2025年新高考數學一輪復習收官卷2（學生版+解析）

2025年新高考數學一輪復習收官卷02

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.設集合A={L3},3=3,2-3》+加=0},若Ac3={l},則集合3=（）

A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

2.若復數已在復平面內對應的點的坐標為（）

A.（2,2）B.（0,2）

C.（1,2）D.（2,-2）

3.已知平面向量滿足|勿=2|。|=2,若則〃與。的夾角為（）

TC7t2兀5兀

A.-B.一C.—D.—

6336

4.已知的展開式第3項的系數是60,則展開式所有項系數和是（）

A.-1B.1C.64D.36

5.已知函數〃x）=biiu|+cosx,對于有四個結論：①為偶函數；②"X）的最小正周期是兀：③

在,,曰上單調遞增；④的最小值為-1.則四個結論正確的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①④

6.如圖所示，六氟化硫分子結構是六個氟原子處于頂點位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將

其六個頂點看作正方體各個面的中心點.若正八面體的表面積為126，則正八面體外接球的體積為（）

D.36TL

7.已知log2a（4"+l）＜lOg2a4。＜0,則（）

c11

A.0<a<一B.-<a<—

442

「i/MD.昱<a〈l

C?一<4<----

222

,jr

8.已知過拋物線。：丫2=2夕；10＞0）的焦點/且傾斜角為7的直線交。于4,8兩點，M是AB的中點，點、P

是C上一點，若點〃的縱坐標為1,直線/：3x+2y+3=0,則尸到C的準線的距離與尸至心的距離之和的最

小值為（）

A3岳口5A/13?3A/13c9屈

26261326

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.某機械制造裝備設計研究所為推進對機床設備的優(yōu)化，成立AB兩個小組在原產品的基礎上進行不同方

向的研發(fā)，A組偏向于智能自動化方向，8組偏向于節(jié)能增效方向，一年后用簡單隨機抽樣的方法各抽取6

臺進行性能指標測試（滿分：100分），測得A組性能得分為：91,81,82,96,89,73,B組性能得分為：

73,70,96,79,94,88,則（）

A.A組性能得分的平均數比8組性能得分的平均數高

B.A組性能得分的中位數比B組性能得分的中位數小

C.A組性能得分的極差比8組性能得分的極差大

D.8組性能得分的第75百分位數比A組性能得分的平均數大

10.中國結是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾

的習俗和審美觀念，故命名為中國結.中國結的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一

個側面，也是數學奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八

字結對應著數學曲線中的雙紐線.曲線C:（x2+y2）2=9（V-y2）是雙紐線，則下列結論正確的是（）

A.曲線c的圖象關于y=x對稱

B.曲線C上任意一點到坐標原點。的距離都不超過3

C.曲線C經過7個整點(橫、縱坐標均為整數的點)

D.若直線>=自與曲線C只有一個交點，則實數上的取值范圍為(-8,-1]q工+8)

11.對于任意實數了，兒定義運算“十"%十y=|x-y|+x+y,則滿足條件。十b=b十c的實數a,6,c的值可能

為()

03

A.a=-log050.3,b=O.4,c=log050.4

B.a=0.4°3,b=loggjO.4,c=_loggjO.3

c…,0.1,10

C.a=0.09，b=—7T-；-,c=In—

e0J9

D.a=-Try,b=hi—,c=0.09

e019

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數〉=/(9+1]的定義域是[2,4],則函數g(x)=」^&的定義域為___-

<2)In(x—2)

425%

13.已知x>0,y>0,x+2y=8且一+力>加2+2加恒成立，則實數機的取值范圍為______.

x16y

2

14.已知函數〃x)=e*-閡玳xwO)有3個極值點X],x2,x3(^<x2<x3),則a的取值范圍是；

若存在"《1,2,3},使得4>3,則%的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

某中學數學興趣小組，為測量學校附近正在建造中的某建筑物的高度，在學校操場選擇了同一條直線

上的A,B,C三點、,其中AC=40m,點8為AC中點，興趣小組組長小王在A,B,C三點上方5m處的

A，B〉C觀察已建建筑物最高點E的仰角分別為a,/3,y,其中tancr=l,tan^=2,tan7=3,點、D

為點E在地面上的正投影，點2為DE上與A，耳，G位于同一高度的點.

