重慶市永川中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

重慶市永川中學(xué)校高2026屆高二（上）12月月考數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘第I卷（選擇題共58分）一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若點(diǎn)關(guān)于平面和軸對(duì)稱的點(diǎn)分別為，，則（）A. B. C.1 D.9【答案】A【解析】【分析】點(diǎn)關(guān)于面坐標(biāo)平面對(duì)稱則對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)不變坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸軸對(duì)稱則對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)不變，變?yōu)橄喾磾?shù)，得出點(diǎn)坐標(biāo)，知道的值，再求和即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，，故．故選：A．2.已知圓與圓外切，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】?jī)蓤A外切時(shí)，兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和.我們先求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，再根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)列出等式求解的值.【詳解】對(duì)于圓，其圓心坐標(biāo)，半徑.對(duì)于圓,其圓心坐標(biāo)，半徑.因?yàn)閮蓤A外切，所以兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和.兩圓的圓心距.根據(jù)兩圓外切性質(zhì)，即，解得.故選：B.3.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且焦距為4，則（）A.5 B.6 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)要求列出方程和不等式，然后求解出的值即可.【詳解】因?yàn)楸硎窘裹c(diǎn)在軸上且焦距為的橢圓，所以，解得，故選：C.4.如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則直線與的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直 C.異面垂直 D.異面不垂直【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解判斷即可.【詳解】以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，，，又平面，平面，平面，且，直線與異面垂直．故選：C．5.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為在第一象限上的一點(diǎn).若為直角三角形，，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定義可得，即可根據(jù)勾股定理，結(jié)合分類討論求解.【詳解】由題意可得，由雙曲線定義可得，故，若,則,即，化簡(jiǎn)可得，則，若,則,即，化簡(jiǎn)可得，不符合題意舍去，故選：C6.已知等差數(shù)列滿足，則（）A. B.5 C.5或－5 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征可進(jìn)行組合與提取公因式，再利用等差數(shù)列性質(zhì)和等差中項(xiàng)公式不斷簡(jiǎn)化式子即可得解.【詳解】由題，解得，故選：C.7.已知橢圓，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，若恰好是的中點(diǎn)，則橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為（）A.6 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由點(diǎn)差法結(jié)合已知可得，進(jìn)而求出，根據(jù)橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，兩式作差得，即，即①，因?yàn)辄c(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)橹本€的斜率為，將它們代入①式得，解得，又，則，所以橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為．故選：B．8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且的一條漸近線與直線平行．分別是在第一、二、三、四象限內(nèi)的四點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形．若三點(diǎn)共線，則面積的最小值為（）A.12 B.24 C.16 D.8【答案】A【解析】【分析】已知條件雙曲線【詳解】由題意知解得，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由題意及雙曲線的對(duì)稱性，平行四邊形與雙曲線如圖．四邊形為平行四邊形，所以．由題知，直線的斜率不為零，且，故設(shè)直線的方程為．由，消去并整理得，，，設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系可得．因?yàn)辄c(diǎn)均在雙曲線的右支上，且雙曲線漸近線的斜率為：，所以，解得，所以．，令，則，所以．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以面積的最小值為12故選：A二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，計(jì)算可得判斷A；可求判斷B；，可判斷C；計(jì)算可得判斷D.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，∴，解得，，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，∴，故C正確；，，∴，故D正確．故選：ACD．10.已知，，點(diǎn)P滿足．則（）A.點(diǎn)P的軌跡為雙曲線 B.直線上存在滿足題意的點(diǎn)PC.滿足的點(diǎn)P共有0個(gè) D.的周長(zhǎng)的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】由，，則再根據(jù)雙曲線的定義可得點(diǎn)的軌跡方程是雙曲線的右支判斷A,聯(lián)立方程組計(jì)算判斷B,根據(jù)點(diǎn)到漸近線的距離判斷C，轉(zhuǎn)化的周長(zhǎng)為，再結(jié)合三點(diǎn)共線判斷D.【詳解】因?yàn)?，，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的右支，所以，故，所以的軌跡方程為，雙曲線的右支，故A錯(cuò)誤；聯(lián)立，解得（舍去），所以直線上存在滿足題意的點(diǎn)，故B正確；雙曲線的漸近線方程為，則點(diǎn)到漸近線的距離，所以滿足的點(diǎn)共有0個(gè)，故C正確；因?yàn)榧醋蠼裹c(diǎn)，而，因?yàn)?，所以，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的周長(zhǎng)的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化的周長(zhǎng)為，再結(jié)合當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值.11.如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值4B.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C.若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是D.使直線與平面所成的角為的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】BD【解析】【分析】對(duì)A：由的面積不變，點(diǎn)到平面的距離不變，求出體積即可；對(duì)B：以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，結(jié)合向量的夾角公式，可判定B正確；對(duì)C：設(shè)，求得平面的一個(gè)法向量為，得到，可判定C錯(cuò)誤；對(duì)D：由直線與平面所成的角為，作平面，得到點(diǎn)的軌跡，可判定D正確.