初中數(shù)學(xué)自主招生訓(xùn)練 21 三角形（含解析）

專題21三角形

一.選擇題（共10小題）

1.（2021?黃州區(qū)校級自主招生）直線a〃4A、8分別在直線a、b上,△ABC為等邊三角

形，點(diǎn)C在直線a、b之間，Zl=10°,則N2=（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

2.（2020?浙江自主招生）已知△ABC的三條邊長分別為3,4,6,在△48C所在平面內(nèi)畫

一條直線,將分割成兩個(gè)二角形,使其中的一個(gè)是等腰二角形,則這樣的直線最

多可畫（）

A.5條B.6條C.7條D.8條

3.（2020?西安自主招生）已知等腰三角形一個(gè)外角是110°,則它的底角的度數(shù)為（）

A.110°B.70°C.55°D.70°或55°

4.（2019?柯橋區(qū)自主招生）平面上任意一點(diǎn)到邊長為2“的等邊三角形三頂點(diǎn)距離之和不

可能的是（）

A.3加B.6C.4“D.8

5.（2019?霞山區(qū)校級自主招生）如圖，/XABC中，AO為5C邊上中線，DM,ON分別N

ADB,NAOC的角平分線，試比較8M+CN與MN的大小關(guān)系（）

A.BM+CN=MNB.BM+CNVMNC.BM+CN>MND.無法確定

6.（2019?漢陽區(qū)校級自主招生）如圖，已知等邊△48C外有一點(diǎn)P,P落在N84C內(nèi)，設(shè)

點(diǎn)P到BC、C4、A8三邊的距離分別為加，h2,用且滿足肥+力3-加=18,那么等邊^(qū)

ABC的面積為（）

A

A.102V3B.9073C.108A/3D.104>/3

7.（2019?順慶區(qū)校級自主招生）在△ABC中，N4=30°,NB=70。，直線將△ABC分成

兩個(gè)三角形，如果其中一個(gè)三角形是等腰三角形，這樣的直線有（）條.

A.5B.7C.9D.10

8.（2019?武侯區(qū)校級自主招生）若一個(gè)三角形的三邊和為40,且各邊長均為整數(shù)，則符合

條件的三角形的個(gè)數(shù)為（）

A.31個(gè)B.32個(gè)C.33個(gè)D.34個(gè)

9.（2019?西湖區(qū)校級自主招生）知a,b,。是△ABC的三條邊長，則（。-方的值

是（）

A.正數(shù)B.0C.負(fù)數(shù)D.無法確定

10.（2019?錦江區(qū)校級自主招生）已知銳角三角形的邊長是2,3,x,那么第三邊工的取值

范圍是（）

A.1<X<V5B,V5<X<^13C.V13<X<5D.遙

二.填空題（共12小題）

11.（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)4落在△ABC

外的A處，折痕為。上.如果/A=a,乙CEA'=p,Z^ZJA=Y，則a,p,丫三者之間

的等量關(guān)系是.

12.（2020?西安自主招生）如圖：已知N84O=ND4C=9°,ADrAE,且則

NB=.

13.（2020?浙江自主招生）在△ABC中，ZA=45°,ZB=30°,40為△ABC的中線，

則NAOC=.

14.（2020?浙江自主招生）設(shè)銳角△ABC的邊8。上有一點(diǎn)。，使得AO把△A8C分成兩個(gè)

等腰三角形，試求△4BC的最小內(nèi)角的取值范圍為.

15.（2020?溫江區(qū)校級自主招生）如圖，若△QAC烏△OBO,且/。=68°,ZC=20°,

則/08。=°.

16.（2019?和平區(qū)校級自主招生）把3,6,10,15,…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橛?/p>

這些數(shù)目的點(diǎn)可以排成正三角形，如圖所示，則第6個(gè)三角形數(shù)是.

17.（2019?徐匯區(qū)校級自主招生）求三邊為整數(shù)，且最大邊小于16的三角形個(gè)數(shù)為

個(gè).

18.（2019?寶山區(qū)校級自主招生）設(shè)8c的三邊a,b,c均為正整數(shù)，且a+/?+c=40,當(dāng)

乘積abc最大時(shí)，ZXABC的面積為.

19.（2018?武昌區(qū)校級自主招生）已知等腰三角形的兩邊長分別為。、b,且a、b滿足

V2a-3b+5+（2a+3b-13）2=0,則此等腰三角形的周長為.

