蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)復(fù)習(xí)：探索平行線的性質(zhì)（2大考點(diǎn)+7種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）（解析版）

第02講探索平行線的性質(zhì)（2大考點(diǎn)+7種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.認(rèn)識(shí)并掌握平行線的性質(zhì)；

2.運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理及有條理的表達(dá)；

3.理解和掌握平行線的性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用于求角的關(guān)系;

4.能夠靈活運(yùn)用平行線的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明.

思維導(dǎo)圖

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)1：平行線的性質(zhì)

1、性質(zhì)1：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。簡(jiǎn)稱(chēng)為：兩直線平行，同位角相等。

2、性質(zhì)2：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡(jiǎn)稱(chēng)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

3、性質(zhì)3：兩條平行直線被第二條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡(jiǎn)稱(chēng)為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

知識(shí)點(diǎn)2：平行線的性質(zhì)和判定的區(qū)別與聯(lián)系

平行線的性質(zhì)和判定中的條件和結(jié)論恰好相反，在“兩條直線被第三條直線所截”的前提下，從同位角相

等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，推出兩直線平行，這是平行線的判定；而從兩直線平行推出同位角相

等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，這是平行線的性質(zhì)。

同位角相等

二者的因果關(guān)系如下：內(nèi)錯(cuò)角相等＞學(xué)定兩直線平行。

同旁內(nèi)角互補(bǔ)（性質(zhì)

題型精講

題型一：兩直線平行同位角相等

【例1】.（2023下?江蘇鎮(zhèn)江?七年級(jí)?？计谀┱?qǐng)把下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整.

己知：如圖，3P平分/ABC,點(diǎn)。、E分別在54、BP上,且Z）石〃BC.

求證：Nl=N3.

證明：回3尸平分/ABC（已知），

0Z1=（）.

aDE〃BC（已知），

回/2=（）.

回（）.

【答案】Z2；角平分線的定義；Z3；兩直線平行，同位角相等；Z1=Z3；等量代換

【分析】根據(jù)角的平分線的定義，平行線的性質(zhì)，推理證明即可.

【詳解】證明：回3P平分/ABC（已知）

0Z1=Z2（角平分線的定義）

QDE//BC（己知），

回/2=/3（兩直線平行，同位角相等）

回N1=N3（等量代換），

故答案為：Z2；角平分線的定義；Z3；兩直線平行，同位角相等；Z1=Z3;等量代換.

【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等量代換，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【變式1].（2023下?江蘇揚(yáng)州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，8。平分/A3C,尸在A3上，G在AC上,

FC與相交于點(diǎn)X,Z3+Z4=180°,試說(shuō)明N1=N2.（請(qǐng)通過(guò)填空完善下列推理過(guò)程）

解：0Z3+Z4=18O°（已知），ZFHD=Z4（）.

EIZ3+=180°（）.

^FG//BD（）.

0Z1=（）.

03。平分/ABC（）,

0ZABD=（）.

回/1=/2（）.

【答案】對(duì)頂角相等，ZFHD,等量代換，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，NABD,兩直線平行同位角相等，

已知，Z2,角平分線的定義，等量代換

【分析】根據(jù)題干的思路作答即可.

【詳解】EIN3+N4=180。（已知），ZFHD=Z4（對(duì)頂角相等）.

回/3+/77〃）=180。（等量代換）.

B1FG//BD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

BSZl^ZABD（兩直線平行，同位角相等）.

團(tuán)3D平分/'ABC（己知），

0ZABD=Z2（角平分線的定義）.

0Z1=Z2（等量代換）；

故答案為：對(duì)頂角相等，ZFHD,等量代換，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，ZABD,兩直線平行同位角相

等，已知，Z2,角平分線的定義，等量代換.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，對(duì)頂角相等等知識(shí)，掌握是平行線的判

定與性質(zhì)解答本題的關(guān)鍵.

【變式2】.（2023下?江蘇揚(yáng)州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線ab,且直線以。被直線c、d所截.

cd

/1/

--------------------/----a

b

23

⑴求證：Z1=Z2；

（2）若/1+/3=180。，試判斷直線c與直線d的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴見(jiàn)解析

（2）c//d（同位角相等，兩直線平行）

【分析】（1）兩直線平行，同位角相等，得到Nl=/4,對(duì)頂角相等，得到-2=/4,即可得證;

（2）鄰補(bǔ)角，得到N3+/5=180。，推出/2=/5,即可得到。〃d.

【詳解】（1）解：ab,

.-.Z1=Z4（兩直線平行，同位角相等）

Z2=Z4

.-.Z1=Z2；

（2）結(jié)論：直線c〃d

理由：.■Zl+Z3=180°,Z5+Z3=180°

.-.Z1=Z5,

-Z1=Z2,

r.N2=N5,

：.c//d（同位角相等，兩直線平行）.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角.熟練掌握對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角的定義，是解題

的關(guān)鍵.

【變式3].（2023?江蘇?七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，ZEDA=a,ZABC=￡（P>a）,解答下列問(wèn)題.

⑴如圖①，當(dāng)a=60。，/?=100。時(shí)，過(guò)點(diǎn)B在ED、8c的內(nèi)部作8/則/FBC=度;

⑵如圖②，點(diǎn)G在BC上，過(guò)點(diǎn)G作MVDE.

