2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：隨機(jī)事件、頻率與概率（六大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第04講隨機(jī)事件、頻率與概率

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：隨機(jī)事件與樣本空間.....................................................2

題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算...................................................2

題型三：頻率與概率.............................................................2

題型四：生活中的概率...........................................................3

題型五：互斥事件與對(duì)立事件.....................................................4

題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率.........................................5

02重難創(chuàng)新練..................................................................5

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................26

題型一：隨機(jī)事件與樣本空間

1.袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中黑色球2個(gè)，記為瓦、B2,白色球2個(gè)，記為叱、代，從袋中

任意取2個(gè)球，請(qǐng)寫(xiě)出該隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)不等可能的樣本空間：Q=—.

2.從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀察其中次品數(shù)，其樣本空間為.

3.將一枚硬幣拋三次，觀察其正面朝上的次數(shù)，該試驗(yàn)樣本空間為.

題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

4.拋擲一枚骰子，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A,“向上的面的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件2,則（）

A.A^BB.A=B

C.AUB表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D.表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3

5.已知事件A、B、C滿足AU8,BQC,則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.事件A發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生

B.事件2發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生

C.事件彳發(fā)生不一定導(dǎo)致事件不發(fā)生

D.事件不發(fā)生不一定導(dǎo)致事件豆發(fā)生

6.拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件A=｛至少1枚正面朝上｝,3=｛至多2枚正面朝上｝,事件C=｛沒(méi)有

硬幣正面朝上｝,則下列正確的是（）

A.C=B.C=AUB

C.CoAD.C^B

題型三：頻率與概率

7.（2024?高三.重慶沙坪壩.期中）在一次男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽（比賽采用3

局2勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)甲獲得冠軍的概率，先由計(jì)算機(jī)

產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3表示一局比賽中甲勝，4,5表示一局比賽中乙勝、經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了

如下20組隨機(jī)數(shù):

334221433551454452315142331423

212541121451231414312552324115

據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.

8.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命

中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、

0表示不命中，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為.

9.一家藥物公司試驗(yàn)一種新藥，在500個(gè)病人中試驗(yàn)，其中307人有明顯療效，120人有療效但療效一般，

剩余的人無(wú)療效，則沒(méi)有明顯療效的頻率是.

10.若隨機(jī)事件A在見(jiàn)次試驗(yàn)中發(fā)生了機(jī)次，則當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)〃很大時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻率'來(lái)估計(jì)

n

事件A的概率，即尸（A卜.

題型四：生活中的概率

11.某地區(qū)?；寄撤N病的概率為0.25,且每頭?；疾∨c否是互不影響的，今研制一種新的預(yù)防藥，任選12

頭牛做試驗(yàn)，結(jié)果這12頭牛服用這種藥后均未患病，則此藥（填“有效”或“無(wú)效”）.

12.有以下說(shuō)法：

①昨天沒(méi)有下雨，則說(shuō)明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率為95%”是錯(cuò)誤的；

②“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示買(mǎi)100張彩票一定有1張會(huì)中獎(jiǎng)；

3

③做10次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次正面朝上，因此正面朝上的概率為5；

④某廠產(chǎn)品的次品率為2%,但該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品.

其中錯(cuò)誤說(shuō)法的序號(hào)是.

13.在一個(gè)大轉(zhuǎn)盤(pán)上，盤(pán)面被均勻地分成12份，分別寫(xiě)有1~12這12個(gè)數(shù)字，其中2,4,6,8,10,12

這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品是文具盒，而1,3,5,7,9,11這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品是隨身聽(tīng).游戲規(guī)則是轉(zhuǎn)盤(pán)

轉(zhuǎn)動(dòng)后指針停在哪一格，則繼續(xù)向前前進(jìn)相應(yīng)的格數(shù).例如：你轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針落在4所在區(qū)域，則

還要往前前進(jìn)4格，到標(biāo)有8的區(qū)域，此時(shí)8區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品就是你的，依此類(lèi)推.請(qǐng)問(wèn)：小明在玩這個(gè)游

戲時(shí)，得到的獎(jiǎng)品是隨身聽(tīng)的概率是.

14.某射擊教練評(píng)價(jià)一名運(yùn)動(dòng)員時(shí)說(shuō)：“你射中的概率是90%.”你認(rèn)為下面兩個(gè)解釋中哪一個(gè)能代表教練

的觀點(diǎn)（填序號(hào)）.

