大值(有效值)、周期(頻率或角頻率)和相位(初相位)稱為正弦交流電的三要素,即反映數(shù)值大小、變化快慢和確定初始狀態(tài)的三個(gè)特征量。

3.1.1有效值與幅值

正弦交流電在任一瞬時(shí)的值稱為瞬時(shí)值,規(guī)定用小寫字母表示,如u、i。正弦量瞬時(shí)值中的最大值稱為幅值,也可稱為振幅或峰值,規(guī)定用大寫字母加下標(biāo)“m”表示,如電壓幅值Um

、電流幅值Im

。對周期量來說,一個(gè)周期內(nèi)的平均值為零,因此常用有效值來表示其做功能力并度量其“大小”。

正弦交流電流i通過電阻R在一個(gè)周期T內(nèi)產(chǎn)生的熱量與直流電流I通過電阻R在時(shí)間T內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等時(shí),這個(gè)直流電流I的數(shù)值稱為正弦交流電流的有效值,即

則有效值表達(dá)式為

式(3.1.2)表明正弦交流電流i的有效值等于它的均方根值。這一結(jié)論適用于任意周期量。

將式(3.1.1)的正弦交流電流表達(dá)式代入式(3.1.2),可得正弦電流i的有效值I與最大值Im的關(guān)系為

或者是

同理,也可以得到

3.1.2周期與頻率

正弦交流電變化一次所需的時(shí)間稱為周期,用T表示,單位為秒(s)。正弦交流量每秒鐘變化的次數(shù)稱為頻率,用f表示,單位為赫茲(Hz)。頻率是周期的倒數(shù),即

正弦量每秒鐘相位角的變化稱為角頻率ω,正弦交流電一個(gè)周期變化360°,即2π弧度,我們把它在單位時(shí)間內(nèi)變化的弧度數(shù)稱為角頻率,用ω表示,單位是弧度每秒(rad/s)。由此可見

周期、頻率、角頻率都是描述正弦交流電變化快慢的物理量,一般用角頻率ω描述這一特征。這三者只要知其一,則其余皆可求得。比如,當(dāng)頻率為f=50Hz時(shí),則可求出其周期

和角頻率分別為

3.1.3相位與相位差

正弦交流電任一瞬時(shí)的角度ωt+φ稱為正弦交流量的相位角或相位,它與交流量的瞬時(shí)值相聯(lián)系,反映出正弦量變化的進(jìn)程。

t=0時(shí)的相位角稱為初相位角或初相位,它是正弦量初始值大小的標(biāo)志。事實(shí)上初相位的大小與所取的計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)。

如果將圖3.1.2中的計(jì)時(shí)起點(diǎn)左移到圖中虛線處,則初相位φ=0。當(dāng)然,初相位不同,其起始值也就不同。初相位的單位用弧度或度來表示。度與弧度之間的關(guān)系為:度=(180°/π)×弧度,規(guī)定初相位在|φ|≤π的范圍內(nèi)取值。圖3.1.2角頻率與初相位