①當(dāng)a=60。，夕=100。時(shí)，求NNGC的度數(shù)；

②用含有a和夕的式子表示NMGB；

③當(dāng)a=70。，夕=100。時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GHL3C,直接寫(xiě)出NHGM的度數(shù).

【答案】（1）40。

（2）①40。②a-p（3）ZHGM=120°^；ZHGM=60°

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到結(jié)果；

（2）①過(guò)點(diǎn)2作8尸DE,根據(jù)平行公理得到MNDEBF,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到結(jié)

果；②過(guò)點(diǎn)B作8尸DE,根據(jù)平行公理得到MNDEBF,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到結(jié)

果；③過(guò)點(diǎn)B作3尸DE,根據(jù)平行公理得到MNDE\BF,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等分兩種情

況分別解題即可.

【詳解】（1）解：DE,

^ZADE=ZABF=60°,

又El/ABC=100°,

0NFBC=ZABC-ZABF=100°-60°=40°,

故答案為：40°.

（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)2作8尸DE,

0ZADE=ZABF=60°,

XmZABC=100°,

0NFBC=ZABC-ZABF=100°-60°=40°,

0MNDE,BFDE,

^MNBF,

國(guó)NNGC=/FBC=40°,

②如上圖，過(guò)點(diǎn)2作①7DE,

團(tuán)Z.ADE=AABF=cc,

又回NABC=77,

@NFBC=NABC—NABF=a—B，

團(tuán)MNDE,BFDE,

^MNBF,

團(tuán)NNGC=NFBC=a—B，

③如圖，過(guò)點(diǎn)2作8尸DE,

0ZADE=ZABF=7O°,

X0ZABC=100°,

ElZFBC=ZABC-ZABF=100°-70°=30°,

0MNDE,BFDE,

國(guó)MNBF,

0z2VGC=ZFBC=30°,

SGHIBCBi,

SZHGB=90°,

若點(diǎn)H在BC的上方時(shí)，

ZHGM=/HGB+ZNGC=90°+30°=120°,

若點(diǎn)〃在8c的下方時(shí)，

ZHGM=NHGB-ZNGC=90°-30°=60°,

綜上所述,NHGM=120?；騔HGM=60°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行公理，平行線的性質(zhì)，垂直的定義，作輔助線轉(zhuǎn)化角是解題的關(guān)鍵.

題型二：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等

【例2】.（2023下?江蘇泰州?七年級(jí)?？贾軠y(cè)）如圖，已知ABCD,BC平分ZABE,ZC=35°,求

/C跖的度數(shù).

【答案】70。

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得NABC=/C=35。，再根據(jù)角平分線定義得NABb=2NABC=70。，然后

根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得NCEF=N/M=70。.

【詳解】AB//CD,

.?.ZC=ZABC=35°,

BC平分ZABE,

:.ZABE=2ZABC=10°,

AAB//CD,

;.Z.CEF=ZABE=70°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)有：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角

互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

【變式1】.（2023下?江蘇鹽城?七年級(jí)?？计谀┤鐖D：在一中，AD平分外角/E4C,且

AD//BC.求證：ZB=ZC.

【分析】先由平行線得到440=4,ZDAC^ZC,再利用角平分線證得/E4D="AC,等量代換解

題即可.

【詳解】證明：^\AD//BC,

^ZEAD=ZB,ZDAC=ZC,

團(tuán)AD平分外角NE4C,

0ZEAD=ZZ）AC,

iazB=zc.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，運(yùn)用以上性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.

【變式2】.（2023下?江蘇南京?七年級(jí)?？计谥校┩瓿上旅娴耐评碚f(shuō)明：

已知：如圖，BE//CF,BE、CF分別平分/ABC和N3C￡>.

求證：AB//CD.

證明：回BE、CF分別平分/ABC和/BCD(已知),

0Z1=-ZABC,Z2=-ZBCD(①).

22---------

^BE//CF（已知），

回/1=/2（②）.

S-ZABC=-ZBCD（等量代換）.

22

0ZABC=ZBCD（③）.

^AB//CD（④）.

【答案】①角平分線的定義；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③等式的性質(zhì)；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

【分析】根據(jù)題意按照步驟進(jìn)行求解作答即可.

【詳解】證明：團(tuán)BE、CF分別平分/ABC和/BCD（已知），

0Z1=1ZABC,Z2=|ZBCD（①角平分線的定義）.

SBE//CF（已知），

0Z1=Z2（②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

Q-ZABC=-ZBCD（等量代換）.

22

SZABC=ZBCD（③等式的性質(zhì)）.

SAB//CD（④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），

故答案為：①角平分線的定義；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③等式的性質(zhì)；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平

行.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線，平行線的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與

靈活運(yùn)用.

【變式3].（2023下?江蘇無(wú)錫?七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB〃CD,點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)G在C。上.

（1）如圖1,在A3、8上分別取點(diǎn)A/、N,連接MN,點(diǎn)廠在上，已知出平分NMFE,平分

ZMFG,若NA￡F=30。，ZCGF=42°,求/EFG,NHFK的度數(shù).

