專題153整數(shù)指數(shù)冪（3大知識點9類題型）（知識梳理與題型分類講解）（人教版）

專題15.3整數(shù)指數(shù)冪（3大知識點9類題型）（知識梳理與題型分類講解）第一部分【知識點歸納與題型目錄】【知識點1】零指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1，即.【要點提示】同底數(shù)冪的除法法則可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪.即（，、為整數(shù)）當時，得到.【知識點2】負整數(shù)指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的（為正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的次冪的倒數(shù)，即（≠0，是正整數(shù)）.引進了零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的范圍已經(jīng)擴大到了全體整數(shù)，以前所學的冪的運算性質仍然成立.【要點提示】是的倒數(shù)，可以是不等于0的數(shù)，也可以是不等于0的代數(shù)式.例如（），（）.【知識點3】科學記數(shù)法的一般形式（1）把一個絕對值大于10的數(shù)表示成的形式，其中是正整數(shù)，（2）利用10的負整數(shù)次冪表示一些絕對值較小的數(shù)，即的形式，其中是正整數(shù)，.用以上兩種形式表示數(shù)的方法，叫做科學記數(shù)法.知識點與題型目錄題型目錄【題型1】零指數(shù)冪...........................................................2【題型2】負整數(shù)指數(shù)冪.......................................................3【題型3】整數(shù)指數(shù)冪的運算...................................................5【題型4】計算單項式除以單項式...............................................6【題型5】用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)...................................8【題型6】還原用科學記數(shù)法表示的小數(shù).........................................9【題型7】用科學記數(shù)法表示數(shù)的除法..........................................10【題型8】直通中考..........................................................11【題型9】拓展延伸..........................................................12第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】零指數(shù)冪【例1】（2425八年級上·江蘇常州·期中）計算(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】本題主要考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪：（1）先計算算術平方根，立方根和乘方，再計算加減法即可得到答案；（2）先計算算術平方根和零指數(shù)冪，再去絕對值，最后計算加減法即可得到答案．解：（1）；（2）．【變式1】（2425八年級上·遼寧大連·期中）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)合并同類項，單項式乘以單項式，零指數(shù)冪，積的乘方對各選項判斷作答即可．解：A中，錯誤，故不符合要求；B中，錯誤，故不符合要求；C中，正確，故符合要求；D中，錯誤，故不符合要求；故選：C．【點撥】本題考查了合并同類項，單項式乘以單項式，零指數(shù)冪，積的乘方等知識．熟練掌握合并同類項，單項式乘以單項式，零指數(shù)冪，積的乘方是解題的關鍵．【變式2】（2425八年級上·遼寧營口·期中）觀察等式，其中的值是．【答案】或或【分析】本題主要考查了零指數(shù)冪，乘方，熟練掌握零指數(shù)冪是解題的關鍵．根據(jù)題意分三種情況進行分類討論即可．解：①當時，，解得；②當時，；③當為偶數(shù)時，，解得．故答案為：或或．