2017屆高考總復習數(shù)學（理）教案：第五章 平面向量 含答案

D

第五章平面向量

第一節(jié)平面向量的概念及線性運算

考綱要求:1。了解向量的實際背景.

2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.

3.理解向量的幾何表示.

4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.

5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.

6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.

基礎知識.自查自糾憶教材夯基提能

1.向量的有關概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量：長度為止的向量，其方向是任意的.

(3)單位向量：長度等于1個單位的向量.

(4)平行向量:方向相同或也反的非零向量，又叫共線向量.規(guī)定：。與任一向量共線.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律

交換律：a+b=b+a；

求兩個向量和的運

加法結合律：(a+b)+c=

算

三角形法則平行四邊形法則a+(b+c)

求@與力的相反向量

減法a—b=a+(—b)

-b的和的運算a

一角形法則

1=1410,當，＞0時〃

2(4。)=(%〃)a\(2

求實數(shù)4與向量。的與0的方向相同;當為＜0時，

數(shù)乘

積的運算2a與。的方向相反;當4=0

+b)=〃+幼

時，2a=0

3。共線向量定理

向量劃)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)九使得。=2%

錯誤!

1.判斷下列結論的正誤.(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小.()

(2)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.()

(3)BA=OA-OB.()

(4)向量a—b與b—0是相反向量.()

(5)若b//c,則?！╟.()

(6)向量AS與向量E是共線向量，則A,B,C,。四點在一條直線上.()

(7)當兩個非零向量a,b共線時，一定有6=而，反之成立.()

答案：(1)V(2)X(3)7(4)V(5)X(6)X(7)V

2.如圖，設。是正六邊形ABCOEF的中心，則圖中與雙相等的向量有.

答案:演，前，時

3.化簡：

(2)NQ+QP+A?N-MP=.

答案(2)0

4.已知。與b是兩個不共線的向量，且向量。+幼與一(6—3。)共線，則2=.

答案：一錯誤！

熱點題型■分類突破析考照強化認知

考點一平面向■的概念?-----1：一般考點?自主綜勇］

［典題1］(1)給出下列命題：

①若IaI=\bI,則a=b；

②若A,B,C,。是不共線的四點，則瓶=反是四邊形A8C0為平行四邊形的充要

條件；

③若a=b,b=ct則a=c；

?a=b的充要條件是IaI=|可且。〃b.

其中正確命題的序號是()

A.②③B.?2)C.③④D.①④

(2)給出下列命題：

①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；

②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；

③〃=0晨為實數(shù))，則人必為零；

④為,為實數(shù)，若Xa=nb,則。與b共線.

其中錯誤的命題的個數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

［聽前試做］(1)①不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.

②正確VAB=DC,/.|AB|=|DC|JLAB//DC.

又4,B,C,。是不共線的四點，

.??四邊形ABCD為平行四邊形：

反之，若四邊形A3C￡>為平行四邊形，

則A片〃DC且|AE=|DC|,因此,AE=DC.

③正確.9：a=b,：,a,〃的長度相等且方向相同，

又6=。,???瓦c的長度相等且方向相同，

Aa,c的長度相等且方向相同，故。=,

④不正確.當a//b且方向相反時，即使I〃I=I臼，也不能得到a=b,故IaI=|方I

且。〃方不是a=b的充要條件，而是必要不充分條件.

綜上所述，正確命題的序號是②③.故選A。

(2)①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點.

②正確，因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，

故可以比較大小.

③錯誤，當a=0時，不論2為何值a=0<>

④錯誤，當a=〃=0時，2a=〃b=0,此時，a與人可以是任意向量.故選C。

答案：(1)A(2)C

易錯-警示

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(2)共線向量即平行向量，它們均與起點無關.

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象

移動混為一談.

(4)非零向量。與錯誤！的關系：錯誤!是。方向上的單位向量.

考點二平面向量的線性運算|：題根遷移?發(fā)效探究1

「典題2］(1)(2015?新爆標全國卷I)設D為△ABC所

在平面內(nèi)一點，配=3西，則()

A.AD=-yAB4-yAC

B.AD=-i-AB-4-AC

C.AD=-^AB+^-AC

KJO

D.AD=^AB-^-AC

JJ

(2)設D,E分別是aABC的邊AB,BC上的點，AO=錯誤!AB,BE=錯誤!BC.若

力為實數(shù))，則九+也的值為.