⑵如圖2,EK平分/FEB,GH平分NCGF,反向延長(zhǎng)GH交EK于K,設(shè)NEFG=x,請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，用

含x的代數(shù)式表示NEKG.

⑶如圖3,已知NFHG=90。，ZFGH=60°,FK平分NEFH,GK平分NCGH,請(qǐng)直接寫(xiě)出2EF與

ZFKG的數(shù)量關(guān)系_________________

【答案】（1）72。；36°

（2）90。-夫

⑶NFKG=135°(或ZAEF+2NFKG=270。)

【分析】(1)作k//AB,可得NGFE=72。,再利用角平分線求出結(jié)果；

⑵設(shè)NFGH=/CGH=y,求出/尸EB=180。-x+2y,再利用角平分線及平行的性質(zhì)求得

Y

NEMG=90。--+y,最后根據(jù)N￡KG=NEMG—NA/GK即可求解；

2

(3)過(guò)點(diǎn)尸作嚴(yán)〃四，由角平分線求得NKm=1N￡FG—15。、NCGK==NCG/+30。，最后利用

22

ZFKG=180。-ZKFG-ZFGK整理式子即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖，作用〃AB,

.\ZEFP=ZAEF=30°,

AB//CD,

:.CD//FP,

:"GFP=NCGF=42。,

Z.GFE=Z.GFP+ZEFP=30°+42°=72°,

FH平分ZMFE,

/MFHJ/MFE,

2

FK平分ZMFG,

/.ZMFK=-ZMFG,

2

ZHFK=ZMFK-ZMFH=-ZMFG--/MFE=-ZGFE=36°；

222

(2)如圖，設(shè)￡K交。。于點(diǎn)M,

GH平分NCGF,

設(shè)4FGH=/CGH=y,貝|NCG尸=2y,

由(1)得，ZAEF=ZEFG-ZCGF=x-2y,

/FEB=180?！?％—2y)=180?！?2y,

EK平分ZFEB,

1Y

ZKEB=-ZFEB=90。——+y,

22

AB//CD,

Y

ZEMG=ZKEB=90?！?y,

2

ZMGK=ZCGH=y,

YX

在AGMK中，NEKG=ZEMG-ZMGK=90°--+y-y=90°--；

AB//CD,

AB//FP//CD,

:.ZAEF=ZEFP,ZPFG=ZCGF,

/FHG=9Q。,ZFGH=60°,

:.ZHFG=30°,

FK平分NEFH,KG平分/CGH,

ZKFH=|NEFH=1(Z￡FG-30°)=|ZEFG-15°,

ZCGK=|ZCGH=1(ZCGF+60°)=|ZCGF+30°,

ZFGK=NCGK-ZCGF=-NCGF+30°-ZCGF=30°--ZCGF,

22

ZKFG=ZKFH+ZHFG=-ZEFG-15°+30°=-ZEFG+15°,

22

ZFKG=180°-ZKFG-ZFGK

=1800-QZEFG+15°J-^30°-1ZCGFJ

=180°--ZEFG-15°-30°+-ZCGF

22

=135。-；(ZEFG一ZCGF)

=135°--ZAEF,

2

ZFKG=135°--ZAEF.

2

AEB

KH

C------------------------------口

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平行線的拐角問(wèn)題，角平分線的性質(zhì)，掌握輔助線的作法是解決本題的

關(guān)鍵.

題型三：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)

【例3】.（2023下?江蘇鹽城?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AD//BC,ZB=95°,ZC=70°.求N1和—A的

度數(shù).

【答案】Z1=70°,ZA=85°

【分析】根據(jù)AD〃3C，可得4=NC,ZA=180°-ZB,再代入數(shù)據(jù)可得答案.

【詳解】解：^\AD//BC,ZC=70°,ZB=95°,

.-.Zl=ZC=70o,ZA=180°-ZB=85°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本

題的關(guān)鍵.

【變式（2023下?江蘇蘇州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AD//EF,ZAEF+ZGDC=180°.NGDC與

N54。相等嗎？為什么？

【答案】相等，理由見(jiàn)解析.

【分析】由平行線的性質(zhì)，ZAEF+ZBAD^180°,結(jié)合NA￡F+NGDC=180。，知兩角相等.

【詳解】解：相等，理由如下：

^AD//EF,

SZAEF+ZBAD=180°.

0ZAEF+ZGDC=180°,

BAD?GDC.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)；掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

【變式2】.(2023下?江蘇連云港?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))為了美化夜景，在某段道路兩旁安置了兩座可旋

轉(zhuǎn)激光燈.如圖，燈A射線自AM開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至4V便立即回轉(zhuǎn)，燈8射線自3尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便

立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是相/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是//秒，且。、。滿足

|a-3|+(<7+Z?-4)2=0.假定主道路是平行的，即PQ〃MV,且尸=1:3.

圖1圖2

圖1圖2(備用圖)

⑴填空：a=,b=,ZBAN=。；

(2)若燈8射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈8射線到達(dá)8。之前，燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈

的光束互相平行？

⑶如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前，若射出的光束交于點(diǎn)C,過(guò)C作CDLAC交尸。于點(diǎn)

D,則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，/BAC與ZBC。的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，

請(qǐng)求出其取值范圍.