【詳解】解：對(duì)于A：的面積不變，點(diǎn)到平面的距離為正方體棱長(zhǎng)，所以三棱錐的體積不變，且，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，則，，設(shè)與所成角為，＝＝，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，可得，所以，當(dāng)時(shí)，＝，由，所以，所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B正確；對(duì)于C，由，設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)槠矫?，所以，可得，所以＝＝，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)橹本€與平面所成的角為，由平面，得直線與所成的角為，若點(diǎn)在平面和平面內(nèi)，因?yàn)?，，故不成立；在平面?nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面內(nèi)，作平面，如圖所示，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，綜上，點(diǎn)的軌跡的總長(zhǎng)度為，所以D正確.故選：BD.第II卷（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)在直線上，若的最小值為4，則_______．【答案】或9【解析】【分析】根據(jù)的幾何意義，結(jié)合點(diǎn)線距離公式求參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，那么的最小值是定點(diǎn)到直線的距離的平方，所以，解得或9．故答案為：或913.若數(shù)列滿足，，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合累乘法求解即可.【詳解】因?yàn)棰?，所以②，②①得，，所以有，所以．故答案為?14.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q，若點(diǎn)F到C的準(zhǔn)線的距離為3，則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由題意得，可得拋物線的方程和直線的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)的坐標(biāo)和弦長(zhǎng)，可得圓的半徑，在中，由銳角三角函數(shù)的定義可得所求值.【詳解】拋物線得焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由題意得，則拋物線方程為，，直線方程為，由得，，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則，，所以，，圓的半徑為4，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，在中，.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿足：，.（1）若，求證：為等差數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)，即可得到，從而得證；（2）由（1）可得，從而得到，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，即，，又，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，則，所以，所以.16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓M的圓心在直線上，且圓M與直線相切于點(diǎn).（1）求圓M的方程；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線被圓M截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與圓的相切的關(guān)系得出圓心與切點(diǎn)連線方程，聯(lián)立方程組計(jì)算可得圓心坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式計(jì)算半徑即可得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得圓心M到直線的距離，分類討論直線斜率是否存在，并點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算斜率即可.【小問(wèn)1詳解】易知過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線斜率為，故圓心M與切點(diǎn)連線方程為，聯(lián)立解得，所以；所以圓M的半徑為，所以圓M的方程為.【小問(wèn)2詳解】如圖，由（1）可知圓M的方程為，因?yàn)橹本€被圓M截得的弦長(zhǎng)為，所以M到直線的距離為，若直線的斜率不存在，則方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為1，不符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)方程為，則，即，解得或，所以直線的方程為或.17.已知直三棱柱中，，且，點(diǎn)分別為線段和的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明、來(lái)證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面與平面的夾角.【小問(wèn)1詳解】平面平面，又，又，平面，平面又平面.又，即.又平面，平面.【小問(wèn)2詳解】如圖所示，以點(diǎn)原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易得，設(shè)平面的法向量n=x,y,z，則，取，則法向量n=0,1,?1由（1）可知平面的法向量.平面與平面的夾角為.18.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程，并求的值；（2）過(guò)焦點(diǎn)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求直線的方程.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）首先表示出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義及焦半徑公式求出，即可求出拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為，Mx1,y1、Nx【小問(wèn)1詳解】拋物線：y2=2pxp>0的準(zhǔn)線方程為因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且，所以，解得，所以拋物線方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，即.小問(wèn)2詳解】由（1）可知拋物線的焦點(diǎn)F1,0顯然直線斜率不為0，設(shè)直線的方程為，Mx1,y1，由，消去整理得，所以，則，，所以，，又，所以，，因?yàn)椋?，即，即，解得，所以直線的方程為，即.19.如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，則稱它們?yōu)椤肮草S”曲線．若雙曲線與橢圓是“共軸”曲線，且橢圓，（、分別為曲線、的離心率）．已知點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）延長(zhǎng)線段到點(diǎn)，且，若點(diǎn)Q在橢圓上，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，點(diǎn)A、B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線交雙曲線的左支于點(diǎn)R，直線、的斜率分別為、．是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）或或（3）當(dāng)重合時(shí)，；當(dāng)不重合時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“共軸”曲線定義，直接列式計(jì)算可得答案；（2）設(shè)，由，可得，代入方程與方程聯(lián)立，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）討論當(dāng)重合時(shí)，；不重合時(shí)，設(shè)出直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，消元后利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，進(jìn)而證明其比值為定值.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意雙曲線，因，解得，雙曲線的方程為；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，設(shè)，已知，又，所以