DE=XXAB+\2ACa1

［聽前試做］(1)AD=AC+CD=AC+^-BC=AC+

4-(AC-AB)=4-AC-4-AB=-4-AB+4-AC.

(2)DE=DB+BE=}AB+告配=^AB+仔(麗+

乙J4J

前)=一!荏+3"前，所以心=一4，入2=5",即

0o06

A1+a2=5?

答案：(1)A(2)錯誤！

［探究］若將本例(2)的條件改為“而=2DB,CD=

十24+久國”?則義=.

■■■■■■

解析：???CD=CA+AD,CD=CB+3D,

：.2CD=CA+CB+AD+BD.

又???麗=2DB,

A2CD=CA4-CB+-i-AB

O

=CA+CB+-^-(CB-CA)

o

=^CA+-^CB.

5<5

.,?加=家工+家B,即/=京

00J

答案：錯誤！

方東?規(guī)律

向量線性運算的解題策略

(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊

形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則.

(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉化到同一個平行四邊

形或三角形中求解.

一變式訓練

(2016?沈陽模擬)已知△ABC和點M滿足麗+砒+

MC=0,若存在實數(shù)〃，使得通+/=小祝成立，則m

=()

A.2B.3C.4D.5

解析：選B由兩+ME+就=0知，點M為△ABC的

克心,設點D為底邊BC的中點?則AM=［"AD=gx

<5<5

子(AB+AC)=4~(AB+AC),所以AB+AC=3AM,故

〃?=3?

考點三共線向■定理的應用<------r題根遷移?發(fā)效探究x

［典題3］設兩個非零向量。和b不共線.

(1)若袍=°+"或=2a+8b,CD=3(a-lf).求證:4、B、。三點共線.

(2)試確定實數(shù)上使履+。和。+協(xié)共線.

［聽前試做］(1)因為初=a+b,比=2。+86函=

3(a—b)、

所以加=配+迎=2。+86+3(。一力)=5(。+6)=

5AB,

所以A6,前共線.

又福與前有公共點B,

所以A、B、D三點共線.

(2)因為ki+力與。+幼共線.，

所以存在實數(shù)尤使&a+b=i(a+他)，

即錯誤！解得&=±1。

即左=±1時，履+力與“+協(xié)共線.

［探究1］若將本例(1)中“阮=2。+8力”改為“皮=°+，汕"則m為何值時,A、B、

。三點共線？

解：BC+Cf5=(a+〃出)+3(a—b)=4a+(〃?-3)b.即

BD=4a+(//?—3)b.

若A、B、D三點共線，則存在實數(shù)久，使前=2萬瓦

即4fl+(/n-3)b="a+b),.二錯誤！解得機=7.

故當力=7時工、B、。三點共線.

［探究2］若將本例Q)中的“共線”改為“反向共線〃，則上為何值？

解：因為癡+》與〃+初反向共線，

所以存在實數(shù)2，使總+5=2Q+他)(A<0),

所以錯誤！所以k=±\o

又7〈0次=2,所以女=一1。

故當k=—\時兩向量反向共線.

方東?規(guī)律

(1)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)

系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.

(2)向量。力共線是指存在不全為零的實數(shù)九九，使&。+勿力=0成立；若九a+勿力=0,

當且僅當九=七=0時成立，則向量a,力不共線.

口變式訓練

I.已知a,b是兩個不共線的非零向量，且。與b起點相同.若m必，；(°+方)三向量

的終點在同一直線上，則t=.

解析：?.?〃，tb,錯誤！Q+A)三向量的終點在同一條直線上，且。與b起點相同.：.a

~tb與。一錯誤！(a+b)共線，即a—lb與錯誤!。一錯誤!b共線，

???存在實數(shù)人使。一力=2錯誤!，

.??錯誤!解得人=錯誤！，，=錯誤！，

即/=錯誤！時，a,tb,錯誤！(a+b)三向量的終點在同一條直愛上.