【答案】⑴3145

(2)15秒或82.5秒

3

⑶不發(fā)生改變ZBAC=-ZBCD

【分析】(1)根據(jù)絕對(duì)值與平方數(shù)的非負(fù)性即可求解；根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)并結(jié)合已知條件可求得/A4N的

度數(shù).

(2)根據(jù)題意，當(dāng)兩燈的光束互相平行時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角相等即可列出方程求解.

(3)設(shè)燈B射線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度/尸3C=x,則燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度NM4c=3x

設(shè)法把與N3CD用含x的代數(shù)式表示出來(lái)即可獲得兩角的關(guān)系式.

【詳解】(1)El|tz-3|+(a+fo-4)2=0,

團(tuán)〃—3=0,〃+/?—4—0

回。=31=1.

0PQ〃MN,

國(guó)/BAN+NABP=180°.

由Z^ATV:ZA5P=1:3得ZABP=3NBA2V

團(tuán)4/3AN=180。,

^ZBAN=45°.

(2)如圖.

3：/沙/[

-/--------N

//

設(shè)在燈B射線趕到達(dá)BQ之前，燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)f秒，兩燈的光束平行,

①在燈射線到達(dá)AN之前，由題意得，

/+30=3,，

解得：％=15（秒）

②在燈A射線到達(dá)AN之后，由題意得：

（3r-180o）+（r+30°）=180°（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

解得：t=82.5（秒）

回?zé)艮D(zhuǎn)動(dòng)15秒或82.5秒時(shí)，兩燈的光束互相平行.

（3）NB4C與N38的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化.理由如下：

由回知N54N=45°,

0ZABP=ZMAB=180°-45°=135°.

設(shè)燈8射線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度NPBC=x,則燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度ZM4C=3%

0Z.BAC=ZMAC-ZMAB=3x-135°,①

ZABC=ZABP-ZPBC=135°-X,

0ZBCA=180°-ABAC-ZABC=180°-(3%-135°)-(135°-x)=180°-2x

0CD1AC,

0ZBCD=90°-ZBCA=90°-(l80°-2x)=2x—90°②

由①②得，2NBAC=3NBCD

3

SZBAC=-ZBCD

2

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值與平方數(shù)的非負(fù)性、平行線的判定、三角形內(nèi)角和、用含字母的代數(shù)式表示角

度等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3].(2023下?江蘇?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖1,已知兩條直線AB,8被直線E尸所截，分別交于點(diǎn)

E,點(diǎn)、F,平分交C￡>于點(diǎn)且NFEM=NFME.

⑴判斷直線A8與直線8是否平行，并說(shuō)明理由；

⑵如圖2,點(diǎn)G是射線V。上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)M,尸重合)，EH平分NFEG交CD于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)”作

HN1EM于點(diǎn)、N,設(shè)乙EHN=a,NEGF=0.

①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的右側(cè)時(shí)，若￡=50。，求a的度數(shù)；

②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，a和B之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明.

【答案】⑴平行，見(jiàn)解析

(2)①25度；②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的右側(cè)時(shí)，a=；￡；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的左側(cè)時(shí)，?=90°-1/7

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義的運(yùn)用：

(1)依據(jù)角平分線，可得ZAEM=NFEM,根據(jù)=可得/4EM=Z?E,進(jìn)而得出

AB//CD-,

(2)①依據(jù)平行線的性質(zhì)可得ZAEG=130。，再根據(jù)EH平分NFEG,EM平分/AEF,即可得到

ZMEH=|ZAEG=65°,再根據(jù)HV_LME,即可得到Rt^EHV中，ZEHV=90°-65°=25°；

②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的右側(cè)時(shí)，a=9.當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的左側(cè)時(shí)，a=90。-；尸.

【詳解】(1)回平分尸

^\ZAEM=ZFEM,

X^ZFEM=ZFME,

^\ZAEM=ZFME,

回AB〃CD；

(2)①如圖2,

B

CMFrHGD

/圖2

^\AB//CD,夕=50°

0ZAEG=180o-50°=130°,

又⑦EH平分NFEG,EM平分/4￡F

團(tuán)NHEF=-ZFEG,NMEF=-NAEF,

22

fflZMEH=-ZAEG--xl30°=65°,

22

又0HNLME,

回RtAEHN中.Z￡7￡V=90o-65°=25°,

即C=25°;

②點(diǎn)G是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)，故分兩種情況討論:

如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)廠的右側(cè)時(shí)，

證明：^AB//CD,

[SZAEG=180°-夕，

又團(tuán)EH平分NFEG,EM平分NAEF

0ZHEF=-NFEG,ZMEF=-ZAEF,

22

HNMEH=|NAEG=g(180°—￡),

^HN-LME,

團(tuán)RtAEfflV中，ZEHN=90°-ZMEH=90。—g(180?！?)=；尸,

即a=“；

如圖3,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的左側(cè)時(shí)，。=90。-；4.