①該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了100次，恰有90次擊中目標(biāo)；

②該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，中靶的機(jī)會(huì)是90%.

題型五：互斥事件與對(duì)立事件

15.從裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的盒子里摸出3個(gè)球，則以下哪個(gè)選項(xiàng)中的事件A與事件8互斥卻不互為

對(duì)立（）

A.事件A：3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球；事件8：3個(gè)球中至少有1個(gè)白球

B.事件A：3個(gè)球中恰有1個(gè)紅球；事件B：3個(gè)球中恰有1個(gè)白球

C.事件A：3個(gè)球中至多有2個(gè)紅球：事件8：3個(gè)球中至少有2個(gè)白球

D.事件A：3個(gè)球中至多有1個(gè)紅球；事件2：3個(gè)球中至多有1個(gè)白球

16.從裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件（）

A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球

B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)白球

C.恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球

D.至少有一個(gè)黑球與都是白球

17.王老師從甲、乙、丙三位同學(xué)中隨機(jī)抽選兩位同學(xué)進(jìn)行家訪.事件P表示“抽中甲、乙兩位同學(xué)”，事件

Q表示“抽中甲、丙兩位同學(xué)"，貝U（）

A.尸是必然事件B.Q是不可能事件

C.尸與。是互斥事件D.尸與Q是對(duì)立事件

18.已知事件A,B互斥,它們都不發(fā)生的概率為:，且P（A）=2P⑻，則尸⑻=（）

題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率

19.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期

比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.7,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,

且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率為.

20.（2024?高三.浙江?開(kāi)學(xué)考試）竦（或加g）州是歷史文化名城，早在秦朝已設(shè)郡縣，古稱炎1|Cshan）縣，

贍縣、竦縣，古往今來(lái)無(wú)數(shù)文人墨客都醉心于竦州的山水風(fēng)景之中，李白曾夢(mèng)到：湖月照我影，送我至冽

溪.杜甫有詩(shī)曰：制溪蘊(yùn)秀異，欲罷不能忘，其中萬(wàn)年小黃山，千年唐詩(shī)路，百年越劇是三張重要?dú)v史文化

名片，現(xiàn)有甲、乙兩人到達(dá)高鐵竦州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴萬(wàn)年小黃山、千年唐詩(shī)路之謝靈

運(yùn)垂釣處、越劇誕生地打卡，已知每人都只去1個(gè)景點(diǎn)，且甲、乙兩人前往三地打卡的概率分別是］2二和

333

則甲、乙打卡不相同景點(diǎn)的概率為_(kāi)___.

632

2

21.某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李華答對(duì)每道題目的概率都是,，若每位面試者共有三

次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過(guò)，否則就一直抽題到第3次為止，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目

能否答對(duì)是獨(dú)立的，則李華最終通過(guò)面試的概率為.

22.甲、乙兩人進(jìn)行投籃練習(xí)，甲投中的概率為|,乙投中的概率為白，甲、乙兩人各投籃1次，甲、乙之

間互不影響，已知兩人至少有一人投中，則甲投中的概率.

23.已知事件A和事件B相互獨(dú)立，石表示事件B的對(duì)立事件，P（A）=-,則尸（A8）=.

24.有兩顆種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9,則恰好有一顆發(fā)芽的概率是.

㈤2

重難創(chuàng)新練

i.某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競(jìng)賽，比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測(cè)試，該同學(xué)參加這兩項(xiàng)測(cè)試的結(jié)果相互不

受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為3:，在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為2;，則該同學(xué)在這次

43

測(cè)試中僅有一項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（）

2.從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是g,從乙袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是:，從兩袋中有

放回的各摸兩次球且每次摸出一個(gè)球，則）是（）

6

A,4個(gè)球不都是紅球的概率B.4個(gè)球都是紅球的概率

C.4個(gè)球中恰有3個(gè)紅球的概率D.4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率

3.（2024.遼寧?模擬預(yù)測(cè)）甲、乙二人下圍棋，若甲先著子，則甲勝的概率為0.6,若乙先著子，則乙勝的

概率為0.5,若采取三局兩勝制（無(wú)平局情況），第一局通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣確定誰(shuí)先著子，以后每