答案:錯誤！

2.已知G為△ABC的重心，令初=a,*=b，過點G的直

線分別交AB,AC于P,Q兩點，且而=，〃a，而=疝，則

±+±=

解析：連接AG并延長交BC于晨E,4

如圖所示?由重心的性質(zhì)可知而=/\

?屏弗+宿=%油

33=932

3pL7G\

+AC).又ABM^-AP,ACN^-AQ./--------1----------

mnBEC

所以A()=4(—AP+—AQ)=5?A戶一

因為G,P?Q三點共線.

所以J--F；=l?

5min

Pp—+-=3.

nin

彥玄?2

----------------------［課堂歸納——感悟提升］--------------------------

［方&技巧/

1.向量加法的三角形法則要素是“首尾相接,指向終點”；向量減法的三角形法則要素

是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”.

2.對于平面上的任一點。,6,03不共線，滿足加=力6(

+ySU(i,y￡R),則P,A,B共度㈡力+3=1.

［易將防范J

1.解決向量的概念問題要注意兩點:一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向

量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.

2.在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導致錯

誤.

■課后作業(yè)?提能演練(二十七)練技能查漏補缺

錯誤！

一、選擇題

1.給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的;②若。，，都是單位向量，則a

=b；③向量池與明相等；④若非零向量與前是共線向量，則A.B,C,D四點共線.則

所有正確命題的序號是()

A.①B.③C.??D.①④

解析：選A根據(jù)零向量的定義可知①正確;根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模

相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故②錯誤;向量血與明互為相反

向量，故③錯誤；由于方向相同或相反的向量為共線向量，故血與前也可能平行，即A,8,

C,。四點不一定共線，故④錯誤.

2.已知A、B、C三點不共線，且點。滿足加+反=0,則下列結論正確的是

()

A.OA=4-AB+-1-BCj

氏雨=我6+;配

O?5

--1—?2—t

C.()A=^AB-^BC

oJ

—?9-1

D.OA=一件AB—BC

JJ

解析：選DVOA+OB+OC=0..\O為△ABC的重心.

：.OA=+=-^-(AB+AC)=

J4J

一；?(AB4-AB+BC)=--5-(2AB4-W)=-4?

3JJ

-軻?

3.如圖，已知AB是圓O的直徑，點C、。是半圓弧的兩個三等分點，池=a,AC=b,

則AD=()

cD

A.Q一錯誤!力B<,錯誤!a-b

C.。+錯誤!。D.錯誤!a+方

解析：選D連接CD,由點C、D是半圓弧的三等分點，

得CD//AB且西=/嵇=亭1,所以汨5=前+西=b

+%__

4.(2015?天水模擬)A、8、0是平面內(nèi)不共線的三個定點，且。4總=b,點P

關于點4的對稱點為。點。關于點8的對稱點為H,則國=()

A.a-bB.2(b—a)

C.2(a—b)D.b-a

解析：選BPR=OR-OP=(OR+OQ)-(OP+OQ)=

2OB-2OA=2(b-a).

5.(2016?日照模擬)在△ABC中，P是BC邊的中點，角A,B,C的對邊分別是a,b,

c,若cAC+aPA+OP后=0,則△ABC的形狀為()

A.等邊三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形但不是等邊三角形

解析：選A如圖,由cAC+未

aPA+6PB=0知,c(FC-FX)X\

+aPA-bPC=(a-c)PA-l-(c//\

一6)定=0,而而與定為不共線BpC

向量，，。一c=c-6=0,.??a=〃=c.

二、填空題

6.(2016?包頭模擬)如圖，在aABC中，AHVBC交BC于H,M為AH的中點，若

AM=AAB+fiAC,則z+"=。

/也、

BH

解析：?；而7=品AB+=十［油+z(冠一痔］=

4［(1+力耳一/AC：］,又???磯一人.十〃A5,???1+/

乙

=22，2〃=—?r,：?入+〃=十.

答案：錯誤！

7./XABC所在的平面內(nèi)有一點產(chǎn),滿足P4+PR+PC=AE,則△P6C與△ABC的面

積之比是.

解析：因為可1+兩+定=4反所以西+西+定=血

一方，所以巨?=一2兩=2瓦P,即P是AC邊的一個三

9

等分點，且PC=仔AC,由三角形的面積公式可知，

^^PHC_PC__2

S/\ABCAC3,

答案:錯誤！

8.設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，比2=

16,|不后+宿=|獨一旗|測|硼|=.