(1)求建造中的建筑物已經到達的高度DE;

sinZV^

⑵求sinqqC]的值.

16.（15分）

如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC//AD,EF//AD,AD=4,=

BC=EF=2,4尸=而，F(xiàn)B_L平面ABC￡>,M為4)上一點，且R0_LA￡>,連接30、BE、BM.

⑴證明：8。_1平面班用；

(2)求平面ABF與平面DBE的夾角的余弦值.

17.(15分)

已知函數/'(x)=e*+acosx在尤=0處的切線方程為y=x+2.

(1)求實數。的值；

(2)探究了(0在區(qū)間，+內的零點個數，并說明理由.

18.（17分）

如圖,已知雙曲線C:《￡=1(。>0,6>0)的離心率為2,點在C上，A,3為雙曲線的左、

a1b1

右頂點，P為右支上的動點，直線AP和直線x=l交于點M直線A?交C的右支于點0.

⑴求C的方程；

(2)探究直線P。是否過定點，若過定點，求出該定點坐標，請說明理由;

(3)設S/,S2分別為"BN和ANP。的外接圓面積，求的取值范圍.

19.（17分）

對于V〃eN*,若數列｛七｝滿足x用-%>1,則稱這個數列為“K數列”.

⑴已知數列1,2加，毋+i是“K數列，，，求實數機的取值范圍.

(2)是否存在首項為-2的等差數列｛%｝為“K數列”，且其前w項和S“使得S,<g"-〃恒成立?若存在，

求出數列｛4｝的通項公式；若不存在，請說明理由.

(3)已知各項均為正整數的等比數列｛4｝是“K數列”，數列不是“K數列"，若〃=耳，試判斷數

〔2Jn+1

列｛%｝是否為“K數列”，并說明理由.

2025年新高考數學一輪復習收官卷02

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.設集合A={L3},B={x|%2-3x+m=0},若Ac3={l},則集合3=（）

A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

【答案】B

【解析】由AcB={l}可知F-3+機=0n〃?=2,

當機=2時，%2-3x+2=0,解得：x=l或x=2,即8={1,2}.

故選：B

2.若復數工在復平面內對應的點的坐標為（）

2+1

A.（2,2）B.（0,2）

C.（1,2）D.（2,-2）

【答案】C

【解析】因為:=1+方,其對應的坐標為（1,2）,

故選：C.

3.已知平面向量滿足|b|=2|a|=2,若則。與6的夾角為（）

7L712兀5兀

A.—B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】由題設。?（。-匕）=。2—〃）=0,而,

所以1一2cos（a,=0=cos（a,e[0,兀],

所以卜,“=g.

故選：B

4.已知上-彳］的展開式第3項的系數是60,則展開式所有項系數和是()

A.-1B.1C.64D.36

【答案】B

【解析】由題意C，-2)2=2〃("-1)=60,注意到〃是正整數，所以解得〃=6,

則展開式所有項系數和是(1-2)6=1.

故選：B.

5.己知函數〃x)=binx|+cosx,對于〃尤)有四個結論：①為偶函數；②〃尤)的最小正周期是兀：③

〃x)在，,曰上單調遞增；④的最小值為-I.則四個結論正確的是()

A.①②B.②③C,①③D.①④

【答案】D

【解析】對于①，因為/(-x)=Mn(-x)|+cos(-x)=binr|+cosx,

所以〃—x)=/(x),故①正確；

對于②,/(X+TT)=|sin(x+7t)|+cos(x+7r)=|sinx|-cosx^/(x),

所以兀不是/(X)的周期，故②錯誤;

對于③，當％e［。(卜寸，sinx>0,

所以/(力-|sin%|+cosx=sinx+cosx=^2sin

又六嗚LL,>兀713兀

所以￡了工

所以由正弦函數的單調性可得/(X)在上不是單調的，

故③錯誤；

對于④，由于/(尤+2兀)=卜in(%+27i)+cosG+27i)=binX+cosx=,

所以2兀是/(力的一個周期,

71

又x￡[0,7i]時，sinx>0,貝U/(%)=binx|+cosx=sin%+cosx=&sinX+—

又x+￡e:，手，所以+-^,1,[-1,司|；

當了￡（兀,2兀）時，sinx<0,貝U/（%）=卜inx|+cosx=-sinx+cosx=0cos（x+：j,

又x+fe[*]'所以cos（x+：Je一g」'〃尤）e（T夜）；

綜上可得應],所以〃x）的最小值為-1,故④正確；

故選：D.