局由上一局負(fù)者先著子，則最終甲勝的概率為（）

A.0.5B.0.6C.0.57D.0.575

4.有一個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每個(gè)

方向一人，事件“甲向南”與事件“乙向南”是（）

A.互斥但非對(duì)立事件B.對(duì)立事件

C.非互斥事件D.以上都不對(duì)

5.投擲一枚均勻硬幣和一個(gè)均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于4”為事

件8,則事件A,8中至少有一個(gè)發(fā)生的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

6423

6.甲袋中裝有加個(gè)白球，/個(gè)黑球，乙袋中裝有〃個(gè)白球，加個(gè)黑球（加力”），現(xiàn)從兩袋中各摸一個(gè)球，A=

“兩球同色”，3=“兩球異色”，則尸（A）與尸（8）的大小關(guān)系為（）

A.尸（A）<P（3）B.P（A）=P（B）

C.P（A）>P（B）D.視加，”的大小而定

7.在如圖所示的電路中，5個(gè)盒子表示保險(xiǎn)匣，盒子中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲熔斷的概率，則下列結(jié)

論正確的是（）

JITIcpr

—2―

1

F<,1—G.K

[2~|

B\J]~￡>[3j[4]E

-----------------------------------------II——

A.A,8兩個(gè)盒子并聯(lián)后尸G段暢通的概率為g

7

B.D,E兩個(gè)盒子串聯(lián)后G8段暢通的概率為日

3

C.C,D,E三個(gè)盒子混聯(lián)后GK段暢通的概率為:

4

D.當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí)，整個(gè)電路暢通的概率大于整個(gè)電路不通的概率

8.已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占：，乙廠產(chǎn)品占丙廠產(chǎn)品占甲廠產(chǎn)品的合

244

格率是95%,乙廠產(chǎn)品的合格率是90%,丙廠產(chǎn)品的合格率是80%,則從該地市場(chǎng)上買(mǎi)到一個(gè)產(chǎn)品，此產(chǎn)

品是次品的概率是（）

A.0.925B.0.03C.0.9D.0.1

9.（多選題）在某次英語(yǔ)四級(jí)考試中，若甲、乙、丙通過(guò)考試的概率分別為040.6,0,且040.6,。成等比

數(shù)列，三人各自是否通過(guò)這次考試相互獨(dú)立，則（）

A.p=0.08

B.甲、乙都通過(guò)這次考試的概率為0.24

C.甲、丙都不通過(guò)這次考試的概率為0.12

D.乙、丙中至少有一人通過(guò)這次考試的概率為0.96

10.（多選題）已知事件兩兩互斥，若尸（A）=J,尸（2）=2，P（AUO=;1，則（）

6312

A.P（C）=-B.P（AuB）=1

7

C.尸（AUBUC）=1D.P（BuC）=—

11.（多選題）從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”是互斥而不對(duì)立的事件

B.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”不是互斥事件

C.“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”是互斥而且是對(duì)立的事件

D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”是對(duì)立事件

12.在一個(gè)盒子中有2個(gè)白球，3個(gè)紅球，甲、乙兩人輪流從盒子中隨機(jī)地取球，甲先取，乙后取、然后甲再

取，…，每次取1個(gè)，取后不放回.直到2個(gè)白球都被取出來(lái)后就停止取球，則2個(gè)白球都被乙取出的概

率為；將球全部取出才停止取球的概率為.

13.小耿與小吳參與某個(gè)答題游戲，此游戲共有5道題，小耿有3道題不會(huì)，小吳有1道題不會(huì)，小耿與

小吳分別從這5道題中任意選取1道題進(jìn)行回答，且兩人選題和答題互不影響，則小耿與小吳恰有1人會(huì)

答的概率為

14.某校組織羽毛球比賽，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制（每局比賽沒(méi)有平局，先勝三局者獲勝并結(jié)束比賽），

兩人第一局獲勝的概率均為;，從第二局開(kāi)始，每局獲勝的概率受上局比賽結(jié)果的影響，若上局獲勝，則

該局獲勝的概率為等，若上局未獲勝，則該局獲勝的概率為千，且一方第一局、第二局連勝的概率為

4.則打完4場(chǎng)結(jié)束比賽的概率為.

10

15.下表是某種植物的種子在相同條件下發(fā)芽率試驗(yàn)的結(jié)果.

甲、乙兩球都不落入盒子的概率為（I-：）X（T=;,

2

所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為§.