20.（2018?市北區(qū)校級自主招生）如圖，第（1）個(gè)多邊形由正三角形“擴(kuò)展”而來，邊數(shù)

記為。3,第（2）個(gè)多邊形由正方形“擴(kuò)展”而來，邊數(shù)記為。4,…，依此類推，由正〃

邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)記為所523）.當(dāng)即=132時(shí)，〃的值為.

21.（2018?武侯區(qū)校級自主招生）如圖,設(shè)△A8C和△CDE都是等邊三角形，且NEBD=

62°,則NAE8的度數(shù)是

22.（2018?涪城區(qū)校級自主招生）如圖,已知AG1BD,AFA,CE,BD、CE分別是NA8C

和NAC8的角平分線，若BF=2,EO=3,GC=4,則△ABC的周長為

三.解答題（共6小題）

23.（2017?渝中區(qū)校級自主招生）如圖1,在等邊△ABC中，AEJ_BC于點(diǎn)E,點(diǎn)。是4c

的中點(diǎn).延長AC至點(diǎn)P,使得DP=A￡過點(diǎn)P作BC延長線的垂線，垂足為M,連接

DM,過點(diǎn)。作QQ_LQM交AE于點(diǎn)。.

（1）求證：QE=CM：

（2）如圖2,連接QM,與4C交于點(diǎn)F,請猜想。戶與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

24.（2018?通遼）如圖，△4BC中，。是8C邊上一點(diǎn)，E是4。的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的

平行線交5E的延長線于凡LAF=CD,連接CE

（1）求證：AAEF^ADEB；

（2）若A8=AC,試判斷四邊形4QC產(chǎn)的形狀，并證明你的結(jié)論.

25.（2020?沙坪壩區(qū)自主招生）如圖，在△48C中，AB=AC,N4=36°,8。平分N4BC

交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，連接OE.

（1）求證：△A8。是等腰三角形；

（2）求NBOE的度數(shù).

26.（2020?南安市校級自主招生）如圖，已知人8〃b,。是4B上一點(diǎn)，D尸交AC于點(diǎn)E,

若AB=BD+CF,求證：△ADE9ACFE.

27.（2019?南岸區(qū)自主招生）如圖，在中，AB=BC,兩條高人。，BE交于點(diǎn)P過點(diǎn)、

E作EGJ_A8,垂足

為G,交4。于點(diǎn)F,過點(diǎn)尸作F〃〃A8,交于點(diǎn)H,交BE交于點(diǎn)、Q,連接OE.

（1）若AO=12,CO=5,求DE的長.

（2）若N43C=45°,求證：BE=（1+&）BQ.

28.(2018?即墨區(qū)自主招生)如圖所示，在四邊形A8CO中，AC與BD交于O,AB=AD,

CB=CD,ZBCD=45°,BELCD于E,BE與AC交于尸.

(1)求證：CF=28O：

專題21三角形

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.【解答】解：CE//a.

,：a〃b,

:.CE//h,

：.Z2=ZACE,Nl=NECB,

?.?△ACS是等邊三角形，

AZACB=60°,

AZ1+Z2=6O°,

VZl=10°,

/.Z2=50°,

故選：C.

2.【解答］解：如圖所示：

當(dāng)BC1=AC1,AC=CC2,AB=BC3,AC4=CC4,AB=AC5,AB=AC6,BC7=CC7時(shí)都

能得到符合題意的等腰三角形.

3.【解答】解：①當(dāng)110°外角是底角的外角時(shí)，底角為：180。-110°=70°,

②當(dāng)110°外角是頂角的外角時(shí)，頂角為：180°-110°=70°,

則底角為：(180°-70°)X[=55°,

???底角為70°或55°.

故選：D.

4.【解答］解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P為等邊△48C的中心時(shí)，雨+P8+PC=6最小，

將△APC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AOE,連接尸。，

9：AP=AD,N%0=60°，

???△APO是等邊三角形，

AZAPD=ZADP=60°,PD=AP,

???△ABC是等邊三角形，

：,AB=BC=AC=2^

???點(diǎn)P為等邊△ABC的中心，

：.PA=PB=PC,

(555),

???NAP8=NAPC=120°,

由旋轉(zhuǎn)得：ZADE=ZAPC=120°,

???N4PD+NAPB=180°,ZXDP+ZADP=180°,

:.PA+PB+PC=BP+PD+DE=BE,即此時(shí)PA+PB+PC最小,

VZABP=30°,ZBAC=60°,

/.ZAHB=90°,

：.AH=^AC=J~3,

2

???B，=A"?tanN8AC=M?tan600=3,

,：AE=AC=AB=2^AHLBE,

:?BE=2BH=6,

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)P',連接P'A,P'B,P'C,將△?'AC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