⑦ZAEG=NEGF=0,

又回EH平分NFEG,EM平分NAEF,

⑦/HEF=L/FEG,ZMEF=-ZAEFf

22

團(tuán)ZMEH=ZMEF-ZHEF

=g(/AEF—/FEG)

=-ZAEG

2

\p

y^\HN.LME,

團(tuán)RtZkEHN中，NEHN=90。一ZMEH,

即1=90。一；尸.

題型四：根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系

【例4】.（2023下?江蘇?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知ZABC.NCED的平分線交于點(diǎn)?探究

4EE與NBCE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】NBCE=2ZBFE,見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)C作直線"ZV〃AB,然后證明MV〃DE,根據(jù)平行線

的性質(zhì)可得4>EC=NECN，ZABC=ZBCN,進(jìn)而可得NBCEuNABC+NDEC,同理可得

ZBFE=ZABF+ZDEF,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得NABC=2NAB尸，ZDEC=2ZDEF,等量代換可得

答案.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作直線肱V〃AB,

^AB//DE,MN//AB,

0MN〃DE,

0NDEC=/ECN,

ABMN,

^ZABC=ZBCN,

0NBCE=ZABC+NDEC,

同理NBEE=NAB尸+NDEF,

fflZABGNCED的平分線交于點(diǎn)尸，

0ZABC=2ZABF,ZDEC=2ZDEF,

0ZBCE=2ZABF+2ZDEF=2ZBFE.

【變式1].（2023下?江蘇南通?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在一MC中，ZACB=ZBAC.過(guò)點(diǎn)A作

MN〃BC.

圖1圖2備用圖

⑴判斷AC是否平分NBAN,并說(shuō)明理由；

（2）如圖2,點(diǎn)。是射線CB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C重合），AE平分/血＞交射線BC于E,過(guò)點(diǎn)E作

EFJ.AC于F.

①當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)2左側(cè)時(shí)，若ZAEF=20。,求NAD3的度數(shù)；

②點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，NAEF和N4汨之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）AC平分NA4N,理由見(jiàn)解析

⑵①40。；②/鈕汨=2NAEF或NADB=180?！?NAEF,理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可解答;

(2)①根據(jù)角平分線的定義可得NDA石=NA4E,NR4C=NaW,從而得到NZMN=140。，再由平行線的

性質(zhì)，即可解答；②分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)3左側(cè)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)3右側(cè)時(shí)，即可解答.

【詳解】(1)解：AC平分NB4N,理由如下：

⑦M(jìn)N〃BC,

團(tuán)NACB=NGW,

中ZACB=/BAC,

0ZBAC=ZGW,

團(tuán)AC平分NBAN；

(2)解：①回防1AC,

0ZEAF=9Q°-ZEAF=70°,

團(tuán)AC是角平分線，

回ZDAE=/BAE,ABAC=ZCAN,

團(tuán)ZEAF=ZBAC+ZBAE=70°=ZDAE+/CAN=-ADAN,

2

回NZMN=140。，

BMN/7BC,

^ZADB=1800-ZDAN=40°；

②設(shè)=

團(tuán)EF1AC,

國(guó)NEAF=90°—a,

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)3左側(cè)時(shí)，

由(1)得：ZNAC=ABAC=-ZBAN,

2

團(tuán)A石平分44。，

團(tuán)ZDAE=ZBAE=-ZBAD,

2

又團(tuán)ZEAF=NBAE+ABAC=1ABAD+1/BAN=1(ZBAD+NBAN)=；ZDAN=90°-a,

團(tuán)NDAN=1800—2a,

BMN^BC,

團(tuán)NAZ陽(yáng)+mw=18。。，

團(tuán)ZADB=180°-/DAN=180°-(180°-2a)=la,

^\ZADB=2ZAEF；

如圖，當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)3右側(cè)時(shí)，

MAN

團(tuán)AC,AE分別平分/BAN,ABAD,

11

I?]ZDAE=ZBAE=-ZBAD,ABAC=ZCAN=-ZBAN,

22

0ZEAF=ZBAC-ZBA￡=lz^4zBAP=l(Z^-Z^)aZ^=9OO-?

0ZZMA^=18O°-2a,

0MN〃BC,

ElZAD3=NZM/V=180°—2。，

0ZADB=180°-2ZAEF；

綜上所述，/403=2/心或乙4。3=180。一244￡尸.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握兩直線平

行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角，利用角的和差關(guān)系進(jìn)行推理論證.

【變式2】.（2023下?江蘇南京?七年級(jí)統(tǒng)考期中）從特殊到一般是數(shù)學(xué)研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)

規(guī)律，探索問(wèn)題的解.

⑴如圖1,AB〃CD,同E為AB、C。之間的一點(diǎn).求證：Zl+ZMEV+Z2=360°.

