傅里葉級(jí)數(shù)教學(xué)課件

傅里葉級(jí)數(shù)一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)前面介紹了函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的條件及冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用，從中可看出，冪級(jí)數(shù)無論在理論上還是實(shí)際上都具有重要的作用,但它有兩個(gè)比較苛刻的條件，一是要求函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)，二是級(jí)數(shù)的部分和只在某一點(diǎn)的附近才與函數(shù)有較為理想的近似,而實(shí)際問題中的函數(shù)往往比這條件要弱得多（不可導(dǎo)，不連續(xù)），因此在實(shí)際應(yīng)用中冪級(jí)數(shù)受到較大的限制.如何找到展開條件較弱且更為簡(jiǎn)單的函數(shù)來代替冪級(jí)數(shù)？這是擺在當(dāng)時(shí)許多數(shù)學(xué)家面前的一個(gè)難題.直到18世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉在研究熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了周期函數(shù)可用一系列正弦函數(shù)Ansin(nωt+φn)組成的級(jí)數(shù)來表示,這個(gè)表示比冪級(jí)數(shù)展開的條件要弱得多，且它的部分和在連續(xù)點(diǎn)與函數(shù)吻合得非常理想.因此,傅里葉級(jí)數(shù)比冪級(jí)數(shù)在工程中的應(yīng)用更加廣泛.一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)一周期函數(shù)f(t)可以表示為由正弦函數(shù)

組成的級(jí)數(shù)，即其中令上式右端級(jí)數(shù)可以寫為

（11-14）一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)其中a0,an,bn(n=1,2,3,…)都是常數(shù).形如式(11-14)的級(jí)數(shù)稱為三角級(jí)數(shù).本節(jié)討論兩個(gè)基本問題：(1)假定f(x)能展成三角級(jí)數(shù)(11-14)，如何求出系數(shù)an,bn?(2)三角級(jí)數(shù)(11-14)在什么條件下收斂于f(x)？一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性1.函數(shù)系

（11-15）稱為三角函數(shù)系.三角函數(shù)系(11-15)中任意兩個(gè)相異函數(shù)的乘積在區(qū)間［－π,π］上的積分等于零，即一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)這個(gè)性質(zhì)為三角函數(shù)系的正交性.在三角函數(shù)系(11-15)中，兩個(gè)相同函數(shù)的乘積在區(qū)間［－π,π］上的積分不等于零，即一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)2.首先討論第一個(gè)問題：假定f(x)能展成三角級(jí)數(shù)(11-14)，如何求出系數(shù)an,bn?假定f(x)以2π為周期，且能展成逐項(xiàng)可積的三角級(jí)數(shù)

（11-16）求系數(shù)a0,an,bn（n=1,2,3,…).對(duì)式(11-16)從-π到π逐項(xiàng)積分，得一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)由三角函數(shù)系的正交性，上式右端除第一項(xiàng)外其余全為0,所以用cos

nx乘式(11-16)兩端,同時(shí)從-π到π逐項(xiàng)積分，由三角函數(shù)系的正交性，得即一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)同理，用sinnx乘式(11-16)兩端,同時(shí)從-π到π逐項(xiàng)積分，由三角函數(shù)系的正交性，得即上述結(jié)果可寫為

（11-17）一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)如果式(11-17)的積分都存在，則由式(11-17)確定的系數(shù)稱為傅里葉系數(shù),將這些系數(shù)代入式(11-16)的右端，所得的三角級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù).特別地，若f(x)是奇函數(shù),由于一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)因此傅里葉級(jí)數(shù)只含有正弦項(xiàng)的級(jí)數(shù)這個(gè)級(jí)數(shù)稱為正弦級(jí)數(shù).若f(x)是偶函數(shù)，由于一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)因此傅里葉級(jí)數(shù)只含有余弦項(xiàng)的級(jí)數(shù)這個(gè)級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù).一個(gè)定義在（-∞，+∞）上周期為2π的函數(shù)f(x)，若它在一個(gè)周期上可積，則一定可以作出f(x)的傅里葉級(jí)數(shù).但是，函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)是否一定收斂？如果它收斂，它是否一定收斂于函數(shù)f(x)？一般來說，這兩個(gè)問題的答案都不是肯定的.再討論第二個(gè)問題：三角級(jí)數(shù)(1114)在什么條件下收斂于f(x)？這個(gè)問題直到1829年才由狄利克雷完全解決.一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