得到△A。'E,

連接P'D',

,:BP「P'D’,D'E不在同一條直線上，

:,BP'+P'D'+D'E>B\+PB+PC=6,

V(3加)2=27,62=36,27<36,

???3“V6,

5.【解答］解：延長N。至P,使OP=NO,連接MP、BP,如圖：

,:點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

：.BD=CD,

又?:NBDP=NCDN,

:,ABDP安ACDN(S4S),

:.BP=CN,

VDM,力N分另U/A。&/4/)。的角平分線./AQA+A力C=1X0°.

/.ZADM+ZADN=-LX180°=90°,

2

；?MD上PN,

，：DP=DN,

：.MN=MP,

?:BM+BP>MP,

:,BM+CN>MN,

故選：C.

6.【解答】解：設(shè)等邊△ABC的邊長為小連接以、PB、PC,

貝ijSMB+S^PAC-S&PBC=SMBC,

從而44力3+2<7〃2-1p/21=yp,

2224

即（力3+人2-加）=義工?,

24

（力3+力2?加）=18,

a=12^3>

故選：C.

8.【解答】解：根據(jù)題意得三角形的三邊都小于20,

設(shè)最小的兩邊為x+y>20

當(dāng)x=2時(shí)，y=19,

當(dāng)x=3時(shí)，y=18,

當(dāng)x=4時(shí)，y=17,18,

當(dāng)x=5時(shí)，y=16,17,

當(dāng)x=6時(shí)，y=15,16,17,

當(dāng)x=7時(shí)，y=14,15,16,

當(dāng)x=8時(shí)，y=13,14,15,16,

當(dāng)x=9時(shí)，y=12,13,14,15,

當(dāng)x=10時(shí)，y=ll,12,13,14,15,

當(dāng)x=U時(shí)，y=11,12,13,14,

當(dāng)x=12時(shí)，y=12,13,14,

當(dāng)x=13時(shí)，y=13,

符合條件的三角形的個(gè)數(shù)為1+1+2+2+3+3+4+4+5+4+3+1=33,

故選：C.

2

9.【解答】解：V(a-b)-?=(a-b+c)(a-b-c)f

Va+c>b,b+c>a,

.*.a-h+c>0,a-b-c<0,

???(a-b)2-?<0.

故選：C.

10.【解答】解：首先要能組成三角形，易得lVx<5

下面求該三角形為直角三角形的邊長情況(此為臨界情況)，顯然長度為2的邊對應(yīng)的角

必為銳角(2<3,短邊對小角)則只要考慮3或者x為斜邊的情況.

3為斜邊時(shí)，由勾股定理，22+?=32,得x=J5作出圖形，固定2邊，旋轉(zhuǎn)3邊易知當(dāng)

l<Jt<V5時(shí)，該三角形是以3為最大邊的鈍角三角形；

x為斜邊時(shí)，由勾股定理，22+32=/,得x=J13,同樣作圖可得當(dāng)J13VXV5時(shí)，該

三角形是以x為最大邊的鈍角三角形.

綜上可知，當(dāng)J5VxVJ13時(shí)，原三角形為銳角三角形.

故選：B.

二.填空題(共12小題)

11.【解答】解：由折疊得：NA=NH,

,:ZBDA'=ZA+ZAFD,ZAFD=ZA'+ZCEA',

r

VZA=afZCEA=p,N8DA'=Y，

NBD4'=Y=a+a+B=2a+B，

故答案為：y=2a+p.

12.【解答］解：延長B4到尸，使A/=AC,連接片凡如圖所示:

*：AB+AC=BE,

：,AB+AF=BE,BPBF=BE,

：.NF=/8石/=]80?！狽B,

2

*：ZBAD=ZDAC=9°,AO_4b即N￡>4E=90°,

/.ZME=I8O°-(ZBAD+ZDAE)=180°-(9°+90°)=81°,

NC4E=NOAE-NOAC=90°-9°=81°,

???/胡E=NC4E,

在△?!在和aACE中，

'AF=AC

,?,<NFAE=NCAE，

AE=AE

AAAFE^AACE(SAS),

ZF=/ACE,

又?:NACE為△ABC的外角，

AZACE=ZB+ZBAC=Zfi+I8°,

???/尸=NB+18°,

，NB+18°=葵0?！狽B,

2

則NB=480.