6.如圖所示，六氟化硫分子結構是六個氟原子處于頂點位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將

其六個頂點看作正方體各個面的中心點.若正八面體的表面積為12石，則正八面體外接球的體積為（）

Fi

【答案】B

【解析】如圖正八面體，連接AC和交于點0,

因為EA=EC,ED=EB,

所以EOLAC,EO1BD,又AC和為平面ABCD內相交直線，

所以平面ABC。，所以。為正八面體的中心，

設正八面體的外接球的半徑為R,因為正八面體的表面積為8x交4正=12四，所以正八面體的棱長為n,

4

所以EB=EC=BC=?0B=0C=V3,EO=VfB2-OB2=A/3）

則R=8，V=%&=%x3^=4石兀?

故選：B.

7.已知Iog2a（4a2+l）<k>g2a4”0,則（）

C.L<a<叵D.走<。<1

222

【答案】B

【解析】因為對數的定義域，得0<2a<l或2a>I,

又因為4#+1—4<?=（2a—1）>0,所以4a*+1>4-a,

因為log2a（4a2+l）<log204a<0,所以可得0<2。<1,

因為log244a<0=log2j,可得4a>1,

所以g<a<1.

42

故選：B.

8.已知過拋物線。：丫2=2.（0>0）的焦點廠且傾斜角為；的直線交。于4,2兩點，M是A3的中點，點尸

是C上一點，若點"的縱坐標為1,直線/:3x+2y+3=0,則尸到C的準線的距離與P到/的距離之和的最

小值為（）

A35口5屈r3岳門9屈

26261326

【答案】D

【解析】由題得C的焦點為尸（與，。］,設傾斜角為^的直線的方程為>

12）42

與C的方程/=2px（聯(lián)立得y2-2/?y-p2=0,

設4（X1，%）,8（*2,%），則%+%=2。=2,。=1,故C的方程為丁=2X,E［；,O］.

由拋物線定義可知點尸到準線的距離等于點尸到焦點F的距離，

聯(lián)立拋物線C:^=2尤與直線/:3x+2y+3=0,化簡得9d+10x+9=0,

由AulOO—4x9x9=-224<0得C與/相離.

Q,S,R分別是過點尸向準線、直線/：3x+2y+3=0以及過點F向直線/:3元+2y+3=0引垂線的垂足，連接

FP,FS,

所以點尸到C的準線的距離與點P到直線/的距離之和|PQ|+|冏=戶目+盟以尸S|>|ER],等號成立當且僅

當點尸為線段用與拋物線的交點，

所以尸到C的準線的距離與P至U/的距離之和的最小值為點尸（go1到直線/：3尤+2>+3=0的距離，即

3x』+0+3

9713.

|用=『

11V32+2226

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某機械制造裝備設計研究所為推進對機床設備的優(yōu)化，成立A,8兩個小組在原產品的基礎上進行不同方

向的研發(fā)，A組偏向于智能自動化方向，8組偏向于節(jié)能增效方向，一年后用簡單隨機抽樣的方法各抽取6

臺進行性能指標測試（滿分：100分），測得A組性能得分為：91,81,82,96,89,73,8組性能得分為：

73,70,96,79,94,88,則（）

A.A組性能得分的平均數比8組性能得分的平均數高

B.A組性能得分的中位數比B組性能得分的中位數小

C.A組性能得分的極差比8組性能得分的極差大

D.B組性能得分的第75百分位數比A組性能得分的平均數大

【答案】AD

91+81+82+96+89+73…

【解析】由題意可得A組性能得分的平均數為--------------------------------?85.3

6

73+70+96+79+94+88

8組性能得分的平均數為?83.3

6

所以A組性能得分的平均數比6組性能得分的平均數高，A說法正確;