1?

故答案為：—;—?

63

5.（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（陜西卷））某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)

題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問(wèn)

題的概率分別為l432;1且各輪問(wèn)題能否回答正確互不影響.

（1）求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率；

（2）求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率.

6.（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（大綱卷II））從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，

每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=Q96.

（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率P;

⑵若該批產(chǎn)品共有100件,從中任意抽取2件,求事件B：“取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率P（B）.

7.（2006年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（遼寧卷））甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)

競(jìng)賽，參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率都為0.6,且參賽同學(xué)的成績(jī)相互之間沒(méi)有影響.求：

（1）甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率；

（2）甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率.

8.（2006年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（湖南卷））某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門(mén)對(duì)5家小型煤礦進(jìn)行

安全檢查（簡(jiǎn)稱安檢）.若安檢不合格，則必須整改.若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，則強(qiáng)制關(guān)閉.設(shè)每家煤

礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是05整改后安檢合格的概率是0.8,

計(jì)算（結(jié)果精確到0.01）：

（1）恰好有兩家煤礦必須整改的概率；

(2)某煤礦不被關(guān)閉的概率；

(3)至少關(guān)閉一家煤礦的概率.

9.(2003年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)(文)試題(天津卷))有三種產(chǎn)品，合格率分別為0.90,0.95

和0.95,各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn).

(1)求恰有一件不合格的概率；

(2)求至少有兩件不合格的概率.(精確到0.001)

第04講隨機(jī)事件、頻率與概率

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：隨機(jī)事件與樣本空間.....................................................2

題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算...................................................2

題型三：頻率與概率.............................................................2

題型四：生活中的概率...........................................................3

題型五：互斥事件與對(duì)立事件.....................................................4

題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率.........................................5

02重難創(chuàng)新練..................................................................5

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................26

題型一：隨機(jī)事件與樣本空間

1.袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中黑色球2個(gè)，記為瓦、B2,白色球2個(gè)，記為叱、代，從袋中

任意取2個(gè)球，請(qǐng)寫(xiě)出該隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)不等可能的樣本空間：Q=—.

【答案】｛8也出叱,與叱｝（答案不唯一）

【解析】從袋中任取2個(gè)球，

共有如下情況BXB2,BtWt,8網(wǎng),為叱，區(qū)因耳叱.

其中一個(gè)不等可能的樣本空間為。=｛4生，與匕生叱｝,

此樣本空間中兩個(gè)黑球的情況有1個(gè)，一黑一白的情況有2個(gè)，是不等可能的樣本空間.

故答案為：。=｛44，片叱,自叫｝.（答案不唯一）

2.從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀察其中次品數(shù)，其樣本空間為.

【答案】｛0,123,4｝

【解析】由分析可知取出的4件產(chǎn)品的次品個(gè)數(shù)為0,1，2,3,4,

所以樣本空間為｛0」,2,3,4｝,

故答案為：｛0』,2,3,4｝.

3.將一枚硬幣拋三次，觀察其正面朝上的次數(shù)，該試驗(yàn)樣本空間為.

【答案】｛0,123｝

【解析】因?yàn)閷⒁幻队矌艗伻?，其正面朝上的次?shù)可能為0」,2,3,

所以該試驗(yàn)樣本空間為｛0,1,2,3｝.

故答案為：｛0,1,2,3｝.

題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

4.拋擲一枚骰子，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A,“向上的面的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件8,貝U（）

A.A^BB.A=B

C.AU8表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D.表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3

【答案】C

【解析】由題意可知，A={1,2},B={2,3},

所以4口8={2},AUB={1,2,3）,

則AU3表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3,故ABD錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

5.已知事件A、B、C滿足A&B,BQC,則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.事件A發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生

B.事件B發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生

C.事件K發(fā)生不一定導(dǎo)致事件不發(fā)生

D.事件了發(fā)生不一定導(dǎo)致事件方發(fā)生

【答案】D

【解析】由已知可得AUC,又因?yàn)锽UC,如圖事件A,B,C用集合表示:

則選項(xiàng)A,B正確，

事件乙=入，則C正確，D錯(cuò)誤

故選：D.