⑵如圖2,AB〃CD,點(diǎn)E、F、G、H為AB、CO之間的四點(diǎn).貝U/l+N2+N3+N4+/5+N6=

⑶如圖3,AB//CD,則4+N2+/3++/〃=

【答案】⑴證明見(jiàn)詳解；

(2)900°；

⑶180。(〃-1)；

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作OE〃四，可得OE〃鉆〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/1+NMEO=180。,

Z（9￡W+Z2=180°,再計(jì)算角度和即可證明；

（2）分別過(guò)點(diǎn)E、F、G、”作AB的平行線，在兩相鄰平行線間利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)求得兩角度

和后，再將所有角度相加即可解答；

（3）由（2）解答可知在A3、8之間每有一條線段便可求得一個(gè)180。角度和，結(jié)合圖3找出〃和線段條

數(shù)的關(guān)系便可解答；

【詳解】（1）證明：如下圖，過(guò)點(diǎn)E作

回AB〃CD,OE〃AB,

S\OECD,

根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得：

Zl+ZME，O=180°,ZOSV+Z2=180°,

BIZ1+ZMEO+ZOEN+Z2=360°,

0ZI+ZMEN+Z2=360°；

(2)解:如下圖，分別過(guò)點(diǎn)E、F、G、H作0或〃48,O2F//AB,Ofi//AB,O.H//AB,

AMB

結(jié)合（1）解答在兩相鄰平行線間可得：

ZAME+NMEO[=180°,

ZOtEF+ZEFO2=180°,

ZO2FG+ZFGO3=180°,

O

ZO3GW+ZGHO4=180,

NORN+/HVC=180。，

將所有角度相加可得：

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=180ox5=900o；

（3）解:由（2）解答可知在A8、8之間每有一條線段便可求得一個(gè)180。角度和,

由圖3可知：

當(dāng)A8、8之間有2條線段時(shí)，n=3,

當(dāng)AB、CO之間有3條線段時(shí)，〃=4,

當(dāng)A3、CD之間有4條線段時(shí)，〃=5,

當(dāng)AB、CD之間有5條線段時(shí)，n=6,

當(dāng)A3、CO之間有（"T）條線段時(shí)，?=?,

0Z1+Z2+Z3++4=180。（"-1）；

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線公理的推論，平行線的性質(zhì)，歸納總結(jié)的解題思路，通過(guò)作輔助線將角度按組

計(jì)算是解題關(guān)鍵.

【變式3】.（2023下?江蘇南京?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示的格線彼此平行（4〃/2〃/3〃4〃/5〃/6）.小

N2是角的兩邊與格線所成的角）

（2）如圖2,他又在兩條格線之間取一點(diǎn)。，作出/AO3,請(qǐng)?zhí)骄?I、N2與NAO3之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明；（注：Nl、N2是角的兩邊與格線所成的角）

⑶如圖3,點(diǎn)A、B、C、。在格線上，點(diǎn)。在格線之間，AD平分NPAO,PB平分NOBC,若

ZPBC=35°,則ZAOB+ZAPB=°.

【答案】（1）43

（2）ZAOB=Z1+180°-Z2,理由見(jiàn)解析

（3）105

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可得出答案；

（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（即豬蹄模型）即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，得出豬蹄模型是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：如圖所示：

A

回，2//l3//l5,

團(tuán)N1=N3,N2=N4,

IEZAOB=Z3+Z4=80°,Zl=37°,

回？2?AOB?180?37?43?,

故答案為：43；

(2)NAO5=Nl+180?！狽2理由如下:

過(guò)點(diǎn)。作/7〃，2，如圖2,

圖1圖2

7，

??N1=N3,

，?/2〃，7且，5〃，2,

?.N4=N5,

,Z5=180°-Z2,

?,Z4=Z5=180°-Z2,

ZAQB=N3+N4,

,.NAQ5=Nl+180?！狽2；

(3)過(guò)點(diǎn)尸作PE〃/2,如圖3,

2,

團(tuán)PE〃/l2//ls,

團(tuán)PE〃/5，

S1ZEPB=ZPBC,

團(tuán)AD平分/PA。，PB平分/OBC,

0?PADWAO,PBO=?PBC,

0?APB?EPB1EPA1PBCIPAD,

根據(jù)豬蹄模型可得：?AOB1DAO?OBC,

^ZAOB+ZAPB

=ZDAO+ZOBC+NPBC-Z.PAD

=2?PBC?PBC

=3?PBC

=3第5

=105°,

故答案為：105.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出豬蹄模型是解本題的關(guān)鍵.

題型五：根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

【例5】.（2023下?江蘇南通?七年級(jí)如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)C,。在直線上，CE//DF,

EF//AB,/DEE的角平分線尸G交AB于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)尸作9G交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)若

/CMF=55°,求NCD廠的度數(shù).

A

DF

B

【答案】110°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NOWF+"R0=18O。，求出NDRW=125。，根據(jù)垂線定義得出

ZGFM=90°,求出“2=/。自似一/67^=125。-90。=35。，根據(jù)角平分線定義得出

ZDFE=2ZDFG=70a,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NCD尸+NOPE=180。，求出NCD尸=110。即可.

【詳解】解：SCE//DF,

即CM〃。尸，

0ZCMF+ZE>?=180°,

0ZCMF=55°,

0ZE>?=125°,

SFM1FG,

團(tuán)/GEM=90。，

0ZDFG=ZDFM-ZGFM=125°-90°=35°,

回FG是ZDFE的角平分線，

0ZDFE=2ZDFG=70°,

^EF//AB,

0Z.CDF+ZDFE=180°,

0ZCDF=11O°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行

同旁內(nèi)角互補(bǔ).