解析：由I冗§+*|=\AB-AC\可知，AS_L/，

則AM為Rt/\ABC斜邊BC上的中線.

因此，|砌|=。|反1=2.

乙

答案：2

三、解答題

解：:麗=0X一函j=a-b,

.,.OM=OB+BM=4-a+4-^

0o

又???m=a+b.

"\(K'二(」)=3()I)?—Ol)

O40

：.MN=ON-OM=^-a+^-b-4-a-4-^-TO-^-b.

OO00Z0

—?15—.22—?1

綜上?OM=/a+/b.ON=/a+《b.MN=J

bb334

ib-

10.如圖所示，在△ABC中，D,F分

別是BC.AC的中點?碇二

■^-Ab,AB=a,AC=b.

(1)用a.b表示向量而，期,荷，豆巨，呼;

(2)求證：8?E,F三點共線.

解：(1)延長AD到G,使而=/的.

連接皮;,06,得到平行四邊形ABGC,

所以Ad=a+b.

AD=-yAG=-1-(a+fr).

AE=《AD=W"(a+b),

Jo

AF=yAC=yfr.

BE=AE~AB=^-(a-i-b)-a=^-(b-2a),

wJ

BF=AF—AB=-yfr—a=-^-(h—2a).

(2)證明：由(1)可知3E=*BF?

J

又因為B巨,即有公共點B,

所以B,E,F三點共線.

錯誤!

1.設D,E,F分別是△ABC的三邊BC.CA.AB上的點，

JgLDC=2BD,CE=2EA,AF=2而，則AD+泥:+CF

與尻()

A.反向平行B.同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直

解析：選A由題意得回=油+反）=印啟+]■阮.

一一■—.一,1—>

BE=BA+AE=BA+4"AC,

CF=CB4-BF=CB4--1-BA?

因此不￡）+駐+汴=函+；（肥+不匕一不8）

0

—?2—?1—B

=CB+告BC=TBC.

故油+瓶+區(qū)與反、反向平行.

2.在平行四邊形A8CO中，點E是A。的中點，BE與AC相交于點八若所一=

mAB--+〃A。--（m,〃￡R），則錯誤！的值為（）

A.-2B.一錯誤！C.2Do錯誤！

解析：選A設A以=a.AD=b,則EF=nta+nb.BE—

用&一—a,由向量麗與血共線可知存在實數(shù)

乙

底使得EF=ABE,即〃m+nb=-^-Xb—久。?又。與》不共

乙

加=一人，

線，則<1所以衛(wèi)■=-2.

n=-k.11

乙

3。

如圖所示，已知點G是△A8C的重心，過點G作直線與AB,4c兩邊分別交于M,N

兩點，且而=/AlLAN=yAC，則錯誤!的值為（）

A.3B,錯誤！C.2D.錯誤！

解析：選B利用三角形的性質(zhì)，過重心作平行于底邊BC的直線，易得x=y=錯誤！，

則錯誤！=錯誤!.

4o如圖,在平行四邊形48co中，設AE=%而=b,S,R,Q,P分別為AP,SO,RC,QB

的中點，若A戶=+nb,則陽+〃=.

解析：連接AQ,AR,AC,由題意可知，耳？=）（旗+

AQ),AQ=十(AR+AC),AR=-^-(ADH-AS),AS=

乙乙

JAP,由上述幾個等式轉化可得，4「=竽+平+竽

ZZ4o

+梨.又瓶=%而=b.KC=a+b,所以1|aA=4~+

lblbZ

a~b告=3+融.即不？=—+馬,從而m=(,〃

4o4o0b5

26

55

答案：錯誤!

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示

考綱要求:屋了解平面向量基本定理及其意義.

2.掌握平面向量的正交分解及坐標表不.

3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.

4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

基礎知識?自查自糾憶教材刈提能

1.平面向量基本定理

如果4,62是同一平面內(nèi)的兩個丕共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量有且只

有一對實數(shù)九，22，使。=幻61+2202。

其中，不共線的向量e.,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的坐標運算

（1）向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設。=（X1，yd,b=（?”），貝|J：

。+-=（X|+x2，V|+v2），a—b=（A~i~X2,yi-V2）,

ia=Ur］項）,IaI=錯誤!.

