聚焦空間想象力發(fā)展學(xué)生空間觀念

摘要：培養(yǎng)空間觀念是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“圖形與幾何”領(lǐng)域中要求的課程內(nèi)容，也是發(fā)展學(xué)生高階思維與高層次數(shù)學(xué)能力的重要內(nèi)容。以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級下冊自主開發(fā)課程內(nèi)容“涂色知多少”為例，教師應(yīng)設(shè)計(jì)充滿挑戰(zhàn)性的真實(shí)問題情境和學(xué)習(xí)活動(dòng)任務(wù)，聚焦學(xué)生的空間想象力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的高階思維能力和高層次數(shù)學(xué)能力。關(guān)鍵詞：空間想象力；推理意識(shí)；空間觀念；高階思維在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，空間觀念的培養(yǎng)是發(fā)展學(xué)生高階思維與高層次數(shù)學(xué)能力的重要載體。教師要開發(fā)多種教學(xué)資源，在課堂核心學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)中集觀察、比較、聯(lián)系、思辨、想象、推理、分析、綜合、概括于一體，以充滿挑戰(zhàn)性的真實(shí)問題情境和學(xué)習(xí)任務(wù)為載體，聚焦學(xué)生的空間想象力，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的高階思維和高層次數(shù)學(xué)能力。下面，筆者以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級下冊“涂色知多少”為例，探索發(fā)展學(xué)生高階思維能力和高層次思維能力的教學(xué)策略。一、情境引入，引發(fā)問題教師出示圖1，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息。教師導(dǎo)入真實(shí)問題：一個(gè)五面涂奶油的蛋糕，被平均分成九塊。有人不喜歡吃奶油，有人最喜歡吃奶油，還有人想吃一點(diǎn)奶油但不要太多。他們該選哪一塊呢？生：正中心的那塊只有一面有奶油，不喜歡吃奶油的可以選這塊；喜歡吃奶油的可以選擇四角位置的蛋糕，因?yàn)樗慕俏恢玫牡案庥腥嬗心逃?；想吃一點(diǎn)奶油又不能太多的選擇其余那四塊，因?yàn)槟撬膲K有兩面有奶油。師：看來挑蛋糕中也隱藏著不小的學(xué)問呢，讓我們一起來研究吧?！痉治雠c思考】問題能夠引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而好的問題來源于現(xiàn)實(shí)生活。教師以現(xiàn)實(shí)生活中“分選蛋糕”的問題情境為載體，引發(fā)學(xué)生思考切分后每塊蛋糕表面的奶油特征，從而抽象孕育有關(guān)立體圖形表面涂色的相關(guān)問題，為接下來的學(xué)習(xí)活動(dòng)研究做準(zhǔn)備。二、自主探究，積累經(jīng)驗(yàn)教師出示學(xué)習(xí)單，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主完成。學(xué)習(xí)單：涂色知多少1.把表面涂色的正方體每條棱二等分，然后沿等分線把正方體切開，得到的小正方體會(huì)是什么情況呢？自己動(dòng)手分一分、畫一畫、試一試吧。完成信息填寫：一共得到__________個(gè)小正方體；三面涂色的小正方體有__________個(gè)；兩面涂色的小正方體有__________個(gè)；只有一面涂色的小正方體有__________個(gè)；各面都沒有涂色的小正方體有__________個(gè)。2.把表面涂色的正方體每條棱三等分，然后沿等分線把正方體切開，得到的小正方體又會(huì)是什么情況呢？自己再動(dòng)手分一分、畫一畫、試一試，并完成信息填寫：一共得到__________個(gè)小正方體；三面涂色的小正方體有__________個(gè)；兩面涂色的小正方體有__________個(gè)；只有一面涂色的小正方體有__________個(gè)；各面都沒有涂色的小正方體有__________個(gè)。教師導(dǎo)入問題：剛才，大家已經(jīng)把表面涂色的正方體每條棱分別進(jìn)行了二等分、三等分（如圖2），對得到的小正方體的涂色情況進(jìn)行了探究。請大家在小組里交流，你的結(jié)論是什么？你是怎樣畫圖并觀察、思考的？