6.拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件A={至少1枚正面朝上},8={至多2枚正面朝上},事件C={沒(méi)有

硬幣正面朝上},則下列正確的是（）

A.C=Ap[BB.C=A\JB

C.CcAD.CcB

【答案】D

【解析】記事件D={1枚硬幣正面朝上},E={2枚硬幣正面朝上},尸={3枚硬幣正面朝上},則

A=Di\E\jF,B=C\JD\JE,

顯然CwApB,C^A\JB,C=B,C不含于A

故選：D

題型三：頻率與概率

7.（2024?高三?重慶沙坪壩?期中）在一次男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽（比賽采用3

局2勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)甲獲得冠軍的概率，先由計(jì)算機(jī)

產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3表示一局比賽中甲勝，4,5表示一局比賽中乙勝、經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了

如下20組隨機(jī)數(shù)：

334221433551454452315142331423

212541121451231414312552324115

據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.

【答案】0.65

【解析】20組數(shù)據(jù)中,334.221,433,315,142,331,423,212,121,231,312,324,115共13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍,

13

故估計(jì)甲獲得冠軍的概率為與=0.65.

故答案為：0.65

8.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命

中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、

0表示不命中，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為,

【答案】0.25/y

4

【解析】20組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是191、271、932、812、393,

其頻率為京=0.25,以此估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為0.25.

故答案為：0.25

9.一家藥物公司試驗(yàn)一種新藥，在500個(gè)病人中試驗(yàn)，其中307人有明顯療效，120人有療效但療效一般，

剩余的人無(wú)療效，則沒(méi)有明顯療效的頻率是.

193

【答案】0.386/—

500

【解析】由題意可得沒(méi)有明顯療效的人數(shù)為500-307=193,

所以沒(méi)有明顯療效的頻率為就=0.386,

故答案為：0.386

10.若隨機(jī)事件A在〃次試驗(yàn)中發(fā)生了初次，則當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)〃很大時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻率‘來(lái)估計(jì)

n

事件A的概率，即尸（A卜.

【答案】一

n

【解析】在相同的條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會(huì)在隨機(jī)事件A發(fā)生的概率

P（A）附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，這個(gè)性質(zhì)成為頻率的穩(wěn)定性.因此，可以用事件A發(fā)生的

頻率‘來(lái)估計(jì)事件A的概率，即尸

nn

故答案為：一

n

題型四：生活中的概率

11.某地區(qū)?；寄撤N病的概率為0.25,且每頭?；疾∨c否是互不影響的，今研制一種新的預(yù)防藥，任選12

頭牛做試驗(yàn)，結(jié)果這12頭牛服用這種藥后均未患病，則此藥（填“有效”或“無(wú)效”）.

【答案】有效

【解析】若此藥無(wú)效，則12頭牛都不患病的概率為（1-0.25尸。0.032,這個(gè)概率很小，

故該事件基本上不會(huì)發(fā)生，所以此藥有效.

故答案為：有效.

12.有以下說(shuō)法：

①昨天沒(méi)有下雨，則說(shuō)明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率為95%”是錯(cuò)誤的；

②“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示買(mǎi)100張彩票一定有1張會(huì)中獎(jiǎng)；

3

③做10次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次正面朝上，因此正面朝上的概率為本；

④某廠產(chǎn)品的次品率為2%,但該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品.

其中錯(cuò)誤說(shuō)法的序號(hào)是.

【答案】①②③

【解析】①中降水概率為95%,仍有不降水的可能，故①錯(cuò)誤；

②中“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示在設(shè)計(jì)彩票時(shí)，有1%的機(jī)會(huì)中獎(jiǎng)，但不一定買(mǎi)100張彩票一定有1張會(huì)

中獎(jiǎng)，故②錯(cuò)誤；

③中正面朝上的頻率為京3，概率仍為:1，故③錯(cuò)誤；

④中次品率為2%,但50件產(chǎn)品中可能沒(méi)有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正確.

故答案為：①②③

13.在一個(gè)大轉(zhuǎn)盤(pán)上，盤(pán)面被均勻地分成12份，分別寫(xiě)有1~12這12個(gè)數(shù)字，其中2,4,6,8,10,12

這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品是文具盒，而1,3,5,7,9,H這6個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品是隨身聽(tīng).游戲規(guī)則是轉(zhuǎn)盤(pán)

轉(zhuǎn)動(dòng)后指針停在哪一格，則繼續(xù)向前前進(jìn)相應(yīng)的格數(shù).例如：你轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針落在4所在區(qū)域，則

還要往前前進(jìn)4格，到標(biāo)有8的區(qū)域，此時(shí)8區(qū)域?qū)?yīng)的獎(jiǎng)品就是你的，依此類(lèi)推.請(qǐng)問(wèn)：小明在玩這個(gè)游

戲時(shí)，得到的獎(jiǎng)品是隨身聽(tīng)的概率是.