【變式1】.（2023下?江蘇鹽城?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，點(diǎn)。，E分別在A3和AC上，

CD平分/ACB,過(guò)點(diǎn)。作。E〃BC.已知/EDC=40。，求NAED的度數(shù)是多少？

【答案】80。

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/￡1X：=/3口）=40。,4￡0=/4。8,根據(jù)。。平分/48,得到

ZACB=2NBCD,即可得解.

【詳解】解：SDE//BC,

0ZEDC=ZBCD=40°,ZAED=ZACB,

EIC￡>平分/ACB,

0ZACB=2ZBCD=2x40°=80°,

0ZA￡D=8O°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義.熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線平分角是解題的關(guān)

鍵.

【變式2】.（2023下?江蘇鎮(zhèn)江?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AB//CD,直線E尸分別交A3、CO于點(diǎn)

E、F,EG平分NAEF,4=40。，求N2的度數(shù).

【答案】100°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)"兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等"，再利用角平分線的性質(zhì)推出/2=180。-2/1,這

樣就可求出N2的度數(shù).

【詳解】解：AB//CD,

Zl=ZAEG.

EG平分,AEF,

;.N1=NGEF,ZAEF=2/1.

又1ZAEF+Z2=180°,

Z2=180°-2/1=180。一80°=100°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解答此類(lèi)題關(guān)鍵是在復(fù)雜圖形之中辨認(rèn)出應(yīng)用性質(zhì)的

基本圖形，從而利用性質(zhì)和已知條件計(jì)算.

【變式3】.（2023下?江蘇淮安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線尸Q〃溝V,一副三角板

（ZABC=ZCDE=90°,NACB=30。，Zfl4C=60°,ZDCE=ZDEC=45。）按如圖①放置，其中點(diǎn)E在

直線尸。上，點(diǎn)3,C均在直線MN上，且CE1平分ZACN.

⑴求ZDEQ的度數(shù)；

⑵如圖②，若將_ASC繞8點(diǎn)以每秒10。的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為凡G）.設(shè)旋

轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（0VY36）；

①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若邊3G〃cr）,求f的值；

②若在ABC繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，CDE繞E點(diǎn)以每秒5。的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（C、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別

為K、T）,請(qǐng)直接寫(xiě)出EK與3G平行時(shí)r的值.

【答案】⑴60。

(2)①3或21；②5或17或29

【分析】(1)首先求出/ACN,根據(jù)角平分線的定義求出NEQV,再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NQEC,繼而

可得結(jié)果；

(2)①分兩種情況，畫(huà)出圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)速度以及平行線的性質(zhì)列出關(guān)于f的方程，解之即可；②表示

出NCEK=5f,ZCBG=Wt,分三種情況，畫(huà)出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)列出方程，再求解即可.

【詳解】(1)解：ZACB=30°,

ZACN=1800-ZACB=150°,

CE平分ZACN,

ZECN=-ZACN=75°,

2

PQ//MN,

ZQEC+ZECN=180°,

ZQEC=180°-75°=105°,

ZDEQ=ZQEC-ZCED=105°-45°=60°.

(2)①如圖，BG//CD,

ZGBC=ZDCN,

ZDCN=ZECN-ZJECD=75°-45°=30°,

.-.ZGBC=30°,

「.10)=309

.,.t=3.

:.ZGBC=ZBCD,

04DCN=30°,

0ZGBC=ZBCD=150°,

此時(shí)ABC旋轉(zhuǎn)了360。-150。=210。，

回10/=210,

Z=21.

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若邊3G〃CD,f的值為3或21.

②如圖，延長(zhǎng)3G,與PQ交于H,

ZCEK=5t,ZCBG=10t,

BBG〃EK,

田NGHE=NKEQ,

團(tuán)尸Q〃MN,

團(tuán)Z.CBG+Z.GHE=180°,

國(guó)NCBG+NKEQ=180。，

即10/+5/+105。=180。，

解得：t=5；

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH〃6K,

國(guó)BG〃EK,

QCH〃BG,

^ZGBM=ZHCM=lS00-10t,ZKEC+ZECH=1SO°,

團(tuán)ZECH=ZECM-ZHCM=105°-(180°—10。=102—75°,ZCEK=5t,

團(tuán)5r+10-75。=180。，

JF

如圖，延長(zhǎng)G3,與PQ交于H,

團(tuán)尸。〃MN,

團(tuán)ZCBG=ZBHQ=360°-10t,

⑦BG〃EK,

團(tuán)ZBHQ=ZHEK=360°-10r,

⑦ZHEC=NCEK—ZHEK=75。,

即5r-（360°-10r）=75°,

解得：t=29；

綜上：t的值為5或17或29.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

題型六：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用

【例6】.（2023下?七年級(jí)單元測(cè)試）光線照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，入射光線與鏡面的夾

角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中,

圖1圖2圖3

（1汝口圖2,已知鏡子與鏡子ON的夾角0MON=9O。，請(qǐng)判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關(guān)系,

并說(shuō)明理由;

⑵如圖3,有一口井，已知入射光線49與水平線OC的夾角為50。，當(dāng)平面鏡與水平線OC的夾角

為_(kāi)。，能使反射光線08正好垂直照射到井底；

⑶如圖4,直線上有兩點(diǎn)A、C,分別引兩條射線AB、CD.BBAF=120°,SDCF=40。，射線A8、CD

分別繞A點(diǎn)、C點(diǎn)以3度/秒和1度/秒的速度同時(shí)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為/秒，在射線轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間

內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得C。與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時(shí)間上

【答案】C。，理由見(jiàn)解析

(2)70

⑶在射線A8轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，存在時(shí)間3使得CQ與AB平行，其V10s或100s.

