等比數(shù)列及其通項公式課件 高二上學期數(shù)學湘教版（2019）選擇性必修第一冊

1.3.1等比數(shù)列及其通項公式事實性質(zhì)應用下定義表示方法問題1.

我們已經(jīng)學習了數(shù)列、等差數(shù)列的概念，有沒有其它特殊數(shù)列呢？它的概念如何研究呢？復習引入1.計算機的內(nèi)存容量通常是指隨機存儲（RAM）的容量，是內(nèi)存條的關鍵性參數(shù)。進入21世紀以來計算機中主流采用的內(nèi)存容量（單位MB）從小到大組成數(shù)列2048，4096，8192，16384，32768.①情景創(chuàng)設2.

圖1.3-1中綠色三角形的個數(shù)依次組成數(shù)列②3.《莊子?天下》有一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”意思是：一尺長的木棒，每日取其一半，永遠也取不完.

這樣，每日剩下的部分都是前一天的一半.

如果把“一尺之棰”看成單位“1”，那么每日剩下的部分依次為：③問題2.

這些數(shù)列有什么共同特點呢？你能通過運算發(fā)現(xiàn)相鄰兩項之間的關系嗎？②③

2048，4096，8192，16384，32768

①形成概念2048，4096，8192，16384，32768.①如果用{an}表示數(shù)列①，那么有換一種寫法，就是這表明，數(shù)列①有這樣的規(guī)律：從第

項起，每一項與前一項的比都等于

.22數(shù)列②③有這樣的規(guī)律：從第

項起，每一項與前一項的比都等于

.從第

項起，每一項與前一項的比都等于

.從第2項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù).223②③

2048，4096，8192，16384，32768

①追問1.我們將這類數(shù)列稱為“等比數(shù)列”.類比等差數(shù)列的概念，你能用數(shù)學的文字語言描述等比數(shù)列的概念嗎？等差數(shù)列等比數(shù)列一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.公差通常用字母d表示.等差數(shù)列等比數(shù)列一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.公差通常用字母d表示.一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.公比通常用字母q表示.數(shù)列①②③均為等比數(shù)列，它們的公比分別為2，3，.②③2048，4096，8192，16384，32768

①公比為正追問2.類比等差數(shù)列的概念，你能用數(shù)學的符號語言描述等比數(shù)列的概念嗎？等差數(shù)列等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列問題3

對于等比數(shù)列概念我們應注意什么呢？請從下面的題目中觀察.理解概念問題3

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，指出公比；如果不是，說明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9問題3

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，指出公比；如果不是，說明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9解（1）設數(shù)列為

.因為

，

所以

是等比數(shù)列，公比.公比為負問題3

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，指出公比；如果不是，說明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9問題3

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，指出公比；如果不是，說明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9解（2）設數(shù)列為

.

因為

無意義，

所以不是等比數(shù)列.等比數(shù)列首項不能為0問題3

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，指出公比；如果不是，說明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9解（2）設數(shù)列為

.

因為

無意義，

所以不是等比數(shù)列.等比數(shù)列中間項不能為0問題3

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，指出公比；如果不是，說明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)(5)

9，9，9，9，9，9解（2）設數(shù)列為

.

因為

，

所以不是等比數(shù)列.等比數(shù)列末項不能為0問題3

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，指出公比；如果不是，說明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)(5)

9，9，9，9，9，9等比數(shù)列末項不能為0等比數(shù)列各項均不為0公比可以為0嗎？問題3

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，指出公比；如果不是，說明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9等比數(shù)列末項不能為0等比數(shù)列各項均不為0公比可正、可負、不可為0問題3

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，指出公比；如果不是，說明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)(5)

9，9，9，9，9，9解（3）設數(shù)列為

.因為

，

所以不是等比數(shù)列.從第2項起同一個常數(shù)問題3

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，指出公比；如果不是，說明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9解（4）設數(shù)列為

.

因為

，

所以不是等比數(shù)列.每問題3

判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，指出公比；如果不是，說明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9解（5）設數(shù)列為

.

因為

，

所以是等比數(shù)列,公比

.非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列問題4.

類比等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列存在通項公式嗎？如何推導？表示方法等差數(shù)列等比數(shù)列根據(jù)等差數(shù)列定義把這n-1個等式相加得即根據(jù)等比數(shù)列定義把這n-1個等式相乘得即當

時，上式也成立當

時，上式也成立累加法累乘法追問1.

我們還有其他方法推導等比數(shù)列的通項公式嗎？等差數(shù)列等比數(shù)列根據(jù)等差數(shù)列定義即根據(jù)等比數(shù)列定義即不完全歸納法追問2.

你能寫出以上數(shù)列的通項公式嗎？②③2048，4096，8192，16384，32768

①通項公式①

②

③

②③2048，4096，8192，16384，32768

①例1.

已知數(shù)列

是公比為

的等比數(shù)列.（1）若

求數(shù)列

的通項公式；（2）若

求n.解（1）由等比數(shù)列的通項公式可知，

因此

，數(shù)列

的通項公式為應用

基本量首項、公比例1.

已知數(shù)列

是公比為

的等比數(shù)列.（1）若

求數(shù)列

的通項公式；（2）若

求n.解（2）由已知得，知三求一例2.

證明：非零實數(shù)a,b,c成等比數(shù)列的充要條件是

b2=ac.證明

如果非零實數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的定義得

，那么b2=ac.反過來，非零實數(shù)a,b,c滿足b2=ac，即由等比數(shù)列的定義知，a,b,c成等比數(shù)列.因此，非零實數(shù)a,b,c成等比數(shù)列的充要條件是

b2=ac.問題5.

在等差數(shù)列中，我們學習了等差中項的概念，通過類比，等比數(shù)列中有什么樣的概念呢？如何定義？等差數(shù)列等比數(shù)列在兩個數(shù)a，b之間插入數(shù)M，使a，M，b成等差數(shù)列，則M稱為a與b的等差中項.在兩個數(shù)a，b之間插入數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項.等差數(shù)列等比數(shù)列在兩個數(shù)a，b之間插入數(shù)M，使a，M，b成等差數(shù)列，則M稱為a與b的等差中項.在兩個數(shù)a，b之間插入數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項.任意的兩個數(shù)都有等差中項.同號的兩個數(shù)才有等比中項.例3.

某污水處理廠采用技術手段清除水中污染物的同時，還能生產(chǎn)出有用的肥料和清潔用水，在處理過程中，每小時可以從處理池中清除掉殘留污染物的12％.（1）一天后污染物含量降低到什么程度？（2）使污染物含量減半至少要多少小時（

，結果保留整數(shù)）？例3.

某污水處理廠采用技術手段清除水中污染物的同時，還能生產(chǎn)出有用的肥料和清潔用水，在處理過程中，每小時可以從處理池中清除掉殘留污染物的12％.解設污水中污染物的初始含量為a0，又設

nh后殘留在池中的污染物含量為an，這個問題的數(shù)學模型是數(shù)列{an}，它滿足因此數(shù)列{an}是以

0.88a0為首項，以0.88為公比的等比數(shù)列.利用通項公式，得

an=0.88na0.（1）

，所以一天后污染物含量大約降低到原來的5％.（2）當污染物含量減半時，由題意可得an=0.88na0=0.5a0，解得故使污染物含量減半至少要

6

h.1經(jīng)歷了什么？事實——概念（定義、表示）——應用3體會了什么？特殊與一般、本課小結2學會了什么？

等比數(shù)列的概念、4收獲了什么？數(shù)學抽象、

化歸與轉化（類比）、