故答案為：48°

13.【解答】解：過。作CE_LAB于點(diǎn)￡

則有NA￡C=N8EC=90°,

VZCAS=45°,ZB=30°,

AZACE=ZCAB=45°,ZfiCE=60°,

：.AE=CE,

,：AD為三角形的中線，

:?BD=CD=DE=LBC,

2

???NBED=30°,

???△CEO是等邊三角形，

ADF.=CE=AE,/CDE=60°,

/.ZADE=ZDAE=-LZBED=15°,

2

：.ZADC=ZCDE-ZADE=^5°.

故答案為：45°.

14.【解答］解：如圖，設(shè)銳角△AB。最小的NB的度數(shù)為x,

貝ljAD=BD>

；?Z.B=NBAD=x,

???ZADC=2x,

若AD=AC,

:.ZACB=2x,

???△ABC是銳角三角形，

AZC<90°,Zfi+ZC>90°,

*⑵〈90。

…x+2x>900'

???300<x<45°；

若CD=AC,

???NOAC=NAOC=2x,

：.ZBAC=3x,

：.ZBAC<90°,ZC<90°,

：.ZDAC+ZADC>90°,

?f3x<90"

…2x+2x>900'

/.22.5°<x<30°,

若8=4。，

???NZMC=NOCA=90°-x,

AZBAC=ZDAC+ZBAD=x^0°-x=90°,

不合題意，

故△ABC的最小內(nèi)角的取值范圍為30°<x<45°或22.5°<x<30°,

故答案為30°<x<45°或22.5°<x<30°.

15.【解答】解：?.?△OAC絲△080,

：.ZOAC=ZO8Df

VZO=68°,ZC=20°,

：.ZOAC=ZOBD=\SO0-20°-68°=92°.

故答案為：92.

16?【解答】解：觀察圖形并分析數(shù)據(jù)可知：

第1個(gè)三角形數(shù)：3=1+2,

第2個(gè)三角形數(shù)：6=1+2+3,

第3個(gè)三角形數(shù)：10=1+2+3+4,

第4個(gè)三角形數(shù)：15=1+2+3+4+5,

那么，第6個(gè)三角形數(shù)就是1+2+3+4+5+6+7=28.

故答案為：28.

17.【解答】解：設(shè)較小的兩邊長為小y且xWy,

則x〈yV16,x,〉WN*.

當(dāng)x=l時(shí)，y=l?15,三角形有15個(gè);

當(dāng)x=2時(shí)，y=2?15,三角形有27個(gè);

當(dāng)％=3時(shí)，y=3?15,三角形有36個(gè);

當(dāng)x=4時(shí)，），=4?15,三角形有42個(gè);

當(dāng)x=5時(shí)，y=5?15,三角形有45個(gè);

當(dāng)x=6時(shí)、y=6?15,三角形有45個(gè);

當(dāng)x=7時(shí)，y=7?15,三角形有42個(gè);

當(dāng)x=15時(shí)，y=15,三角形有1個(gè).

所以不同三角形的個(gè)數(shù)為15+27+36+42+45+45+42+36+28+21+15+10+6+3+1=372.

故答案為：372.

18.【解答】解：???三角形的三邊a、b、c?均為整數(shù)，且a+>c=40,

???當(dāng)a=10時(shí)，b=c=\5,"c=2250,

當(dāng)a=ll時(shí)，b、c為14、15,4反=2310,

當(dāng)a=12時(shí)，b、c為13、15或14、14,"c=2340或2358,

當(dāng)°=13時(shí)，b、c為13、14,而c=2366,

當(dāng)a=16時(shí)，b、c為12、12,或11,13,"c=2304或2288,

，當(dāng)a=13時(shí),b、c為13、14,必c最大,

???AAbC是等腰三角形，

:.AABC的面積=14標(biāo)，

故答案為：14J碗.

19.【解答】解：vV2a-3b+5+12a+3b-13)2=0,

?[2a.3b+5=0

?12a+3b-13=0'

解得：卜=2,

lb=3

當(dāng)。為底時(shí)，三角形的三邊長為2,3,3,則周長為8；

當(dāng)b為底時(shí)，三角形的三邊長為2,2,3,則周長為7.