QOQQ

A組性能得分73,81,82,89,91,96的中位數為=85.5

9±受=83.5

B組性能得分70,73,79,88,94,96的中位數為

2

所以A組性能得分的中位數比8組性能得分的中位數大，B說法錯誤；

A組性能得分的極差為96-73=23,8組性能得分的極差為96-70=26,

所以A組性能得分的極差比B組性能得分的極差小，C說法錯誤；

8組性能得分70,73,79,88,94,96共6個數據，6x0.75=4.5,

所以B組性能得分的第75百分位數為94,比A組性能得分的平均數大，D說法正確;

故選：AD

10.中國結是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾

的習俗和審美觀念，故命名為中國結.中國結的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一

個側面，也是數學奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八

字結對應著數學曲線中的雙紐線.曲線C:(/+y2)2=9，-y2)是雙紐線，則下列結論正確的是()

A.曲線c的圖象關于y=x對稱

B.曲線C上任意一點到坐標原點。的距離都不超過3

C.曲線C經過7個整點(橫、縱坐標均為整數的點)

D.若直線>=丘與曲線C只有一個交點，則實數上的取值范圍為(-8,-1］q工+8)

【答案】BD

【解析】對于A項，把(y,x)代入，+/2=9，-/)得，+川2=9(>272),

顯然點(%x)不滿足雙紐線方程，

所以曲線C的圖象不關于y=x對稱，故A項錯誤；

對于B項，由，+/2=9,_丫2)可得/+9=9，-乎=9—羋==9,

x+yx+y

所以曲線C上任意一點到坐標原點。的距離d=小爐+/43,即都不超過3,故B項正確：

對于C項，令y=0解得尤=0或x=±3,即曲線經過(0,0),(3,0),(-3,0),

由題意可知，-3<x<3,

令》=±1,得產=匚甲更<1,

令x=±2,得1</=T7+屈<2,

2

因此曲線C只能經過3個整點(0,0),(3,0),(-3,0),故C項錯誤；

對于D項，直線>=區(qū)與曲線(無2+/了=9(Jt2-/)一定有公共點(0,0),

若直線>=近與曲線C只有一個交點，

所以<('+門=9(/一力，整理得/(1+后)=9/(1一公)，只有一個解了=0,

y=kx

即1—左之40,解得女￡(-8,-1］。［1,+00),故D項正確.

故選：BD.

11.對于任意實數無，V,定義運算“十"%十y=|x-y|+x+y,則滿足條件。十b=b十c的實數“力,。的值可能

為()

03

A.o=-log050.3,b=O.4,c=log050.4

B.a=0.403&=log050.4,C=-log050.3

,0.1c=ln"

C.a=0.09,b=-7-r

e9

一0」7110

D."產c=0.09

【答案】BD

【解析】由Q十人=Z?十C,可得,一4+〃+/?=弧一d+b+c,即,一,一—d=c—〃,

若aMb,cMb,可得,一b|-|b-c|=c-a,符合題意，

若a&b,c>b,可得,一.一—c|=26_a_c,不符合題意，

若a>b，cWb,可得,_4_取_c|=q_c,不符合題意，

若a〉b,c>b,可得,一,一性一c|=c+a—26,不符合題意，

綜上所述a-6V0,b-c>0,可得

故只需判斷四個選項中的6是否為最大值即可.

對于A,B,由題知-log0.50.3=logo,5w<log。"=。，而0<0.4°，3<0.4°=1,

log050.4>log050.5=1,所以-log。$0.3<0.4°3<log050.4.

(點撥：函數y=logo/為減函數，y=0.4工為減函數)，

對于A,a<b<c；對于B,c<a<b,故A錯誤，B正確.