【答案】0

【解析】根據(jù)游戲規(guī)則，轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針?biāo)趨^(qū)域再前進(jìn)相應(yīng)格數(shù)后所在位置均為標(biāo)為偶數(shù)的區(qū)域，而得到隨

身聽(tīng)對(duì)應(yīng)的區(qū)域均標(biāo)為奇數(shù)，即可求得?.?轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針?biāo)趨^(qū)域再前進(jìn)相應(yīng)格數(shù)后所在位置均為標(biāo)為偶

數(shù)的區(qū)域，

又???得到隨身聽(tīng)對(duì)應(yīng)的區(qū)域均標(biāo)為奇數(shù)，

得到的獎(jiǎng)品為隨身聽(tīng)的概率為0.

故答案為:0.

14.某射擊教練評(píng)價(jià)一名運(yùn)動(dòng)員時(shí)說(shuō)：“你射中的概率是90%.”你認(rèn)為下面兩個(gè)解釋中哪一個(gè)能代表教練

的觀點(diǎn)（填序號(hào)）.

①該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了100次，恰有90次擊中目標(biāo)；

②該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，中靶的機(jī)會(huì)是90%.

【答案】②

【解析】射中的概率是90%說(shuō)明中靶的可能性大小，即中靶機(jī)會(huì)是90%,

所以①不正確，②正確.

故答案為：②.

題型五：互斥事件與對(duì)立事件

15.從裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的盒子里摸出3個(gè)球，則以下哪個(gè)選項(xiàng)中的事件A與事件8互斥卻不互為

對(duì)立（）

A.事件A：3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球；事件8：3個(gè)球中至少有1個(gè)白球

B.事件A：3個(gè)球中恰有1個(gè)紅球；事件B：3個(gè)球中恰有1個(gè)白球

C.事件A：3個(gè)球中至多有2個(gè)紅球：事件8：3個(gè)球中至少有2個(gè)白球

D.事件A：3個(gè)球中至多有1個(gè)紅球；事件2：3個(gè)球中至多有1個(gè)白球

【答案】B

【解析】對(duì)于A,事件A與事件8可能同時(shí)發(fā)生，例如摸出2個(gè)白球和1個(gè)紅球，所以事件A與事件3不

是互斥事件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,事件A與事件8不可能同時(shí)發(fā)生，但不是一定有一個(gè)發(fā)生，還有可能是3個(gè)白球或3個(gè)紅球，所以

事件A與事件8互斥卻不互為對(duì)立，故B正確；

對(duì)于C,事件A與事件3可能同時(shí)發(fā)生，例如摸出2個(gè)白球和1個(gè)紅球，所以事件A與事件8不是互斥事件，

故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,事件A與事件3不可能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，所以事件A與事件B是互斥事件也是對(duì)立事

件，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

16.從裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件（）

A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球

B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)白球

C.恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球

D.至少有一個(gè)黑球與都是白球

【答案】C

【解析】A選項(xiàng)，至少有一個(gè)黑球包括一個(gè)黑球一個(gè)白球和兩個(gè)黑球兩種情況，與都是黑球不互斥，故A

錯(cuò)；

B選項(xiàng)，至少有一個(gè)白球包括一個(gè)白球一個(gè)黑球和兩個(gè)白球兩種情況，與至少有一個(gè)黑球不互斥，故B錯(cuò)；

C選項(xiàng)，恰好有一個(gè)黑球、恰好有兩個(gè)黑球還有恰好沒(méi)有黑球這種情況，所以互斥但不對(duì)立，故C正確；

D選項(xiàng)，至少有一個(gè)黑球和都是白球互斥且對(duì)立，故D錯(cuò).

故選：C.