兩個(gè)同頻率正弦量的相位之差稱為相位差,也用φ表示。相位差是區(qū)分兩個(gè)同頻率正弦量的重要標(biāo)志之一。如果

u=Umsin(ωt+φu),i=Imsin(ωt+φi),則它們的相位差為

相位差用來描述兩個(gè)同頻正弦量在時(shí)間上的先后順序,先經(jīng)過某一參考值(如正最大值)的稱為超前,后經(jīng)過這一參考值的稱為滯后。

在一個(gè)正弦交流電路中,電壓和電流的頻率相同,但它們的初相可能相同,也可能不同,如圖3.1.3所示。圖3.1.3正弦量的相位關(guān)系

例3.1.1已知u=311sin(314t+60°)V,i=141cos(100πt-60°)A。

(1)在同一坐標(biāo)下畫出波形圖。

(2)求最大值、有效值、頻率、初相位。

(3)比較它們的相位關(guān)系。

解

(1)波形圖如圖3.1.4所示。圖3.1.4例3.1.1圖

(3)因?yàn)橄辔徊瞀?φu-φi=60°-30°=30°,所以它們的相位關(guān)系是u比i超前30°。

3.2正弦量的相量表示

3.2.1復(fù)數(shù)的表示形式及運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的表示設(shè)定一直角坐標(biāo)系,橫軸稱為實(shí)軸,以+1為單位,用來表示復(fù)數(shù)的實(shí)部;縱軸稱為虛軸,以+j為單位是虛數(shù)的單位(在電工中,i用來表示電流,故用j代表虛數(shù)的單位),用來表示復(fù)數(shù)的虛部。復(fù)平面上的點(diǎn)和復(fù)數(shù)之間是一一對應(yīng)的關(guān)系,如圖3.2.1所示。圖3.2.1相量的復(fù)數(shù)表示

1)代數(shù)形式

復(fù)數(shù)可以用復(fù)平面上的有向線段來表示,如圖3.2.1所示,圖中由坐標(biāo)原點(diǎn)O到P點(diǎn)的有向線段同樣對應(yīng)著復(fù)數(shù)．

式中,a、b均為實(shí)數(shù),a是復(fù)數(shù)的實(shí)部,b是復(fù)數(shù)的虛部。

有向線段的長度就是復(fù)數(shù)的模,用r表示;有向線段與實(shí)軸正方向的夾角就是復(fù)數(shù)的輻角,用φ表示。

由圖3.2.1可知:

2)三角函數(shù)形式

將式(3.2.3)代入復(fù)數(shù),則

式(3.2.4)即為復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表達(dá)式。

2.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

3.2.2正弦量的相量表示

設(shè)有一正弦交流電流i=Imsin(ωt+φ0),其波形如圖3.2.2(b)所示。

圖3.2.2(a)是復(fù)平面上一旋轉(zhuǎn)有向線段OP。有向線段的長度等于正弦量的最大值Im,它的初始位置(t=0時(shí)的位置)與實(shí)軸正方向的夾角等于正弦量的初相位,并以正弦的角頻率ω做逆時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn)。圖3.2.2用正弦波和旋轉(zhuǎn)有向線段來表示正弦量

正弦量可用有向線段表示,而有向線段又可用復(fù)數(shù)表示,所以正弦量也可用復(fù)數(shù)表示。復(fù)數(shù)的模即為正弦量的最大值(或有效值),復(fù)數(shù)的輻角即為正弦量的初相位。

為了與一般的復(fù)數(shù)相區(qū)別,我們把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。這種表示正弦量的方法稱為相量表示法。

相量只能表示正弦量,但不等于正弦量,因?yàn)樗皇蔷哂姓伊康膬蓚€(gè)要素,即最大值(或有效值)和初相位,角頻率則無法體現(xiàn)出來。但是在分析正弦交流電時(shí),正弦電源、電壓

和電流等均為同頻率的正弦量,頻率是已知或特定的,可不考慮,只要用相量求出最大值(或有效值)和初相位即可。

按照各個(gè)同頻率正弦量的大小和相位關(guān)系,在同一坐標(biāo)中畫出它們對應(yīng)的有向線段,這樣的圖形稱為相量圖。為了簡便,常省去坐標(biāo)軸,只畫出代表實(shí)軸正方向的虛線。

例3.2.2試畫出以下兩個(gè)正弦量的相量圖:圖3.2.3正弦量u與i的相量

注意:

(1)只有正弦周期量才能用相量表示。

(2)只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上。

由上可知,表示正弦量的相量有兩種形式:相量圖和復(fù)數(shù)式(即相量式)。以相量圖為基礎(chǔ)進(jìn)行正弦量計(jì)算的方法稱為相量圖法;用復(fù)數(shù)表示正弦量來進(jìn)行計(jì)算的方法稱為相量的復(fù)數(shù)運(yùn)算法。在分析正弦交流電路時(shí),這兩種方法都可以用。

(2)用相量圖求。

在復(fù)平面上,復(fù)數(shù)用有向線段表示時(shí),復(fù)數(shù)間的加、減運(yùn)算滿足平行四邊形法則,那么正弦量的相量加、減運(yùn)算也滿足該法則,因此還可用作圖的方法,即用相量圖法求出