【題型2】負整數(shù)指數(shù)冪【例2】（2324八年級上·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)積的乘方運算法則將括號展開，再根據(jù)冪的乘方運算法則和同底數(shù)冪乘法法則進行計算即可；（2）先根據(jù)積的乘方運算法則將括號展開，再根據(jù)冪的乘方運算法則和同底數(shù)冪除法法則進行計算即可．解：（1）．（2）．【點撥】本題主要考查了冪的運算法則，解題的關鍵是掌握同底數(shù)冪相乘（除），底數(shù)不變，指數(shù)相加（減）；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方，把每個因式分別乘方．【變式1】（2425八年級上·湖南懷化·開學考試）若，，，，則a、b、c、d的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、乘方等運算，根據(jù)相關運算法則計算后，進行比較大小即可.解：，，，∵∴，故選：D【變式2】（2122八年級上·河北廊坊·期末）已知，滿足，則；．【答案】1【分析】先利用絕對值和平方數(shù)的非負性得到，，從而得到，，再代入計算即可．解：∵，∴，，∴，，∴，，故答案為：1；．【點撥】本題考查零指數(shù)冪和負指數(shù)冪的計算，解題的關鍵是根據(jù)絕對值和平方數(shù)的非負性求出，．【題型3】整數(shù)指數(shù)冪的運算【例3】（2324八年級下·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)5(2)2022(3)【分析】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪的運算，掌握運算法則是解題的關鍵；（1）按照負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則和有理數(shù)的混合運算計算即可；（2）先按照負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則計算，再按照有理數(shù)加法和乘法計算即可；（3）按照整數(shù)指數(shù)冪的計算法則計算即可；解：（1）；（2）=2022；（3）．【變式1】下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、同底數(shù)冪的除法法則逐項計算即可．解：A．，故不正確；B．，故不正確；C．，故不正確；D．，故正確；故選D．【點撥】本題考查了冪的運算，熟練掌握冪的運算法則是解答本題的關鍵．同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減；非零數(shù)的負整數(shù)指數(shù)冪等于這個數(shù)的正整數(shù)次冪的倒數(shù)；非零數(shù)的零次冪等于1．【變式2】計算：.【答案】【分析】根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪運算法則計算即可.解：原式==【點撥】本題是對整數(shù)指數(shù)冪及其運算的考查，熟練掌握整數(shù)指數(shù)冪及其運算法則是解決本題的關鍵.【題型4】計算單項式除以單項式【例4】（2425八年級上·四川眉山·期中）先化簡，再求值，其中，．【答案】，【分析】本題考查了整式混合運算化簡求值，正確的計算是解題的關鍵．先計算積的乘方，再計算單項式除以單項式，然后合并同類項，最后將代入化簡結果進行計算即可求解．解：；當，時，原式．【變式1】（2425七年級上·上海·階段練習）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了整式乘法和除法，積的乘方和合并同類項，根據(jù)單項式乘單項式，單項式除單項式，積的乘方和合并同類項運算法則逐項判斷即可，熟知相關計算法則是解題的關鍵．解：、，原選項計算錯誤，不符合題意；、，原選項計算正確，符合題意；、，原選項計算錯誤，不符合題意；、與不是同類項，不能合并，原選項計算錯誤，不符合題意；故選：．【變式2】（2223七年級下·浙江溫州·期中）若定義知識樹表示運算，則知識樹表示的運算結果為．【答案】m【分析】本題考查了新定義運算，單項式除以單項式及積的乘方，根據(jù)新定義得，即可求解；理解新定義是解題的關鍵．解：解：根據(jù)題意，表示，，故答案為：m．【題型5】用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)【例5】．（2425九年級上·全國·課后作業(yè)）已知正數(shù)P可以用科學記數(shù)法表示為．(1)下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)一定為整數(shù)