17.王老師從甲、乙、丙三位同學(xué)中隨機(jī)抽選兩位同學(xué)進(jìn)行家訪.事件尸表示“抽中甲、乙兩位同學(xué)”，事件

。表示“抽中甲、丙兩位同學(xué)"，貝I（）

A.尸是必然事件B.。是不可能事件

C.P與。是互斥事件D.尸與。是對(duì)立事件

【答案】C

【解析】從甲、乙、丙三位同學(xué)中隨機(jī)抽選兩位同學(xué)進(jìn)行家訪，所有的基本事件有｛（甲乙），（甲丙），（乙

丙）｝，

對(duì)于A,P是不一定發(fā)生，故不是必然事件，

對(duì)于B,Q是可能發(fā)生，所以不是不可能事件，

對(duì)于C,1P與。不能同時(shí)發(fā)生，故P與Q是互斥事件，

對(duì)于D,P與Q不能同時(shí)發(fā)生，但PuQ不是全部事件，所以不是對(duì)立事件，

故選：C

18.已知事件A,B互斥,它們都不發(fā)生的概率為且P（A）=2P⑻，則尸（研=（）

6

【答案】D

【解析】由題可知，P(AUB)=P(A)+P(B)=1-^=1，

66

又尸(A)=2P(B),所以2PGB)+PCB)=:,解得PCB)=2，

o18

所以網(wǎng)可=1-PGB)=j|.

故選：D.

題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率

19.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期

比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.7,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,

且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率為.

49

【答案】0.245/——

200

【解析】由題意知甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”，

設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.7,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,

則甲隊(duì)前5場(chǎng)比賽，第一場(chǎng)負(fù)，另外四場(chǎng)全勝概率為

R=0.3x0,7x0.5xO.5xO.7=0.03675,

甲隊(duì)前5場(chǎng)比賽，第二場(chǎng)負(fù)，另外四場(chǎng)全勝概率為

p2=0.7x0.3x0,5x0,5x0.7=0.03675,

甲隊(duì)前5場(chǎng)比賽，第三次場(chǎng)，另外四場(chǎng)全勝概率為

p3=0.7x0,7x0.5x0.5x0,7=0.08575,

甲隊(duì)前5場(chǎng)比賽，第四次場(chǎng)，另外四場(chǎng)全勝概率為

p4=0.7x0.7x0.5x0.5x0.7=0.08575

所以甲隊(duì)以4：1獲勝的概率

p=Pi++P3+丹=0.0367+0.0367+0.08575+0.08075=0.245.

故答案為：0.245

20.(2024?高三?浙江?開(kāi)學(xué)考試)竦Csheng)州是歷史文化名城，早在秦朝已設(shè)郡縣，古稱炎1|(shim)縣，

贍縣、竦縣，古往今來(lái)無(wú)數(shù)文人墨客都醉心于竦州的山水風(fēng)景之中，李白曾夢(mèng)到：湖月照我影，送我至炎I

溪.杜甫有詩(shī)曰：冽溪蘊(yùn)秀異，欲罷不能忘，其中萬(wàn)年小黃山，千年唐詩(shī)路，百年越劇是三張重要?dú)v史文化

名片，現(xiàn)有甲、乙兩人到達(dá)高鐵竦州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴萬(wàn)年小黃山、千年唐詩(shī)路之謝靈

運(yùn)垂釣處、越劇誕生地打卡，已知每人都只去1個(gè)景點(diǎn)，且甲、乙兩人前往三地打卡的概率分別是g,；,；和

則甲、乙打卡不相同景點(diǎn)的概率為_(kāi)___.

632

2

【答案】j

【解析】甲乙打卡相同景點(diǎn)的概率為

3633323

12

所以甲、乙打卡不相同景點(diǎn)的概率為1-§=§.

2

故答案為：—

21.某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李華答對(duì)每道題目的概率都是：，若每位面試者共有三

次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過(guò)，否則就一直抽題到第3次為止，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目

能否答對(duì)是獨(dú)立的，則李華最終通過(guò)面試的概率為.

.一、26

【答案】—

27

【解析】依題意，李華3道題都沒(méi)有答對(duì)的概率為11-2丫=_1,

I3)27

所以李華最終通過(guò)面試的概率為1-人=學(xué).

2727

故答案為：亶.

27

22.甲、乙兩人進(jìn)行投籃練習(xí)，甲投中的概率為|,乙投中的概率為彳，甲、乙兩人各投籃1次，甲、乙之

JJ

間互不影響，已知兩人至少有一人投中，則甲投中的概率.