,其相量圖如圖3.2.4所示。根據(jù)總電壓的長度U和它與實(shí)軸的夾角φ0,可寫出u的瞬時(shí)值表達(dá)式:

圖3.2.4例3.2.3的相量圖

為了簡便計(jì)算,以后在畫相量圖時(shí),復(fù)平面上的“+1”和“+j”以及坐標(biāo)軸均可省去不畫。

應(yīng)該指出,正弦量是時(shí)間的實(shí)函數(shù),正弦量的復(fù)數(shù)形式和相量圖表示只是一種數(shù)學(xué)手段,目的是簡化運(yùn)算,正弦量既不是復(fù)數(shù),又與空間矢量有本質(zhì)的區(qū)別。

3.3電阻、電感、電容在交流電路中的特征方程及功率

電路中的參數(shù)一般有電阻R、電感L和電容C三種。任何一個(gè)實(shí)際的電路元件,這三種參數(shù)都有。所謂單一參數(shù),是指忽略其他兩種參數(shù)的理想化元件,學(xué)會分析單一參數(shù)元件(電阻R、電感L、電容C)電路后,實(shí)際的電路元件就可以看成由單一參數(shù)元件串、并聯(lián)而成。

3.1.1純電阻元件

對于一個(gè)負(fù)載,若只考慮其電阻性質(zhì),而忽略其他性質(zhì),則稱為純電阻元件,其電阻阻值R的計(jì)算式為

式中,ρ為電阻系數(shù)或稱電阻率,單位為(Ω·mm2)/m;l為導(dǎo)體長度,單位為m;S為導(dǎo)體截面積,單位為mm2;電阻的單位為歐姆(Ω)或千歐(kΩ)等。

若正弦交流電源接入的負(fù)載為純電阻元件,則所形成的電路稱為純電阻電路。

1.伏安關(guān)系

對于電阻來說,當(dāng)電壓與電流的參考方向如圖3.3.1(a)所示時(shí),則電壓和電流之間符合歐姆定律u=Ri

圖3.3.1電阻元件的正弦交流電路

2.功率問題

1)瞬時(shí)功率

在任意時(shí)刻,電壓的瞬時(shí)值u和電流的瞬時(shí)值i的乘積,稱為該元件的瞬時(shí)功率,用小寫字母p表示,則

3.3.2純電感元件

一個(gè)直流銅阻R很小的空心線圈可視為理想的電感L。若元件在電路中沒有電阻和電容方面的效應(yīng),只有電感效應(yīng),則該元件稱為純電感元件。其電感量的大小計(jì)算式為

式中,μ為介質(zhì)的磁導(dǎo)率,單位為H/m;N為線圈匝數(shù);S為橫截面積,單位為mm2;l為線圈長度,單位為m;電感的單位為亨利(H)或毫亨(mH)。

1.伏安關(guān)系

當(dāng)電壓與電流的參考方向如圖3.3.2(a)所示,則電壓和電流之間的關(guān)系為

若設(shè)電流i=Imsinωt為參考正弦量,則圖3.3.2電感元件的正弦交流電路

由此可知:

(1)u是與i同頻的正弦量。

(2)在相位上,u超前i相位角90°。

(3)在數(shù)值的大小上,u與i的有效值(或最大值)間受ωL的約束,表示為

我們稱ωL為感抗,用XL

表示,單位為歐姆(Ω)。它體現(xiàn)的是電感對交流電的阻礙作用。感抗XL

與電感量L和頻率f成正比。L一定時(shí),f越高,XL

越大;f越低,XL

越小;