【分析】(])計(jì)算0A2C+aBC。的值便可得出結(jié)論；

(2)先計(jì)算出她。2,進(jìn)而得fflAOM+SBON的值，再根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角

相等，得出結(jié)果；

(3)分四種情況討論：當(dāng)0s夕420s時(shí)，當(dāng)20s<f*0s時(shí)，當(dāng)40s<K80s時(shí)，當(dāng)80s<fSl20s時(shí)，根據(jù)角度

大小變化關(guān)系鎖確AB//CD時(shí)的/值.

【詳解】(1)解：AB//CD.理由如下：

001=02,回3=團(tuán)4,

EBA8C=180°-Ell-EI2=180°-2EI2,fflBCD=18O°-03-04=18O°-2E3,

0EL4BC+EBCZ)=36O°-2(E2+EI3),

fflBOC=90°,

002+03=90°,

00ABC+EBC￡)=18O°,

0AB0CD；

(2)解:EEAOC=50°,ELBOC=90°,

EBAOM+!32ON=180°-90°-50°=40°,

SS\AOM=^BON,

aa40M=I3BON=20°,

EBCOM=20°+50°=70°,回CON=20°+90°=110°,

團(tuán)當(dāng)平面鏡MN與水平線OC的夾角為70。時(shí)，能使反射光線08正好垂直照射到井底，

故答案為：70；

(3)解：①當(dāng)Os±W20s時(shí)，如下圖，

^AB//CD,貝崛BAC=0ACD,

即120+3戶140+r,

解得10,

回當(dāng)f=10s時(shí)AB〃CD；

②當(dāng)20s<區(qū)40s時(shí)，如下圖,

B

有EIBAEV9（r<l3ACJ9,則AB與CD不平行;

③當(dāng)40s<f480s時(shí)，如下圖，

E

B

有回及ICCEACD,與CD不平行;

④當(dāng)80s<Kl20s時(shí)，如下圖，

E

F

若AB〃C。，貝靦BACWOCF,

即3Z-240=?-40,

解得f=100,

回當(dāng)f=100s時(shí)，AB//CD-,

綜上可知，在射線A2轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，存在時(shí)間3使得C。與平行，其UlOs或100s.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是應(yīng)用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題.

【變式1】.（2023下?江蘇?七年級(jí)期中）如圖1,某段道路A3CD,兩旁安裝了兩個(gè)探照燈M和N.燈

M光束從MB開(kāi)始旋轉(zhuǎn)至180。便立即回轉(zhuǎn)，燈N光束從NC開(kāi)始旋轉(zhuǎn)至180。便立即回轉(zhuǎn).燈M轉(zhuǎn)動(dòng)的速度

是每秒1度，燈N轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈M轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

?HR

⑴如圖2,燈M光束先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒后，燈N光束才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng).

①直接寫(xiě)出燈M光束和燈N光束，燈先回轉(zhuǎn)；（填/或能

②在燈〃光束回轉(zhuǎn)之前，當(dāng)兩燈的光束平行時(shí)，求f的值；

（2）如圖3,兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，且均不回轉(zhuǎn).連接MN,且ZBMN=2ZMND,若兩燈光束交于點(diǎn)E,在轉(zhuǎn)動(dòng)

過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄颗cZMEF的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并說(shuō)明理由.

【答案】⑴①N；②當(dāng)/的值為60或140時(shí)，兩燈的光束互相平行

⑵不變，NBME=ZMEF.理由見(jiàn)解析

【分析】（1）①分別計(jì)算〃、N回轉(zhuǎn)時(shí)間，然后比較即可；②根據(jù)M、N均未回轉(zhuǎn)即30</<120和N回

轉(zhuǎn)后即120々<180兩種情況，進(jìn)行求解即可；

（2）由ABCD,可得N3MN+NA1ZVD=18O。，則/3MN=120。，NMND=60。，由

ZBME=t°,ACNF=2t°,得4^￡=120。一巴ZMVF=2/°-120°,求得/MEN=180。7。，則

ZMEF=t0,進(jìn)而可得=

【詳解】（1）①解：光束M回轉(zhuǎn)時(shí)間為￡=180+1=180（秒）；

光束N回轉(zhuǎn)時(shí)間「=180+2+30=120（秒）；

0120<180,

回光束N先回轉(zhuǎn),

故答案為：N；

②解：當(dāng)30</<120時(shí)，如圖1,

0ABCD,

SZBMM'=ZMM'C,

0MM'〃NN',

SZN'NC=ZMM'C,

?/BMM'=ZNNC,

團(tuán)，=2（t-30）,解得/=60：

當(dāng)120＜，＜180時(shí)，如圖2,

國(guó)ABCD,

團(tuán)NBMM'+ZMMD=180°,

⑦M(jìn)