【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版選修1-1雙基限時(shí)練19(第三章)

雙基限時(shí)練(十九)1．函數(shù)y＝2x3－x2的極大值為()A．0 B．－9C．0，eq\f(27,16) D.eq\f(27,16)解析y′＝6x2－2x，令y′>0，解得x<0，x>eq\f(1,3)，令y′<0，解得0<x<eq\f(1,3)，∴當(dāng)x＝0時(shí)，取得極大值0，故選A.答案A2．函數(shù)y＝1＋3x－x3有()A．微小值－1，極大值1 B．微小值－2，極大值3C．微小值－2，極大值2 D．微小值－1，極大值3解析y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1，易推斷當(dāng)x＝1時(shí)，有極大值y＝3，當(dāng)x＝－1時(shí)，有微小值y＝－1.故選D.答案D3．三次函數(shù)當(dāng)x＝1時(shí)，有極大值，當(dāng)x＝3時(shí)，有微小值，且函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，則該三次函數(shù)為()A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x解析當(dāng)y′＝0時(shí)，x＝1，x＝3，導(dǎo)函數(shù)可能為y′＝3(x2－4x＋3)，∴原函數(shù)可能為y＝x3－6x2＋9x.答案B4．已知函數(shù)y＝2x3－ax2＋36x－24在x＝2處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是()A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)解析y′＝6x2－2ax＋36，∵x＝2為極值點(diǎn)，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y′＝6×4－2a×解得a＝15，∴y′＝6x2－30x＋36，令y′＝0，得x＝2，或x＝3，∴當(dāng)y′>0時(shí)，x<2或x>3，當(dāng)y′<0時(shí)，2<x<3，∴遞增區(qū)間是(－∞，2)，(3，＋∞)，故選B.答案B5．設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點(diǎn)，則()A．a(chǎn)>－eq\f(1,e) B．a(chǎn)>－1C．a(chǎn)<－eq\f(1,e) D．a(chǎn)<－1解析y′＝ex＋a＝0有解，a＝－ex.設(shè)大于零的極值點(diǎn)為x0，則ex0>1，∴－ex0<－1，即a<－1.答案D6．函數(shù)y＝2x3－15x2＋36x－24的微小值為_(kāi)_______．解析y′＝6x2－30x＋36＝6(x2－5x＋6)＝6(x－2)(x－3)．當(dāng)x<2時(shí)，y′>0；當(dāng)2<x<3時(shí)，y′<0；當(dāng)x>3時(shí)，y′>0.∴當(dāng)x＝3時(shí)有微小值．∴微小值為f(3)＝2×33－15×32＋36×3－24＝3.答案37．若函數(shù)y＝eq\f(1,3)x3＋x2＋ax在R上沒(méi)有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析f′(x)＝x2＋2x＋a，∵f(x)在R上沒(méi)有極值點(diǎn)，∴Δ＝4－4a≤0，∴a≥答案a≥18．若函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則常數(shù)c的值為_(kāi)_______．解析f(x)＝x3－2cx2＋c2xf′(x)＝3x2－4cx＋c2，∴f′(2)＝c2－8c＋12＝0，c＝2或c當(dāng)c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，當(dāng)eq\f(2,3)<x<2，f′(x)<0，當(dāng)x>2，f′(x)>0，∴當(dāng)x＝2時(shí)有微小值．當(dāng)c＝6時(shí)，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，當(dāng)2<x<6時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x<2時(shí)，f′(x)>0，∴當(dāng)x＝2時(shí)有極大值．∴c＝6符合題意．答案69．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x(1)求a，b的值；(2)若對(duì)于任意的x∈，都有f(x)<c2成立，求c的取值范圍．解(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.∵函數(shù)f(x)在x＝1及x＝2時(shí)取得極值，則有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＋6a＋3b＝0,24＋12a＋3b＝0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝4)).(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c∴f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(2,3)時(shí)，f′(x)>0.∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極大值，f(1)＝5＋8c又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8則當(dāng)x∈時(shí)，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c∴對(duì)于任意的x∈，有f(x)<c2恒成立，∴9＋8c<c2，解得c<－1或c因此，c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞)．10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋alnx.(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若g(x)＝f(x)＋eq\f(2,x)在[1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)由題意知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．當(dāng)a＝－2時(shí)，f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝eq\f(2x＋1x－1,x).當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)和f(x)的值的變化狀況如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)，微小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x2＋alnx＋eq\f(2,x)，得g′(x)＝2x＋eq\f(a,x)－eq\f(2,x2).若函數(shù)g(x)為[1，＋∞)上的單調(diào)增函數(shù)，則g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立．即不等式2x－eq\f(2,x2)＋eq\f(a,x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，也即a≥eq\f(2,x)－2x2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x)＝eq\f(2,x)－2x2，則φ′(x)＝－eq\f(2,x2)－4x.當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，φ′(x)＝－eq\f(2,x2)－4x<0，∴φ(x)＝eq\f(2,x)－2x2在[1，＋∞)上為減函數(shù)，∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，＋∞)．11．設(shè)函數(shù)f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，且x1·x2＝1，求實(shí)數(shù)a的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明