（2）向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設A（X”yi）,B（M，兒），則AB=（X2—xi，及一片），

IAB|=「（12一kA+。'2-yi）??

3.平面向量共線的坐標表示

設a=3ji）力=。2，）2），其中bWO,則?！ǚ給.m'2—X2W=0。

［自我查驗］

1.判斷下列結論的正誤.（正確的打，錯誤的打“X”）

(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底.()

(2)在△力BC中，向量BC的夾角為NA8C.()

(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()

(4)設a,b是平面內(nèi)的一組基底，若實數(shù)右，川"2,能滿足九則九=22”

="2.()

(5)若兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標一定不同.()

(6)當向量的始點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標.()

(7)若。=b=(及，J2)，則的充要條件可表示成苫=錯誤！。()

答案:(1)X(2)X(3)X(4)7(5)X(6)V(7)X

2.設M是DA3CD的對角線的交點。為任意一點，則和

+OB+OC+OD=AOM.Jili］A=.

答案：4

3.已知。=(2/)，6=(—3,4),則3。+46=,30—4b=.

答案：(一6,19)(18,-13)

4.0是坐標原點，。4=(4,12),。片=(4,5),0C=(10,笈)，當％=時，A,

B,C三點共線.

答案：一2或11

■熱點題型?分類突破析考點強化認知

考點一平面向■基本定理的應用唯二7一K題根遷秒?發(fā)放探究】

［典題1］在平行四邊形ABCD中，E和尸分別是邊CD和BC的中點.若

AC=/A百+儀AF,其中九「WR,則2+"=。

［聽前試做］選擇亂，而作為平面向量的一組基底，

則AC=A8+AD,AE=~^AB+AD,AF=A3+}AD,

又死f+〃而=(夕+〃)AB+(4+4〃)而,

于是得錯誤！即錯誤！故2+〃=錯誤！。

答案：錯誤！

［探究1］若將本例中“前”改為“前”,則入+〃為何值？

解：???麗一演=(冠+訪)一(AP+而)

..I.I.

=AE-AF-Y^-^YAD

=AE-AF-^-(AB-AD)

=AE-AF-yDB,

：.BD-^^-DB=AE-AF,^BD=2AE-2AF,

，久=2,〃=—2?即4+〃=0.

［探究2］在本例條件下，若荏=c,而=d.試用c.d表示

AB.AD.

解：設A6=a,而=瓦因為E*分別為CD和3C的中

點，所以BF=}b,DE=}a,于是有：

乙乙

錯誤!解得錯誤！

即血=錯誤！(2d—c)=錯誤!d一錯誤!%

而=錯誤!(2c-d)=錯誤!c一錯誤!d。

方法?規(guī)律

(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行

向量的加、減或數(shù)乘運算.

(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結

論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

考點二平面向■的坐標運算?------1一般考點?自主球w】

［典題2］(I)(2015?新課標全國卷I)已知點A(0,l),B(3,2),向量而=(一4,一3),

則向量反=()

A.(—7,—4)R.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

(2)若向量。=(1,1),b=(L—1)9=(-1,2)則c=()

A.一錯誤!錯誤!力B,錯誤!。一錯誤!方

C.錯誤!。一錯誤!6D.一錯誤!〃+錯誤小

(3)(2016?海淀模擬)已知向量。=(1,1),點A(3,0),點B為直線y=2x上的一個動點.若

AB//a,則點B的坐標為.

［聽前試做I(1)法一：設CCrj),則不C=(x,廠1)=(-4,-3),

所以錯誤！從而反=(-4,-2)一(3,2)=(-7,-4).

法二:印2=(3,2)-(0,1)=(3,1),

B(；=AC-AB=(-4,-3)-(3,D=(-7,-4).

(2)設。=九。十12瓦則(—1,2)=A1(1,1)+42(1,—1)=(為1+人2,A1——),，為1+/2

=—1,九一22=2,解得&=錯誤!，22=一錯誤!.所以c=錯誤!〃一錯誤!也

(3)設5(.X,2x),AB=(x-3,2x).

\'AB//a,.*.x—3—2x=0,辭得x=-3,

3,—6).

答案：(1)A(2)B(3)(-3,-6)

方東?規(guī)律

向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，

則應先求向量的坐標.解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.