當(dāng)f減小為零,即為直流時(shí),XL

等于零,即電感對直流可視為短路。由此可見,電感具有“通直流,阻交流”和“通低頻,阻高頻”的作用。

(4)u與i的波形如圖3.3.2(b)所示。

(5)u與i的伏安關(guān)系的相量形式為

(6)u與i的相量圖如圖3.3.2(c)所示。

2.功率問題

1)瞬時(shí)功率

由瞬時(shí)功率的定義可得

由式(3.3.12)可見,p是一個(gè)幅值為UI,并以2ω的角頻率隨時(shí)間而變化的交變量,其波形如圖3.3.2(d)所示。

將電壓u和電流i每個(gè)周期的變化過程分成四個(gè)1/4周期:在第一和第三個(gè)1/4周期,電感中的電流在增大,磁場在增強(qiáng),電感從電源吸取能量,并將之儲存起來,p為正;在第二和第四個(gè)1/4周期,電感中的電流在減小,磁場在減弱,電感將儲存的磁場能量釋放出來,歸還給電源,p為負(fù)?？梢钥闯?理想電感L在正弦交流電源的作用下,不斷地與電源進(jìn)行

能量交換,但不消耗能量。

2)平均功率

瞬時(shí)功率p在一周期內(nèi)的平均值即為平均功率,則

說明純電感元件在正弦交流電路中是不消耗電能的

3)無功功率

電感本身并不消耗能量,但要和電源進(jìn)行能量交換,是儲能元件。

為了反映能量交換的規(guī)模,用u與i的有效值乘積來衡量,稱為電感的無功功率,用QL表示,則

為了與有功功率區(qū)別,無功功率的單位為乏(Var)或千乏(kVar)。

3.3.3純電容元件

兩個(gè)導(dǎo)體中間用電介質(zhì)隔開就構(gòu)成電容器,其容量大小的計(jì)算式為

式中,ε為電介質(zhì)的介電常數(shù);S為極板面積;d為極板間的距離。電容器容量的單位為法拉(F)、微法(μF)或皮法(pF)。

若正弦交流電源接入的負(fù)載為純電容元件,則所形成的電路稱為純電容電路。

1.伏安關(guān)系

電容是一種聚集電荷的元件,它所帶的電荷量q與電壓U有關(guān),即

q=Cu

式中,C是電容量。如圖3.3.3(a)所示,對于電容來說,電壓和電流之間的關(guān)系為

由此可知:

(1)u是與i同頻的正弦量。

(2)在相位上,i超前u相位角90°。

(3)在數(shù)值的大小上,u與i的有效值(或最大值)受容抗1/(ωC)的約束,表示為

我們稱1/(ωC)為容抗,用XC表示,單位為歐姆(Ω)。它體現(xiàn)的是電容對交流電的阻礙作用。容抗XC與電容量C和頻率f成反比。C一定時(shí),f越高,XC越小;f越低,XC越大;

當(dāng)f減小為零,即為直流時(shí),XC趨于無窮大,即電容對直流可視為斷路。由此可見,電容具有“通交流,阻直流”和“通高頻,阻低頻”的作用。

(4)u與i的波形如圖3.3.3(b)所示。圖3.3.3電容元件的正弦交流電路

(5)u與i的伏安關(guān)系的相量形式為

(6)u與i的相量圖如圖3.3.3(c)所示。

2.功率問題

1)瞬時(shí)功率

由瞬時(shí)功率的定義可得

由式(3.3.20)可見,p是一個(gè)幅值為UI,并以2ω的角頻率隨時(shí)間而變化的交變量,其波形如圖3.3.3(d)所示。

2)平均功率。

瞬時(shí)功率p在一周期內(nèi)的平均值即為平均功率,則

電容本身并未消耗能量,但要和電源進(jìn)行能量交換,是儲能元件。

3)無功功率

為了反映能量交換的規(guī)模,用u的有效值與i的有效值的乘積來衡量,稱為電容的無功功率,用QC表示,則

其單位為乏(Var)或千乏(kVar)。

儲能元件(L或C)雖本身不消耗能量,但需占用電源容量并與之進(jìn)行能量交換,對電源是一種負(fù)擔(dān)。

例3.3.3把一個(gè)電容量C=4.75μF的電容器接到交流電源上,電容器的端電壓u=220sin314tV,電路如圖3.3.3(a)所示。試求:

(1)容抗XC;

(2)電容通過的電流有效值IC;

(3)電容中電流的瞬時(shí)值IC;

(4)電容的有功功率PC和無功功率Q

C。

解(1)容抗:

(2)電流有效值:

3.4電阻、電感與電容串聯(lián)的交流電路

RLC串聯(lián)電路是指由電阻R、電感L和電容C串聯(lián)而成的電路,如圖3.4.1(a)所示。因?yàn)槭谴?lián)電路,所以通過各元件的電流相同,設(shè)電流i=Imsinωt。電流與各個(gè)電壓的參考方向如圖3.4.1所示。

3.4.1電壓與電流的關(guān)系

根據(jù)基爾霍夫電壓定律可知

各元件上電壓和電流之間的關(guān)系用相量表示,分別為

原電路對應(yīng)的相量模型如圖3.4.1(b)所示,總電壓相量等于串聯(lián)電路各元器件上電壓相量之和,即

稱為串聯(lián)電路的復(fù)阻抗,單位為歐姆(Ω)。圖3.4.1RLC串聯(lián)電路

由此可知,RLC串聯(lián)電路總的復(fù)阻抗應(yīng)為

復(fù)阻抗的模為

它體現(xiàn)了電壓u的有效值和電流i的有效值之間的約束關(guān)系。

復(fù)阻抗的輻角為

它表示了電壓u和電流i的相位關(guān)系。

由此可知,復(fù)阻抗的模|Z|、實(shí)部R、虛部電抗X三

者構(gòu)成一直角三角形,稱為阻抗三角形,如圖3.4.2所示。圖3.4.2阻抗、電壓和功率三角形

(3)若XL-XC=0,則φu-φi=0,此時(shí)電壓和電流同相,電路呈電阻性。

可見,采用相量的復(fù)數(shù)運(yùn)算法對RLC串聯(lián)電路進(jìn)行分析計(jì)算時(shí),可同時(shí)確定電壓和電流之間有效值(幅值)和相位上的關(guān)系并判斷該電路的性質(zhì)。圖3.4.3例3.4.1電路圖

解(1)當(dāng)輸入直流電壓時(shí),L可視為短路,此時(shí)可求得電阻阻值為

當(dāng)u為交流電壓時(shí),可求得電路阻抗模,即圖3.4.4例3.4.1相量圖

3.4.2電路中的功率

由式(3.4.6)可見,p是一個(gè)常量與一個(gè)正弦量的疊加。

2.平均功率

平均功率又稱有功功率,它是指電阻消耗的功率。由平均功率的定義,得

由圖3.4.2所示的電壓三角形可知

平均功率還可表示為

3.無功功率

電路中電感和電容都要與電源之間進(jìn)行能量交換,因此相應(yīng)的無功功率為這兩個(gè)元件共同作用形成的,考慮到

相位相反,則

4.視在功率

電壓的有效值U和電流的有效值I的乘積稱為視在功率,用S表示,即

視在功率的單位是伏·安(V·A)或千伏·安(kV·A),以區(qū)別于平均功率和無功功率。

5.功率三角形

將電壓三角形的各邊乘以電流I即成為功率三角形,如圖3.4.2所示。功率三角形的各個(gè)變量的計(jì)算式為

功率三角形與阻抗三角形、電壓三角形是相似三角形。

6.功率因數(shù)

功率因數(shù)cosφ的大小等于有功功率與視在功率的比值,在電工技術(shù)中,一般用λ表示,即

例3.4.2在圖3.4.1所示的RLC串聯(lián)電路中,已知R=30Ω,XL=120Ω,XC=80Ω,u=220sin(314t+30°)V。試求:

(1)電路的電流i;

(2)各元件電壓uR、uL、uC

,畫出相量圖。圖3.4.5例3.4.2相量圖

3.5正弦交流電路的一般分析方法

3.5.1相量形式的基爾霍夫定律基爾霍夫電流定律(KCL)指出,在任意時(shí)刻,流出(流入)某一節(jié)點(diǎn)的所有支路電流的代數(shù)和為零。對于正弦交流電路,則可以表示為式中,n為對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的支路個(gè)數(shù),ik

為對應(yīng)第k條支路的電流。

在正弦電路中,各支路電流都是同頻率的正弦量,只是幅值和初相位不同。根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則,可得到KCL的相量表達(dá)形式為