對于C,D,零=。訝=0-。」)四,

e01

(將0.9轉化為1-0』,方便構造函數)構造函數〃x)=(lT”,xe[0,l),

則廣(尤)=一.',因為xe[0,l),所以If(x)40J(x)單調遞減,因為"0)=1,所以〃0.1)<1,

即。.9四<1,所以。。9<”(若找選項中的最大值，下面只需判斷聲與9的大小即可)

0.1I100.119r1o.i+ln—=-^1+ln(l-0.1),

-x-；—In—=—77-j—In

e019e0110e0110e01''

構造函數%(%)=2+1口(1一%),不￡[0,1),貝=1-x1

1-xe"(1-X)

因為％w[0,l),所以e，(l—x)>0,令@(X)=(1-%)2_爐，則加(x)=—2(l—x)—e"

當x￡[0,1)時,R(%)v0⑷(x)單調遞減,因為研0)=0,

所以0(%卜0,即"(x)V0，Mx)單調遞減，又"(0)=0,所以%(。.1)<0，

即f+1口。一0.1)<。，所以/T〈lnw.

綜上,°.。9＜果＜吟.對于C,…；對于D,皿＜從故C錯誤，D正確.

（提醒：本題要比較0.09與In］的大小關系的話可以利用作差法判斷,

即0.09-11=0.1*0.9-“2]=

(l-0.9)x0.9+ln0.9,

9U0；

構造函數8(%)=(1-1)％+1E%￡(。,1],

貝Ug'(x)=1一2X+L=-2.+X+1=(2X+1)(T+1)

XXX

因為xe（O,l］,所以g，（x"0,g（x）單調遞增，因為g⑴=0,所以g（0.9）＜0,

BP0.09-ln—＜0,所以0.09＜ln§）

故選：BD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數＞=/1》+1）勺定義域是［2,4］,則函數g（x）=［二［\的定義域為

【答案】（2,3）.

【解析】因為函數〉=/［：苫+1］的定義域是［2,4］,

所以2Wx<4,^2<-x+l<3,

2

/\/(x)

因為gX=有意義,

lJn(Ix-2；)、

2<x<3

所以b—2>0,所以2<xv3,

ln(x-2)w0

/\/(x)

所以函數8(口=丁產石的定義域為(2,3).

故答案為:(2,3).

425尤,

13.已知x>0,y>0,x+2y=8且一+二>〃/+2加恒成立，則實數機的取值范圍為

尤7176y

【答案】-3<m<l

【解析】因為x+2y=8,所以無=8-2y,

,425x425(8-2y)42525

所CC以H一+——=-+------=-+-------,

x16yx16yx2yS

i4251425(尤+2y)=:“8y25x

因為丁方二—+一29+—+——

x2yox2y

當且僅當鄭=學，即4y=5尤，即尤=學/=”時取得等號，

X2y77

42525

所以一+:;---1有最小值為3,

x2y8

425%2c一、

因為t—+77->m+2小恒成乂，所以3>病+2小即療+2機-3<0,

x16y

解得—3<m<1?

故答案為：-3<m<l.

14.已知函數/(x)=e"-ox|x|(xN0)有3個極值點X],%，/(玉<%<尤3)，則。的取值范圍是

若存在盯《1,2,3},使得4>3,則%的取值范圍是____.

X]

【答案】(2e,+”)[(),?]

【解析】因為函數/(x)=e2-閡X(x-0),

所以，當x<0時，/(x)=e2x+or2,/'(x)=2e2x+2ar,令/'(%)=0得〃=—J,

x

2x

所以，當x>0時，f(x)=e2v-or2,f'(x)=2e2x-2ax,令廣("=0得°=J

(2x-l)e2x

,x>0

2

XX'

所以，令g")=2x,則g'(x)h

(2x-l)e2比

---,x<Q—,x<0

、X

所以，當x<0時夕(x)>0,0<x<：時，g'(x)<0,x>g時，g/(x)>0,

所以，函數g(x)在(-8,0)和g，+s]上單調遞增，在上單調遞減；

因為函數〃x)=e2'—axW(xw0)有3個極值點為，無2，%(大)，

所以，函數g(x)與>有三個交點，

因為，當x<0時g(x)>0,當x>0時g(x)>0,g[j=2e,

作出函數g(x)與y圖象如圖，

貝！滿足匕且玉<

由圖可知，函數g(x)與y=a有三個交點,11>20<%2<3<%3,

所以，當存在力e{l,2,3},使得乜>3,只需滿足巴>3,

Xjx2

所以，X,的取值范圍即為％的取值范圍.