（收斂定理，狄利克雷充分條件）設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù).若f(x)滿足在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，并且在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且(1)當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于f(x).(2)當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于定理1一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)際上，不論x是函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)還是間斷點(diǎn)，函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)均收斂于該點(diǎn)處函數(shù)的左、右極限的算術(shù)平均值.因?yàn)楫?dāng)x是函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，有從定理1可看出，函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的條件要比函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.記在C上就成立f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在(－π,π］上的表達(dá)式為試寫出f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式在區(qū)間(－π,π］上的和函數(shù)s(x)的表達(dá)式.【例1】一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

解函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件,在(－π,π］上的第一類間斷點(diǎn)為x=0,π,在其余點(diǎn)處均連續(xù).故由收斂定理知，在間斷點(diǎn)x=0處，和函數(shù)在間斷點(diǎn)x=π處，和函數(shù)一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)因此,所求和函數(shù)一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在［-π，π）上的表達(dá)式為f(x)=將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù).

解函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件，它在點(diǎn)x=kπ(k=0,±1,±2,…)處有第一類間斷點(diǎn)，在其他點(diǎn)處連續(xù).因此,f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且當(dāng)x=kπ時(shí)收斂于即f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為【例2】一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)計(jì)算傅里葉系數(shù)如下:一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)故f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，將函數(shù)f(x)=x(－π≤x＜π)展開成傅里葉級(jí)數(shù).

解題設(shè)函數(shù)滿足收斂定理的條件，它在點(diǎn)x=kπ(k=±1,±2,…)處有第一類間斷點(diǎn)，在其他點(diǎn)處連續(xù),故f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x≠kπ(k=±1,±2,…)處收斂于和f(x),在x=kπ(k=±1,±2,…)處收斂于

.若不計(jì)x=kπ(k=±1,±2,…),則f(x)是周期為2π的奇函數(shù),故其傅里葉系數(shù)【例3】一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)于是一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù),將函數(shù)f(x)=x2(－π≤x≤π)展開成傅里葉級(jí)數(shù).

解所給函數(shù)滿收斂定理的條件，f(x)在區(qū)間(－∞,+∞)上處處連續(xù).故f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在區(qū)間(－∞,+∞)內(nèi)收斂于和f(x).因?yàn)閒(x)=x2是偶函數(shù)，所以其傅里葉系數(shù)【例4】一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)于是，得到所求函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)以2l為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)3.上面所討論的都是以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的問題，如果函數(shù)以2l為周期，又如何展開成傅里葉級(jí)數(shù)呢？下面的定理回答了這個(gè)問題.一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件，則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為其中定理2一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)其中當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，其中一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)證明令

于是將區(qū)間－l≤x≤l就變換成－π≤z≤π.設(shè)函數(shù)

從而F(z)是周期為2π的周期函數(shù)，并且它滿足收斂定理的條件，將F(z)展成傅里葉級(jí)數(shù)一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)其中在以上式子中令

又F(z)=f(x)，于是有而且類似地，可以證明定理的其余部分.一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)將函數(shù)f(x)=2+|x|(－1≤x≤1)展開成以2為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，并由此求級(jí)數(shù)

的和.

解由于f(x)=2+|x|(－1≤x≤1)是偶函數(shù)，所以【例5】一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)因所給函數(shù)在區(qū)間［－1,1］上滿足收斂定理的條件,故當(dāng)x=0時(shí),從而一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)又故一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)以2l為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式4.在電子技術(shù)中，常常使用傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式.設(shè)周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為

（11-18）其中一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)由歐拉公式代入式(11-18)中,得一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)其中一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)將上述三式合并為一個(gè)公式所以，f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式為其中

（11-19）一、周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，它在［－1,1)上的表達(dá)式為f(x)=e－x，試將f(x)展開成復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù).