生：把表面涂色的正方體每條棱二等分，通過分割，我畫出了這張圖，一共得到8個(gè)小正方體，這8個(gè)小正方體都是三面涂色的，兩面涂色、只一面涂色、各面都沒有涂色的小正方體，都是0個(gè)。把每條棱三等分，通過分割，我又畫出了另外一張圖，一共得到27個(gè)小正方體，其中三面涂色的有8個(gè)，兩面涂色的有12個(gè)，只一面涂色的有6個(gè)，各面都沒有涂色的有1個(gè)。師：大家看了他的探究，聽了他的分享，好在哪兒？生：我覺得他最后填寫的結(jié)果都十分正確。生：他對每種情況都分別畫了圖，這樣畫圖分割后很直觀，容易觀察，而不是憑空想。生：我想幫他做個(gè)補(bǔ)充。剛才他只是介紹了畫的圖和得出的結(jié)果，我想幫他補(bǔ)充這些小正方體涂色的位置分別在哪。二等分的就不用說了，都是三面涂色。我們看三等分的，三面涂色的在正方體的8個(gè)角處，1，2，3，4，5，6，7，有1個(gè)被遮擋了。兩面涂色的，先看最上面一層，1，2，3，4，再看中間這層，1，2，3，有1個(gè)在左后面被遮擋了。再看最底下這層，1，2，還有兩個(gè)也是被遮擋了，這樣加起來一共是12個(gè)。只有一面涂色的在各個(gè)面的中間，1，2，3，還有3個(gè)也被遮擋了。各面都沒有涂色的那個(gè)在大正方體的正中心，完全被遮擋了，就是在第二層的最中間那個(gè)，大家能想象出來吧？我還驗(yàn)證了一下，把各種涂色的情況加起來，8+12+6+1=27，總數(shù)正好夠27個(gè)。師：聽了這位同學(xué)的補(bǔ)充，你覺得又好在哪兒？生：我覺得他把三面涂色、兩面涂色、只有一面涂色，還有各面都不涂色的這些小正方體分別在什么位置講得特別清楚。生：特別是兩面涂色的情況，他一層一層地觀察并指給我們看，非常有順序。還有就是各個(gè)面都不涂色的（在正方體正中心藏著的）那個(gè)很不容易想到，我開始沒找到，聽他這么一說，我明白了?！痉治雠c思考】由現(xiàn)實(shí)生活情境進(jìn)入相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題情境——把表面涂色的正方體每條棱分別進(jìn)行二等分、三等分，從最簡單的情形入手，讓學(xué)生對得到的小正方體的涂色情況分類進(jìn)行獨(dú)立探究。學(xué)生通過嘗試畫圖、切分、觀察、發(fā)現(xiàn)、想象、尋找分布位置、有序思考、計(jì)算、驗(yàn)證等，層層深入分析出答案。教師通過引導(dǎo)學(xué)生個(gè)體與全班的互動(dòng)交流、評價(jià)、反思，積累初步探究解決問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。三、化繁為簡，尋求模式教師導(dǎo)入問題：剛才我們是把表面涂色的正方體的每條棱二等分、三等分，如果要把每條棱等分成更多份，然后沿等分線把正方體切開，得到的小正方體涂色情況又會(huì)是什么樣的呢？我們該怎么辦？生：我覺得可以把每條棱平均分成四份、五份后切開，分別畫一畫，再看看各面涂色的結(jié)果。生：我們也可以畫一個(gè)表格來幫忙，把每條棱各等分的情況列舉一下，找一找，看看有什么規(guī)律沒有。師：這個(gè)辦法不錯(cuò)，可是該怎么畫表格呢，表格中要含有哪些要素呢？生：我覺得先是每條棱等分成幾份，然后是切完后小正方體總數(shù)，后面可以依次是小正方體三面涂色數(shù)、兩面涂色數(shù)、一面涂色數(shù)和各面都不涂色數(shù)。生：每條棱的等分?jǐn)?shù)依次是2，3，4，5……也可以多列兩個(gè)，一直到等分成n份，看看結(jié)果都是怎么樣的，有什么規(guī)律？（根據(jù)討論，學(xué)生共同設(shè)計(jì)表格）【分析與思考】學(xué)生由簡入繁，由前面將正方體的每條棱二等分、三等分，到如果要把每條棱更多等分，得到的小正方體涂色情況又會(huì)是什么樣，該怎么辦，由此引入化繁為簡的思想。教師引導(dǎo)學(xué)生研究四等分、五等分的情況，在借助畫圖、列表中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。特別要說明的是表格。這里，教師沒有給出一個(gè)現(xiàn)成的表格，而是由學(xué)生根據(jù)要研究的問題對表格的結(jié)構(gòu)、要素親自設(shè)計(jì)、討論形成。這里從頭到尾發(fā)展的是學(xué)生高層次的數(shù)學(xué)思考（見表1）。組員1：之前我們研究了把正方體每條棱二等分、三等分的結(jié)果，直接填在表中就行了。接著，我畫圖研究了四等分、五等分的情況。把每條棱四等分，一共能得到4×4×4=64個(gè)小正方體，三面涂色的在正方體的頂點(diǎn)處，一共還是8個(gè)；兩面涂色的在正方體的棱上，每條棱有2個(gè)，12條棱就有2"×"12=24個(gè)；一面涂色的在正方體的面上，每個(gè)面有4個(gè)，6個(gè)面就有4×6=24個(gè)；剩下的就應(yīng)該是各面都不涂色的了，64-8-24-24=8個(gè)，在正中心處。