式(3.5.1)說明,在正弦電路中,流出(流入)某一節(jié)點(diǎn)的各支路電流相量的代數(shù)和為零。但是,流出(流入)某一節(jié)點(diǎn)的各支路電流的有效值(幅值)的和一般不滿足KCL。

同理,基爾霍夫電壓定律(KVL)指出,正弦電路中的任意回路,沿任意循線方向繞行一周,回路中所有元件的電壓相量的代數(shù)和為零。KVL的相量表達(dá)形式為

3.5.2阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)

1.阻抗串聯(lián)電路

圖3.5.1阻抗串聯(lián)電路

2.阻抗并聯(lián)電路圖3.5.2阻抗并聯(lián)電路

例3.5.1圖3.5.3所示電路中,已知R1=5Ω,R2=3Ω,XL=4Ω,XC=4Ω,圖3.5.3例3.5.1電路圖

解若記Z1=-j4Ω,Z2=3+j4Ω,則由圖3.5.3知,Z1與Z2并聯(lián),由分流公式有

由以上分析與計(jì)算可以推證,在正弦交流電路中,當(dāng)電壓和電流用相量表示、阻抗為復(fù)數(shù)形式時(shí),不僅其串、并聯(lián)電路的運(yùn)算類似于直流電路,即使對于復(fù)雜交流電路,第2章所

介紹的電路基本定律與分析方法也是適用的。需要注意的是,這些電路基本定律應(yīng)該以相量式的形式表達(dá),而在計(jì)算過程中則進(jìn)行的是復(fù)數(shù)運(yùn)算。

3.5.3應(yīng)用舉例

對于混聯(lián)交流電路的分析方法有兩種:一種是借助于相量圖的分析與計(jì)算,另一種是完全用復(fù)數(shù)來運(yùn)算。前者只對參數(shù)已知、相位角度特殊的一部分電路適用,而后者則為普遍適用的基本方法。下面通過舉例介紹其分析及計(jì)算。

例3.5.2圖3.5.4(a)所示電路中,已知U=100V,f=50Hz,I1=I2=I3,P=866W,求R、L、C。圖3.5.4例3.5.2電路圖

例3.5.3圖3.5.5所示電路中,已知R1=1kΩ,R2=3kΩ,L=1H,C=0.1μF,uS(t)=102sin5000tV,求電流i(t)、iL(t)和iC(t)。圖3.5.5例3.5.3電路圖

則

所以

3.6電路的諧振及應(yīng)用

3.6.1串聯(lián)諧振及應(yīng)用在交流電路中,當(dāng)電壓和電流同相,即電路的性質(zhì)為電阻性時(shí),就稱此電路發(fā)生了諧振。

1.諧振條件和諧振頻率

如圖3.4.1所示的RLC串聯(lián)電路中,根據(jù)諧振的概念可知,諧振時(shí)該電路的復(fù)阻抗為

其虛部為零,即

這就是RLC串聯(lián)電路的諧振條件。由式(3.6.1)可得諧振時(shí)的諧振角頻率ω0和諧振頻率f0分別為

2.串聯(lián)諧振電路的特點(diǎn)

(1)諧振時(shí),串聯(lián)電路有最小的純阻性阻抗。RLC串聯(lián)電路的阻抗為

(2)諧振時(shí),串聯(lián)電路有最大的諧振電流,即

(3)諧振時(shí),因XL0=XC0,使即電感和電容上的電壓相量等值反相;電路的總電壓等于電阻上的電壓,即如圖3.6.1所示。圖3.6.1串聯(lián)諧振相量圖

串聯(lián)諧振時(shí),電感(或電容)上的電壓與電阻上的電壓的比值通常用Q表示,即

Q稱為電路的品質(zhì)因數(shù)。一般Q遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1,在高頻電路中可達(dá)幾百。因此,串聯(lián)諧振時(shí),電感(或電容)上的電壓遠(yuǎn)大于電路的總電壓(或電阻上的電壓),即