【答案】I

212

【解析】“至少有一人命中的”的對(duì)立事件是“兩人都沒(méi)有命中”，兩人都沒(méi)有命中的概率P=§x§=§,

27

所以“至少有一人命中的”概率。=1-.

2

所以兩人至少有一人投中，甲投中的概率為稅Q=,6

9

故答案為：y

23.已知事件A和事件4相互獨(dú)立，》表示事件6的對(duì)立事件，P(A)=-,則P(A?=.

【答案】1/0.125

O

【解析】由事件A和事件5相互獨(dú)立，則事件A和事件看也相互獨(dú)立.

所以P（AB）=P（A）P（B）=P（A）［1-P（B）］=1x3￡

8,

故答案為：:

o

24.有兩顆種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9,則恰好有一顆發(fā)芽的概率是.

【答案】0.26點(diǎn)13

【解析】有兩顆種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9,

則恰好有一顆發(fā)芽的概率是（1-0.8）x0.9+（1-0.9）x0.8=0.26.

故答案為：0.26.

1.某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競(jìng)賽，比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測(cè)試，該同學(xué)參加這兩項(xiàng)測(cè)試的結(jié)果相互不

受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率3為在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為2;，則該同學(xué)在這次

43

測(cè)試中僅有一項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（）

A.—B.-C.—D.-

122123

【答案】C

1。315

【解析】根據(jù)題意可得該同學(xué)在這次測(cè)試中僅有一項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為：+=

故選：C.

2.從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是g,從乙袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率是;，從兩袋中有

放回的各摸兩次球且每次摸出一個(gè)球，則;是（）

6

A,4個(gè)球不都是紅球的概率B.4個(gè)球都是紅球的概率

C.4個(gè)球中恰有3個(gè)紅球的概率D.4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率

【答案】C

【解析】4個(gè)球都是紅球的概率為:=上，故B錯(cuò)誤;

332236

135

4個(gè)球不都是紅球的概率為,故A錯(cuò)誤；

3636

4個(gè)球中恰有3+=l，故C正確；

332233226

4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率上1x2*x±1x1+x2+2x2*x2*x1±x1±1=二，故D錯(cuò)誤.

332233223

故選：C.

3.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）甲、乙二人下圍棋，若甲先著子，則甲勝的概率為0.6,若乙先著子，則乙勝的

概率為0.5,若采取三局兩勝制（無(wú)平局情況），第一局通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣確定誰(shuí)先著子，以后每

局由上一局負(fù)者先著子，則最終甲勝的概率為（）

A.0.5B.0.6C.0.57D.0.575

【答案】D

【解析】由題意知，

一二局甲勝的概率為：-x0.6x0.5+-x0.5x0.5=0.275,

22

一三局甲月生的概率為：-x0.6x0.5x0.6+-x0.5x0.5x0.6=0.165,

22

二三局甲月生的概率為：-x0.4x0.6x0.5+-x0.5x0.6x0.5=0.135,

22

因此最終甲勝的概率為0.275+0.165+0.135=0.575,

故選：D.

4.有一個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每個(gè)

方向一人，事件“甲向南”與事件“乙向南”是（）

A.互斥但非對(duì)立事件B.對(duì)立事件

C.非互斥事件D.以上都不對(duì)

【答案】A

【解析】因?yàn)榧?、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每個(gè)方向一人，

所以事件“甲向南”與事件“乙向南”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)都不發(fā)生，故事件“甲向南”與事件“乙向南”是互

斥但非對(duì)立事件；

故選：A

5.投擲一枚均勻硬幣和一個(gè)均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于4”為事

件則事件A,B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

6423

【答案】D

【解析】由題意得事件A,3中至少有一個(gè)發(fā)生的對(duì)立事件是事件A,B都不發(fā)生，

12

而事件A不發(fā)生的概率為,，事件/不發(fā)生的概率為

191

所以事件A,8都不發(fā)生的概率為=

12

故事件A,8中至少有一個(gè)發(fā)生的概率是1-,故D正確.

故選：D

6.甲袋中裝有加個(gè)白球，w個(gè)黑球，乙袋中裝有，7個(gè)白球，加個(gè)黑球(根力”)，現(xiàn)從兩袋中各摸一個(gè)球，A=

“兩球同色”，3=“兩球異色”，則P(A)與P(8)的大小關(guān)系為()

A.尸(A)<P(B)B.