考點三平面向■共線的坐標表示*----1高頻考點?少金研析］

平面向量共線的坐標表示是高考的常考內(nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較

小，屬容易題，且主要有以下幾個命題角度：

角度一：利用向量共線求參數(shù)或點的坐標

［典題3］(1)(2015?四川高考)設向量。=(2,4)與向量b=(x,6)共線，則實數(shù)x

=()

A.2B.3C.4D.6

(2)己知梯形A3CO,其中A8〃CO,且OC=2A艮三個頂點A(1,2),8(2,1),C(4,2),

則點D的坐標為.

［聽前試做］(1)*：a//b,.\2X6-4x=0,解得x=3.

(2)二?在梯形A8CO中，DC=2AB,AB//CD,：.DC=2ABO設點。的坐標為(xj),

則比=(4r,2-y),AB=(1,一1),

???(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4一x,2—y)=(2,—2),

???{4-x=2,,2—)，=一2,解得錯誤！故點。的坐標為(2,4).

答案：⑴B(2)(2,4)

方法?規(guī)律

(1)利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若a

=(;vi,yi),O=(x2j2),則?！Φ某湟獥l件是xi”=&yi”解題比較方便.

(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標.一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，

可設所求向量為癡ClWR),然后結合其他條件列出關于i的方程，求出2的值后代入北

即可得到所求的向量.

角度二：利用向量共線解決三點共線問題

［典題1］(1)已知向量。A=(l,—3),加=(2,—1),反

=(4+14-2),若A、3、C三點不能構成三角形.則k

(2)已知OX=a,癰=b.無=jOD=d.O￡=e，設小R,如

果3a=c,2b=d,e=/(a+b)?那么t為何值時，C,D,E

三點在一條直線上？

［聽前試做］(1)若點A、B、C不能構成三角形,則向量

不百,而共線，二?瓶=怎一國=(2,—1)一(1,-3)=

(l,2),AC=OC-OA=(^4-l^-2)-(h-3)=(^^

+D,???lXa+D-2A=0,解得k=l.

(2)由題設，知前=d-c=2b—3。，

CE=e—c=(r—3)a+力.

CQ,E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k,使得準=疣五即。-3)。+方=一

3履+2心,整理得?—3+3女)a=(2k~f)b.

①若Q為共線，則/可為任意實數(shù)；

②若心)不共線，則有錯誤！解得/=錯誤！。

綜上，可知。力共線時，，可為任意實數(shù)；

出力不共線時，/=錯誤！。

答案：(1)1

方東?規(guī)律

A、B、。三點共線0A8—?與AC—?共線.

考點四向■問題坐標化上-----1一般考點?自主域現(xiàn)I

［典題5］

(1)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若。=翁+"蛇，"￡R),則錯誤!=

(2)給定兩個長度為1的平面向量雨和方，

B

OA

它們的夾角為錯誤！.如圖所示，點。在以O為圓心的圓弧錯誤！上運動.若

OC=xOA+yOB^x^R,求x+y的最大值.

［聽前試做］(1)設i,/分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則。=—i+j,b

=6i+2/,c=-i-“所以一i-：y=4-i+j)+4(6i+”，根據(jù)平面向量基本定理得4=一

2山=一錯誤！，所以錯誤！=4。

(2)以O為坐標原點，方所在的直線為工軸建立平面直角坐標系，如圖所示，

則4(1,0),B一錯誤！，錯誤！，設NAOC=acc￡0,錯誤！，則C(cosa,sina),

由反豆，得錯誤！

所以x=cosa+錯誤！sina,y=錯誤！sina,

所以x+y=cosa+錯誤!sina=2sin錯誤！，又以《錯誤！，所以當a=錯誤！時，x+y取

得最大值2.

答案:(1)4

方法*規(guī)律

本題(2)的難點是選擇合適的變量表示x+y,然后轉化為函數(shù)的最值求解，而破解這

一難點的關鍵是建立平面直角坐標系，設出C點的坐標為C(cosa,sina),然后借助

OC=xC)A+_y，求出工,從而利用三角品數(shù)的知識求出x+y的最大值.

----------［課堂歸納——感悟提升］---------------------------

/方注技巧/

1.兩向量平行的充要條件

若Q=b=(X2,y2),其中》WO,則?！ā５某湟獥l件是Q=勸，這與X1"一

=0在本質(zhì)上是沒有差異的，只是形式上不同.