組員2：把每條棱五等分，一共能得到5×5×5=125個(gè)小正方體，三面涂色的還是在正方體的頂點(diǎn)處一共還是8個(gè)；兩面涂色的在正方體的棱上，每條棱有3個(gè)，12條棱就有3×12=36個(gè)；一面涂色的在正方體的面上，每個(gè)面有9個(gè)，6個(gè)面就有9×6=54個(gè)；剩下的就應(yīng)該是各面都不涂色的了，在正中心處，有125-8-36-54=27個(gè)。組員3：通過研究觀察我們發(fā)現(xiàn)，每條棱幾等分，得到小正方體的個(gè)數(shù)就是幾的立方，而且不管幾等分，三面涂色的個(gè)數(shù)都是8個(gè)。對于n等分時(shí)兩面涂色的個(gè)數(shù)，通過觀察我發(fā)現(xiàn)0，12，24，36都是12的倍數(shù)，分別是0×12，1×12，2×12，3×12，都是等分?jǐn)?shù)減2之后再乘12，n等分時(shí)就是12（n-2）?？墒?，n等分時(shí)一面涂色和各面都不涂色的個(gè)數(shù)，我們沒表示出來。師：聽了這個(gè)小組的匯報(bào)，你有什么想說的？可以評價(jià)、質(zhì)疑或補(bǔ)充。生：我覺得他們把每條棱四等分、五等分的情況研究得很清楚，而且還總結(jié)出了更多等分時(shí)小正方體總數(shù)、三面涂色數(shù)和兩面涂色數(shù)的規(guī)律。師：他們能夠探究出這些結(jié)果或規(guī)律實(shí)屬不易，你覺得在這個(gè)過程中，他們做的哪一點(diǎn)最關(guān)鍵？生：畫圖。生：觀察后我有發(fā)現(xiàn)。師：你發(fā)現(xiàn)了什么？生：我覺得三面涂色、兩面涂色、一面涂色和各面都不涂色的這些小正方體分別分布在什么位置很重要，可以幫助我們快速分析出結(jié)果。師：說得特別好！在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，只畫圖還不行，還要學(xué)會(huì)觀察思考，在觀察中能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最高境界。對于每條棱更多等分的情況，還有要補(bǔ)充的嗎？組員1：大部分情況我們和上一組都是一樣的。只不過在數(shù)不同涂色面的小正方體個(gè)數(shù)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律。比如，不管幾等分，兩面涂色的都分布在正方體的各條棱中間，四等分時(shí)，每條棱有4個(gè)小正方體，去掉兩邊頂點(diǎn)處三面涂色的2個(gè)，就是（4-2）個(gè)，12條棱就是（4-2）×12=24個(gè)；五等分時(shí)，每條棱有5個(gè)小正方體，去掉兩邊頂點(diǎn)處的2個(gè)，就是（5-2）個(gè)，12條棱就是（5-2）×12=36個(gè)；n等分時(shí)，每條棱有n個(gè)小正方體，同樣去掉兩邊頂點(diǎn)處的2個(gè)，就是（n-2）個(gè)，12條棱就是12（n-2）個(gè)。組員2：再比如，不管幾等分，一面涂色的都分布在正方體各個(gè)面中間，四等分時(shí)，每個(gè)面有4×4個(gè)一面涂色的小正方體，去掉四周每條棱上兩面和三面涂色的，就是（4-2）2個(gè)，6個(gè)面就是（4-2）2×6=24個(gè)；五等分時(shí)，每條棱有5個(gè)小正方體，去掉四周每條棱上兩面和三面涂色的，就是（5-2）2個(gè)，6個(gè)面就是（5-2）2×6=54個(gè)；n等分時(shí)，每條棱有n個(gè)小正方體，一面涂色的就是（n-2）2×6，也就是6（n-2）2個(gè)。組員3：對于各個(gè)面都不涂色的一定在正方體的中心處，去掉露在外面的這一層，里面堆積起來的應(yīng)該也是個(gè)正方體形狀，如四等分時(shí)，每行是（4-2）個(gè)，每層有（4-2），有（4-2）層，大家能想象出來嗎？這樣各個(gè)面都不涂色的有[（4-2）3]=8個(gè)。五等分時(shí)，里面堆積起來的也是個(gè)正方體，每行是（5-2）個(gè)，每層有（5-2），有（5-2）層，這樣各個(gè)面都不涂色的有（5-2）3=27個(gè)。那么n等分時(shí)，各個(gè)面都不涂色的就有（n-2）3個(gè)。最后，我們把總結(jié)出來的每條棱n等分時(shí)的這些規(guī)律，在二等分、三等分時(shí)也分別進(jìn)行了驗(yàn)證，都成立，大家看表2就可以了。師：分享了這個(gè)小組的研究成果，你有什么想說的？生：我覺得他們組研究得比較好，和第一組比又有些不同。師：具體說說好在哪兒？有什么不同？