解由公式(11-19)有所以，f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式為【例6】二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)前面所討論的函數(shù)都是定義在(－∞,+∞)內(nèi)的周期函數(shù)，對(duì)于這種函數(shù)只要它在一個(gè)區(qū)間內(nèi)滿足收斂定理的條件，就能將它展開成傅里葉級(jí)數(shù).但在波動(dòng)和熱傳導(dǎo)問題中，常要將定義在區(qū)間［a,b］上的滿足收斂定理?xiàng)l件的非周期函數(shù)f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù).上一節(jié)已介紹了如何將周期函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，所以要把非周期函數(shù)展開，就要對(duì)非周期函數(shù)進(jìn)行改造，使非周期函數(shù)轉(zhuǎn)化為周期函數(shù)，這就是延拓的方法.二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定義在區(qū)間［－l,l］上的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)1.設(shè)f(x)是一個(gè)定義在［－l,l］上且滿足收斂定理?xiàng)l件的函數(shù),下面來討論它的傅里葉級(jí)數(shù)展開的問題.事實(shí)上，可在［-l,l）或（－l,l］外補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義，使它延拓成周期為2l的周期函數(shù)F(x).這種拓廣函數(shù)定義域的過程稱為周期延拓.于是，將F(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

其中二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)圖11-2二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)限制x∈(－l,l)，即得f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)其中根據(jù)收斂定理，這級(jí)數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)x=±l處收斂于二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)將函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

解將所給函數(shù)進(jìn)行周期延拓，并且拓廣后的周期函數(shù)滿足收斂定理的條件且在任一點(diǎn)處連續(xù)(見圖11-2),因此，拓廣后的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在［－π,π］內(nèi)收斂于f(x).傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)計(jì)算如下:【例7】二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)所以，函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)為二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在上式中，令x=0，得故二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在［－2,2)上的表達(dá)式為試將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù).

解對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行周期延拓，并且拓廣后的周期函數(shù)滿足收斂定理的條件，且它在x≠2k(k=0,±1,±2,…)時(shí)連續(xù)，因此,拓廣后的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在x≠2k(k=0,±1,±2,…)處收斂于計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)如下:【例8】二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)所以二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定義在區(qū)間［0,l］上的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)2.設(shè)f(x)是一個(gè)定義在［0,l］上且滿足收斂定理?xiàng)l件的函數(shù),那么如何將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)呢？事實(shí)上，仍可用前面介紹的延拓法，即先在開區(qū)間（-l，0）內(nèi)補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義，得到定義在（－l,l］上的函數(shù)，再將其延拓為以2l為周期的函數(shù)，就可求其傅里葉級(jí)數(shù)了.在（-l,0）內(nèi)如何補(bǔ)充定義沒有什么限制，但若補(bǔ)充后成為（-l,l）上的奇函數(shù)或偶函數(shù)，則計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)可以簡(jiǎn)便一些.因此，下面來討論展開函數(shù)為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)的方法.二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)1）奇延拓——函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)作函數(shù)再以2l為周期將F(x)延拓于（-∞,+∞）.這樣F(x)就是一個(gè)以2l為周期的奇函數(shù).二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)補(bǔ)充f(x)的定義使它在（-l,l）上成為奇函數(shù)時(shí)，若f(0)≠0，規(guī)定F（0）=0.`于是，將F(x)展開成正弦級(jí)數(shù)注意二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)其中限制x∈(0,l)，即得f(x)的正弦級(jí)數(shù)其中二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)2）偶延拓——函數(shù)展開成余弦級(jí)數(shù)作函數(shù)再以2π為周期將F(x)延拓于（-∞,+∞）.這樣F(x)就是一個(gè)以2l為周期的偶函數(shù).于是，F(xiàn)(x)展開成余弦級(jí)數(shù)二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)其中限制x∈(0,l)，即得f(x)的余弦級(jí)數(shù)其中二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)將函數(shù)f(x)=1－x(0≤x≤2)分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).

解先求正弦級(jí)數(shù).為此對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行奇延拓(見圖11-3)，于是【例9】圖11-3二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

所以在端點(diǎn)x=0及x=2處，級(jí)數(shù)的和顯然為零，它不代表原來函數(shù)f(x)的值.二、非周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)再求余弦級(jí)數(shù).為此對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行偶延拓(見圖11-4)