故答案為7或8.

20.【解答】解：由圖可知43=12=3X4,44=20=4X5,々5=5X6=30,…?！?八(〃+1),

可得：n(w+1)=132,

解得：72=11，

故答案為：11.

21.【解答］解：??.△ABC和△CQE都是等邊三角形，且NE8O=62°,

：.AC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=60°,

又〈NACB=NACE+NBCE,NECD=NBCE+NBCD,

"BCD=/ACE,△ACE/ABCD,

:.ZDBC=NCAE,

/.620-ZEBC=600-NBAE,

???62°-(60°-ZABE)=60°-ZBAE,

：.ZAEB=\S00-(NABE+NBAE)=180°-58°=122°.

故答案為：122°.

22.【解答】解：由4G_L3O,8。是NABC的平分線，

可得NAOB=NGO5=90°,4ABD=NGBD,BD為公共邊,

.?.△AOBdGOB,：,AB=GBf

VAF1CE,CE是NACB的角平分線，

同理可證；AC=FC,

即AABG和△AC/都是等腰三角形.

又因AG_L8O,AFLCE,所以E、O分別是A尸和AG的中點(diǎn)，

即ED是△A〃G的中位線，:.FG=2DE,

則△ABC的周長為：AB+BC+AC=BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG

由6戶=2,ED=3,GC=4,FG=2OE=6得則△ABC的周長為30.

故答案為：30

三.解答題（共6小題）

23.【解答】（1）證明：如圖1,連接BD,

???8O_LAC,

ZBDN+ZCDN=90°,

YDNLDM,

:?NCDM+/CDN=90°,

/BDN=/PDM,

???AE,B。是等邊三角形的高，

：.AE=BDt

a

\AE=DPf

：?BD=DP,

在RtZXCPM中，NPCM=60°,

AZP=30°=/DBN,

在△BOV和中，

ZBDN=PDM

<BD=PD，

ZDBN=ZP

:?/\BDN§4PDM(ASA),

:.DN=DM,

:?ZDNE=NDMC=45°,

是BC中點(diǎn)，

/.△AMC'是直角三角形，

?IE為AC中點(diǎn)，

：.DE=CD=1^C,

2

：?NDEC=NDCE=60°,

:./DEN=NDCM,

在△ONE和△OMC中，

rZDEN=ZDCM

<NDNE=NDMC，

DN=DM

:?△DNE匕ADMC(A4S),

；?NE=CM,

在RtZiQEN中，NQNE=NNQE=45°,

:?QE=NE,

：.QE=CMx

(2)。尸=返電為8,

8

理由：如圖2,過點(diǎn)。作

設(shè)DH=x,

在RtZSDHQ中，NDQH=NEQN=45°,

???。。=小，

在RtZXA?！爸校琋O4，=30°,

：.AD=2x,

-：AD=^AC,DE=^BC=1.AC,

222

：.DE=AD=2x,AB=BC=AC=4x,

由(2)知，△/)*絲△OMC,

:./EDN=NCDM,

?：NNDM=90°,NCDE=60°,

；?NEDN=NCDM=15°,

:.NFDQ=/EDN+/CDE=75°,

?：NQEC=/QDM=90°,

???NQEC+NQOM=180°

???點(diǎn)￡M,D,Q共圓，

:?/EMQ=NQDE=150=NCDM,

：.NDMQ=NDME-NEMQ=30°,

???NOQM=60°=/DEM,DW=加DQ=否,

■:ZEMQ=/CDM,

MDQFSADEM,

.QF=DQ

"EMDE,

?更=返￡=返，

*'EM~2^~2~，

□△OMN中，

MN=^/'QPM=y/~2*y[ix=2y/~2K,

由（2）知，NE=CM,

；?NE=CM=MNVE=2A/^X-2X.

22

，EM=CM+CE=^J~3x-x+2x=?r+x,

?QF=圾

**V3x+x2’

：3=返出匣L,

2

而AB=4x,

24.【解答】證明：（1）???￡：是AD的中點(diǎn),

：.AE=DE,

\'AF//BC,

:.ZAFE=NDBE,ZEAF=ZEDB,

：?AAEF@/\DEB（AAS）；

(2)*：AF//CD,AF=CD,

???四邊形ADC/是平行四邊形,

???△AEF/ADEB,

：.BE=FE,

*：AE=DE,

???四邊形ABDF