【名師一號】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修4雙基限時練17

雙基限時練(十七)數(shù)乘向量一、選擇題1．已知e1，e2是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有()①a＝5e1，b＝7e1；②a＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e2，b＝3e1－2e2；③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.A．①② B．①③C．②③ D．①②③解析①中a與b明顯共線；②中，由于b＝3e1－2e2＝6(eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e2)＝6a，故a與b共線；而③設(shè)b＝3e1－3e2＝k(e1＋e2)無解，故a與b不共線，故共線的有①②，故選A.答案A2．下列計(jì)算正確的個數(shù)是()①(－2)(3a)＝－6a；②(a＋3b)＋(－a－3③2(a＋b)－3(b－2a)＝8a－A．0 B．1C．2 D．3解析②中，(a＋3b)＋(－a－3b)＝0，故②不正確，①③均對．答案C3．△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，用a，b表示eq\o(AD,\s\up15(→))為()A.a＋b B.eq\f(1,2)a＋bC.a＋eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b解析方法一：eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故選D.方法二：以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，則點(diǎn)D是平行四邊形對角線的中點(diǎn)，所以eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故選D.答案D4．線段AB的中點(diǎn)為C，若eq\o(AB,\s\up15(→))＝λeq\o(BC,\s\up15(→))，則λ的值是()A．2 B．－2C．2或－2 D.eq\f(1,2)或2解析∵eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→))＝2eq\o(CB,\s\up15(→))＝－2eq\o(BC,\s\up15(→)).答案B5．設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，則a＝e1＋λe2(λ∈R)與向量b＝－(e2－2e1)共線的條件是()A．λ＝0 B．λ＝－1C．λ＝－2 D．λ＝－eq\f(1,2)解析由題可知，b＝－e2＋2e1＝k(e1＋λe2)，得λ＝－eq\f(1,2).答案D6．如圖，已知eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，eq\o(BD,\s\up15(→))＝3eq\o(DC,\s\up15(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up15(→))，則eq\o(AD,\s\up15(→))等于()A．a(chǎn)＋eq\f(3,4)bB.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b解析eq\o(AD,\s\up15(→))＝a＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝a＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up15(→))＝a＋eq\f(3,4)(b－a)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b，故選B.答案B7．已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，則x－y的值為()A．3 B．－3C．0 D．2解析由平面對量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))，∴x＝6，y＝3.∴x－y＝3.答案A二、填空題8．已知2(x－eq\f(1,3)a)－eq\f(1,2)(b＋c＋3x)＋b＝0，其中a，b，c為已知向量，則x＝________.解析由已知得：eq\f(1,2)x－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b－eq\f(c,2)＋b＝0，得eq\f(1,2)x＝eq\f(2,3)a－eq\f(b,2)＋eq\f(c,2)，得x＝eq\f(4,3)a－b＋c.答案eq\f(4,3)a－b＋c9．設(shè)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(\r(2),2)(a＋5b)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up15(→))＝3(a－b)，則共線的三點(diǎn)是__________．解析eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝a＋5b，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(\r(2),2)eq\o(BD,\s\up15(→))，即A，B，D三點(diǎn)共線．答案A，B，D10．已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝－3eq\o(OB,\s\up15(→))，則△AOB與△AOC的面積之比為________．解析如圖，在△ABC中，設(shè)D為AC的中點(diǎn)，四邊形OCEA為平行四邊形，∴eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\o(OE,\s\up15(→)).且△ADE≌△CDO，∴S△AOC＝S△AOE.又eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝－3eq\o(OB,\s\up15(→))，即eq\o(OE,\s\up15(→))＝－3eq\o(OB,\s\up15(→))，∴eq\f(S△AOB,S△AOE)＝eq\f(|\o(BO,\s\up15(→))|,|\o(OE,\s\up15(→))|)＝eq\f(|\o(BO,\s\up15(→))|,3|\o(BO,\s\up15(→))|)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)三、解答題11．化簡下列各式：(1)3(2a－b)－2(4a－3(2)eq\f(1,3)(4a＋3b)－eq\f(1,2)(3a－b)－eq\f(3,2)b；(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－解本題可利用結(jié)合律和安排律進(jìn)行化簡．(1)3(2a－b)－2(4a－3＝6a－3b－8a＝－2a＋3b(2)eq\f(1,3)(4a＋3b)－eq\f(1,2)(3a－b)－eq\f(3,2)b＝eq\f(4,3)a＋b－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(3,2)))b＝－eq\f(1,6)a.(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－＝6a－8b＋2c－6a－3＝(6－6)a＋(－8－3)b＋(2＋9)c＝－11b＋11＝11(c－b)．12．已知向量m，n是不共線向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋x(1)推斷a，b是否平行；(2)若a∥c，求x的值．解(1)若a∥b，則b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＝3λ，,－4＝2λ，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,λ＝－2，))?λ不存在，∴a與b不平行．(2)∵a∥c，∴c＝ra.∴m＋xn＝r(3m＋2n即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3r，,x＝2r))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝\f(1,3)，,x＝\f(2,3)，))所以x＝eq\f(2,3).13．已知兩個非零向量a、b不共線，eq\o(OA,\s\up15(→))＝a＋b，eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋2b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝a＋3b.(1)證明：A、B、C三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b與a＋kb共線．解(1)由于eq\o(OA,\s\up15(→))＝a＋b，eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋2b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝a＋3b，則eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝a＋2b－(a＋b)＝b.而eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝a＋3b－(a＋b)＝2b，于是eq\o(AC,\s\up15(→))＝2eq\o(AB,\s\up15(→))，即eq\o(AC,\s\up15(→))與eq\o(AB,\s\up15(→))共線．又AC與AB有公共點(diǎn)A，所以A、B、C三點(diǎn)共線．(2)由于a、b為非零向量且不共線，所以a＋kb≠0.若ka＋b與a＋kb共線，則必存在唯一實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，整理得