2.三點共線的判斷方法

判斷三點是否共線，先求由三點組成的任兩個向量，然后再按兩向量共線進行判定.

3.若。與力不共線且癡+m=0,則；1=4=0。

［易錯防量，

1.若a力為非零向量，當時，a,〃的夾角為0。或180。,求解時容易忽視其中一種

情形而導致出錯；

2.若。=(xi,yi),b=(X2,j2),則?！╞的充要條件不能表示成錯誤！=錯誤！，因為心,”

有可能等于0,所以應表示為用”一1y1=0.

課后作業(yè),提能演練(二十八)練技能查漏補抉

錯誤！

一、選擇題

1.若向量明=(1,-3),或=(3,—8),則2配=()

A.(-4,10)B.(-2,5)C.(4,5)D.(8,10)

解析：選ABC=BA+AC=(1,-3)+(-3,8)=(-2,

5),故2配=(-4,10).

2.下列各組向量：①右=(一1,2)冏=(5,7)；②的=(3,5)色=(6,10)；③也=

(2-3),02=錯誤!，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是()

A.①B.①③C.②③D.①②③

解析：選B②中，0=錯誤!62,即4與62共線，所以不能作為基底.

3.已知向量。=(1—sin0,1),6=錯誤！，若級〃6,則銳角0=()

A。錯誤！B.錯誤！C.錯誤！D：錯誤！

解析:選B因為Q〃力，所以(l—sin60X(l+sin。)一IX錯誤！=0,得sh?，=錯誤！，所

以sin〃=土錯誤！，故銳角0=錯誤！。

4.設向量。=(x,l),b=(4,工)，且°,。方向相反，則x的值是()

A.2B.-2C.±2D.0

解析：選B因為。與方方向相反，所以辦=〃?。,〃?<0,則有(4,x)=加(x,1)錯誤！解

得加=±2.又〃?<0,；.〃?=-2,x=tn=-2.

5.已知平面直角坐標系內(nèi)的兩個向量。=(1,2),b=(用，3m一2),且平面內(nèi)的任一

向量c都可以唯一地表示成c=〃+心Q,〃為實數(shù))，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.(-?>,2)B.(2,+8)

C.(—8,4-00)D.(—8,2)U(2,+°0)

解析:選D由題意知向量a,b不共線，故2〃*3〃?-2,即mW2。

二、填空題

6.(2016?雅安模擬)已知向量。=(錯誤！，1)6=(0,-1),c=(太錯誤！).若a—2b

與c共線，則女=。

解析：???a-2b=(小,3),且。一2b〃c,工小乂錯誤！一3k=0,解得攵=1.

答案：1

7.已知向量不已油和油在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所

示，若AC=AAB+〃AI5,則.

解析：建立如圖所示的平面直角坐標系x4y,則AC=(2,-2),AB=(1,2),AD=(|,

0),由題意可知(2,—2)=2(1,2)+"(1,0),即錯誤！解得錯誤!所以辦=一3.

答案：一3

8.(2015?江蘇高考)已知向量a=(2,1),b=(1,一2),若小。+而=(9,-8)(機，n

￡R),則〃一〃的值為.

解析：*.*ma4-nb=(2m+n,陽一2〃)=(9,—8),

???錯誤！，錯誤！,〃?一〃=2—5=—3。

答案：一3

三、解答題

9.已知A(—2,4).3(3,—1)1(一3,—4).設血=%比=

入CX=c，且由=3c,西=一2人

(1)求3a+b—3c;

(2)求滿足0=〃力+〃。的實數(shù)相，〃：

(3)求M,N的坐標及向量MN—1?的坐標.

解：由已知得a=(5,—5),b=(—6,—3),c=(1,8).

(1)3。+。-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=

(6,-42).

(2)Vmb+〃c=(—6ni+〃,—+8〃)，

???錯誤!解得錯誤！

即所求實數(shù)m的值為一1,〃的值為一1.

(3)設O為坐標原點，?"'彳=。必-Od=3c,

.,.OM=3c4-OC=(3,24)4-(-3,-4)=(0,20),

即M(0,20).又?：西=而一反=一2八

???麗=-26+災=(12,6)+(—3,—4)=(9,2),

即N(9,2).