故串聯(lián)諧振又稱電壓諧振。串聯(lián)諧振在無線電中應(yīng)用十分廣泛。如調(diào)諧選頻電路,可以通過調(diào)節(jié)C(或L)的參數(shù),使電路諧振于某一頻率,使這一頻率的信號被接收,而其他信號被抑

制。但電氣工程上,一般要防止產(chǎn)生電壓諧振,因?yàn)殡妷褐C振時(shí)產(chǎn)生的高電壓和大電流會損壞電氣設(shè)備。

例3.6.1在RLC串聯(lián)諧振電路中,L=2mH,C=5μF,品質(zhì)因數(shù)Q=100,交流電壓的有效值為U=6V。試求:

(1)f0;

(2)I0;

(3)UL0

、UC0。

3.6.2并聯(lián)諧振及應(yīng)用

發(fā)生在并聯(lián)電路中的諧振稱為并聯(lián)諧振。

1.諧振條件和諧振頻率

在實(shí)際工程電路中,最常見的、應(yīng)用最廣泛的是由電感線圈和電容器并聯(lián)而成的諧振電路,如圖3.6.2(a)所示。

電路的等效阻抗Z為圖3.6.2RLC并聯(lián)電路

通常電感線圈的電阻很小,所以一般在諧振時(shí)ωL?R,式(3.6.8)可表示為

諧振的條件是端口的電壓與電流同相位,即復(fù)阻抗Z的虛部為零,由此可得并聯(lián)諧振的條件與諧振的頻率。

諧振的條件為

諧振的頻率(與串聯(lián)諧振近似相等)為

2.并聯(lián)諧振電路的特點(diǎn)

(1)諧振時(shí),并聯(lián)電路阻抗達(dá)到最大值,電流為最小值。此時(shí)有

在電源電壓一定的情況下,電路的電流I在諧振時(shí)最小。此時(shí)有

(2)電路對電源呈電阻性。

(3)諧振時(shí),支路電流為總電流的Q倍,即IL=IC=QI。Q是品質(zhì)因數(shù),定義為

因此,并聯(lián)諧振又叫做電流諧振。RLC并聯(lián)諧振電路在無線電技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用,是各種諧振器和濾波器的重要組成部分。

3.7功率因數(shù)的提高

3.7.1提高功率因數(shù)的意義由于功率因數(shù)cosφ=P/S,因此提高功率因數(shù)即提高電源容量的利用率,亦即使發(fā)電設(shè)備的容量得以充分利用,或減小電源與負(fù)載間的無功互換規(guī)模。例如,電磁鎮(zhèn)流式的日光燈,cosφ=0.5(電感性),若不提高線路的功率因數(shù),其與電源間的無功互換規(guī)模就達(dá)50%。

另一方面,此種無功互換雖不直接消耗電源能量,但在遠(yuǎn)距離的輸電線路上必將產(chǎn)生功率損耗,即ΔP=rI2=r(P/Ucosφ)2,其中r可認(rèn)為是線路及發(fā)電機(jī)繞組的內(nèi)阻。因此,提

高cosφ可同時(shí)減小線損與發(fā)電機(jī)內(nèi)耗。

從實(shí)質(zhì)上講,有功功率的利用取決于用戶,如果用戶不考慮cosφ的大小,勢必造成“大馬拉小車”的后果,所以這里還蘊(yùn)含著用戶能否顧全大局的深刻意義。

3.7.2提高功率因數(shù)的理論方法

提高功率因數(shù)的首要任務(wù)是減小電源與負(fù)載間的無功互換規(guī)模,而不改變原負(fù)載的工作狀態(tài)。因此,電感性負(fù)載需并聯(lián)電容性元件去補(bǔ)償其無功功率;電容性負(fù)載則需并聯(lián)電感性元件補(bǔ)償。一般企業(yè)大多數(shù)為電感性負(fù)載,下面以電感性負(fù)載并聯(lián)電容元件為例,分析提高功率因數(shù)的過程。圖3.7.1提高功率因數(shù)示意圖

3.7.3提高功率因數(shù)的工程應(yīng)用

下面介紹提高功率因數(shù)與需要并聯(lián)電容的電容量間的關(guān)系,由圖3.7.1(b)中的無功分量可得到

又因

故

例3.7.1某學(xué)校有1000只220V、40W的日光燈,采用電磁整流器,本身功耗為8W,其功率因數(shù)cosφ=0.5,若改用cosφ=0.95的電子式鎮(zhèn)流器,功耗為0.1W,線路電流可減小

多少?僅此一項(xiàng)可使變壓器的輸出功率減少多少?