令三=r>3,則彳3=/，

X2

因為了2，%為函數/(%)=。2%-方國(1>0)的極值點,

X=2xj

所以/'(%2)=2匕2巧一2dx2=0，/(3)2e-2OV3=0,即?之數=〃％，=ax3,

所以，2%=Ina+In%,2退=Ina+Inx3

所以Ina=2X2—In4=2x3-lnx3=2tx2-In-Inx2,即2(，—l)/=lnZ,

In/，/、In/-

所以，石行,故令陽戶行'”3，

1In11

I------In/1-----i-ln-

所以,"⑺=tt

2(1『2("

11—Y

令y=l_%+lnx,則yf=-i+—=---,

XX

所以，當0<x<l時，y=l—%+lnx單調遞增，當X>1時，y=l—％+lnx單調遞減,

所以，^=l-x+lnx<l-l+lnl=0,BPl-x+lnx<0,

i1?1111

1-----Int1Fin-

所以，〃(力=_t____=tL<0,即函數//⑺在/>3時單調遞減，

2(T2(1廠

所以，0<//?)<*3)=等，即馬的取值范圍為,,野］

故答案為：(2e,+e)；(0,畢］

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

某中學數學興趣小組，為測量學校附近正在建造中的某建筑物的高度，在學校操場選擇了同一條直線

上的A,B,C三點，其中AC=40m,點8為AC中點，興趣小組組長小王在A,B,C三點上方5m處的

4，耳，G觀察已建建筑物最高點E的仰角分別為a,P，Y,其中tancr=l,tan￡=2,tan7=3,點。

為點E在地面上的正投影，點2為。E上與4，4，G位于同一高度的點.

(1)求建造中的建筑物已經到達的高度DE;

,2sin/AQ耳

（）求sinNBQ]G的值.

【解析】(1)如圖，設ER=h,因為在4,耳，C處觀察已建建筑物最高點￡的仰角分別為a,/3,

Y,且tana=l,tan/=2,tan/=3,

hh

所以AA=/Z，AA=5，GDI=§，又AC=40,耳是AC的中點，

h2

400+---h2.

在中，由余弦定理得到cos/A=---------土方一，

2x20x-

2

…h(huán)2h2

400H---------

在，G4R中，由余弦定理得到cosNG耳。=-----寧-

2x20x-

2

廿方2,2

400+--/z2400+----

又N4耳2+NG⑸2=兀，所以------------------7-=0,

hh

2x20x-2x20x-

22

整理得到[竺=800,解得%=毀叵，所以DE=5+絲6叵.（9分）

181111

(2)在一4片。中，由正弦定理知①,

sinNA'qsin/4與2

在工叼中，由正弦定理知而圜家;黑萬②,由⑴知黑=興必取和=442,

sinNA*]C°i_J

由②+①得到(13分)

sinNBRC]AlDl3"

E

16.（15分）

如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC//AD,EF//AD,AD=4,AB=s/2,

BC=EF=2,AF=A/TT，F(xiàn)B_L平面ABC。，/為AD上一點，且連接8。、BE、BM.

⑴證明：BCmBFM；

⑵求平面ABF與平面DBE的夾角的余弦值.

【解析】（1）因為平面ABC。，又ADu平面ABCD,

所以FB_LAD.又FM_LAD,且FBFM=F,

所以A￡>_L平面因為3C〃AD,所以BC_L平面（5分）

（2）作?V_LAD,垂足為N.則RW7/硒.又砂〃/止>,

所以四邊形FMNE是平行四邊形，又ENLAD,

所以四邊形FMNE■是矩形，又四邊形AD￡F為等腰梯形，且AD=4,EF=2,

所以AW=1.