B．n一定為正數(shù)C．

D．時，P一定為小數(shù)(2)若P是218000000，則______，______；(3)若P是302萬，則______，______；(4)若P是0.00015，則______，______；(5)若，，則P是（

）A．30億

B．300

C．3000億

D．30000000000【答案】(1)D(2)2.18，8(3)3.02，6(4)1.5，(5)C【解析】略【變式1】（2324九年級上·浙江杭州·階段練習）華為Mate60Pro搭載了麒麟9000s芯片，該芯片采用7納米工藝制造，擁有出色的性能和能效比0.7納米等于0.000000007米．數(shù)據(jù)0.000000007用科學記數(shù)法為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的定義改寫即可．解：將一個數(shù)改寫為，其中，為整數(shù)，故0.000000007用科學記數(shù)法為，故選D．【點撥】本題主要考查科學記數(shù)法的定義，熟練掌握科學記數(shù)法的定義是解題的關鍵．【變式2】（2324八年級上·全國·課后作業(yè)）用科學記數(shù)法表示：；【答案】【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值大于或等于10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，n是負整數(shù)．解：，；故答案為，．【點撥】本題主要考查科學記數(shù)法，熟練掌握科學記數(shù)法的表示形式是解題的關鍵．【題型6】還原用科學記數(shù)法表示的小數(shù)【例6】（2324八年級上·全國·課后作業(yè)）將下列用科學記數(shù)法表示的數(shù)還原．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將小數(shù)點向左移動4位即可；（2）將小數(shù)點向左移動5為即可；（3）將小數(shù)點向左移動6為即可．解：（1）；（2）；（3）．【點撥】本題主要考查了將用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)還原，解題的關鍵是掌握用還原科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)的方法：，將小數(shù)點向左移動n為移動的位數(shù)即可還原．【變式1】（2023·河北張家口·模擬預測）某種電子元件的面積大約為，將這個數(shù)據(jù)寫成小數(shù)的形式為：，這個小數(shù)中0的個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】本題考查了根據(jù)科學記數(shù)法還原原數(shù)，掌握科學記數(shù)法的表示形式是解題的關鍵．根據(jù)科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)的方法，即，則小數(shù)點向右移動了為，由此還原原數(shù)，即可求解．解：，∴這個小數(shù)中0的個數(shù)為7個，故選：C．【變式2】（2223八年級上·廣西貴港·期末）用科學記數(shù)法表示的數(shù)寫成小數(shù)是．【答案】【分析】利用科學記數(shù)法逆運算把數(shù)寫成小數(shù)形式．解：，故答案為：．【點撥】本題考查了科學記數(shù)法的逆運算，將科學記數(shù)法表示的數(shù)，還原成通常表示的數(shù)，就是把的小數(shù)點向左移動位所得到的數(shù)．【題型7】用科學記數(shù)法表示數(shù)的除法【例7】（2122八年級上·全國·單元測試）計算并用科學記數(shù)法表示結果：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了整式的乘除運算，用科學記數(shù)法表示數(shù)的乘法和學記數(shù)法表示數(shù)的除法．（1）首先根據(jù)整式的乘法定義化簡，然后根據(jù)同底數(shù)冪的乘法計算出結果，最后用科學記數(shù)法表示即可．（2）首先根據(jù)整式的除法定義化簡，然后根據(jù)同底數(shù)冪的除法計算出結果，最后用科學記數(shù)法表示即可．解：（1）（2）【變式1】（2324八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)冪的乘方與積的乘方的性質計算，然后根據(jù)用科學記數(shù)法表示的數(shù)的計算法則計算即可．解：，，故選：D．【點撥】本題考查了冪的乘方與積的乘方、用科學記數(shù)法表示的數(shù)的計算，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．【變式2】（2223七年級下·山東·期中）計算：．【答案】【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案，最后結果用科學記數(shù)法表示．解：，，，，故答案為：．【點撥】此題主要考查了整式的除法，正確運用整式的除法運算法則是解題關鍵．第二部分【直通中考與拓展延伸】【題型8】直通中考【例1】（2024·海南·中考真題）（1）計算：；（2）解不等式組：．【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，解一元一次不等式組：（1）先計算算術平方根，零指數(shù)和乘方，再計算乘除法，最后計算加減法即可；（2）先求出每個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．解：（1）；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為．【例2】（2024·四川雅安·中考真題）（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【分析】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪，實數(shù)的混合運算，分式的化簡求值等知識點，能正確根據(jù)分式的運算法則和實數(shù)的運算法則進行計算是解此題的關鍵，注意運算順序．（1）先計算開方、負整數(shù)指數(shù)冪和絕對值，然后根據(jù)有理數(shù)的加減法計算即可；（2）先計算分式的減法，再計算分式的除法進行化簡，最后代入求出答案即可．解：（1）原式；（2）原式，當時，原式．【題型9】拓展延伸【例1】已知實數(shù)a，b，定義運算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，則a＝．【答案】3或1或﹣1【分析】根據(jù)a+1＞a﹣2知(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)(a+1)＝1，據(jù)此可得a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，從而得出答案．解：∵a+1＞a﹣2，∴(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)(a+1)＝1，即(a﹣2)a+1