3.8日光燈電路

圖3.8.1所示為由兩線鎮(zhèn)流器構(gòu)成的日光燈電路。這是一種最基本的日光燈電路,應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛,大部分日光燈均采用該電路。安裝好的日光燈外形如圖3.8.2所示。圖3.8.1日光燈電路示意圖

當(dāng)接通電源開關(guān)S以后,電源開關(guān)S、燈管、鎮(zhèn)流器構(gòu)成串聯(lián)電路連接在220V交流電的兩端,啟輝器并聯(lián)在燈管兩端。當(dāng)接通S時(shí),220V交流電加到啟輝器的U形雙金屬片和靜觸頭之間,引起輝光放電。放電時(shí),產(chǎn)生的熱量使雙金屬片膨脹,并向外伸張,與靜觸頭接觸,接通電路,使燈絲受熱并發(fā)射出電子。與此同時(shí),由于雙金屬片與靜觸頭接觸而停止輝

光放電,使雙金屬片逐漸冷卻并向內(nèi)彎曲,脫離靜觸頭。

在靜觸頭斷開的瞬間,在鎮(zhèn)流器兩端會產(chǎn)生一個(gè)比電源電壓高得多的感應(yīng)電動勢。這個(gè)感應(yīng)電動勢加在燈管兩端,使大量電子從燈管中流過。電子在運(yùn)動中沖擊管內(nèi)的氣體,發(fā)出肉眼看不見的紫外線。紫外線激發(fā)燈管內(nèi)壁的熒光粉后,發(fā)出了近似于日光的可見光。

圖3.8.2所示的日光燈主要由燈管、啟輝器和鎮(zhèn)流器構(gòu)成。其各件結(jié)構(gòu)及作用如下所述。圖3.8.2日光燈組成結(jié)構(gòu)及外形示意圖

1.燈管

日光燈管主要由燈絲、燈頭、玻璃管等構(gòu)成。燈管內(nèi)壁涂有一層熒光粉(有毒的金屬鹽),燈管兩端各有一個(gè)燈絲,燈絲由鎢絲構(gòu)成,用以發(fā)射電子。燈管內(nèi)在真空情況下充有一定量的氬氣與少量的汞(水銀)。

2.啟輝器

啟輝器主要由氖泡、電容器、電極及外殼等組成。氖泡為充有氖氣的玻璃泡,其內(nèi)裝有由U形金屬片靜觸頭組成的兩個(gè)電極,其間留有很小的間隙。電容器C的電容量約為0.006~0.007μF,用以消除U形雙金屬片脫離靜觸頭時(shí)發(fā)生的火花,并避免熒光燈對收音機(jī)和電視機(jī)的干擾。

3.鎮(zhèn)流器

鎮(zhèn)流器主要由鐵芯和線圈組成。鎮(zhèn)流器是一只繞在硅鋼片鐵芯上的電感線圈。它有兩個(gè)作用:在啟動時(shí),與啟輝器配合,產(chǎn)生瞬時(shí)高電壓,促使燈管放電;在工作時(shí),起限制燈管中

電流的作用。

習(xí)題3

3.1已知某一元件的電壓、電流(關(guān)聯(lián)方向)分別為下述三種情況時(shí),它可能是什么元件?試求元件的阻抗。

3.2題3.2圖所示為一交流電路元件,已知

當(dāng)元件為以下情況時(shí),分別求并畫出電壓、電流的相量圖。

(1)純電阻R=100Ω;

(2)純電感L=319mH;

(3)純電容C=31.8μF。題3.2圖

3.3電路如題3.3圖所示,已知R=30Ω,C=25μF,且iS=10sin(1000