由（1）知AD_L平面班加，所以BM_LAD.又48=應，

所以8M=1.在Rt^AFM中，F(xiàn)M=^AF2-AM2=A/10-

在Rt中，F(xiàn)B=y/FM2-BM2=3-

由上可知，能以BM,BC,3尸所在的直線分別為x軸、V軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.

則A(-1,-1,O),3(0,0,0),F(0,0,3),D(-l,3,0),￡(0,2,3),所以，AB=(1,1,0),8/=(0,0,3),

BD=(-1,3,0),麗=(0,2,3),設平面ABF的法向量為戊=>,“*]),

m-AB=0fx,+y,=0,

由，得:可取用=(1,-1,0).(12分)

m-BF=014=0,

設平面BDE的法向量為〃=(%,%,Z2),

n-BD=Q-%2+3%=0,

由<可取〃=(9,3,—2).

n-BE=02y2+3Z2=0,

,,m-n9-33A/47

因m止匕，cos<m,n>=----------=------,,=--------.

\m\-\n\vl+1-「81+9+447

依題意可知，平面AB尸與平面的夾角的余弦值為主巨.

(15分)

47

17.(15分)

已知函數/(x)=e''+aco&x在x=0處的切線方程為'=尤+2.

(1)求實數。的值；

(2)探究〃尤)在區(qū)間]內的零點個數，并說明理由.

【解析】(1)由題可知/'(x)=e*-asinx,

由尤=0處的切線方程為y=x+2,:"=r(O)=e°=l,

把點(。,2)代入得6°+。8$0=2,，。=1.(6分)

(2)由(1)可知/(x)=e*+co&r,."(%)=e"-sinx,

令g(X)=/'(x)，g'(x)=e*hCO&x,

當時，g'(x)>0,則g(x)在區(qū)間卜1,f)上單調遞增.

g[-^]=e2-l<0,g(-7t)=e">0,

二由零點存在定理可知，存在毛€(],一無]，使得g(5)=0,即e-siiu;。，

...當xeg,xj時，廣(x)<0,則在區(qū)間上單調遞減；

當XW&,-兀)時，/(x)>0,則”尤)在區(qū)間(％,-兀)上單調遞增，

又小引=丁+cos引>0J(-兀)=e"一1<0,

由零點存在定理可知/'(x)在區(qū)間[一^，-兀)上有且僅有一個零點.(11分)

當xe[-7i,0)時，//(x)=ei-sinx>0；

當無w[0,+oo)時，/,(^)=ex-siiir>e0-l>0：

\在區(qū)間[-私心)上單調遞增.

又./(-7T)=e-JI-l<O,/(O)=e°+l>O,

???由零點存在定理可知，存在唯一零點々目-兀,0),使得/(々)=0,

綜上可得，/(X)在區(qū)間(T，+8)有且僅有兩個零點.(15分)

18.(17分)

22

如圖，已知雙曲線C:3-]=1("0,6>0)的離心率為2,點,2在C上，A,B為雙曲線的左、

ab

右頂點，尸為右支上的動點，直線AP和直線x=l交于點N,直線A?交C的右支于點。.

⑴求C的方程;

(2)探究直線PQ是否過定點，若過定點，求出該定點坐標，請說明理由;

(3)設S/,S2分別為AABN和ANP。的外接圓面積，求的取值范圍.

【解析】(1)因為離心率e=￡=2,

a

所以c=2a,b1=3/

22

雙曲線的方程為二-？==1,

a~3a~

將點[手，2]代入雙曲線方程得一。=1，

4

所以==1,/=4尸=12,

a

所以雙曲線C的方程為工-f=1.（4分）

412

（2）直線PQ過定點（4,0）,理由如下：

設「a，yJ，Q（w，%），

直線PQ的方程為妝+〃，

（22

土上=1

聯(lián)立1412,

x=my+n

整理得（3m2-1）>2+6mny+3n2—12=0,

6mn3n2—12

則A〉0,%+y（6分）

23/3療_]

直線AP:y=3^(x+2),

所以N1,

又N,B,。三點共線,

3%

所以即

再+2

即%&+2)+3為仁—2)=0,

gpy2(my1+/z+2)+3y1(my2+n-2)