生：比如，在找兩面涂色數(shù)時(shí)，他們組是先按位置數(shù)出每條棱有幾個(gè)，再乘12計(jì)算出結(jié)果。再如，找一面涂色數(shù)時(shí)，也是先按位置數(shù)出每個(gè)面有幾個(gè)，再乘6計(jì)算出結(jié)果，填表時(shí)也都是直接填最后的得數(shù)。而上一組是在觀察后找到一些關(guān)系，如每條棱有幾個(gè)兩面涂色的，每個(gè)面有幾個(gè)一面涂色的，他們不是直接數(shù)出來的，而是用算式來表示的，填表時(shí)也是先寫算式再算結(jié)果。師：你的意思是說他們組特別會(huì)觀察，他們在觀察中帶著思考在尋找一些關(guān)系，對嗎？生：對。師：他們在尋找哪些關(guān)系？誰和誰之間的關(guān)系？生：各種涂色數(shù)分別與每條棱的等分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。師：特別好！這些個(gè)關(guān)系如果找到了，那么這里面隱藏著的涂色的奧秘就被我們發(fā)現(xiàn)和破解了。生：可是這些關(guān)系好像挺隱蔽的，也不太好找，我就沒找到，他們是怎么發(fā)現(xiàn)的呢？師：對呀，他們是怎么發(fā)現(xiàn)的呢？反思總結(jié)一下有沒有什么好的經(jīng)驗(yàn)？生：我覺得各種不同涂色小正方體的分布位置很重要，這在前面已經(jīng)說過了。還有就是觀察角度也很重要，在觀察中還要不斷思考分布和等分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。比如，一面涂色的小正方體是分布在每個(gè)面的中間的，而且構(gòu)成一個(gè)方陣，那么每個(gè)面上的個(gè)數(shù)就是方陣中一行個(gè)數(shù)的平方。再如，兩面涂色的是分布在每條棱的中間，那么每條棱上的個(gè)數(shù)就是一行的個(gè)數(shù)減去2。生：另外，我覺得想象也很重要，如各個(gè)面都不涂色的那些小正方體是藏在正中心的，而且它們堆在一起的形狀也是個(gè)正方體，這樣就方便分析它們的個(gè)數(shù)與每條棱等分成幾份之間的關(guān)系了?！痉治雠c思考】交流分享研究成果是本課的核心環(huán)節(jié)。這里呈現(xiàn)了兩個(gè)組的研究，每個(gè)組的成員接力匯報(bào)，通過對比、評價(jià)、補(bǔ)充、質(zhì)疑，在交流后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成解決問題的經(jīng)驗(yàn)。特別是兩個(gè)組研究過程的相同與不同，相同之處是都借助了前面各種不同涂色情況的小正方體各自分布規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上進(jìn)行的探究，不同之處是二者的觀察思考力度和研究過程不一樣，特別是第二組在畫圖后一邊觀察，一邊想象、思考、尋找各種涂色數(shù)分別與每條棱的等分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以方便表征每條棱更多等分時(shí)各種涂色結(jié)果的統(tǒng)一性。這是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)展空間觀念的同時(shí)一種高層次能力、高階思維的體現(xiàn)，也是學(xué)生學(xué)科關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)形成的重要展現(xiàn)。學(xué)生最后通過反思、總結(jié)，再次積累形成探究解決圖形問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。四、預(yù)留問題，延伸思考教師導(dǎo)入問題：淘氣在研究正方體表面涂色的問題時(shí)，他把一個(gè)表面涂色的正方體的每條棱四等分，然后沿等分線把正方體切開，可是不小心把切好的積木碰塌了，能不能恢復(fù)原狀呢？生：我覺得能恢復(fù)。3面有顏色的一定是在各個(gè)頂點(diǎn)處，2面有顏色的應(yīng)該是在各條棱去掉兩頭的中間位置，1面有顏色的肯定是在各個(gè)面去掉四周的中間區(qū)域，各面都沒顏色的肯定是在看不見的中心處。師：解決了正方體表面的涂色問題，你還有什么想繼續(xù)研究的問題嗎？生：剛才我們研究的是正方體的情況，如果是長方體涂色，會(huì)是什么情況呢？師：你能嘗試用我們研究正方體的方法研究長方體嗎？教師出示如下題目：把長、寬、高分別為3，4，5厘米的表面涂色的長方體切割成棱長是1厘米的小正方體。一共得到__________個(gè)小正方體；三面涂色的小正方體有____________________個(gè)；兩面涂色的小正方體有__________個(gè)；只有一面涂色的小正方體有__